把握不等式特征

题目：把握不等式特征，选准构造切入点单位：广东惠阳高级中学高中部

姓名：严小英

科目：数学

把握不等式特征，选准构造切入点

不等式是中学数学重点内容之一，它与函数、方程、复数、集合以及三角、几何、解几等都有广泛而紧密的联系。所以，不等式证明问题，可以围绕题设与结论之间的关系，引导学生进行对比，透过现象看本质，多角度、多方向去思考问题，通过揭示沟通各类知识的内在联系的纽带，恰当地构造出理想的辅助工具进行证题。用构造法证明不等式有助于探求最佳解；有助于强化知识间的纵横联系，增强学生的应变能力和综合应用知识的能力，是培养学生良好思维品质的有效方法。应用构造法证明不等式，需要审时度势，广泛联想，迁移思维；需要善于对问题的结构特点进行探索、创造，寻找规律，才能如愿以偿。

本文介绍不等式证明的几种构造法，在高中数学竞赛以及高考中，利用构造法证明不等式有着广泛的应用。构造法的实质就是依据某些数学问题的条件和或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的问题。正由于构造法的这些特点与所要求的不等式证明的过程很好的吻合。构造法也就成为不等式证明的主要方法之一，成为常用的解决问题的思想方法，并且在中学数学中有着广泛的应用，下文试通过例题分析，从思维的整体性角度来探究构造法证明不等式的生成途径，不足之处请同行指正。

1、背景构造

有些不等式问题，当孤立地运用题设条件难以求解时，不妨把不等式置于特定的背景，构造问题的原形，从整体上把握不等式的实质，寻求处理方法。

为正整数，证明、设例n 1n n n n

C n

222222≤≤ n 2n 2n n

22n 2n n 2n 12n 0

2n n 2n n 2n 2n 2n 2C 2n

2C ...C ...C C 1121y x C 1n y x C (≤≤+++++=+===++显而易见，，

）（，有大的令是所有二项式系数中最

项的二项式系数，且展开式中第

）看成（构造恒等式背景）把分析：n 例2 、实数a 、b 、c 满足( a ＋c)( a ＋b ＋c)＜0，求证：( b －c )＞4a( a ＋b ＋c)． 证明：（构造函数背景）由已知得a = 0时，b≠c ，否则与( a ＋c)( a ＋b ＋c)＜0矛盾，

故a = 0时，( b －c )＞4a( a ＋b ＋c)成立．

当a≠0时，构造二次函数= ax ＋( b －c )x ＋( a ＋b ＋c)，则有

f （0）= a ＋b ＋c ，f （1）= 2(a ＋c)，而f （0）·f （1）= 2( a ＋c)( a ＋b ＋c)＜0， ∴存在m ，当－1＜m ＜0时，= 0，即二次函数的图象与x 轴相交，

∴方程ax ＋( b －c )x ＋( a ＋b ＋c) = 0有两个不相等的实数根，

∴△=( b －c )－4a( a ＋b ＋c)＞0，即( b －c )＞4a( a ＋b ＋c)．

2、拓展构造

拓展构造是指原不等式构造为同一知识类型，但内涵是更为丰富，更为熟悉的不等式，从而降低解题难度的目的

例1：设x 1,x 2，y 1，y 2∈R ，求证：).)(()(2222

212122121y x y x y y x x ++≤+ ().

,),,(),,(2222212121212211y x b y x a y y x x b a y x b y x a +=+=+=•==则设拓展为平面向量）证明：

,b a b a ≤• ∴.2222

21212121y x y x y y x x +•+≤+ ∴).)(()(22222

12122121y x y x y y x x ++≤+

例2、 求证：111 (11231)

n n n +++>+++(其中n ∈N +)． 分析：（拓展为数列模型）=111 (11231)

n a n n n =+++-+++， 则有111113433321n n a a n n n n +-=++-++++112343233

n n n =+-+++ 20(32)(33)(34)n n n =

>+++，所以数列{}n a 为递增数列． 又因111111023412

a =++-=>，故0n a > (其中n ∈ N +)，即原不等式得证 3.数形构造

数形转化是我们常用的构造法之一，就是把代数与几何相结合，抽象与直观相联系，使不

等式直观化。 例1、 已知正数a ， b ， c ， a 1， b 2， c 1， 满足条件a+a 1=b+b 1=c+c 1=k,求证ab 1+bc 1+ca 1＜k 2 分析：此题通过构造性思维发现可把ab 1,bc 1,ca 1,

均可看成三个矩形的面积，k 2可以看成变成为边长为k

K 的正方形面积，从中构造出前面的这三个矩形。

构造边长为k 的正方形ABCD ，且令DF=a ，AG=BH=b ，BE=c 1，CE=c ，CF=a 1（1）,（2）,（3），由S ABCD ＞S （1）+S （2）+S （3）得证。

变式：已知a b c d 均小于1的正数，证明：a(1-b)+b(1-c)+c(1-d)+d(1-a)<2

分析：画边长为1的正方形ABCD ，在四条边上分别取长度为a,b,c,d 的线段，即，分别在AB,BC,CD,DA 上取E,F,G ,H 。使AH=a,BE=b,CF=c,DG=d,则△AHE, △EBF, △FCG , △GHD 面积恒小于正方形面积，列式即可得

[a(1-b)+b(1-c)+c(1-d)+d(1-a)]/2<1。

例2：已知γβα,,,,,+∈R z y x 中任意两数之和大于第三数，且),,0(,,πγβα∈求证：.cos 2cos 2cos 2222222γβαxz z x yz z y xy y x -+-++-+

证明：因为,,,βαγαγβγβα+++ 所以可构造一四面体使,,,,,,2z PC y PB x PA CPA BPC APB ====∠=∠=∠γβ如下图所示.

由余弦定理得

,cos 222αxy y x AB -+=

,cos 222βzy y z BC -+=

.cos 222γxz z x AC -+=

又,AC BC AB +故原不等式成立.

例3：求证：3

132294342≤--≤-x x 简析与证明：294x -的结构特点，使我们联想到椭圆

方程及数形结合思想。

于是令 )0(942≥-=y x y ，则其图象是椭圆

14

9

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2=+y x 的上半部分，设y-2x=m ， 于是只需证3

13234≤≤-m , 因 m 为直线y=2x ＋m 在y 轴上的截距，由右图可知：当直线 y = 2 x ＋m 过点（3

2，0）时，m 有最小值为m=3

4-；当直线y =2x ＋m 与椭圆上半部分相切时，m 有最大值。 由 ⎩⎨⎧=++=4

9222y x m x y 得：13x 2 + 4mx + m 2 – 4 = 0