![2014届高考数学(文)专题提分训练：坐标系与参数方程(含答案解析)]](https://img.doczj.com/img86/0411wpimsfoix4d9wed8-61.webp)
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坐标系与参数方程
高考试题
考点一 坐标系
1.(2010年湖南卷,文4)极坐标方程ρ=cos θ和参数方程
1,
2x t y t
=--??
=+?(t 为参数)所表示的图形分别 是( )
(A)直线、直线 (B)直线、圆 (C)圆、圆 (D)圆、直线
解析:∵ρ=cos θ,∴ρ2=ρcos θ,∴x 2+y 2=x,表示圆.又1,2x t y t
=--??=+?两式相加得x+y=1,表示直线. 答案:D
2.(2012陕西卷,文15C)直线2ρcos θ=1与圆ρ=2cos θ相交的弦长为 .
解析:化极坐标为直角坐标得直线x=12
,圆(x-1)2+y 2=1,由勾股定理可
得相交弦长为2×2
答案
3.(2012年湖南卷,文10)在极坐标系中,曲线C 1:ρθ+sin θ)=1与曲线C 2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a= .
解析:将极坐标方程化成直角坐标方程得C 1
2:x 2+y 2=a 2,交点在极轴上,则
,
即交点坐标为?????
,代入C 2方程可得
a=
2
. 答案
:
2
4.(2011年湖南卷,文9)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1
的参数方程为
2cos ,
x y αα
=???
=??(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 2的方程为 ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则C 1与C 2的交点个数为 .
解析:曲线C 1化为普通方程为24
x +2
3y =1,是椭圆,
对曲线C 2:ρ(cos θ-sin θ)+1=0,
∴ρcos θ-ρsin θ+1=0,∴x-y+1=0,是直线,
易得直线x-y+1=0与椭圆24
x +2
3y =1有两个交点.
答案:2
5.(2011年陕西卷,文15C)在直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B 分别在曲线C 1:
3cos ,
sin x y θθ
=+??
=?(θ为参数)和曲线C 2:ρ=1上,则|AB|的最小值为 .
解析:曲线C 1为以E(3,0)为圆心,以r 1=1为半径的圆,曲线C 2为以原点O 为圆心,以r 2=1为半径的圆,则|AB|的最小值为|EO|-r 1-r 2=3-1-1=1.
答案:1
6.(2012年辽宁卷,文23)在直角坐标系xOy 中,圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x-2)2+y 2=4.
(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程,并求出圆C 1,C 2的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. 解:(1)圆C 1的极坐标方程为ρ=2, 圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ, 解2,4cos ρρθ
=??
=?得ρ=2,θ=±π
3,
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为π2,3?? ??
?,π2,3
??
- ??
?
. 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)法一 由cos ,
sin x y ρθρθ
=??
=?得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为
故圆C
1与C 2的公共弦的参数方程为1,
t,x y =??=?
t
(或参数方程写成1,
x y y
=??
=?y 法二 将x=1代入cos ,sin x y ρθρθ=??=?
得ρcos θ=1,从而ρ=1
cos θ,
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,tan ,x y θ=??
=?-π3
≤θ≤π
3.
7.(2012年江苏卷,21C)在极坐标系中,已知圆C 经过点P π
4
?
??
,圆心
为直线ρsin π
3θ??- ??
?与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.
解:在ρsin π
3θ??- ??
?=-2中令θ=0,得ρ=1, 所以圆C 的圆心坐标为(1,0).
因为圆C 经过点P π
4
???,
所以圆C 的半径于是圆C 过极点,所以圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. 8.(2010年浙江自选模块,04)如图,在极坐标系Ox 中,已知曲线
C 1:ρ=4sin θ(π4≤θ≤π2),
C 2:ρ=4cos θ(π4≤θ≤π2或3π
2
<θ≤2π),
C 3:ρ=4π
02
θ??
≤≤ ??
?
.
(1)求由曲线C 1,C 2,C 3围成的区域的面积;
(2)设M π4,2?? ???
,N(2,0),射线θ=αππ0,4
2ρα?
?≥<< ??
?
与曲线C 1,C 2分别交
于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB 的中点恰好落在直线MN 上,求tan α的值.
解:(1)由已知,如图弓形OSP 的面积=1
4
×π×22-12
×22=π-2,
从而,如图阴影部分的面积=12
×π×22-2(π-2)=4, 故所求面积=14
π×42+12
×π×22-4=6π-4.
(2)设A(ρA ,α),B(ρB ,α),AB 的中点为G(ρ,α),∠ONG=?.
由题意ρ=2
A B
ρρ+=2sin α+2cos α,
sin φ
?在△OGN 中,
sin ON OGN ∠=sin OG ONG
∠,
即
()
2sin πα?--=2sin 2cos sin αα
?+,
所以sin α+cos α=
()sin sin ?
α?+=2sin 2cos αα
+.
化简得sin 2α-3sin αcos α=0,
又因为sin α≠0,所以tan α=3. 考点二 参数方程
1.(2013年陕西卷,文15C)圆锥曲线2,
2x t y t ?=?=?
(t 为参数)的焦点坐标
是 .
解析:由2,2,
x t y t ?=?=?消去参数t 得x=2
4y ,
即y 2=4x,
则焦点坐标为(1,0).
答案:(1,0)
2.(2013年广东卷,文14)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 .
解析:曲线C 的普通方程为x 2-2x+y 2=0, 即(x-1)2+y 2=1,
所以曲线C 的参数方程为1cos ,
sin x y θθ=+??=?
(θ为参数).
答案: 1cos ,
sin x y θθ
=+??
=?(θ为参数)
3.(2013年湖南卷,文11)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:
21,x s y s =+??=?(s 为参数)和直线l 2: ,
21
x at y t =??
=-?(t 为参数)平行,则常数a 的值为 .
解析:把参数方程化为直角坐标方程, 直线l 1:21,
x s y s
=+??
=?消去s 为x=2y+1,
整理为x-2y-1=0,
直线l 2:,
21x at y t =??=-?
消去t 为2x=ay+a,
整理为2x-ay-a=0, 若l 1∥l 2, 12=2
a
,得a=4. 答案:4
4.(2012年广东卷,文14)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参
数方程分别为,x y θθ
?=??=??(θ为参数,0≤θ≤π2)
和1,2
x y ?=???
?=-??(t 为参数),则曲线C 1与C 2的交点坐标为 .
解析:C 1的普通方程为x 2+y 2=5(x ≥0,y ≥0),C 2的普通方程为x-y-1=0,
由22105(0,0)
x y x y x y --=??+=≥≥?得2,1,x y =??=?即C 1与C 2的交点坐标为(2,1).
答案:(2,1)
5.(2011年广东卷,文14)
已知两曲线参数方程分别为,
sin x y θθ
?=??
=??(0
≤θ<π)和25,
4x t y t
?
=???=?(t ∈R),它们的交点坐标为 .
解析:
由,
sin x y θθ
?=??
=??(0≤θ<π)得
2
5
x +y 2=1(0≤y ≤1,x ≠
由25,
4x t y t ?
=???=?
(t ∈R),得y 2=54x,
联立方程组(2
22101,,54,5x y y x y x ?+=≤≤≠??
??=??
解得x=1,y=
5
,
∴交点坐标为1,5? ??
.
答案:1,
5? ?
? 6.(2010年陕西卷,文15C)参数方程cos ,
1sin x y αα
=??=+?(α为参数)化成普通
方程为 . 解析:∵cos ,
1sin x y αα
=??=+?(α为参数),
∴cos ,
1sin x y αα=??
-=?
(α为参数).
∴x 2+(y-1)2=1,此即为所求普通方程. 答案:x 2+(y-1)2=1
7.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文23)已知曲线C 1的参数方程为
45cos ,
55sin x t y t =+??
=+?
(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将45cos ,
55sin x t y t
=+??
=+?消去参数t,
化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0. 将cos ,
sin x y ρθρθ
=??
=?
代入x 2+y 2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C 1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y=0.
由2222810160,20,
x y x y x y y ?+--+=??+-=?? 解得1,1
x y =??
=?或0,
2x y =??=? 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为
π
4),(2, π
2
).
8.(2013年辽宁卷,文23)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos(θ-π
4
(1)求C 1与C 2交点的极坐标;
(2)设P 为C 1的圆心,Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数
方程为33+,
12
x t a b y t ?=??=+??(t ∈R 为参数),求a,b 的值.
解:(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4, 直线C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解()2224,40.
x y x y ?+-=??+-=??得12120,2,
4, 2.x x y y ==????
==?? 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4, π2
π
4).
(2)由(1)可得,P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线PQ 的直角坐标方程为x-y+2=0, 由参数方程可得y=2
b
x-2
ab
+1.
所以1,2
12,2
b ab ?=???
?-+=?? 解得a=-1,b=2.
9.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文23)已知动点P,Q 都在曲线C:
2cos ,
2sin x t y t
=??
=?(t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.
(1)求M 的轨迹的参数方程;
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,
sin sin 2x y αααα=+??=+?
(α为参数,0<α<2π).
(2)M 点到坐标原点的距离
α<2π). 当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.
10.(2012年新课标全国卷,文23)已知曲线C 1的参数方程是
2cos ,
3sin x y ??=??
=?
(?为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,
且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3?? ???
.
(1)求点A,B,C,D 的直角坐标;
(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解:(1)由已知可得
A(2cos π3,2sin π3),B(2cos(π3+π2),2sin(π3+π2
)),C(2cos(π3
+π),
2sin(π3+π)),D(2cos(π3+3π2),2sin(π3+3π
2
)),
即(2)设P(2cos ?,3sin ?),
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,
则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ, 因为0≤sin 2φ≤1,
所以S 的取值范围是[32,52].
11.(2011年辽宁卷,文23)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为cos ,sin x y ??=??
=?(?为参数),曲线C 2的参数方程为cos ,
sin x a y b ??
=??=?(a>b>0,φ
为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=π
2
时,这两个交点重合.
(1)分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值;
(2)设当α=π4时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=-π4
时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.
解:(1)∵C 1:x 2
+y 2
=1,C 2: 22x a
+2
2y b =1(a>b>0),
∴C 1是圆,C 2是椭圆.
当α=0时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.
当α=π2
时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.
(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和2
9
x+y2=1.
当α=π
4时,射线l:y=x(x≥0)与C1的交点A1的横坐标为
x=
2
,与C2
的交点B1的横坐标为x′
.
当α=-π
4
时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为()()
22
2
x x x x
''
+-
=2
5
.
12.(2010年新课标全国卷,文23)已知直线C1:
1cos,
sin
x t
y t
α
α
=+
?
?
=
?
(t为参数),圆C2:
cos,
sin
x
y
θ
θ
=
?
?
=
?
(θ为参数).
(1)当α=π
3
时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解:(1)当α=π
3时,C1的普通方程为
C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组
) 22
1,
1,
y x
x y
?=-
?
?
+=
??
解得C1与C2的交点为(1,0),
1
,
2
?
??
.
(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0. A点坐标为(sin2α,-cos αsin α).
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
21sin ,2
1sin cos 2
x y ααα?=???
?=-??(α为参数). 所以P 点轨迹的普通方程为2
14x ??- ??
?+y 2=116. 故P 点的轨迹是圆心为1,04
?? ??
?
,半径为1
4的圆. 模拟试题
考点一 坐标系
1.(2012天津一中月考)已知圆的极坐标方程为ρ=2cos θ,则该圆的圆心到直线ρsin θ+2ρcos θ=1的距离是 .
解析:ρ=2cos θ化为直角坐标方程为x 2+y 2=2x,即(x-1)2+y 2=1,∴圆心为(1,0),直线ρsin θ+2ρcos θ=1化为直角坐标方程为2x+y-1=0,∴圆心(1,0)到直线2x+y-1=0的距离
答案
:
5
2.(2012广州模拟)设点A 的极坐标为π2,6??
???
,直线l 过点A 且与极轴
所成的角为π
3
,则直线l 的直角坐标方程为 .
解析:将A π2,6?? ?
?
?
化为直角坐标为
又直线l 的倾斜角为π3
,故
所以l 的方程为
答案
3.(2011深圳调研)在极坐标系中,P,Q 是曲线C:ρ=4sin θ上任意两点,则线段PQ 长度的最大值为 .
解析:由曲线C:ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin
θ,x 2+y 2-4y=0,x 2+(y-2)2=4,即曲线C:ρ=4sin θ是以点(0,2)为圆心,以2为半径的圆,易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径. 答案:4
4.(2011广州调研)在极坐标系中,直线ρsin(θ+π
4
)=2被圆ρ=4截得的弦长为 .
解析:由ρsin π
4θ??
+ ???
=2,
得2(ρsin θ+ρcos θ)=2可化为
圆ρ=4可化为x 2+y 2=16,由圆的弦长公式得
答案
考点二 参数方程
1.(2012宝鸡中学月考)点A(2,-1)到直线12,
3,x t y t =+??=--?
(t 为参数)的距离
等于 .
解析:将直线的参数方程化为普通方程为x+2y+5=0,由点到直线的距离公式得
答案2.(2012西工大附中模拟)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,长度单位不变,建立极坐标系,则曲线2cos ,
22sin ,
x y αα=??=-?(α为
参数)的极坐标方程是 .
解析:将曲线的参数方程化为普通方程为x 2+(y-2)2=4,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,将其代入上述方程,
得ρ2cos 2θ+(ρsin θ-2)2=4,整理得ρ=4sin θ. 答案:ρ=4sin θ
3.(2013云南省玉溪一中高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 方程为5cos ,
3sin ,x y ??=??
=?
(?为参数).
(1)求过椭圆的右焦点,且与直线42,
3,
x t y t =-??=-?(t 为参数)平行的直线l 的
普通方程.
(2)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值.
解:(1)由已知得椭圆的右焦点为(4,0),已知直线的参数方程可化为普通方程:x-2y+2=0,所以k=12
,于是所求直线方程为x-2y-4=0. (2)S=4|xy|=60sin ?cos φ=30sin 2?, 当2?=π
2
时,面积最大为30. 4.(2012福州八中质检)求直线22,2x t y t
=-+??=-?被曲线14cos ,
14sin x y θθ=+??=-+?截得的
线段长. 解:直线22,
2x t y t
=-+??=-?的普通方程为x+y+2=0.
曲线14cos ,
14sin x y θθ
=+??
=-+?即圆心为(1,-1),半径为4的圆.
则圆心(1,-1)到直线x+y+2=0的距离
设直线被曲线截得的线段长为t,则
∴直线被曲线截得的线段长为综合检测
1.(2013云南师大附中高三高考适应性调研)在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=π
3
(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立
平面直角坐标系,曲线C 的参数方程为2cos ,
1cos 2,x y αα=??=+?
(α为参数),求直
线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.
解:因为直线l 的极坐标方程为θ=π3
(ρ∈R),
所以直线l 的直角坐标方程为① 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,
1cos 2,
x y αα=??
=+?(α为参数),
所以曲线C 的普通方程为y=12
x 2(x ∈[-2,2]),② 联立①②解方程组得0,0x y =?
?=?或 6.
x y ?=??=??
根据x 的范围应舍去6,
x y ?=??
=??
故点P 的直角坐标为(0,0).
2.(2012豫东豫北十所名校联考)
已知直线l 的参数方程为
1,21
2
x t y ?
=??
??=+??(t 为参数),曲线C 的参数方程为2cos ,sin ,x y θθ=+??
=?(θ为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点
O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为π4,3??
???
,判断点P
与直线l 的位置关系;
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值.
解:(1)将点P π4,3?? ???
化为直角坐标,得
直线l 的普通方程为
显然点P 不满足直线l 的方程,所以点P 不在直线l 上.(2)因为点Q 在曲线C 上,所以可设点Q(2+cos θ,sin θ),点Q 到直线
的距离
,所以
当sin π
3
θ??
- ??
?
=-1时,d min
当sin π3θ??
- ???
=1时,d max
.故点Q 到直线l
的距离的最小值为
12,
最大值为3
2
. 3.(2011常州模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ
2
cos π
4
θ??
- ??
?
=2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)ρ=2?ρ2=4,
所以圆O 1直角坐标方程为x 2+y 2=4.
由ρ2
cos π
4
θ??
- ??
?=2, 得ρ2
(cos θcos π
4+sin θsin π4
)=2,
所以圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
即ρsin π
4θ??
+ ??
?
=2. 4.(2011南平模拟)过P(2,0)作倾斜角为α的直线l 与曲线E:
cos ,2
x y θθ=??
?=
??(θ为参数)交于A,B 两点. (1)求曲线E 的普通方程及l 的参数方程; (2)求sin α的取值范围.
解析:(1)曲线E 的普通方程为x 2+2y 2=1,
l 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+??=?
(t 为参数).
(2)将l 的参数方程代入曲线E 的普通方程得(1+sin 2α)t 2+(4cos α)t+3=0,
由Δ=(4cos α)2-4(1+sin 2α)×3≥0,得sin 2α≤17
, ∴0≤sin α
.
高考试题汇编：坐标系与参数方程 1. x 4 cost x 8cos 已知曲线C1 : （t 为参数），C2 （为参数），y 3 sint y 3sin （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P 对应的参数为t ，Q为C2上的动点，求PQ 中 1 2 1 2 x 3 2t 点M 到直线C3 : x 3 2t（t 为参数）距离的最小值. 3 y 2 t 解：（1）曲线C1的普通方程为（x 4）2（y 3）2 1，表示以点（ 4,3） 为圆心，半径r 1 的圆； 22 曲线C2的普通方程为x y 1，表示中心是坐标原点，焦点在x 轴2 64 9 上，长半轴长是8 ，短半轴长是3的椭圆； 2）点P的坐标为（ 4,4），设点Q的坐标为（8cos ,3sin ）， 8 58 5 5，当且仅当sin（） 1时，取最 小结：本题主要考查 1）参数方程与普通方程的互化； 2）动点到直线距离的最值问题；2
8 8 5 所以点 M 的坐标为 2 4cos ,2 32sin ， 直线 C 3的普通方程为 x 2y 7 0， 所以点 M 到直线 C 3 的距离为 d 2 4cos 4 3sin 7 5 13 5sin 5 小值 8 5 . 5
x 1 tcos x cos 已知直线 C 1: （ t 为参数），圆C 2 : （ 为参数）， y tsin y sin x cos 1）当 时，求 C 1和 C 2的交点坐 标； 2）过坐标原点 O 作 C 1的垂线，垂足为 A ,P 为OA 的中点.当 变化 时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 . x 解：（1）当 时，则直线 C 1 : 31 y 1 1t 2 ， 3t ， 2 其普通方程为 3x y 3 0，圆 C 2的普通方程为 y 2 1， 联立得 x 2 3（x 1）2 1，解得 x 1 1 y 1 0 x 2 y 2 1 2 ， 3 2 1 所以 C 1和 C 2的交点坐标为 （1,0） ，（1, 2 23). 2）设垂足 A 点坐标为 1 tcos ,tsin ， 则 OA 1 tcos ,tsin ，直线 C 1 的方向向量为 （cos ,sin ) ， 所以 cos tcos 2 tsin 2 0 ，则 t cos ， 所以 A 点坐标为 1 cos 2 cos sin ，则 P 点坐标为 1 cos 2 sin2 ， 4,4 ， 所以 P 点轨迹的参数方程为 1 cos2 4 ( 为参数)， sin2 4 P 点轨迹的普通方程为 （x 14)2 2 1 y 16 ， 11 表示以 14,0 为圆心，半径为 14 4的圆.
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
数学《坐标系与参数方程》复习知识点 一、13 1．已知M 点的极坐标为(2,)6 π --，则M 点关于直线2 π θ= 的对称点坐标为（ ） A ．(2, )6 π B ．(2,)6 π - C ．(2, )6 π - D ．11(2, )6 π - 【答案】A 【解析】 M 点的极坐标为2,6π?? -- ?? ? ，即为5(2, )6π∴ M 点关于直线2π θ=的对称点坐标为(2,)6 π,选A. 点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2 π θ= 对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为 (,)ρθ-. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ θ =??=?(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系 是( ) A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交但直线不过圆 心 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系.
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14） 命题：靳建芳 1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知 曲线1C :452x t y t =+??=+?（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=． （Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系． 2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数αα α ???+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin()4π ρθ+=直线l 与曲线2 C 交于A ，B 两点。 （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1 cos 2 x y α αα=+???=??为参数），在极坐标系中,曲线2 C 的极坐标方程为sin()4 πρθ-= （1）求曲线2C 的普通方程； （2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长． 4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C 1的极坐标方程为θ ρ2 2sin 12 += ，直线l 的极坐标方程为θ θρcos sin 24+=。
（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。 5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32 x t t y t ?=+?? ??=??为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为23sin ρθ=. （Ⅰ）写出的直角坐标方程； （Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2 2 121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4 R π θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ?的 面积. 7．已知直线l ：3 5132x y t ?=????=??（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|?|MB|的值． 8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2 M π ．以极点O 为原点，
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结） 一、最近6年极坐标与参数方程题型归纳 （2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB = 求l 的斜率. (2015）【极坐标方程求长度】 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos , :sin , x t C y t αα=?? =? （t 为参数,且0t ≠ ）, 其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 23:2sin ,:. C C ρθρθ== （I ）求 2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3 C 相交于点B ,求AB 最大值. （2014）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程 为2cos ρθ=， 0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确 定D 的坐标. （2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =?? =?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． （2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数?? ? ?? ?==，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1 C 上任意一点，求 2222 PA PB PC PD +++的取值范围。
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
坐标系与参数方程高考解答题专题 1、（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26 ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． 2、（2018全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 3、（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos , sin x y θθ=?? =? （θ为参数）， 过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 4、(2017江苏) 在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82 t t y =-+?? ?=??(t 为参数),曲线C 的参数方程为2 2, x s y ?=??=?? (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的 最小值. 5、（2017全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos , sin ,x y θθ=??=?（θ 为参数），直线l 的参数方程为4, 1,x a t t y t =+??=-? （为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l a ．
6、（2017全国新课标Ⅱ文、理） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=. （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为π(2,)3 ，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值. 7、（2017全国新课标Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为, ,x t y kt =2+?? =? （t 为参 数），直线l 2的参数方程为, ,x m m y k =-2+?? ?=?? （m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程： （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设:(cos sin )l ρθθ3+-=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112x t y ?=+?? ??=?? （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos , 2sin x y θθ=??=? （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，求线段AB 的长. 9、（2016全国Ⅰ文、理）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =??=+? （t 为 参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （1）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程； （2）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．
极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程 考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ） A.1 B.32．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4 πρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04π ρθθθ=+≤≤ 4．【来源】2015届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ??=- ???的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3 πθ=对称
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
选修4－4 坐标系与参数方程 1．(2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ????2，π4，圆心为直线ρsin ????θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 2．(2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为????2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ????θ－π 4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为? ???? x ＝1＋cos α， y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
3．(2013·郑州市质量预测)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为? ???? x ＝2＋2cos θ y ＝2sin θ(θ 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ??? ?θ＋π 4＝2 2. (1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长． 4．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为? ???? x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)，曲 线C 的参数方程为? ???? x ＝2tan 2 θ， y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公 共点的坐标．
5．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6 . (1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：? ??? ? x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角 坐标系，设直线l 的参数方程为??? x ＝5＋32t y ＝1 2t (t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数 方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程： 直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程： 圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径
比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为