《概率论与数理统计》
试卷A
（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）
（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A
B =
()
A 、A
B B 、A B
C 、A B
D 、A B
2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示(
)
A 、A ，
B ，
C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生
C 、A ，B ，C 中不多于一个发生
D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A
B =，()0.2P A =，()0.4P B =，
则(
)成立
A 、()0.32P A
B = B 、()0.2P A B =
C 、()0.4P B A -=
D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则(
)
A 、()()()P A
B P A P B -=- B 、()()()P A
B P A P B =+
C 、()()()P AB P A P B =
D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()
A 、A 与
B 独立 B 、A 与B 独立
C 、()()()P AB P A P B =
D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为
其分布函数为()F x ，则(3)F =()
A 、0
B 、0.3
C 、0.8
D 、1
7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]
()0,
cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c =
()
A 、
15 B 、1
4
C 、4
D 、5
8、设X ～)1,0(N
，密度函数2
2
()x x ?-=，则()x ?的最大值是(
)
A 、0
B 、1 C
、
9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为3
3(;3),0,1,2,!
k p k e k k -==，则下式成立的是
()
A 、3EX DX ==
B 、1
3
EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1
,93
EX DX ==
10、设X 服从二项分布B(n,p),则有(
)
A 、(21)2E X np -=
B 、(21)4(1)1D X np p +=-+
C 、(21)41E X np +=+
D 、(21)4(1)D X np p -=-
11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是(
)
A 、()4E X Y +=
B 、()3E XY =
C 、()12
D X Y -= D 、()216
E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：
则常数c=(
)
A 、0
B 、1
C 、
14 D 、1
4
- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()
A 、1
B 、0
C 、1
2
D 、-1 14、已知1,3
EX DX =-=,则(
)2
32E X ??-?
?
=(
)
A 、9
B 、6
C 、30
D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。
A 、指数
B 、泊松
C 、正态
D 、均匀 16、下列结论中，(
)不是随机变量X 与Y 不相关的充要条件。
A 、()()()E XY E X E Y =
B 、()D X Y DX DY +=+
C 、(),0Cov X Y =
D 、X 与Y 相互独立
A 、100.6n p ==，
B 、200.3n p ==，
C 、150.4n p ==，
D 、120.5n p ==， 18、设()()(),,,p x y p x p
y ξη
分别是二维随机变量(),ξη的联合密度函数及边缘密度函数，则()是ξ与
η独立的充要条件。
A 、()E E E ξηξη+=+
B 、()D D D ξηξη+=+
C 、ξ与η不相关
D 、对,,x y ?有()()(),p x y p x p y ξη= 19、设是二维离散型随机变量，则X 与Y 独立的充要条件是(
)
A 、()E XY EXEy =
B 、()D X Y DX DY +=+
C 、X 与Y 不相关
D 、对(),X Y 的任何可能取值()
,i j x y i j i j P P P = 20、设(),X Y 的联合密度为40()xy x p x y ≤≤?=?
?，，
y 1，0，
其它，
若()F x y ，为分布函数，则(0.52)F =，()
A 、0
B 、
14 C 、1
2
D 、1
二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)
1、 若事件 A 与B 相互独立，()0.8P A = ()0.6P B =。求：()P A B +和{()}P A A B +
2、 设随机变量(24)X N ，，且(1.65)0.95Φ=。求( 5.3)P X ≥
3、 已知连续型随机变量ξ的分布函数为0,0
()04414
x x F x x x ≤???
=<≤?
?>??
，，
，求ξE 和ξD 。
4、 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x A Barctgx x =+-∞<<+∞
求： （1）常数A 和B ；
（2）X 落入（-1，1）的概率；
（3）X 的密度函数()f x
5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为
2
3
，如果命中了就停止射击， 否则一直独立射到子弹用尽。 求：（1）耗用子弹数X 的分布列；（2）EX ；（3）DX
6、设(),ξη的联合密度为40()xy x p x y ≤≤?=?
?
，，
y 1，0，其它， 求：（1）边际密度函数(),()p x p y ξη；（2）,E E ξη；(3）ξ与η是否独立
三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 1、 设1X ，2X 是来自正态总体(1)N μ，的样本，下列 三个估计量是不是参数μ 的无偏估计量，若是无偏 估计量，试判断哪一个较优？ 1212133X X μ=+ ，1211344X X μ=+，12111
22
X X μ=+。
2、设10~(,)(0)0x
e
x f x θξθθθ
-?>?=>???
其它
12,,...,n x x x 。为 ξ的一组观察值，求θ的极大似然估计。
概率论与数理统计试卷答案及评分标准
二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)
1、 解：∵A 与B 相互独立
∴()()()()P A B P A P B P AB +=+-………（1分）
()()()()P A P B P A P B =+- ………（1分）
0.80.60.8?0.6=+-
0.92= ………（1分）
又[()]
()()
P A A B P A A B P A B ++=
+………（1分）
()()()
()()
P AB P A P B P A B P A B =
=++………（2分）
0.13= ………（1分）
2、 解：( 5.3)1P X ??
≥=-
???
5.3-2Φ2 ………（5分）
1(1.65)10.950.05=-=-=Φ ………（2分）
3、解：由已知有()0,4U ξ
………（3分）
则：22
a b
E ξ+=
= ………（2分） ()2
4
12
3
b a D ξ-=
= ………（2分）
4、解：(1)由()0F -∞=，()1F +∞=
有：0212
A B A B ππ
?-=???+=?
解之有：1
2
A =，1
B π= ………（3分）
(2)1
(11)(1)(1)2
P X F F -<<=--= ………（2分） (3)2
1
()()(1)
f x F x x π'==
+ ………（2分） 5、解：(1)
………（3分）
(2)3
122113
1233999
i i
i EX x p
==
=?+?+?=∑ ………（2分）
(3) ∵3
2
222
21
221231233999i i
i EX x p ==
=?+?+?=∑ ∴2
2
2231338
()()9981
DX EX EX =-=
-=………（2分） 6、解：(1) ∵10
()()42p x p x y dy xydy x ξ+∞-∞
=
==?
?，
∴20()x x p x ξ≤≤?=?
?，1
0，其它
同理：20()y y p x η≤≤?=??
，1
0，其它 ………（3分）
(2) 1
20
2
()23
E xp x dx x dx ξξ+∞-∞
=
==
?
? 同理：2
3
E η=
………（2分） (3) ∵()()()p x y p x p y ξη=，
∴ξ与η独立 ………（2分）
三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 1、 解：∵12121
(
)33
E E X X μμ=+= 同理：23E E μμμ==
∴123μμμ，，为参数μ 的无偏估计量………（3分）
又∵21212121415
()3
3999D D X X DX DX μσ=+=+= 同理：221016D μσ=，2
324
D μσ=
且D D D μμμ<<
∴
3μ较优 ………（6分）
2、 解：12,,...,n x x x 的似然函数为：
1
1
121
11
(,,...,)n
i
i
i x n
x
n n
i L x x x e
e
θθ
θθ
θ
=-
-
=∑==
∏，………（3分）
1
1
()ln n
i i Ln L n x θθ
==--
∑
2
1
()1
0n
i
i dLn L n x
d θθθ
==-+=∑
解之有：1
1n
i i x X n θ===∑ ………（6分）
一、(共30分,每题5分)
1、设事件A 与B 相互独立，8.0)(,5.0)(==B A P A P , 求)(B A P .
解：因为事件A 与B 相互独立，所以
)()()(B P A P B A P =
)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= …….2分
由8.0)(,5.0)(==B A P A P ，得6.0)(=B P …….2分 2.0)()()(==B P A P B A P …….1分
2、三人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为4
1
,31,51.
求能将此密码译出的概率.
解：5
3
)411)(311)(511(1=----=P …….5分
3、设随机变量X 的分布律为
求12+=X Y 的分布律，并计算)31(<≤X P . 解：
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E 求λ. 解：λ==)()(X D X E ， …….2分
1
2)(3)]([)( )
23()]2)(1[(2
2=+-+=+-=--X E X E X D X X E X X E …….2分
所以0122=+-λλ，得1=λ. …….1分 5、为检查某食用动物含某种重金属的水平，假设重金属的水平服从正态分布
σμσμ,),,(~2N X 均未知，现抽取容量为25的一个样本，测得样本均值为186，样本标准差为10，求μ的置信度为0.95 的置信区间. 解：总体均值 μ 的置信度为0.95 的置信区间为
))1((025.0-±n t n
s X ……….2分
即 )0639.25
10
186(?± …….2分
所求置信区间为（181.8722，190.1278） …….1分
6、某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重量),,(~2σμN X 当机器正常时，其均值5.0=μ公斤，标准差015.0=σ公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得平均重量为0.511公斤，问这天包装机工作是否正常？（取显著水平05.0=α）
解：由题意设 5.0:;5.0:10≠=μμH H ……….1分 拒绝域为 025.0|5
.0|
z n
X ≥-σ ……….1分
由于2.2|9
015.05
.0511.0||5.0|
=-=-n X σ ，,96.1025.0=z ……….2分 即2.2>1.96,拒绝原假设，认为这天包装机工作不正常. ……….1分
统计B 班级 姓名 学号 第 2 页
二、（共18分,每题6分)
1、设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为
???≤>=-.0 ,00 ,2)(2x x e x f x X ， ???≤>=-.
0 ,0,
0 ,3)(3y y e y f y Y
求: （1） ;)32(Y X E -（2） );32(Y X D -（3）XY ρ. 解：（1） 0;3
13-2
12)(3)(2)32(=??=-=-Y E X E Y X E ….2分
（2） ;29
1941
4)(9)(4)32(=?+?=+=-Y D X D Y X D ….2分 （3）因为量X 和Y 相互独立，所以0=XY ρ. ….2分
2、已知随机变量)36,2(~),25,1(~N Y N X ，4.0=XY ρ， 求：Y X U 23+= 与Y X V 3-=的协方差. 解：)3,23(),(Y X Y X Cov V U Cov -+=
)(6),(2),(9)(3Y D Y X Cov Y X Cov X D -+-=….3分
)(6)()(7)(3Y D Y D X D X D XY --=ρ
225366654.07253-=?-???-?= ….3分
3、设1321,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的一个样本，且已知随机变量∑∑==+=13
5
24
1
2
)()(i i i i X b X a Y 服从自由度为2的2χ分布，
求b a ,的值.
解：因为)1,0(~N X i 且相互独立，13,,2,1 =i .
所以，)4,0(~4
1
N X i i ∑=，)9,0(~13
5
N X i i ∑=， ….2分
14
113
三、（共18分,每题6分)
1、设总体),6,52(~2N X 现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X 落入（50.8，53.8）之间的概率.
解：)1,52(~N X ， ……….2分
}8.538.50{< )2.1()8.1(-Φ-Φ==8849.019641.0+- ….3分 849.0= ……….1分 2、设随机变量X 的分布函数为 ?? ? ??>-≤<≤=--.1 ,1,10 ,, 0 ,)()1(x Ae x B x Ae x F x x 求：（1）A , B 的值；（2）}3 1 {>X P . 解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得 )0()(lim 0 F x F x =-→，)1()(lim 1 F x F x =-→， 即???-==A B B A 1 解得5.0== B A ……….3分 （2）5.05.01)3 1 (1}31{=-=-=>F X P ……….3分 概率论与数理统计B 试题 班级 姓名 学号 第 3 页 3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率. 解：设i A ={从箱子中取到i 号袋}，2,1=i B ={抽出的是红球} )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += ……….2分 95 32323131=?+?= ……….1分 ) |()() |()()|(2 1111i i i A B P A P A B P A P B A P ∑== 5 1 = ……….3分 四、（8分） 设随机变量X 具有密度函数 ???<<=. ,010 , )(其它， x Ax x f 求（1）常数A ；（2）X 的分布函数. （1）因为 1)(?+∞ ∞-=dx x f ……….2分 所以 11 0=?xdx A 得 2=A ……….2分 （2）? ????≥<≤<=?. 1 ,1,10 ,2, 0 ,0)(0x x xdx x x F x =?? ? ??≥<≤<.1 ,1,10 ,,0 ,02x x x x ……….4分 五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10件，现从中随机抽取一件，记 . ,0 ,1???=等品没有抽到等品若抽到i i X i ，求21X X ，的联合分布律. 解：设321,,A A A 分别表示抽到一、二、三等品， 1.0)()0,0(321====A P X X P ，6.0)()0,1(121====A P X X P 3.0)()1,0(221====A P X X P ，0)1,1(21===X X P 21X X ，的联合分布律为 ……….8分（每个2分） 六、（10分）设随机变量X 和Y 的联合概率密度为 ???<<<=. ,0, 10 ,15),(2其它y x y x y x f （1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量X 和Y 是否独立. 解：（1）dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞-= ……….1分 ?????<<-=. ,0, 10 ),1(2 1522 其它x x x ……….2分 dx y x f y f Y ),()(?+∞∞-= ……….1分 ???<<=. ,0, 10 ,54其它y y ……….2分 （2） 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以随机变量X 和Y 不独立. …..….4分 七、（8分）设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，n x x x ,,,21 为一相对应的样本 观测值，总体X 的概率密度为 ???<<=. ,0,10 ,)(1- 其它x x x f θθ 求参数θ的矩估计和极大似然估计. 解：（1）矩估计 ?+= =-1 011 )( θθθθdx x x X E ， …….2分 由11μ=A 得 X X X -=?=+11θθθ …….2分 （2）似然函数1 1 1 1 ) ()(-==-∏∏==θθθθθn i i n n i i x x L 对数似然函数i n i Lnx nLn LnL ∑=-+=1 )1()(θθθ …….2分 令0)(=θθd dLnL ，得 i n i i n i Lnx n Lnx n ∑∑==- =?=+1 1 0θθ 参数θ的极大似然估计量为∑=- =n i i LnX n 1 θ …….2分 ,9861.0.0)2.2( , 9332.0)5.1( ,8849.0)2.1( , 9641.0)8.1( =Φ=Φ=Φ=Φ 附 0595.2)25( , 0639.2)24(,645.1 ,96.1025.0025.005.0025.0====t t Z Z
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