第7章第1节
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是()
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
【解析】A、B两选项中侧棱与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.
【答案】 C
2．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为()
【解析】根据“长对正、宽相等，高平齐”原则，易知选项D符合题意．
【答案】 D
3．一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则原梯形的面积为()
A．2 B. 2
C．2 2 D．4
【解析】因S原图＝22S直观图，故S原＝22×2＝4.
【答案】 D
4．(2010·全国新课标高考)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥
⑥圆柱
【解析】 底面向下的锥体的正视图均为三角形，当三棱柱底面向前时正视图为三角形，而四棱柱和圆柱无论怎样放置正视图都不会为三角形．
【答案】 ①②③⑤
5．(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，求该几何体的体积．
【解】 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋1
3π×3＝6＋
π(m 3)．
∴所求几何体的体积为(6＋π)m 3.
课时作业
【考点排查表】
1．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH 截长方体，若AB ⊥CD ，那么图②四个图形中是截面的是( )
【解析】 因为AB 、MN 两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB 、MN 无公共点，又AB 、MN 在平面EFGH 内，故AB ∥MN ，同理易知AN ∥BM .
又AB ⊥CD ，∴截面必为矩形． 【答案】 A 2．(2011·山东高考)
右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正(主)视、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；
③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()
A．3B．2
C．1 D．0
【解析】底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正(主)视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的正(主)视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．
【答案】 A
3．(2011·全国新课标高考)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥组成的组合体，故其俯视图应为D选项．
【答案】 D
4．如下图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为()
A．2 3 B. 3
C ．2 2
D ．4
【解析】 设三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的高是侧棱长2，底边长为点C 到AB
的距离2sin π
3
＝3，故其侧视图的面积为2 3.
【答案】 A
5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.24a 2 B ．22a 2 C.22
a 2 D.223
a 2
【解析】 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝2
4
S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积等于a 2
24
＝22a 2.故选B.
【答案】 B 6．(2013·长春模拟)
已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )
【解析】 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．
【答案】 B 二、填空题
7．如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
【解析】 由正投影的定义，四边形BFD 1E 在面AA 1D 1D 与面BB 1C 1C 上的正投影是图③；其在面ABB 1A 1与面DCC 1D 1上的正投影是图②；其在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1上的正投影也是②，故①④错误．
【答案】 ②③
8．(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
【解析】 利用组合体的体积是3个圆柱的体积和求解．
由三视图知几何体由两个底面直径为4、高为1的圆柱和一个底面直径为2、高为4的圆柱组成，故V ＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π.
【答案】 12π
9．如图，用斜二测画法得到，四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．
【解析】 作DE ⊥AB 于E ，
CF ⊥AB 于F ，则AE ＝BF ＝AD cos 45°＝1，∴CD ＝EF ＝3.将原图复原(如
图)，则原四边形应为直角梯形，∠A ＝90°，AB ＝5，CD ＝3，AD ＝22，∴S 四
边形ABCD
＝12
·(5＋3)·22＝8 2. 【答案】 8 2 三、解答题
10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
【解】 图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．
11．(2013·太原模拟)一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长．
【解】
如右图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm ，
则OC ＝2
2x ，∴2
2x 30＝40－x 40，
解得x ＝120(3－22)，
∴正方体的棱长为120(3－2
2)cm. 12．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积． 【解】
(1)正六棱锥．
(2)其侧视图如图：
其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
且BC 的长是俯视图中正六边形对边的距离，即BC ＝3a ， AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ， ∴该平面图形的面积S ＝123a ·3a ＝3
2a 2.
(3)V ＝13·6·34a 2·3a ＝3
2a 3.
四、选做题
13．如图(1)，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .
【解】 (1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.
(2)由侧视图可求得 PD ＝PC 2＋CD 2 ＝62＋62＝6 2.
由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，
P A ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝63(cm)．