教学过程设计设球员们只能在
《圆周角》教案 教学目标： 一．知识技能 1．理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 3．能灵活运用圆周角的性质解决问题； 4．使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 5．使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题． 教学重点： 1．圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 2．圆内接四边形的性质定理． 教学难点： 1．发现并证明圆周角定理． 2．理解“内对角”这一重点词语的意思． 教学过程： 一．创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒ AB观看窗内的海洋动物．大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？ 二．认识圆周角． 1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．(注意两点：1．角的顶点在圆上；2．角的两边都与圆相交，二者缺一不可．) 3．辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解．
4．圆周角与圆心角的联系和区别是什么？ 三．探究圆周角的性质． 1．如图所示图中，∠AOB=180°，则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可用圆周角定理说明．) B 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数． 解：连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°． 又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°． 2．在下图中，同弧⌒ AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想．同弧⌒ AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想． 3．由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 四．证明圆周角定理及推论． 1．问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2．学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．如下图
《圆周角与圆心角的关系》教学设计 秭归县郭家坝中学颜昭英 教学目标： （一）教学知识点 （1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征； （2）理解圆周角与圆心角的关系，并能熟练地运用它们进行论证和计算，，有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。 （二）能力训练要求 通过圆周角概念的形成，渗透数学建模的思想，使学生经历数学建模的过程，形成建模的方法； 引导学生主动地通过：观察、实验、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神，从而提高数学素养； 通过圆周角定理的证明，有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想、使学生了解分类、转化、归纳等数学思想方法。 （三）情感态度与价值观 运用实例分析，使学生认识到数学与实际生活有着紧密的联系，学会用数学的眼光看待生活中的实际问题。 在证明圆周角定理的过程中，通过小组讨论、展示各自所画图形这一环节，在合作探究中培养学生的协作意识，体现交流的价值； 通过“观察——测量——证明”这三个环节的活动，让学生意识到，观察测量发现的规律只是建立在统计的基础上，而定理的形成须严谨的数理论证。 教学重点： 圆周角的概念和圆周角定理 经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，了解“圆周角与圆心角的关系” 教学难点： 了解圆周角的分类、用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系” 圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。
教学方法： 以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。 学法 在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。 教具 圆规、直尺、投影仪、课件 教学过程： 一、视频分析，导入新课 师：大家对足球比赛一定不陌生，现在我们就一起来看一段足球射门的片段。 播放“小角度射门”的视频片段，引导学生注意解说员强调的“小角度射门”。 师：这是一个精彩的进球，以至于解说员最后特别强调“小角度射门得手”，大家知道他为什么要强调“小角度”吗？ 学生讨论，给出解释： 射门的角度越小，进球的难度就越大。 师：可见，数学知识能够解释生活中的很多现象，也能解决生活中的很多问题。比如说，人眼看物体有个特点，“远小近大”，通过物理知识的学习，大家也一定知道，这是因为同一个物体离人眼越远，它对人眼所成的视角越小，离人眼越近，对人眼所成的视角越大。 现在我们尝试利用角的知识来分析一下，歌剧院中座椅摆放的问题。 二、图片展示，引入圆周角的概念 （一）、展示歌剧院的图片 师：首先让我们欣赏几张著名歌剧院的室内图片，请同学们注意观察一下，
《圆周角定理的证明》教学设计 一、创设情境，引入新课 师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题. 设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动，探究规律 学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。回答下列问题： （1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ （2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？ 师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 三、动手操作，验证猜想 拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题： （1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ （2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？ （3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ 师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明． 具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。 设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习，学以致用
《圆周角》 《圆周角》这节内容是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续，圆周角 定理在圆的有关证明、作图、计算中应用十分广泛。本节内容既可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系，又为后面研究圆与其它几何图形的关系提供了条件。 圆周角定理及其推论是本章的重点内容之一，圆周角定理的分情况证明是本章的教学难点。教材一开始先给出圆周角的概念，紧接着安排了一个探究活动，从介绍圆周角概念的图形出发，让学生探究同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，然后分三种情况证明定理。通过对圆周角定理的探讨，达到培养学生严谨的思维品质的目的。同时，还可以让学生掌握从特殊到一般以及分类讨论的思维方法。 圆内接四边形的四个内角都是圆周角，利用圆周角定理可以把圆的内接四边形的四个内角和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质在圆中探索相关角相等或互补时常常用到。 【知识与能力目标】
1、理解圆周角的概念； 2、掌握圆周角定理及其推论； 3、能运用圆周角定理及其推论进行简单计算和证明； 4、掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。 【过程与方法目标】 在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。 【情感态度价值观目标】 在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心。 【教学重点】 圆周角定理及其推论。 【教学难点】 圆周角定理证明方法的探讨。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？ 顶点在圆心的角叫做圆心角。 问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？
教学设计
1. 探究活动一：圆周角概念 角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关系都有哪些类型？ 请同学们尝试画一画. O O 2.圆周角：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角. 如图，∠ACB为⊙O的圆周角, 所对的弦为AB, AB 3.练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
P 2，P 3，得到三个圆周角∠MP 1N ，∠MP 2N ，∠MP 3N ，分别测量这三个角的角度，并记录下来. ∠MP 1N=__________， ∠MP 2N=_________， ∠MP 3N=_________. 发现：当点P 在优弧MN 上运动时，∠P 始终是55°， 当点P 在劣弧MN 上运动时，∠P 变为125°. 2. 探究活动三：圆周角与圆心的位置关系. 通过观察得到点P 在优弧MN 上的三种位置关系： 即圆心在圆周角外，圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内。 3. 探究活动四：圆周角与圆心角的关系. 分别证明这三个位置中，圆心角与圆周角的关系 （1）圆心在圆周角的一边上 O M N O M N O M N O M N O M N O M N 证明：∵ OA=ON ， ∴ ∠A =∠N ． 又∵ ∠MON 是△AON 的外角, ∴ ∠MON =∠A +∠N ， ∴ ∠MON =2∠A ，
（2）圆心在圆周角内 （3）圆心在圆周角外 4. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 如图，∠P 是MN 所对的圆周角， ∠O 是MN 所对的圆心角, ∴∠P =1 ∠O . 证明：连接BO 并延长，交⊙O 于点E. ∵∠1=1 2∠3, ∠2=12∠4, 证明：连接CO 并延长，交⊙O 于点F . ∵∠1=1 2∠3, ∠OCN =1 2∠FON ,
初中数学人 教版九年级 上册实用资 料 作课类别 课题24.1.4圆周角定理课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论． 2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用． 3.体会分类思想. 过程 方法 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证 明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题． 情感 态度 激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题． 教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知 （一）、圆周角定义 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF 是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射 门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？ 得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 分析定义：○1圆周角需要满足两个条件； ○2圆周角与圆心角的区别 （二）、圆周角定理及其推论 1.结合圆周角的概念通过度量思考问题： ○1一条弧所对的圆周角有多少个？ ②同弧所对的圆周角的度数有何关系？ ③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？ 2.分情况进行几何证明教师联系上节课所学知 识，提出问题，引起学生 思考，为探究本节课定理 作铺垫 学生以射门游戏为情境， 通过寻找共同特点，总结 一类角的特点，引出圆周 角的定义 学生比较圆周角与圆心 角，进一步理解圆周角定 义 教师提出问题，引导学生 思考，大胆猜想.得到： 1一条弧上所对的圆周角 有无数个．2通过度量，同 从具体生活情境 出发，通过学生 观察，发现圆周 角的特点 深化理解定义 激发学生求知 欲，为探究圆周 角定理做铺垫.
3.5圆周角 教学目标: 1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程. 2.掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题. 重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难 例4的辅助线的添法. 教学过程: 一、旧知回放: 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
二. 课前测验 1.100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。 2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。 3、如图，在⊙O 中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。 4、如图，⊙O 中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。 5、下列命题中是真命题的是（ ） （A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B ）60o的圆周角所对的弧的度数是30o （C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D ）120o的弧所对的圆周角是60o 三, 问题讨论 问题1、如图1,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么? 问题2、如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗? 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90o，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？ A O C B A O C ● O B A C D E ● O B C A 图3
24.1.4 圆周角 【知识与技能】 理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【过程与方法】 经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力. 【情感态度】 通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验. 【教学重点】 圆周角定理及其推论的探究与应用. 【教学难点】 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用. 一、情境导入,初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？ ［相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］ 【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析,初步
感知角的特征. 二、思考探究,获取新知 1.圆周角的定义 探究1 观察下列各图,图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置,此时∠APB叫做圆心角,这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上,角的两边都与⊙O相交,这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角. 【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可. 【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可. 2.圆周角定理 探究2如图,（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧？ （2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系？ （3）改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律,请用语言叙述.
拓展延伸：圆周角定理 综合运用 一、利用圆周角定理计算线段的长度，证明线段相等或线段成比例 有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，要证线段成比例可以利用圆周角定理将其转化为证明三角形相似，这是重要的解题思路． 例如，如图，AB 是半圆的直径，C为弧AE的中 点，CD⊥AB 于D交AE于F，求证：AF＝CF. 方法一：欲证AF＝CF，只需证∠ACD＝∠CAE，所以只需证这两个角所对的弧相等即可．又因为∠CAE 所对的弧为CE，所以只要画出整个圆找到∠ACD 所对的弧即可． 如图，延长CD 交⊙O 于H，连接AC，BC. ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴∠ACD＝∠ABC. = ∴AC AH ∵C为AE的中点 = ∴CE AC ∴CE AH = ∴∠CAE＝∠ACD. ∴AF＝CF. 方法二：如图，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC后，得到 ∠CAO＝∠ACO(因为OC＝OA)，故只需证∠EAO＝∠OCD， 因CD⊥AB，只需证OC⊥AE，由C为AE的中点，便有 OC⊥AE. 再如：已知△ABC 是圆内接正三角形，M是弧BC上的一点(如图)．求证：
MA=MB ＋MC. 要证明一条线段MA 等于两条线段 MB 和 MC 之和， 可将 MA 分为两段， 其中一段 MD 等于已知线段 MC ，再去证明另一段 AD 等于已知线段 MB. 如图，在 MA 上取点D ，使 MD ＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60°.∴△MDC 是正三角形．∴CD ＝MC. 在△ADC 和△BMC 中， 34120AC BC ADC BMC ?∠=∠?=??∠=∠=? ∴△ADC ≌△BMC. ∴AD ＝BM.∴MA ＝MB ＋MC. 二、圆周角的性质的灵活运用 本节的探索性问题以考查我们对圆周角的性质的灵活运用为主，有利于培养我们的探索能力，解决这类问题要善于把握住本质，采用各种变通的方式来探索和分析． 例如，如图，已知直线AB 交圆于A 、B 两点，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同侧，∠AMB ＝35°，设∠P ＝x ，当点 P 移动时，求 x 的变换范围，并说明 理由． 0° 《圆周角定理》（第1课时）教案拓展版 一、教学目标 知识与技能 1．理解圆周角的概念． 2．掌握圆周角与圆心角的关系． 3．掌握同弧或等弧所对的圆周角相等． 数学思考与问题解决 1．通过观察、猜想、验证、推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 2．学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，体会分类的数学思想．情感、态度 1．通过定理证明的过程，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的严谨性． 2．通过小组活动讨论，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，培养团队意识．3．体验数学与实际生活的紧密联系． 二、教学重点、难点 重点：圆周角的概念及圆周角定理． 难点：圆周角定理的证明． 三、教学过程设计 （一）复习引入 1．圆心角的概念是什么？ 2．前面我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、回顾前面所学的内容． 答：1．顶点在圆心的角叫做圆心角； 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等． 设计意图：通过复习前面学过的知识，为新内容的学习做铺垫． （二）探究新知 想一想在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC 的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成 三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ．观察图中的∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，你能发现它们有什么共同特征吗？ 师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，最后教师引导学生得出圆周角的概念． 答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有一个交点． 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 设计意图：让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角的概念． 做一做 如图，∠AOB =80°． （1）请你画出几个︵ AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流． 师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结论． 答：（1）能画出无数个，如下图所示． 通过度量可以发现：∠ADB ，∠ACB ，∠AEB 这几个圆周角相等． E C D 九年级数学圆周角定理易错题总结（含答案） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E 在AD的延长线上，下列说法正确的是() A. 若DC平分∠BDE，则AB=BC B. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM?MC C. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2 D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BD AC 【答案】B 【解析】解：选项B正确． 理由：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， ∵∠ACD=∠ABM， ∴∠ABM=∠ACB， ∵∠BAM=∠CAB， ∴△BAM∽△CAB， ∴AB AC =AM AB ， ∴AB2=AM?AC， 故选：B． 选项B正确．利用相似三角形的性质解决问题即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4， ∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点 Q，连CQ，则线段CQ的最大值为() A. 2 B. √7 C. 1+3√2 D. 1+√7 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，如图，连接OQ，作CH⊥AB 于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题； 【解答】 解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解) 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴∠OCH=30°， ∴OH=1 OC=1，CH=√3， 2 在Rt△CKH中，CK=√(√3)2+22=√7， ∴CQ的最大值为1+√7． 故选D． 3.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC DF， 中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF=5 4 则tan∠ABD的值为() 新人教版初中数学九上圆周角教学设计 湖北省谷城县城关镇中心学校宋光艳一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析，确定本节教学重点是： 直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上； ②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。 学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。 九年级数学《圆周角》(1)教学设计 交城县安定学校 郭建光 教学目标： 1．经历探索圆周角的有关性质的过程 2．理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题 3．体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题 教学重点：圆周角及圆周角性质 教学难点：圆周角性质 一、自主学习 思考：（1）什么样的角叫做圆周角？圆周角有什么特征？ （2）圆周角有何性质？ 结论：顶点在_______，并且两边______________________的角叫做圆周角。 强调条件：①_______________________，②___________________________。 识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由． 观察与思考：∠BAC ＝＿＿∠BOC ． 试证明这个结论： 二、探究新知 1.思考与探索 图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆 心角和圆周角。 2.思考与讨论 （1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置关系？ O C B A （2） 设BC 所对的圆周角为∠BAC ，除了圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆心O 与∠BAC 还有哪几 系，结论∠BAC ＝2 1∠BOC 还成立种位置关系？对于这几种位置关 吗？试证明之． 通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、尝试解题： （1）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=35 (1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． O A B C D （2）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上， (1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;(2) 若∠AOB=90°, 求∠ACB=______如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在⊙O 内，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的 同侧，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由． 三、巩固新知: 课本P 119练习1、2、3题 四、小结与反思 。 五、课外延伸： 圆周角定理教案 一、复习： 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 二、探索新知，合作探究 （活动一）创设情景，提出问题 教师演示课件或图片：展示一个圆柱形 的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人 们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内 的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意 图，提出问题． 活动任务：圆周角定义 教师引导语预设： （1）角的顶点在什么地方 （2）角的两边和圆什么关系？ （活动二）探索同弧所对的圆周角与圆心角的关系、同弧所对的圆周角之间的关系 （1）：如图：同学甲站在圆心的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位 置，他们的视角（和）有什么关系？ 同弧上的圆周角是圆心角的一半． 教师抛出问题：可以给同弧所对的圆周角分类吗？ 问题1：在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ 问题2：当圆心在圆周角的一边上时，如何证明探究中 所发现的结论？ 问题3：（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB AC在圆心0的两侧，那么∠BAC= 1/2∠BOC吗？ （3）如上图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在圆心O的同侧，那么∠BAC= ∠BOC 吗？ 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（板书） 三、课堂巩固 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形的对角线把４个内角分成８个角，这些角中哪些是相等的角？ 补充练习：（要求独立完成） （1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？ 学生预设：1:学生能发现∠ACB、∠ADB与∠AOB的关系 教师引导语预设：如果不画图，结果又怎样？ （2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？ 四、课堂小结 问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ （1）从知识、探索过程及方法上总结。 （2）从练习上总结解题方法。 2．22 圆周角 第1课时圆周角定理与推论1 1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角； 2．在实际操作中探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点) 3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法． 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍． 比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上处，丙队员带球突破防守到圆上处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角的概念 下列图形中的角是圆周角的是( ) 解析：观察可以发现只有选项B中的角的顶点在圆周上，且两边都和圆相交．所以它是圆周角．故选B 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：圆周角定理与推论1 【类型一】利用圆周角定理求角 如图，AB是⊙O的直径，，D为圆上两点，∠AO＝130°，则∠D等于( ) A．25° B．30° ．35° D ．50° 解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AO ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BO ＝50°，∴∠D ＝25°故选A 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 利用圆周角定理的推论1求角 (2015·莆田中考)如图，在⊙O 中，(AB ︵)＝(A ︵ )，∠AOB ＝50°，则∠AD 的度数是( ) A ．50° B ．40° ．30° D ．25° 解析：∵连接O ，在⊙O 中，(AB ︵ )＝(A ︵ )，∴∠AO ＝∠AOB ∵∠AOB ＝50°，∴∠AO ＝50°，∴∠AD ＝错误!∠AO ＝25°故选D 方法总结：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 三、板书设计 教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用 1.定义：叫做圆周角。 练习：（1 ）下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ） （2）图3中有几个圆周角？（）（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个 （3）写出图4中的圆周角：________________________ 2.思考 猜想：圆周角的度数与什么有关系？ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 3.典型例题 例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。 例2：如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 4.巩固练习 1.如图6，已知∠ACB = 20o，则∠AOB = _____，∠OAB ＝. 2．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数. 3.如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。 4.如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。 第1题第2题第3题第4题第5题图 5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由. A B C D F O D A B C E 图3图4 B A C D B C A F E O D C B A A B E C D O E O D C B A 1.直径所对的圆周角是 角，900的圆周角所对的弦是 。 2.典型例题 例1.AB 是☉O 直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600，∠ADC=500，求∠CEB 的度数. 例2．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 例3.在ΔABC 的3个顶点都在☉O 上，AD 是ΔABC 的高，AE 是☉O 的直径，求证：ΔABE ∽ΔACD 。 巩固练习 1.如左图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径. △ABF 与△ACB 相似吗？ 2. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？ 为什么？ 3．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB. 弧BD 与弧BE 相等吗？为什么？ 第6题 第7题 4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E ，AC=10,求AE 的长. 5．如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD 的长. 6．如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，求AC 的长。 7.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD 的长。 E O D C A 第3题 C D A B 第5题 A B C D O E 第4题 圆周角教案(第1课时) 三维目标： （1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； （2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； （3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 教学重点：圆周角的概念和圆周角定理 教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想． 教学活动设计：（在教师指导下完成） （一）圆周角的概念 1、复习提问： （1）什么是圆心角？ 答：顶点在圆心的角叫圆心角. （2）圆心角的度数定理是什么？ 答：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （如右图） 2、引题圆周角： 如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义） 定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3、概念辨析： 1判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交. （二）圆周角的定理 1、提出圆周角的度数问题 问题：圆周角的度数与什么有关系？ 经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周 角与圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系 时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一 边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部． （在教师引导下完成） （1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相 应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在 圆周角上时，圆周角是圆心角的一半. 提出必须用严格的数学方法去证明. 证明:(圆心在圆周角上) （2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系： 当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助 线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论， 得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论. 证明：作出过C的直径（略） 可以发现同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰 好等于这条弧所对等于它所对圆心角的一半. 说明：这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法） 2、巩固练习: （1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？ （2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？ 说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个． （四）总结 知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容． 思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题． 圆周角定理及其运用 1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。 2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。 （1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。 知识点一圆周角定理及其推论 【知识梳理】 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧； C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。 （2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。 2、圆周角定理的推论： 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32 ，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标 为 。 （第1题） （第2题） 2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46° B ．72° C ．64° D ．36° 3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。 （第3 题） （第4 题） 4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。 O E D A B C O A B C C B A O《圆周角定理》 (第1课时) 教案 拓展版
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