二次根式
21.1 二次根式：
1. 有意义的条件是 。
2. 当__________
3. 1
1
m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =
+成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005
_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次
根式有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
15. 若2
3a
等于（ ）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
16. 若A =（ ）
A. 2
4a + B. 2
2a + C. ()2
2
2a + D. ()2
2
4a +
17. 若1
a≤
）
A. (1
a-
B. (1a-
C. (1
a-
D. (1a-
18.
=成立的x的取值范围是（）
A. 2
x ≠ B. 0
x≥ C. 2
x D. 2
x≥
19.
的值是（）
A. 0
B. 42
a- C. 24a
- D. 24a
-或42
a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）
(
)
(
)
()
()
231
2
3
224
==
-==
∴=-
∴=-
A. ()1
B. ()2
C. ()3
D. ()4
21.
2440
y y
-+=，求xy的值。
22. 当a1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：
())10x ())21x
24. 已知2310x x -+=
25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
21.2 二次根式的乘除
1. 当0a ≤，0b
__________=。
2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算：
_____________=。
5. 面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。
6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）
7. 已知0xy ，化简二次根式 ）
8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）
A. 2
a b =+a b =+
22a b =+a b =+
9. -和- ）
A. 32--
B. 32--
C. -=-不能确定
10. ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算：
()
1 ()2
()(()
30,0a b -≥≥ ())40,0a
b
()5()6?÷ ?
12. 化简：
())10,0a b ≥≥ ()2
()3a
13. 把根号外的因式移到根号内：
()1.-()(2.1x -
21.3 二次根式的加减
1. ）
2. 下面说法正确的是（）
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
D. 同类二次根式是根指数为2的根式
3. ）
4. 下列根式中，是最简二次根式的是（）
5. 若12
x）
A. 21
-+ C. 3 D. -3
x
x- B. 21
=，则x的值等于（）
6. 10
A. 4
B. 2
±
± C. 2 D. 4
7. x，小数部分为y y
-的值是（）
A. 3
8. 下列式子中正确的是（）
=a b
=-
==
C. (a b
=-2
9. 是同类二次根式的是。
10.若最简二次根式是同类二次根式，则____,____
a b
==。
11. ，则它的周长是 cm。
12. ______a =。
13. 已知x y =33_________x y xy +=。 14. 已知
x =21________x x -+=。
15.
)(
)
2000
2001
2
32
______________+=。
16. 计算：
⑴.
⑵(231?
+ ?
⑶. (()
2
771+-- ⑷. ((((2
2
2
2
1111
17. 计算及化简：
⑴. 22
- ⑵
⑶
⑷. a b
a b ??+--
18. 已知：
x y ==3243223
2x xy x y x y x y -++的值。
19.
已知：11a a +=+221
a a
+的值。
20. 已知：,x y
为实数，且13y x -+
，化简：3y -
21. 已知1
1
039
32
2++=+-+-y x x x y x ，求
的值。
答案：
21.1 二次根式： 1. 4x ≥； 2. 1
22
x -≤≤
； 3. 01m m ≤≠-且； 4. 任意实数；
5. ()((2
23;x x x x +； 6. 0x ≥；7. 2x ≤； 8. 1x -；
9. 4； 10. 11. 1x ≥； 12. -1； 13——20：CCCABCDB
21. 4； 22. 12a =-，最小值为1； 23. ()()3121x x +；
25. -2
21.2 二次根式的乘除：
1. -
2. 1、2；
3. 18；
4. -5；
5. 2.83； 6——10： DDCAB
11. ()()()()()()2221.6,2.15,3.20,4.5.1,6.x a b ab a --
12. ()()()123.0ab ；
13. ()()1.2.
21.3 二次根式的加减： 1——8：BAACCCCC
10. 1、1； 11. (； 12. 1； 13. 10；
14. 42；
16. ()()()()122,3.454.4-+；
17. ()()()()
()21.4,23.,4.1x y y x -+-；
18. 5； 19. 9+ 20. -1； 21. 2
一、选择题 1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．6 B ．6- C ．6或6- D ．无法确定 2．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 3．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 4．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．（8﹣43）cm 2 B ．（4﹣23）cm 2 C ．（16﹣83）cm 2 D ．（﹣12+83）cm 2 5．计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A ．3 B ．3 C ．6 D ．33- 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．下列计算正确的是（ ） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab =（a≥0，b≥0） 8．下列各式计算正确的是（ ） A 235+=B ．2 36=（） C 824= D 236= 9．已知m ＝12n ＝12223m n mn +- （ ） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．9 10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318
二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 4 -_______12 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 14．已知a ＝﹣ 73 +，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______． 16．把1 m m - _____________. 17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 20．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21．计算： （18322（2）)((2 52253 82 +-+． 【答案】(1)52 【分析】 （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 （18322=22422 =52 （2） )((2 52253 82 +--+
二次根式(1) 学习目标： 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考：16 ， π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”为什么 3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3 ≥a a （ ），12+x （ ） 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)3 1(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ） 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3(
第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？
2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 基础训练 知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4
C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2
12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算:
八年级上学期数学第一章 二次根式 1.3二次根式的运算（1） 一、回顾知识 导入新课 1、计算： (1) = ，= ∴ (2) = , = ∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示. 例1 计算： （1）322? （2） 550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥?y x xy xy 跟踪练习：计算： （1）61211÷ （2）6 72 （3）2)0,0(6632 b a a ab ? 例2 计算： （1）-9215125.225? （2）5 232232?÷ 跟踪练习：计算： （1）)7223()563(212-?÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x x b a -÷+?-
2、最简二次根式的两个条件： （1） （2） 三、当堂检测 自我评价 1、下列等式中，成立的是（ ） A. = B. = C. = D. = 2的结果是（ ） A. 3- B. C. D. 3- 3 ） A. B. C. 2 D. 4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( ) A ．122- B ．22- C ．21- D ．22+ 5、计算：27 1331322÷?的结果是（ ） A 、33 1 B 、231 C 、26 D 、62 6、比较大小：，32 612 8、计算：(1 (2
( 3 （4）)104 3(53544-÷? 3、 将1按如图所示的方式排列. A.1 B.2 C.
4、已知1a a +=1a a -的值为（ ） A ．± B ．8 C ． D ．6 8、探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1） 验证：= = （2） 验证： = 同理可得：==，…… 通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】 【活动一】知识（5分钟） 这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。） 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2，用式子表 示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（ 25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟） 完成 P2—思考中的容，阅读例1以上的容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？ 2 3，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。 4）下列各式一定是二次根式的是（ ） A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结：二次根式应满足的条件： 。 2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟） 自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③x --21 （2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课小结 (学生归纳总结) （3分钟） 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值围有限制：被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子 x x +-121中，x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________. 3、已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 2，33， x 1 ，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y ≥0） 2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数围有意义？ 3、若20a -+=，则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知：y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥
二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点
类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题
八年级数学二次根式 一，选择 1、如果a是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（） A、a B、a- 2C、2a-D、21 a 2. 下面的计算中，正确的是（） A =0.1； B．=-0.03； C± 13； D π-4 3. 等式)6 x x成立的条件是（） ?x x ( - 6- = A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数 二填空 4、若x3+3x2 =－x x+3 ，则x的取值范围是。 5. 当 __________ 6. 若1 有意义，则m的取值范围 1 是。 7 ()2 240 -+-=，则= a c a b + -c 8 . 2440 -+=，xy的值是 y y 9、化简2)2 1(-的结果是 10、已知 a等于 11、当-1 12、 (1) ,则x 的取值范围是 。 (2) , 则x 的取值范围 是 。 (3) 设a,b,c 为△ABC 的三边 ,化简 = (4) 则a 的取值范围是 13．数a 在数轴上的位置如图所示，化简： -│1-a │ =_______． 14．比较大小6．（填“>”，“＝”，“<”号） 三．计算 （1; （2） )521 (154- ?- (3)a a 82? （4） 23241 62xy xy ? （x ≥0，y ≥0） （5） ) 2 四.在实数范围内因式分解. (1) （2）（3） 2x =-1=-2=22 x -2 3x -+59x x - 二、二次根式的乘法 1．等式 )6(6-=-?x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 2. 计算： __________ 3．计算：=?b a 10253 ______． 4. 当 0a ≤，b ＜0__________=。 5、若x 3 +3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是 。 6.计算（1）821 ? （2） )521 (154- ?- （3） 12 （4） 2000 （5）2 22853- （6） 44176?； （7）2 3 483 4 15? ； （8）16 2436a a ? 二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根 式，而 ， 等都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x （x>0）、0、42、-2、 1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所 以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0； 若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1．（ 32）2 2．（35）2 3．（56 ）2 4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身， 即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，?并根据这一性质回答下列问题． a +a=0, 则有 ( b ) ，则 a=b ．若 a =b ，则 a 是 b 的平方根 4、若 |1 －x| － x －8x+16 ＝2x －5，则 x 的取值范围是（ －(x+a) ?(x+b) 等于（ 第一章 二次根式测试卷 姓名 一、选择题 （每题 2.5 分，共 30 分） 班级 得分 1、若实数 a 满足 2 ) A ． a>0 B ． a ≥ 0 C ．a<0 D ．a ≤0 2、下列命题中，正确的是（ ） A ．若 a>b ，则 a> b B ．若 a >a ，则 a>0 C ．若 |a|=( 2 D 2 3、使 x ＋ 1 x-2 有意义的 x 的取值范围是（ ） A ． x ≥ 0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0 且 x ≠2 2 ） A ． x>1 B ．x<4 C ．1≤x ≤4 D ．以上都不对 5、下列各式正确的是（ ） A ． 2 ＋ 3 ＝ 5 B ． ( －4)( － 9) ＝ －4 ? －9 ＝( －2) ?( －3) ＝6 C ． (2 10 － 5 ) ÷ 5＝2 2 － 1 D ．－ 3 2 ＝－ 18 6、如果 a 第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 4 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________ )(2=a 2)3( 《二次根式》全章测试卷 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1.下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定 是二次根式的有（ ） A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．()()225.25.2=- B. ()22a a = C. 1122-=+-x x x D.3392+?-= -x x x 3.式子2 1+-x x 的取值范围是（ ） A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 4.化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 5.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.计算()()20092008227227-?+,正确的结果是（ ） A ．722- B. 227- C.1 D. 227+ 7.化简()2 232441--+-x x x 得（ ） A. 44x - B. 44x -+ C. 2- D. 2 8.已知0>b , 化简b a 3-的结果是( ) A ． ab a B. ab a - C. ab a -- D. ab a - 9.若5-a ·a -5=)5)(5(a a --,则a 的取值范围是( ) A.a=5 B.a ≥5 C.a ≤5 D.无论a 取何值,等式都无意义 10.设25,3223-=-=-=c ，b a ,则a 、、b、c 的大小关系是（ ） A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 二、耐心填一填（每小题3分，共24分） 11.同学们玩过“24点”游戏吗？现在给你一个无理数2，你再找3个有理数，使它经过 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人： 分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 3. 请在密封线外答题。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 a 的取值范围是（ ） A 、0a ≥ B 、0a ≤ C 、3a ≥ D 、3a ≤ 2、下列各式中一定是二次根式的是（ ） A B C 、12+x D 3 x 应满足的条件是（ ） A. 52x = B. 52x < C. x ≥52 D. x ≤52 4、当x=3时，在实数范围内没有意义的是（ ） A. B. C. D. 5得（ ） A. - B. C. 18 D. 6 6 = ） A. 1a ≥- B. 1a ≤ C. 1<1a -≤ D. 11a -≤≤ 7、下列各式计算正确的是（ ） A. = B. = C. = D. = 8、若 A = ） A. 23a + B. 22(3)a + C. 22(9)a + D. 29a + 9、已知xy ＞0，化简二次根式 ） A. B. C. D. 10、下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．3392-?+=-x x x B ．22)(a a = C ．1122-=+-x x x D ．22)5.2()5.2(=- 11、化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 12、如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2- 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、=-2)3.0( ；=-2)52( 。 14、二次根式 3 1-x 有意义的条件是 。 15、若m<0，则332||m m m ++= 。 16、已知233x x +=－x 3+x ，则x 的取值范围是 。 17、若12+a 与34-a 的被开方数相同，则a = 。 18、=?y xy 82 ，=?2712 。 第十六章 二次根式 测试1 二次根式 学习要求 掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算． 课堂学习检验 一、填空题 1． a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，1 2--x 有意义，当x ______时， 3 1+x 有意义． 3．若无意义 2 +x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49 ＝_______； (2)2 ) 7( _______； (3)2 )7(-_______； (4)2 ) 7(-- _______； (5)2 ) 7.0( _______；(6)2 2] )7([ - _______． 二、选择题 5．下列计算正确的有( )． ①2)2(2 =- ② 2 2=- ③ 2 ) 2(2 =- ④2 ) 2( 2 -=- A ．①、② B ．③、④ C ．①、③ D ．②、④ 6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ． 2 3 - B ． 2 ) 3.0(- C ． 2 - D ． x 7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2 -x B ． x -2 C ． 2 2 -x D ． 2 2x - 8．已知, 21)12(2 a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．2 1> a B ．2 1 10．计算下列各式： (1);)23(2 (2);)1(22+a (3); )4 3(22 - ?- (4). )3 23 (2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 11． x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使 1 2-x x 有意义的x 的取值范围是______． 13．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______． 14．当x =－2时， 2 2 44121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题 15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )． A ．2-x B ． 2 1-x C ． x -21 D ． 1 21-x 16．若022|5|=++-y x ，则x －y 的值是( )． A ．－7 B ．－5 C ．3 D ．7 三、解答题 17．计算下列各式： (1);)π14.3(2- (2);)3(2 2-- (3) ; ]) 3 2[( 2 1- (4).)5 .03( 2 2 18．当a =2，b =－1，c =－1时，求代数式a ac b b 242 -±-的值． 拓广、探究、思考 19．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示： 化简： ||) (||2 2 b b c c a a ---++-的结果是：______________________． 20．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 . 09622 =+-+-b b a 试求 △ABC 的c 边的长． 二次根式(1)导学案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____。称为 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，3 4)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2 )3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解：72-x 4a 2 -11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中，x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 （四）达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。 3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解： （1）-=-229x x ( )2 =（x + ）(y - )（2）-=-2 23x x ( )2 =（x + ）(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3( 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）； 【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 ）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x -- +315；（2）2 2)-(x 例3、 在根式 1) ， 最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义． 【例2】若式子 13 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式 2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y= 5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子 a （a ≥0），50 ,50x x -≥?? -≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若 11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。 已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求1 2 a b + +的值。若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2 + 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ( )()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： 3. a a a a a a 200==≥- 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b -0，b>0时，则：①1a a b b >?>； ② 1a a b b 16.1 二次根式导学案(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) 2)5.0( （3） （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式 中，字母a 必须满足 , 才有意义。 （三）合作探究 2)3(________ )(2=a 4 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ②223x + ③ 2、（1）若33a a ---有意义，则a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 （四）拓展延伸 1、(1)在式子x x +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________. (3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。 2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5 0.35 (2)在实数范围内因式分解 ①72-x ② 4a 2-11 （五）达标测试 A 组 (一)填空题： 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解： （1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____) （2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____) （二）选择题： 1、计算 （ ） A. 169 B.-13 C±13 D.13 2、已知 A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x 的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。 x --21x -2 53???? ??的值为2)13(-30,x x +=则为（ ）人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总
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二次根式导学案(人教版全章)
第十六章二次根式知识点总结大全
浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结
16.1 二次根式导学案
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