广州至慧教育
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【知识点回顾】
1.函数的概念
一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个（任意性）元素x ，在集合B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的一个函数（三性缺一不可） 函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A
中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素
判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 2.映射的概念
一般地，设A 、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。 思考：映射与函数区别与联系？
函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． 3）映射与函数都是特殊的对应 思考：映射有“三性”： ①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. 3.用映射定义函数
(1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A → B 就叫做A → B 的函数。记作：y=f (x ).
（2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。 （3）值域：象的集合C 叫做函数y =f (x)的值域。
定义：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ， b ∈B 。如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
给定映射f ：A →B 。则集合A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。 问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？
答：发现规律：（1）对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。
（2）集合B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。
定义：一般地，设A 、B 是两个集合。f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映
)(B C
射下，对于集合A 的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A
注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A 到B 是映射，B 到A 也是映射。
2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件 3）一 一映射： A 和B 中元素个数相等。
例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？
1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f ：a →b = (a -1)2
答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。） 2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f ：求平方根 ？ 3）A=Z ，B=N*，对应法则 f ：求绝对值？ 答：不是映射。
4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f ：求被7除的余数
答：是映射，且是一一映射。
例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y ∈Ｒ｝，f 是从Ａ到Ｂ的映射f:x →(x+1,x 2) . （１）求2在B 中的对应元素 （２）(2,1)在Ａ中的对应元素
解:（1）将x=2代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（2+1，2） （2）由题意得： x+1=2
x 2=1 ∴x=1 即（2,1）在A 中的对应元素为1 例4：设集合A={a 、b},B={c 、d 、e}
（1）可建立从A 到B 的映射个数 . （2）可建立从B 到A 的映射个数 . 答：9,8（可以试着画图看看）
小结：如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有 n m 个。
【映射例题精解】
例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x 属于A
设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A 中的元素开平方’ 设A=R ，B=R,对应关系是f(x)=x 的3次方，x 属于A 设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x 的2次方+1，x 属于A
解析：1、是一一映射，且是函数
2、不是映射（象是有且唯一）
3、是一一映射，且是函数
4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。
例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射
从A到B的映射共有2^3=8个：
（a，b，c）→（0，0，0）；
（a，b，c）→（0，0，1）；
（a，b，c）→（0，1，0）；
（a，b，c）→（1，0，0）；
（a，b，c）→（0，1，1）；
（a，b，c）→（1，0，1）；
（a，b，c）→（1，1，0）；
（a，b，c）→（1，1，1）。
例3假设集合m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x) 是奇数”，这样的映射有____个
①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”
f(-1)=-2,0,2
②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1
③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数
f(1)=-2,0,2
综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个
例4 设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B的映射 f满足条件：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数那么这样的映射f的个数是多少？
映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5
两种可能，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个
以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二
步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法
例5 已知：集合{,,}M a b c =，{1,0,1}N =-，映射:f M N →满足()()()0f a f b f c ++=，那么映射:f M N →的个数是多少？ 思路提示：满足()()()0f a f b f c ++=，则只可能00001(1)0++=++-=，即()f a 、()f b 、()f c 中可以全部为0，或0,1,1-各取一个．
解：∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈，且()()()0f a f b f c ++= ∴有00001(1)0++=++-=．
当()()()0f a f b f c ===时，只有一个映射；
当()()()f a f b f c 、、中恰有一个为0，而另两个分别为1，1－时，有326?＝个映射．因此所求的映射的个数为167＋＝． 例6 给出下列四个对应：
① ② ③ ④
其构成映射的是 （ ） A 只有①② B 只有①④ C 只有①③④ D 只有③④ 答案：B 提示：根据映射的概念，集合A 到集合B 的映射是指对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B ．
例7．若函数()f x 满足()()(),f x y f x f y x y R +=+ (∈)，则下列各式不恒成立的（ ） (0)0A f = (3)3(1)B f f =
11
()(1)22
C f f = ()()0
D f x f x -?<
答案：D
提示：令0y =有()()(0)f x f x f =+，(0)0f ∴=，A 正确．
令1x y ==，有(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)f f f f f f f =+=++=，B 正确． 令12x y ==
，有111(1)()()2()222f f f f =+=，11
()(1)22
f f ∴=，C 正确． 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-． 由于(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，
于是当0x y ==时，()()0f x f x -?=，故()()0f x f x -?<不恒成立，故选D ．
例8．已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）
1:2A f x y x →= 1:3B f x y x →=
2
:3
C f x y x →= :
D f x y x
→= 答案：C
提示：C 选项中2:3f x y x →=，
则对于P 集合中的元素4，对应的元素8
3
，不在集合Q 中，不符合映射的概念．
例9．集合{3,4}A = ，{5,6,7}B = ，
那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B
到A 的映射个数是__________． 答案：9,8
提示：从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．则不同的映射种数1339N =?=．反之从B 到A ，道理相同，有22228N =??=种不同映射．
例10．如果函数3()()f x x a =+对任意x R ∈都有(1)(1)f x f x +=--，试求(2)(2)f f +-的值．
解：∵对任意x R ∈，总有(1)(1)f x f x +=--，
∴当0x =时应有(10)(10)f f +=--， 即(1)(1)f f =-．∴(1)0f =．
又∵3()()f x x a =+，∴3(1)(1)f a =+．
故有3(1)0a +=（，则1a =-．∴3()(1)f x x =-． ∴33(2)(2)(21)(21)26f f +-=-+--=-．
【课堂练习】
1．设f:A→B 是集合A 到集合B 的映射，则正确的是 （ ） A ．A 中每一元素在B 中必有象 B ．B 中每一元素在A 中必有原象
C ．B 中每一元素在A 中的原象是唯一的
D ．A 中的不同元素的象必不同
2．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A 到B 的映射个数是_______，从B 到A 的映射个数是__________.
3．设集合A 和B 都是自然数集N ，映射f:A→B 把集合A 中的元素n 影射到集合B 中的元素
n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （ ）A.2 B.3
C.4
D.5
4．如果(x,y)在映射f 下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ） A.（3，1） B.（
21,23-） C. （2
3
,21-） D.（-1，3） 5.已知点(x ，y)在映射f 下的象是(2x －y ，2x ＋y)， 求(1)点（２，３）在映射f 下的像；
（２）点(4，6)在映射f 下的原象.
6.设集合A ＝{1,2,3,k},B ＝{4,7,a 4,a 2＋3a},其中a,k ∈N,映射f:A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1与A 中元素x 对应，求a 及k 的值.
【综合练习】
一、选择题：
1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是
（ ）
A ．A =R ，
B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋
，x ∈A ，f ：x →|x －1|
C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2
D ．A =Q ，B =Q ，f ：x →
x
1
2．已知映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是
A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在
B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是
（ ）
A ．y =
b c a
c --x B ．y =c b a
c --x
C ．y =c b c
a --x
D ．y =a
c c b --x
5．函数y=3
23
2+-x x 的值域是
（ ）
A ．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞)
B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，0 )∪(0，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是
（ ）
A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2
B ．f (x )=1，g(x )=x 0
C ．f (x )=|x |，g(x )=2x
D ．f (x )=|x |，g(x )=???-∞∈-+∞∈)
0,(,),0(,x x x x
7．函数y =1122---x x 的定义域为
（ ）
A ．{x |－1≤x ≤1}
B ．{x |x ≤－1或x ≥1}
C ．{x |0≤x ≤1}
D ．{－1，1}
8．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为
（ ）
A ．(－1，0)
B ．[－1，1]
C ．(0，1)
D ．［0，1］
9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为
（ ）
A ．－2
B ．±
2
1
C ．±1
D ．2
10．函数y=2－x x 42+-的值域是 （ ）
A ．[－2，2]
B ．[1，2]
C ．[0，2]
D ．[－2，2]
11．若函数y=x 2—x —4的定义域为[0，m ]，值域为[25
4
-，-4]，则m 的取值范围是 （ ）
A ．(]4,0
B ．[
2
3
，4] C ．[
23 ，3] D ．[2
3 ，＋∞] 12．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为
（ ）
A ．f (x )=x 2
B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)
D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)
二、填空题：
13．己知集合A ={1，2，3，k } ，B = {4，7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N*，x ∈A ，y ∈B ，使B
中元素y =3x ＋1和A 中的元素x 对应，则a =__ _， k =__ . 14．若集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M 到N 的映射满足：对每个x ∈M ，
恒使x ＋f (x) 是偶数， 则映射f 有__ __个. 15．设f (x －1)=3x －1，则f (x )=__ _______.
16．已知函数f (x )=x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为 .
三、解答题：
17．（1）若函数y = f (2x ＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x )的定义域.
（2）已知函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3
x
)的定义域. 18．（1）已f (
x 1)=x
x
-1，求f (x )的解析式. （2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式.
19．求下列函数的值域：
（1）y =－x 2＋x ，x ∈[1，3 ] （2）y =
1
1
-+x x （3）12y x x =--
20．已知函数?(x )=f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，
且?(
3
1
)=16，?(1)=8． （1）求?(x )的解析式，并指出定义域； （2）求?(x )的值域.
21．如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B 、C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f (
2
5
)的值.
22．季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且
每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式.
（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大?
教学内容 第一部分 知识梳理 知识点一，函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：， x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 课题名称 函数及其表示 学科 数学 年级 高一 学校 雷锋中学 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 函数的概念 教学目标 会用集合与对应的语言刻画函数； 会求一些简单函数的定义域和值域， 初步掌握换元法的简单运用. 能理解函数与映射的关系与区别。 教学重点 函数概念的理解 教学难点 对于求值域问题能灵活运用各种方法解题
区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ；； . 知识点二、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和
第2讲函数与映射的概念 ★知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则于，对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都冇唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从4到B的一个函数，通常记为y = /(x),x G A (2)函数的定义域、值域 在函数y = /(x),x G A中，x叫做口变量，x的取值范碉A叫做y = /0)的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集介｛f(x)卜e A｝称为函数y = f(x)的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2.映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素，在集合B小都有唯-确泄的元素与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f : A — B ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象两数的定义域 重难点：1?关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没冇弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域. 问题2：己知y = /(x + 2)的定义域是[d, b],求函数y = f (x)的定义域. 1.求值域的几种常用方法 (1 )配方法：对于(可化为)'、二次函数型〃的函数常用配方法，如求函数y = -sin2兀一2cosx + 4, 变为y = - sin? x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2解决. (2)基本函数法：一些由基木函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y = log j (-x2 + 2x + 3)就是利用函数y = log丨u和u = -x2 + 2兀+ 3的值域来求. 2 2 2JC + 1 (3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数/ 的值域 兀'―2兀+ 2 山)，=严+1得y/—2(y + i)x + 2y — l = 0,若y = 0 ,则得 % = 所以y = 0 x - 2x + 2 2 是函数值域中的一个值；若y ^0 ,则由△ = [—2(y + l)『—4y(2y —1)? 0得
《变量与函数》教学设计 第2课时 进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念． 1．进一步体会运动变化过程中的数量变化； 2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念． 概括并理解函数概念中的对应关系． 多媒体：PPT课件、电子白板. 一、观察思考，分析变化 问题1 下面变化过程中，是否包含两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？ （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km； （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x张票，票房收入为y 元； （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ； （4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y． [活动说明与建议]说明：本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教学过程
念，函数概念的抽象应循序渐进，首先让学生知道这些事例是一个变换的过程，其次这些变换过程中都含有两个变量，这两个变量之间存在着某种联系，最后由教师引导通过具体的数据，发现当给定一个变量的值时，有唯一的另一个变量的值与之对应，这种对应关系每个问题都不同. 建议：在教师的引导下，充分的让学生通过实例感知函数，感知这种对应关系. 【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一的值与之对应. 二、观察思考，再次概括 问题2：一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间存在上面那样的关系. （1）下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数y 吗？ （2）如图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？ 问题3：综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值． 三、初步应用，巩固知识：
对应学生用书P 102 基础达标 一、选择题 1．已知函数f (x )＝????? 1x ＋1，x <1， x －1，x >1，则f (2)等于( ) A ．0 B.13 C ．1 D ．2 解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C 2．函数f (x )＝x ＋|x | x 的图象是( ) 解析：f (x )＝? ???? x ＋1，x >0， x －1，x <0， 画出f (x )的图象可知选C. 答案：C 3．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N . ∴????? a ＝1， b a ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1. 答案：C 4．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应的元素，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，
则集合B 中的元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4， ∴B ＝{1,2,3,4}． 答案：A 5．函数f (x )＝???? ? 2x ，0≤x ≤1，2，1 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而 教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 2. 教学重点/难点 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 函数及其表示 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 玩转函数第一招 第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】 ①映射.映射f : A→B 的概念。 对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B. 对于映射这个概念，应明确以下几点： ①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的. ③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B. ⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”. 一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射. 一一映射既是一对一又是 B 无余的映射. 在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取 元任意性，成象唯一性。 【精准训练】 （1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）； （2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））； （4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1 （5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的 映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）； （6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）； （7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答： 或{1}）. 8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7 （9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6 （10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（） （11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（） A、27 B、9 C、21 D、12 解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。 函数 知识网络 教案1：映射与函数 一、课前检测 1.设集合A =R ，集合B =正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是（ ） A.:f x y x →= B. :f x y →= C. :3x f x y -→= D. ()2:log 1f x y x →=+ 解析：指数函数的定义域是R ，值域是（0，+∞），所以f 是x →y =3－ x . 答案：C 2. 函数253)(2+-=x x x f ，]2,0[∈x 的值域是（ ） A ．]4,2[ B ．),121[+∞- C ．]2,121[- D ．]4,12 1[- 答案：D 3. 设函数22,(1)()2,(12)(2)2 x x f x x x x x ??+≤-?=-<k 评析与简答：本例的选择，旨在使同学们理解映射与函数的关系，即如果A 、B 是非空数集， A 到B 的映射即是A 到B 的函数，这样，我们就可以从二次函数2 ()22f x x x =-+有最小值1的角度，得到集 分段函数及映射 第2课时分段函数及映射 [学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系. 知识点一分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数. 思考分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？ 答分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域. 知识点二映射 映射的定义：设A、B是两个___的集合，如果 按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_______元素x ，在集合B 中都有_______的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 思考 函数与映射有何区别与联系？ 题型一 分段函数求值 例1 已知函数f (x )＝????? x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2. (1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52 )]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值. 跟踪训练1 (1)若f (x )＝??? x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f [f (－2)]等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知函数f (x )＝??? 3x ＋1，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________. 题型二 分段函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝??? x 2， －1≤x ≤1，1， x ＞1或x ＜－1， (1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域. 跟踪训练2 作出y ＝????? －7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞) 的图象，并求y 的值域. 课题：19.1.1《变量与函数》 教 学 设 计 一、教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 掌握函数的概念，初步理解对应的思想，能正确地判断 一些关系式是否是函数，能列出简单的函数关系式． 数学思考 通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，并在 此基础上理解掌握函数的概念． 解决问题 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 情感态度 学生通过对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性， 体会事物之间的相互联系与制约． 教学重点 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 教学难点 领悟函数概念；能把实际问题抽象概括为函数问题． 教学方法 探究发现、启发式教学． 教学手段 多媒体辅助教学． 二、教学准备 课件、学案、笔记本电脑、焟烛、网络等 三、教学流程 四、教学过程 1、导入新课 （1）复习变量、常量的概念； （2）利用网络，了解当日天气情况。进入“南康整点天气实况”， 导入新课 思考 概念详解 探究 拓展延伸 例题讲解 小结提高 课堂巩固 课后思考 从气温、湿度、风向风力和降水量等几个方面了解变化关系。 时间/h 9 11 13 15 …… 气温/0C …… （3）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶里程为S千米，行驶时间为t 时，其中变量是．用含t的式子表示S：． 共同特征：1．两个变量；２．当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的对应值. 2、思考： （1）.下图是体检时的心电 图，其中图上点的横坐标x 表 示时间，纵坐标y 表示心脏 部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？x y 函数及其表示方法 一、目标认知 学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号)(x f y =的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法． 二、知识要点梳理 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y =，x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a ≤x ≤b}=[a ，b]； ； ； . 函数与映射的概念知识梳理第 1 页 共 1 页 函数与映射的概念主要知识梳理 ●函数的基本概念： 1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是函数 2、函数的三要素： 定义域A 、值域(?B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法 ●分段函数与复合函数 分段函数：? ??∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念 1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ， 在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是映射 2、映射的三要素： 原象集A 、象集(?B)、对应法则f 作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可） 3、函数是特殊的映射； ●反函数 1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ?=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ?=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射） 3、求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ?=； （3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 4、互为反函数的两个函数具有如下性质： （1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域； （2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称； （3）?=b a f )(a b f =-)(1 ●常见的思想方法 1、主要思想: ①数形结合:-------树形图 ②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类； ③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类. 2、易错易混点 ①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值. ③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系. 3、主要题型: ①判断映射与函数； ②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个； ③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用) 教案：§1.2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段 更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关 系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明： ○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 第二讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 课题：19.1.1 变量与函数（第1课时） 教学设计 李新卫（湖北省武汉市经济技术开发区第四中学） 一、内容和内容解析 1. 内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册：“19.1.1变量与函数”第1课时. 2. 内容解析 本节内容为《一次函数》第一课时. 在学生学习了二元一次方程和找规律的基础上，学生对变量和常量已有一些模糊的认识. 通过生活实例的感悟，由具体到抽象，抽象出量的意义，并对量进行分类得出变化的量和不变的量，归纳出变量与常量的概念. 同时在讨论问题过程中，引出变量间的单值对应关系，体会建模思想，为学习函数的定义、函数的表达方式、函数的取值范围及函数的应用做出铺垫，为《一次函数》全章的学习打下基础. 根据以上的分析，本节课的教学重点确定为：通过列举生活实例，理解量的意义，逐步形成常量与变量的概念，并能指出实际问题中的常量与变量. 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）理解量的意义、常量与变量的概念，并能指出实际问题中的常量与变量； （2）在实际问题的探究过程中，感受生活中变量间的对应关系，学会分辨不同表达方式中的变量与常量，经历从具体到抽象、从感性认识到理性分析的思维过程，体会函数与方程、数形结合和分类讨论的数学思想，提升数学抽象和数学建模的核心素养. 2. 目标解析 本节内容从学生熟悉的实际问题出发，让学生体会变量间的单值对应关系，感受一个变量随另一个变量的变化而变化，渗透自变量与函数的关系，从具体到抽象，通过表格、关系式及图象让学会生认识运动过程中的变量和常量概念，进而认识相关概念的联系和区别. 达成目标（1）的标志：在探究过程中，正确找到变量与常量，并找出变化规律； 达成目标（2）的标志：在练习和拓展中，找到图表中隐藏的变量与常量，能读取不同的数量关系和表达方式. 三、教学问题诊断分析 学生在字母表示数中，接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化，但学生对量的意义较为模糊.学生在生活中具有对两个量之间关联的体验，如气温随时间变化等，学生对变量与常量的定义理解困难不大，但是对变化中的单值对应关系及在变化过程中寻找变量与常量较难把握，特别是函数中的“唯一确定”仅局限于通过公式求出的唯一值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解. 因此教学难点确定为：理解变化过程中的变量与常量，以及变量与常量的相对性. 映射与函数-数学试题 班级________ 姓名________ 得分________ 一、选择题 1．映射f：A→B是定义域A到值域B上的函数，同下列结论正确的是（）．（A）A中每个元素必有象，但B中的元素不一定有原象 （B）B中的元素必有原象 （C）B中的元素只能有一个原象 （D）A或B可以是空集 2．在下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）． （A） （B） （C）（D） 3．已知函数的定义域是A，函数的定义域是B，则A、B的关系是（）． （A）A=B （B）AB （C）AB （D）A∩B=Ф 4．函数的定义域是（）． （A）（-∞，0）（B）[0，3] （C）[0，3] （D）[-3，0] 5．若函数f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）． （A）[] （B）[] （C）[0，4] （D）[-4，4] 6．已知，则f（0）等于（）． （A）1 （B）3 （C）7 （D）9 7．在集合A到B的映射中，对于B中的任何一个元素y，以下结论中正确的是（）（A）在A中必有原象（B）在A中有唯一的原象 （C）在A中不一定有原象（D）在A中一定没有原象 8．已知映射：f：A→B，其中A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（） （A）4（B）5（C）6（D）7 9．对于从集合A到集合B的映射，有下面四个命题，其中正确的有（） ① A中的元素在B中不一定有象 ② A中不同的元素在B中的象也不同 ③ A中的任何一个元素在B中的象是唯一的 ④ A中的任何一个元素在B中可以有不同的象 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 10．在给定映射f：（x，y）→（xy，x+y）下，（1，2）的象是（） （A）（1，1）（B）（2，3）（C）（3，2）（D）不存在 11．设函数f（x）=x2-3x+1，则f（a）-f（-a）等于（） （A）0（B）-6a（C）2a2+2（D）2a2-6a+2 12．下列各组函数中，f（x）和g（x）表示同一函数的是（） （A）f（x）=x0，g（x）=1（B）f（x）=|x|，g（x） （B）f（x）=2x，g（x）=（D）f（x）=x2，g（x） 13．设函数f（x）-的定义域是F，g（x）=的定义域是G，则F和G的关系是（）（A）FG （B）FG函数与映射的概念及其表示方法
1.2 函数及其表示 教学设计 教案
函数与映射概念的理解
高数同济7版教案第一章函数与极限
1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)
教案1 映射与函数 (教师用)
分段函数及映射
《变量与函数》教学设计
函数及其表示方法教案
函数与映射的概念主要知识梳理
高一数学《函数的概念》教案
第2讲 函数与映射的概念js
变量与函数--教学设计
映射与函数-数学试题
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