2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不
等式自主训练新人教A 版选修
我夯基我达标
1.已知a 12+a 22+…+a n 2=1,x 12+x 22+…+x n 2=1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析：(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2
≤(a 12
+a 22
+…+a n 2
)(x 12
+x 22
+…+x n 2
)=1×1=1.∴a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是1. 答案：A
2.已知x,y,z∈R +且x+y+z=1,则x 2+y 2+z 2
的最小值是( ) A.1 B. C. D.2
思路解析：根据柯西不等式，x 2+y 2+z 2=(12+12+12)(x 2+y 2+z 2
)≥
(1×x+1×y+1×z)2=(x+y+z)2
=. 答案：B
3.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )
A.1
B.n
C.n 2
D. 思路解析：设n 个正数为x 1,x 2,…,x n ，由柯西不等式，得 (x 1+x 2+…+x n )()≥(n
n x x x x x x 1112
21
1?
++?
+?
)2=(1+1+…+1)2=n 2
.
答案：C
4.已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2
的最小值为( ) A. B. C. D.6
思路解析：由柯西不等式，得x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 2
)×
≥(1×x+3×y+5×z)2
×. 答案：C
5.已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2
取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A. B. C.1，， D.1，
思路解析：当且仅当=时，取到最小值，所以联立?????=++==,
10432,
432z y x z
y x 可得.
答案：B
6.已知a,b,c∈R +，且a+b+c=1,求141414+++++c b a 的最大值.
解：由柯西不等式，得 (141414++++
+c b a )2=(1×+1×+1×)2
≤(12+12+12
）（4a+1+4b+1+4c+1) =3［4(a+b+c)+3］=21.
当且仅当a=b=c=时，取“=”. 故141414++++
+c b a 的最大值为.
我综合我发展
7.三角形三边a,b,c 对应的高为h a ,h b ,h c ，r 为三角形内切圆半径.若h a +h b +h c 的值为9r.试判断此三角形的形状.
思路解析：记三角形的面积为S ，则2S=ah a =bh b =ch c ，又因为2S=r(a+b+c), 所以h a +h b +h c =2S(++) =r(a+b+c)(++). 由柯西不等式，得 (a+b+c)(++)
=［()2+()2+()2］［()2+()2+()2
］
≥［×+×+×］2
=9.
当且仅当a=b=c 时取等号.
所以h a +h b +h c =9r,当且仅当a=b=c 时取等号. 故h a +h b +h c =9r 时，三角形为等边三角形.
8.△ABC 的三边长为a,b,c ，其外接圆半径为R.求证：(a 2+b 2+c 2)()≥36R 2
. 证明：由三角形的正弦定理，得 sinA=,所以.
同理，
22
22224sin 1,4sin 1c
R C b R B ==. 于是左边=(a 2
+b 2
+c 2
)()
≥(a×+b×+c×)2=36R 2
.
9.求实数x,y 的值，使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2
达到最小值.
解：由柯西不等式，得(12+22+12)×［(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2
］
≥［1×（y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y -6)］2
=1.
即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2
≥. 当且仅当
1
6
22311-+=
--=-y x y x y , 即x=,y=时上式取等号.
故所求值为x=,y=.
10.设x 1,x 2, …,x n 都是正数，且=1. 求证：
∑∑
==-≥-n
i i n
i i i x n x x 1
1
11
1. 证明：不等式的左端，即
∑∑
∑
===---=-n
i i n
i i
n
i i
i x x x x 1
1
1
1111，①
∑∑==≥n i i
n
i i
y n y 1
2
11,取y i =
则
∑∑
==-≥
-n
i i n
i i
x n x 1
2
1
)
1(
11.②
由柯西不等式，有
)1(])1([)1(11
2
12
11
1
-=-≤-∑∑∑
===n n x x n
i i n
i n
i i ③
及.④
综合①②③④,得
∑∑
∑
===---=-n
i i n
i i
n
i i
i x x x x 1
1
1
1111≥
∑∑==---n
i i n
i i x x n 1
1
2
1)
1(
≥
∑=-≥-=
---n
i i x n n n
n n n n n 1
2
1
1
1
)1()
1(.