立体几何难题汇编1
1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（）
①能构成矩形；
②能构成不是矩形的平行四边形；
③能构成每个面都是等边三角形的四面体；
④能构成每个面都是直角三角形的四面体；
⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】证明题.
【分析】画出图形，分类找出所有情况即可.
在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况：
①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确；
③四面体A i-BC i D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确；
④四面体B i-ABD的每个面都是直角三角形，所以正确；
⑤四面体A i-ABD的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A i BD是等边三角形.
由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确.
综上可知：正确的结论个数是4.
故选C.
【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键.
2. 一个半径为1的小球在一个棱长为4J6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____________ .
【考点】棱锥的结构特征.
【专题】计算题；压轴题.
【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为4代
，故小三角形的边长为2晶，做出面积相减，得到结果.
【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为4J6 故小三角形的边长为 2 76
小球与一个面不能接触到的部分的面积为
丄4 J6*4 J6* 亚丄*2 J6*2 J6* 丿3 18 J3,
,2 2 2 2
???几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
4 x1843
=72爲
故答案为：72梟
【点评】本题考查棱柱的结构特征，本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么，看出是一个正三角形，这样题目做起来就方向明确.
3. （2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且
AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是___________________
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题；压轴题.
【分析】作BE丄AD于E,连接CE,说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE.
取BC中点F,推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可.
【解答】
解：作BE!AD于E,连接CE,贝U AD丄平面BEC,所以CE丄AD,
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，
且BE、CE都垂直于焦距AD,
AB+BD=AC+CD=2a，显然△ ABD^A ACD，所以BE=CE
取BC中点F,：EF丄BC, EF丄AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，
因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF 最大即可，
当厶ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大AB+BD=AC+CD=2a ,
??? AB=a，所以EB= & c .
EF= ~c2~ .
所以几何体的体积为：
]*2 ―C2― *2 c* 1—c ―C2―.
3 2 3
故答案为：2ca2 c2 1.
3
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力.
4. 如图，直线I丄平面a,垂足为0,已知在直角三角形ABC中，BC=1 , AC=2 ,
AB= . 5?该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：( 1)A € I ,
(2 ) C € a.贝U B、0两点间的最大距离为____________ .
【考点】点、线、面间的距离计算?
【专题】转化思想.
【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以0为原点，OA
为y轴，0C为x轴建立直角坐标系，B、0两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可.
【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，
以0为原点，0A为y轴，0C为x轴建立直角坐标系，如图. 设/ ACO= 9，B （x，y），则有：
x二ACcos 9+BCsin 9=2cos 9+sin 9，y二BCcos 9二cos 9.
x2+y 2=4cos 29+4sin 9cos 9+仁2cos2 9+2sin2 9+3
=2占in ( 2 9+4 ) +3，
当sin ( 2 9+ 4) =1 时，x2+y 2最大，为则
B、O两点间的最大距离为1+ 41 故答案为：1 + - . 2 .
5. 如图，直线I 丄平面a,垂足为0,正四面体 ABCD 的棱长为4 , C 在平面a 内，B 是直 线I 上的动点，则当 0到AD 的距离为最大时，正四面体在平面
a 上的射影面积为
（ ）
【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征；简单空间图形的三视
图
.
，解答关键是将空间几何问题
转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值.
A - 4+2 J2
B . 2 +2
C . 4
D . 4 ^2
【专题】计算题；压轴题；空间位置关系与距离.
【分析】确定直线BC 与动点0的空间关系，得到最大距离为 AD 到球心的距 离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论.
【解答】解：由题意，直线 BC 与动点0的空间关系：点0是以BC 为直径的 球面上的点，所以0到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离，最大距离为AD 到球心的距离（即BC 与AD 的公垂线）+半径
=2+2 五
虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到
AD 垂直平面0BC ,且
平行平面a ，故其投影是以AD 为底，0到AD 的距离投影，即（2
+2血）cos45°2+0 为高的等腰三角形，其面积= 故选A .
【点评】 本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能 力，属于中档题?
6.
设l i ，12，13为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为
4 , 5，6的直线.给出下列 三个结论：
①
？ A€ L （i=1，2，3），使得△ A 1A 2A 3是直角三角形； ② ？ A€ L （i=1，2，3），使得△ A 1A 2A 3
是等边三角形； ③ 三条直线上存在四点 A i （i=1，2，3，4），使得四面体 A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条 棱两两互
相垂直的四面体.
其中，所有正确结论的序号是（
） A .① B .①②
C .①③
D .②③ 【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析.我们不妨先将 A 、B 、 C 按如图所示放置，容易看出此时 BC v AB=AC .
现在，我们将A 和B 往上移，并且总保持 AB=AC （这是可以做到的，只
要A 、B 的速度满足一定关系），而当 A 、B 移得很高很高时，就得到①和②都 是正确的.至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可.
【解答】解：我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置.
~i — ~r~ ■
1 *4* (2+^/2) =4+2/2. 2
容易看出此时BC v AB=AC.
现在，我们将A和B往上移，并且总保持AB=AC （这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），而当A、B移得很高很高时，不难想象△ ABC将会变得很扁，也就是会变成顶角A非常钝”的一个等腰钝角三角形.于是，在移动过程中，总有一刻，使△ ABC成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）. 这样，就得到①和②都是正确的.
至于③，如图所示.
为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为？?
假设A是？，那么由AD丄AB, AD丄AC知L s!△ ABC,从而△ ABC三边的长就是三条直线的距离4、5、6,这就与AB丄AC矛盾.同理可知D是？时也矛盾；
假设C 是？，那么由BC丄CA, BC丄CD 知BC±^CAD, 而h//△ CAD, 故BC 丄l i，从而BC为l i与12的距离，于是EF// BC, EF=BC,这样就得到EF丄FG,矛盾.同理可知B是？时也矛盾.
综上，不存在四点A, (i=1 , 2, 3, 4)，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
故选B.
【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力、化归与转化思