教学主题
二次函数综合题型
教学目标
掌握二次函数综合题型
重要知识点1.二次函数综合
2.
3.
教学过程
如图所示,已知二次函数y=a(x +1)(x -3)的图象与x轴交于A、B 两点(点A在点B 的左侧)
,与y轴交于C点,顶点M的纵坐标为-4,求:
1、求点A、B、C的坐标及而二次函数解析式a=1
2、在对称轴上是否存在点P,使得△ACP 的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(1,-2)
3、(1)在对称轴上是否存在点 Q,使△ACQ 是等腰三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(1,0)(1,根6)(1,-根6)(1,-1)
(2)若点Q在对称轴上,点Q1在坐标平面内,那么以A、C、Q、Q1为顶点的菱形共多少个?4个
4、讨论在坐标平面内是否存在点D,使△ACD 是以A C 为斜边的等腰直角三角形,试求出点D 的坐标.
(1,-1)(-2,-2)
5、在对称轴上是否存在点R,使得
∠ARC,若存在,求出点R 的坐标;若不存在,请说
=
45
明理由.(对称轴上是否存在点R使ARC
∠=30o?)
45:(1,根5 -1)(1,-1-根5)
6、点D为线段B C 上异于B、C 的动点,过点D作D E⊥x 轴交于点E,交抛物线于点F,当△CDF 为直角三角形时,求点D的坐标.
(△CEF能为直角三角形吗?能求出此时点D的坐标吗?)(2分之3,-2分之3)
1.C=90,y=-x-3 y=x2-2x-3交于(1,-4) D(1,-2)
2. D=90 ,y=-3,x=2 D(2.-1)
7、在直线B C 下方的抛物线上是否存在点E,使BCE
面积最大?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. E(2分之3,-4分之15)S=8分之27
8、在x 轴下方的抛物线上是否存在点G,使△BCG 的面积是△ABC 面积的一半?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
(1,-4)(2,-3)(2/3-根17,2/1-根17)
9、G 点在x轴上,H 点在抛物线上,若以A、C、G、H 为顶点的四边形是平行四边形,,求G、H 点的坐标.
H1(2,-3),G1(1,0)
H2(1+根7,3),G2(2+根7,0)
H3(1-根7,3),G3(2-根7,0)
学生: 科目: 数 学 教师: 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:
已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴) (1)如图,直线1l 、2l ,点A 在2l 上,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得MN AM +之和最小。 (2)如图,直线1l 、2l 相交,两个固定点A 、B ,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得 AN MN BM ++之和最小。 (3)如图,B A 、是直线l 同旁的两个定点,线段a ,在直线l 上确定两点E 、F (E 在F 的左侧 ),使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法:如右图,S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题:二次函数(c bx ax y ++=2 )与一次函数(h kx y +=) (1)解方程组???h kx y c bx ax y +=++= 2可求出两个图象交点的坐标。 (2)解方程组???h kx y c bx ax y +=++= 2,即()02 =-+-+h c x k b ax ,通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0>?
中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,4-). (1)求出图象与x 轴的交点A ,B 的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P ,使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 练习: 1. 如图.平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(-2,2),点B 的坐标为(6,6),抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E . (1)求点E 的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点F 为线段OB 上的一个动点(不与O 、B 重合),直线EF 与抛物线交与M 、N 两点(点N 在y 轴右侧),连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求?BON 的面积的最大值,并求 出此时点N 的坐标; 2. 如图,已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设),(y x P (0>x )是直线x y =上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作 正方形PEQF .若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. y x O B N A M E F B y
专题10二次函数的应用一.解读考点 知识点 二次函(1)利润问题 数应用(2)几何问题 类型(3)抛物线型问题 名师点晴 利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是: (1)建模(最重要的 就是可以读懂题意),然 二次后求二次函数的解析式,解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出;认真审题,理解题意,建 应用(2)求x= ﹣b 2a 的值;立二次函数的数学模型, 的解(3)判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在,即相当于求顶点处 函数的最大值或最小值 ②不在,可画草图根据二 范围.
次函数的增减性来解答. 二.考点归纳 归纳1:利润问题 基础知识归纳: ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=(售价—进价)×销售量 ③商品的总利润=总收入-总支出 ④商品的利润率==
例1.(2017湖北十堰)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱.设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围; (2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)y=60+10x(1≤x≤12,且x为整数); (2)超市定价为33元时,才能使每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元. 【解析】 试题分析:(1)根据题意,得:y=60+10x,由36?x≥24得x ≤12, ∴1≤x≤12,且x为整数; (2)设所获利润为W, 则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810, ∴当x=3时,W取得最大值,最大值为810, 答:超市定价为33元时,才能使每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元.
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:??? ??++22 B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a
二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5). (1)求直线BC与抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值; (3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
7),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截2、如图,二次函数的图象经过点D(0,3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
3、如图,已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。 ⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使|| AM MC -的值最大,求出点M的坐标。
4、如图,已知ABC =,点A、C在x轴上,点B坐标 ∠=?,AC BC ACB ?为直角三角形,90 为(3,m)(0 m>),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.(1)求点A的坐标(用m表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ Array并延长交AC于点F,试证明:() FC AC EC +为定值.
【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.