一 定义（n ≥2，n ∈N +）
1 等差：n a －1-n a =d 1′ 等比： 1
-n n
a a =q （q ≠0） 二 通项公式
1
d n a a n )1(1-+= （推导方法：累加法） =n a ()=n m m a a a n m d d n m
-+-?-
1′)0(111≠??=-q a q a a n n
（推导方法：累乘法） m m m
=
n n n n m a a a q q a --=??
三 {}n a 性质
1 A 是a 与b 的等差中项?a ，A ，b 成等差数列b a A +=2?a+b
A=
2
。 1′ G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?b a G ?=
2G ?=
《
2 ),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；当n+m=2k 时,得n m a a +=2k a 2′ ),,,(+∈+=+N q p n m q p n m 则q p n m a a a a ?=?；当n+m=2k 时,得n m a a =2
k a 3 {}n a ,{}n b 为等差数列,则{}n a k +,{}n k a ,{}n n a b ±,{}n ka b +为等差数列. 3′{}n a ,{}n b 为等比数列,则1
{
}n a ,{}n k a ,2{}n a ,21{}n a -,{}n n a b {}n n
a b 为等比数列. 4 等差{}n a 中， ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . 4′ 等比{}n a 中， ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k
q .
5 {}n a 为等差数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-（k 项的和）是等差数列. 公差为2k d
5′
{}n a 是等比数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-（k 项的和）是等比数列. 公比为k q 。
另外（k 项的积）1212221223n n n n n n n a a a a a a a a a ++++??????????????????，，,也是等比数列，
公比为()
n n
q
)
6 {}n a 是等差数列，设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+，21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2；
6′
{}n a 是等比数列,设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+，21223n n n C a a a ++=++?+，
则有2B A C =?
7 3或4个数成等差数列，按对称性设，3个数：a-d, a, a+d ； 4个数: a-3d, a-d, a+d, a+3d 7′ 三个数成等比数列，设为
,,a
a aq q
，也可设为2,,.a aq aq
8 {n a }是等差数列?b kn a n +=（k,b 是常数）（+∈N n ）?n a 关于n 的一次函数
{n a }是等差数列?
22n 11(1)d d S =n +n=An Bn 222n n na d a -?
?=+
-+ ??
??n s 关于n 的二次函数。若0d >，n s 有最小值。若0d <，n s 有最大值。
8′ {a n }是等比数列?n 1A B n
n a a q q
=?=??n a 关于n 的指数型函数。 ~
{a n }是等比数列?11A A 11n n n a a
S q q q q
-=
+=-+--?n s 关于n 的指数型函数。
9
{}n a 有穷等差数列，则1211n n i n i a a a a a a -+-+=+=??????=+=???。
9′{}n a 有穷等比数列，则1211n n i n i a a a a a a -+-==??????==???。
10 等差数列{}n a 中,每隔k 项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(如：1a ，4a ，7a ，
10a ??????仍为公差为3d 的等差数列)
10′ 等比数列{}n a 中,每隔k 项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为1
k q
+ (如：1a ，4a ，7a ，
10a ??????仍为公比3q 的等比数列)
11
{}n a 是等差数列,公差为d ，则n a ，1n a -，??????2a ，1a 也是等差数列，其公差为d -.
11′{}n a 是等比数列,公比为q ，则n a ，1n a -，???2a ，1a 也是等比数列，其公比为
1
q
12 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列
,
n S 常用的性质：
（1）在等差数列{}n a 中,当项数为2n 时,1
,
n n S a
S S nd S a +-==奇偶
奇偶（中间两项）, 当项数为2n -1时,,1
n
S n
S S a S n -==-奇偶奇
偶（中间项） (2).若等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数),则
1
21
2
n n
n n a S T b ++=.或1
21
2--=
n n n n T S b a
(3)在等差数列{}n a 中.n S =a,m S b =,则()n m n m
S a b n m
++=
--,特别地, 当n m S S =时,0n m S +=,
当n S =m,m S =n 时()n m S n m +=-+
(4)
{}n a 是等差数列,则数列{
}n
S n
也为等差数列. (5){}n a 是等差数列,①若首正1a >0,公差d<0,则当n a >0且1
0n a +<,则n S 最大,当n a >0,10n a += 且20n a +<,则n
S =
1n S +最大.
②若首负
1a <0,公差
d>0,则当
n
a <0且
10n a +>,则n
S 最小,当
n a <0,10n a += 且20n a +>,则n S =1n S +最小。
6 {}n a 是等比数列，当项数为)(2+∈N n n ，则n
n a a S S nd S S 1
,
+==-奇偶奇偶；
7
？
8
当项数为)(12+∈-N n n ，则n
n S S a S S n 1
,-=
=-奇偶偶奇.在等比数列{}n a 中,当项数为2n
(n ∈
*N )时,
1
S S q
=奇偶,.
9 若{}n a 等比数列,则n n m n m S S q S +=+
四、通项公式的求法
1 利用n S 求通项公式： 11(1)(2)
n n n S
n a S S n -=?=?-≥?．
2 已知递推公式求通项公式。 类型1：
)(1n f a a n n +=+ 转化为)(1n f a a n n =-+， 累加法(逐差相加法)。
》
例12132431()()()()n
n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+??????+- 类型2：
n n a n f a )(1=+ 转化为
)(1
n f a a n
n =+， 累乘法(逐商相乘法)。 例324
11231
()()()(
)n n n a a a a a a a a a a -=??????
类型3：
q pa a n n +=+1 （p ，q 为常数，)0)1((≠-p pq ）。
待定系数法： 转化为1
()n n
a t p a t ++=+，其中1
q
t p =
-，转化为等比数列。 五 数列求和
1 公式法
|
1 等差数列：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+= （推导：倒序相加法）
1′等比数列：
?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q
a a q
q a q na S n n
n （推导：错位相减法） 2、拆项法 例：求 ,)23(1
,,101,71,41,
11132-+++++-n a
a a a n 的前n 项和。 )]23(741[)1
111(12-+++++++++=∴-n a
a a S n n
★3、错位相减法：
主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例：()2
34n =1+3x+5x
+7x +9x +
+2n-1x n S
~
★4、 裂项相消法
①
111(1)1
n n n n =-++； )1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ；
1111()()n n k k n n k
=-++； 1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++
② 2211111()1211k k k k <=---+，
211111111(1)(1)1k k k k k k k k k
-=<<=-++--； ③
n n n n -+=++11
1
&
)(1
1
n k n k n k n -+=
++
④ 11
(1)!!(1)!
n n n n =-++
5、倒序相加法 6 1+2+…+n=
21n(n+1) ， 12+22+…+n 2=61
n(n+1)(2n+1)，13+23+…+n 3=14
n 2(n+1)2 。
六 数列的分类
①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.
②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.
③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
等比数列的单调性，
()11
0{}0{}11{n n
a a a a q ><>，则为递增数列
，则为递减数列且
()11
0{}0{}21{n n
a a a a q ><<，则为递减数列
，则为递增数列0<且
（3）当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; （4）当q<0时,该数列为摆动数列.
第三章数列 第一教时 教材：数列、数列的通项公式 目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。K2td4LKQoD 过程： 一、从实例引入 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 六、作业：练习 P112 习题 3．1 求数列通项公式方法 （ 1）．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 例： 1 已知等差数列 { a n } 满足： a 3 7, a 5 a 7 26 ， 求 a n ； 2. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2,a n a n 1 1(n 1) ，求数列 { a n } 的通项公式； 3. 数列 a n 满足 a 1 =8，a 4 2，且 a n 2 2a n 1 a n 0 （ n N ），求数列 a n 的 通项公式； 4. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2, 1 1 2 ，求数列 a n 的通项公式； a n 1 a n 5. 设数列 { a n } 满足 a 1 0 且 1 1 ，求 { a n } 的通项公式 a n 1 1 1 1 a n 6. 已知数列 { a n } 满足 a n 1 2a n , a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。 a n 2 7. 等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 2a 1 3a 2 2 9a 2 a 6 ，求数列 { a n } 的通 1， a 3 项公式 8. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2, a n 3a n 1 (n 1) ，求数列 { a n } 的通项公式； 9. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2，a 2 4且 a n 2 a n 2 N ），求数列 a n 的 a n 1 （ n 通项公式； 10. 已知数列 { a n } 满足 且 a n 1 5n 1 2( a n 5n ) （ n N ），求数列 a n 的通 a 1 2， 项公式； 求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函 数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1. 常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式. 2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式. 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。 1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ， 求n a ； 2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式； 3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （* ∈N n ），求数列{}n a 的 通项公式； 4. 已知数列}{n a 满足21 1, 21 1=- =+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式； 5.设数列}{n a 满足01=a 且 111 111=---+n n a a ，求}{n a 的通项公式 6. 已知数列{}n a 满足112,12 n n n a a a a += =+，求数列{}n a 的通项公式。 7.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622 39a a a =，求数列}{n a 的通项公式 8. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式； 9.已知数列}{n a 满足2 122142++=?==n n n a a a a a 且， （* ∈N n ），求数列{}n a 的 通项公式； 10.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通 项公式； 11. 已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++?+=+?+（*∈N n ），求 数列{}n a 的通项公式； 递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。 1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。 高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积 1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。 一、型 例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。 解：已知递推式化为，即， 所以 。 将以上个式子相加，得 ， 所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。解：当， 即 当，所以。 三、型 例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比 ，得。于是，得 ，以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得，因此，数列是以 为首项，以3为公比的等比数列。 所以，所以 。 四、型 例4. 设数列，求通项公式。 解：设，则， ， 所以， 即。 设这时，所以。 由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得：。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、型 例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。 解：将已知递推式两边乘以，得 ，又设， 于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。 说明：对于递推式，可两边除以，得 ，引入辅助数列 ，然后可归结为类型三。 六、型 例6. 已知数列，求。 解：在两边减去。 所以为首项，以 。 所以令上式，再把这个等式累加，得 。所以。 说明：可以变形为，就是 ，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。 最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 数列通项公式的几种求法 注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n = 例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题） 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P ㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。 一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n 变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 22 ++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+?-=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n － 1 例3. 等差数列 {}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得?? ?±==2 4 3d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<求数列通项公式方法经典总结.doc
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