17．微专题：因式分解的运用
◆类型一利用因式分解简便计算
1．利用简便方法计算57×99＋44×99－99正确的是()
A．99×(57＋44)＝99×101＝9999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
2.利用因式分解计算：
(1)1012＋202×99＋992；
(2)3.14×562－3.14×442.
◆类型二利用因式分解进行证明说理
3．若a为有理数，则整式a(a－1)－a＋1的值是()
A．非负数B．正数C．负数D．0
4.若△ABC的三边长为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
5.已知n为整数，试说明(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除．
6.小明在计算中发现：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，所得的新数与原数的差一定能被99整除．可是他无法加以证明，你能帮助他解决这个问题吗？
◆类型三 利用因式分解化简求值
7．已知x 2－y 2＝14，x －y ＝2，则x ＋y ＝________．
8.已知x 2＋y 2－2x －6y ＝－10，那么x 2017y 2的值为________．
9．甲、乙两位同学家的菜地都是正方形，甲家菜地的周长比乙家菜地的周长长96米，且他们两家的菜地面积相差960平方米，则甲、乙两家菜地的边长分别为____________．
10.已知a ＋b ＝2，ab ＝－5，求12a 3b ＋a 2b 2＋12
ab 3的值．
参考答案与解析
1．B
2．解：(1)原式＝(101＋99)2＝2002＝40000.
(2)原式＝3.14×(562－442)＝3.14×(56＋44)×(56－44)＝314×12＝3768.
3．A
4．B 解析：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a (1＋2b )＝c (1＋2b )．∵1＋2b ＞0，∴将等式两边同时除以1＋2b ，得a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．故选B.
5．解：(n ＋7)2－(n －3)2＝(n ＋7＋n －3)(n ＋7－n ＋3)＝20(n ＋2)．∵n 是整数，∴n ＋2也是整数，∴(n ＋7)2－(n －3)2的值一定能被20整除．
6．解：设原三位数的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，则原三位数为100z ＋10y ＋x ，新三位数为100x ＋10y ＋z .因为100x ＋10y ＋z －(100z ＋10y ＋x )＝99x －99z ＝99(x －z )，所以所得的新数与原数的差一定能被99整除．
7．7
8．9 解析：∵x 2＋y 2－2x －6y ＝－10，∴(x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝1，y ＝3，∴x 2017y 2＝12017×32＝9.
9．32米和8米
10．解：原式＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12
ab (a ＋b )2.把a ＋b ＝2，ab ＝－5代入上式，得原式＝12
×(－5)×22＝－10.