第二节 函数的求导法则 要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一 点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠 实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少 人的思维活动. -------F. 莱布尼茨 求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的. 分布图示 ★ 引言 ★ 和、差、积、商的求导法则 ★ 例1-2 ★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 反函数的导数 ★ 例7 ★ 例8 ★ 复合函数的求导法则 ★ 初等函数的求导法则 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 隐函数的导数 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 对数求导法 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 参数方程表示的函数的导数 ★ 例23 ★ 例24 ★ 高阶导数的定义 ★ 例25-26 ★ 例27-28 ★ 例29 ★ 例30 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 2 内容要点 一、导数的四则运算法则 二、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 三、复合函数的求导法则 定理3 若函数)(x g u =在点x 处可导, 而)(u f y =在点)(x g u =处可导, 则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导, 且其导数为 )()(x g u f dx dy '?'= 或 dx du du dy dx dy ? = 注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以
复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D．
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
第二节 函数的求导法则(1) 一、选择题 1. 设y = 2cos x , 则y '= ( ) A . 2cos x ln2; B . -2cos x sin x ; C . -2cos x (ln2)sin x ; D . -2cos x -1sin x . 2. 设f (x 2) =)(),0(11 x f x x '≥+则= ( ) A . -2)1(1 x +; B . 211x +; C . -2 )1(21x x +; D . 2 )1(21 x x +. 3. 设f (x ) = sin(3x + 4π )，则)4 (πf '= ( ) A . -3; B . 3; C . 0; D . -1. 4. 设f (x ) = e x + 2 , 则)2(+'x f = ( ) A . e x +2; B . e x +4; C . 2e x +2; D . 2e x +4. 5. 设)(cos x f y =，则=dx dy ( ) A . x x f sin )(cos ' B . x x f cos )(cos ' C .x x f cos )(cos '- D . x x f sin )(cos '- 6. 设)()(x g x f ='，则=)(sin 2x f dx d ( ) A . 2g (x )sin x B . g (x )sin 2x C . g (sin 2x ) D . g (sin 2x )sin2x 二、填空题 1. 设x x y 253+=, 则='y . 2. 设x x x x y ln ln + =, 则='y . 3. 曲线x e y x cos =在2 π = x 处的切线方程是 . 4. 设)34cos(2x y -=, 则='y . 5. 设x x f 1sin )(=，则)1 (π f '= . 三、解答题 1. 设y = sin x - x cos x , 求6 π='x y . 2. 设f (x )在x = 1处连续, 且21 ) (lim 1=-→x x f x , 求)1(f '. 3. 设)(cos )(sin 22x f x f y +=, 其中f (x )可导, 求dx dy .
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
多元函数求导法则
理论与实验课教案首页 第17 次课授课时间2016年12月23日第3～5节课教案完成时间2016年12月16日 课程名 称高等数学 教 员 职 称 副教 授 专业层 次药学四年制 本科 年 级 201 6 授课方 式 理 论 学 时 3 授课题目（章，节） 第七章多元函数及其微分法§3.全微分§4.多元复合函数与隐函数的偏导数 基本教材、主要参考书和相关网站基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版 主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版 — 2 —
教学目标与要求： 了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法 教学内容与时间分配： 复习5分钟全微分概念5分钟 可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟 复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟 一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟 小结5分钟 — 3 —
教学重点与难点： 重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法 难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析 教学方法与手段： 教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。 教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。 教学组长审阅意见： 签名：年月日教研室主任审阅意见： 签名：年月日 — 4 —
理论与实验课教案续页 基本内容教学方法手段和时间分配 — 5 —
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且
)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+?
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 2010-08-19 16:30 杨爽赵晓婷高璞译人民邮电出版社我要评论(0)字号：T | T 综合评级： 想读(0)在读(0)已读(7)品书斋鉴(2)已有7人发表书评 《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第6章讲述如何求解微分问题。本节说的是通过乘积法则求积函数的导数。 AD： 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 处理函数乘积的时候要更有技巧的, 你不能只是将两个导数乘在一起. 例如,不做展开 (那样将会太费时 间了),我们想要求 的导数. 我们设 f(x) = x5+2x?1及 g(x) = 3x8?2x7?x4?3x.函数 h 是 f和 g 的乘积. 我们可以很容易地写出 f 和 g 的导数, 它们是 f0(x) = 5x4+2及g0(x)=24x7?14x6?4x3?3.正如我说的,乘积h的导数是这两个导数的乘积,这是不正确的. 即h0(x)6=?5x4+2￠?24x7?14x6?4x3?3￠.说h0(x)不是什么是没有用的,我们需要说它是什么！ 这表明你需要混合匹配. 这就是说,你取f 的导数并用它和g 相乘(不是g 的导数). 然后, 你也需要取 g 的导数并用它和 f 相乘. 最后, 将它们加在一起. 这就是法则： 因此, 对于我们例子中的 h(x) =?x5+2x?1￠?3x8?2x7?x4?3x￠,我们将h写成f 和g 的乘积并求它们的导数,就像我们上面做的一样. 将我们的发现总结一下,取每一列分别对应 f 和 g：
习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。
（7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。
反函数求导法则 刘云 （天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。 关键词：反函数；基本初等函数；求导 引 言 除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理 若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明： 因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。 因此
[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(， 其中),,3,2,1(n i c i =为常数。 （2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000） 指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的 定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现 的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的 有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算
举例说明函数的积的求导法则 山东省临朐县第二中学 刘海涛 李本习 在导数这一章中，导数的运算是非常重要的内容，也是这一章中的重点，在这里我们讨论一下函数积的求导法则。 （一）、函数积的求导法则是： 设f(x)、g(x)是可导的，则 [()()]f x g x '=()()f x g x '+()()f x g x ' 即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第一个函数乘上第二个函数的导数。 例：（1）求y=x 2cosx 的导数 分析：此题就是简单的积的求导，在此过程中要注意x 2与cosx 这两个基本函数的导数公式。 解：y '=2(cos )x x ' =2()cos x x '+2(cos )x x ' =22cos sin x x x x - (2) 求y=(x 2 解：y ' =2[(x '+ =2(1)x + 2(x + =2 21x + =251x +
利用此法则需要注意：（1）必须是f(x)、g(x)可导的 （2）要正确掌握应用此公式，不要用错此法则， 如： [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ （3）此题的关键是要正确的掌握基本初等函数的导数公式。如：y=c y=x n y=a x y=sinx 等 （二）、要灵活的应用法则以简便的方法求解 例：求2311()y x x x x =++的导数 分析：直接应用积的求导法则时，中间有一个和的求导法则，若我们把此题的式子进行一下化简，那么此题将会是直接的和的求导法则。 解：法一：应用积的求导法则 22331111()()y x x x x x x x x '''=+++++ =3x 2 - 32x 法二：应用和的求导法则 3211y x x =++ 所以2323y x x '=- 显然法二相对来说比较简单明了。 （三）、若f(x)g(x)中，f(x)g(x)有一个为常数，则此求导法则为： 常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则 复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整 理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ ?复合函数求导公式 ? ? ?复合函数求导法则证法一：先证明个引理 ?f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0 连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) ?证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 ?因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) ?所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) ?反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0), x∈U(x0) ?因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0) f'(x)=H(x0) ?所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) ?引理证毕。 ?设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) ?证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
第二节 函数的求导法则 教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则； 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则； 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。 教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程： 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。 证明：0 0000)] ()([)]()([lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0 000)()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。 注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。 定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有 )()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。 证明：0 0000) ()()()(lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =0 0000) ()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0 0000) ()()(lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0 0000) ()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．
复合函数求导公式函数求导法则有哪些 对于高中生来说，想要学好数学，就要了解公式。函数是高中数学的一 个难点，那幺，符合函数公式有哪些呢？下面和小编一起来看看吧！ 1 复合函数求导公式有哪些1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)； 2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)； 拓展： 1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。 2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。 3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则 y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+). 4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。 1 复合函数怎幺求导复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中 间变量对自变量的导数。 举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u