2016-2017学年山东省青岛市市南区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1.已知，下列式子不成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.如果，那么
2.下列银行标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图，，的坐标为
，
，若将线段
平移至
，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
4.西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费元，再对每户收费元．某小区住户按这种收费方法全部
安装天然气后，每户平均支付不足元，则这个小区的住户数（ ）
A.至少户
B.至多户
C.至少户
D.至多户
5.如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是（）
A. B. C. D.
6.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它绕点旋转一定角度，扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为（）
A. B. C. D.
7.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
8.已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，
于点，，给出以下结论：
①；
②和可以分别看作由和绕点顺时针方向旋转得到的；
③是等腰直角三角形；
④．
其中始终成立的有（）
A.个
B.个
C.个
D.个
二、填空题
9.命题“等腰三角形两腰上的高相等”是________命题（填“真”或“假”），写出它的逆命题
________．
10.如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转________次，每次旋转________度形成的．
11.如图，在中，，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到
，连接，则的周长为________．
12.如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，，则的度数是
________度．
13.若不等式无解，则实数的取值范围是________．
14.如图，已知平分，，，，于点，于点．如果点是的中点，则的长是________．
三、作图题
15.已知：线段，直线及外一点．
求作：，使直角边，垂足为点，斜边．
四、解答题
16.解下列不等式（组）
解不等式；
解不等式组．
17.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，将绕点逆时针旋转，得到
；再将，向右平移个单位，得到″″″；请你画出和″″″（不
要求写画法）
18.有名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子亩或辣椒亩，已知每亩茄子平均可收入万元，每亩辣椒平均可收入万元，要使总收入不低于万元，则最多只能安排多少人种茄子？
19.如图，已知，点、在线段上，与交于点，且，．求
证：
若，求证：平分．
20.百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：
最先达到终点的是________队，比另一对早________分钟到达；
在比赛过程中，乙队在第________分钟和第________分钟时两次加速；
求在什么时间范围内，甲队领先？
相遇前，甲乙两队之间的距离不超过的时间范围是________．
21.如图所示，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的垂直平分线交于点，交于点，连接、，求证：的周长；21.
如图所示，在中，若，，的垂直平分线交于点，交于点
．的垂直平分线交于点，交于点，连接、，试判断的形状，并证明你的结
论．
21.
如图所示，在中，若，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线
交于点，交于点，连接、，若，，求的长．
22.如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
点从向运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）；设，，求
与的函数关系式；
当的长度是多少时，，请说明理由；
在点的运动过程中，的形状也在改变，当等于多少度时，是等腰三角形？判断
并说明理由．
答案
1. 【答案】D
【解析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
【解答】解：、不等式两边同时加上，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
、不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意．
故选．
2. 【答案】C
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
3. 【答案】A
【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由点平移前后的纵坐标分别为、，可得点向上平移了个单位，
由点平移前后的横坐标分别是为、，可得点向右平移了个单位，
由此得线段的平移的过程是：向上平移个单位，再向右平移个单位，
所以点、均按此规律平移，
由此可得，，
故．
故选：．
4. 【答案】C
【解析】根据“户居民按元计算总费用整体初装费”列不等式求解即可．【解答】解：设这个小区的住户数为户．
则，
解得．
∵是整数，
∴这个小区的住户数至少户．
故选．
5. 【答案】B
【解析】过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过作于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴的面积是，
故选
6. 【答案】D
【解析】连结并且延长至，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图：连结并且延长至，
因为，即旋转角为，
所以灰斗柄绕点转动的角度为．
故选：．
7. 【答案】B
【解析】观察图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴点，
当时，，
即不等式的解集为．
故选．
8. 【答案】B
【解析】先利用为等腰直角三角形得到，再利用等腰三角形的性质得到，平分，，于是可证明，所以，，于是可判定
为等腰直角三角形，，由于当时，，所以与不一定相等；利
用旋转的定义可对②进行判断；最后利用得到，所以，从而得到．
【解答】解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，平分，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，所以③正确；
∴，
而当时，，
所以①错误；
∵，，，
∴绕点顺时针旋转可得到，
同理可得绕点顺时针旋转可得到，
所以②正确；
∵，
∴，
∴，
∴．
所以④正确．
故选
9. 【答案】真,如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【解析】正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：等腰三角形两腰上的高相等是真命题；
等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：真，如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
10. 【答案】,
【解析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形和旋转次数与角度．
【解答】解：如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转次，每次旋转度形成的，
故答案为：；．
11. 【答案】
【解析】根据平移性质，判定为??边三角形，然后求解．
【解答】解：由题意，得，
∴．
由平移性质，可知，，
∴，且，
∴为等边三角形，
∴的周长．
故答案为：．
12. 【答案】
【解析】由的垂直平分线交于点，可得，即可证得，又由等腰
中，，可得，继而可得：，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵等腰中，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 【答案】
【解析】先把当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出的取值范围．
【解答】解：，由①得，，由②得，，
∵不等式组无解，
∴，解得．
故答案为：．
14. 【答案】
【解析】由平分，，，，易得是等腰三角形，，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值，继而求得的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长．
【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴．
故答案为：．
15. 【答案】
解：作法：①过作，垂足为，
②以为圆心，以为半径画圆，交直线于，
③连接，
则就是所求作的直角三角形；
【解析】利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法过作的垂线，再以为圆心，长为半径画弧，交于，即可得到；
【解答】
解：作法：①过作，垂足为，
②以为圆心，以为半径画圆，交直线于，
③连接，
则就是所求作的直角三角形；
16. 【答案】解：去分母得，
去括号得，
移项得，
系数，
系数化为得．; ．
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【解析】去分母，然后去括号、移项、合并，再把的系数化为即可．; 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：去分母得，
去括号得，
移项得，
系数，
系数化为得．; ．
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 【答案】解：如图，和″″″即为所求．
【解析】现将点、绕点逆时针旋转得到其对应点、，顺次连接可得，再将三顶点分别向右平移个单位得到其对应点，顺次连接可得″″″．
【解答】解：如图，和″″″即为所求．
18. 【答案】解：安排人种茄子，
依题意得：，
解得：．
所以最多只能安排人种茄子．
【解析】设安排人种茄子，根据有名合作伙伴，每人可种茄子亩或辣椒亩，已知每亩茄子可收入万元，每亩辣椒可收入万元，若要使收入不低于万元，可列不等式求解．
【解答】解：安排人种茄子，
依题意得：，
解得：．
所以最多只能安排人种茄子．
19. 【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴与都为直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴；; ∵（已证），
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【解析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；; 先根据三角形全等的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴与都为直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴；; ∵（已证），
∴，
∴，
∵，
∴平分．
20. 【答案】乙,; ,; 设甲队对应的函数解析式为，
，得，
即甲队对应的函数解析式为，
当时，乙队对应的函数解析式为，
，得，
即当时，乙队对应的函数解析式为，
令，得，
即当时，甲队领先；; 或
【解析】根据函数图象可以直接得到谁先到达终点和早到多长时间；; 根据函数图象可以得到乙队在第几分钟开始加速；; 根据函数图象可以去的甲乙对应的函数解析式，从而可以得到在什么时间范围内，甲队领先；; 根据函数图象可以求得相遇前，甲乙两队之间的距离不超过的时间范围．【解答】解：由图象可得，
最先达到终点的是乙队，比甲队早到：分钟，
; 由图象可得，
在比赛过程中，乙队在第分钟和第分钟时两次加速，
; 设甲队对应的函数解析式为，
，得，
即甲队对应的函数解析式为，
当时，乙队对应的函数解析式为，
，得，
即当时，乙队对应的函数解析式为，
令，得，
即当时，甲队领先；; 当时，设乙对应的函数解析式为，，
即当时，乙对应的函数解析式为，
，
解得，，
即当时，甲乙两队之间的距离不超过，
当时，设乙队对应的函数解析式为，
，得，
当时，乙队对应的函数解析式为，
，得（舍去），
乙在段对应的函数解析式为，
则，得，
令，得，
由上可得，当或时，甲乙两队之间的距离不超过，
21. 【答案】解：∵直线为线段的垂直平分线（已知），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又直线为线段的垂直平分线（已知），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴的周长（等量代换），; ∵，
，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴是等边三角形；; ∵是的垂直平分线，
∴，，，
在中，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴．
【解析】由直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得，同理可得，然后表示出三角形的三边之和，等量代换可得其周长等于的长；; 由，
可得，又由的垂直平分线交于，得出，即可得出，同理：，即可得出结论；; 先利用是垂直平分线计算出，进而得出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵直线为线段的垂直平分线（已知），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又直线为线段的垂直平分线（已知），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴的周长（等量代换），; ∵，
，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴是等边三角形；; ∵是的垂直平分线，
∴，，，
在中，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴．
22. 【答案】小; 当时，，
理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
∴；; 当的度数为或时，的形状是等腰三角形，
理由：在中，，，
∴，
①当时，，
∴，不符合题意舍去，
②当时，，
根据三角形的内角和得，，
∴，
∴，
③当时，，
∴，
∴，
∴的度数为或时，的形状是等腰三角形，
【解析】利用三角形的内角和即可得出结论；; 当时，利用，
，求出，再利用，即可得出．; 由
于的形状是等腰三角形．分三种情况讨论计算．
【解答】解：在中，，
∴，
∴，
当点从点向运动时，增大，
∴减小，
; 当时，，
理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
∴；; 当的度数为或时，的形状是等腰三角形，
理由：在中，，，
∴，
①当时，，
∴，不符合题意舍去，
②当时，，
根据三角形的内角和得，，
∴，
∴，
③当时，，
∴，
∴，
∴的度数为或时，的形状是等腰三角形，