空间向量在立体几何中的应用
重点难点
重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离
难点：将立体几何问题转化为向量问题．
知识归纳
一、空间中的角
空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．
1．异面直线所成的角：异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得．而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得．其取值范围是(0°,90°].
2．直线和平面所成的角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．直线与平面所成角θ的范围是[0°,90°]．
θ＝0°时，直线在平面内或与平面平行．
θ＝90°时，直线与平面垂直．
3．二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的取值范围是[0°,180°). θ＝0°时两个半平面共面；0°<θ<90°时为锐二面角；θ＝90°时为直二面角；90°<θ<180°时为钝二面角．
作二面角的平面角的常用方法有：
(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．
(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．
(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．
二、空间中的距离
1．(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度．
(2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．
(3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．
连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．
(4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．
(5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．
(6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．
(7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度．
2．求距离的一般方法和步骤
求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是： ①找出或作出有关距离的图形； ②证明它符合定义； ③在平面图形内计算．
空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法． 三、平面的法向量
1．如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α，如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量．
2. 求平面法向量的方法
设n 是平面M 的一个法向量，AB 、CD 是M 内的两条相交直线，则n AB ? =0，n CD ?
=0. 由此可以求出一个法向量n （AB 及CD
已知）. 思想方法点拨
一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计
算，论证；⑤转化为几何结论．
二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线l 1、l 2的方向向量分别为a 、b .
(1) l 1∥l 2或l 1与l 2重合?a ∥b ?存在实数t ，使a ＝t b . (2) l 1⊥l 2?a ⊥b ?a ·b ＝0.
2．用向量方法研究直线与平面的位置关系
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，v 1、v 2是与α平行的两个不共线向量． (1)l ∥α或l ?α?存在两个实数λ、μ，使a ＝λv 1＋μv 2?a ·n ＝0. (2)l ⊥α?a ∥n ?存在实数t ，使a ＝t n .
112200
a v a v l a v a v α⊥?=??⊥????⊥?=??
3．用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.
(1)α∥β或α与β重合? n 1∥n 2?存在实数t ，使n 1＝t n 2. (2)α⊥β? n 1⊥n 2? n 1·n 2＝0.
若v 1、v 2是与α平行的两个不共线向量，n 是平面β的法向量．
则①α∥β或α与β重合? v 1∥β且v 2∥β?存在实数λ、μ，对β内任一向量a ，有a ＝λv 1＋μv 2.
②1122
0n v n v n v n v αβ⊥?=??⊥????⊥?=??
三、用向量法求空间的角 1．求异面直线所成的角
设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，b 〉与θ相等或互补，则||
cos ||||
a b a b θ?=
?.
2. 求直线与平面所成的角
如图，设l 为平面α的斜线，l A α= ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，?为l 与平面α所成的角，则||
sin |cos ,|||||
a n a n a n ??=<>=
?
3、求二面角
平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，< n 1，n 2>= θ，则二面角l αβ--为θ或πθ-. 设二面角的大小为?，则1212||
|cos ||cos |||||
n n n n ?θ?==
?.
四、用向量法求空间距离 1、求点到平面的距离
如图所示，已知点000(,,)B x y z ，平面α内一点111(,,)A x y z ，平面α
的一个法向量n ，直线AB 与平面α所成的角为?，,n AB θ=<>
，则sin |cos ,||cos |n AB ?θ=<>=
. 由数量积的定义知，
n AB =|n ||AB cos θ|，所以点B 到平面α的距离||||sin |||cos |||
n AB d AB AB n ?θ?=?=?= .
2、求异面直线间的距离
如右图，若CD 是异面直线a ，b 上的公垂线，A 、B 分别是a ，b 上
的任意两点，令向量n ⊥a ，n ⊥b ，则n //CD . 则由AB AC CD DB =++
得，AB ·n =AC ·n +CD ·n +DB ·n ，所以AB ·n =CD ·n ，所以|AB ·n |=|CD ·n |，
故||||||AB n CD n ?= ，所以，异面直线a 、b 间的距离为||||
AB n d n ?= .
3、求直线到平面的距离
设直线a //平面α，A a ∈，B α∈，n 是平面α的法向量，过A 作AC α⊥，
垂足为C ，则AC //n . 因为AB ·n = ()AC CB +
·n =AC ·n ，
所以|AB ·n |=|AC |·|n |，故直线a 到平面α的距离为||
||||
AB n d AC n ?==
4、求两平行平面间的距离
（1）用公式||
||
AB n d n ?= 求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别
为两平面上的任意点.
（2）转化为点面距或线面距求解. 课堂典例讲练
题型一 用向量证明平行
[例1] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .
证明：方法1：如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
M ????0，1，12，N ????12，1，1，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN →
＝????12
，0，12，设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，∴?
????
x ＋z ＝0x ＋y ＝0，
取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．
又MN →
·n ＝????12
，0，12·(1，－1，－1)＝0， ∴MN →
⊥n ，又∵MN ?平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .
方法2：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →
)＝12DA 1→，
∴MN →∥DA 1→
，又∵MN ?平面A 1BD . ∴MN ∥平面A 1BD .
点评：(1)证明直线l 1∥l 2时，分别取l 1、l 2的一个方向向量a 、b ，则a ∥b ?存在实数k ，使a ＝k b
或利用其坐标a 1b 1＝a 2b 2＝a 3
b 3(其中a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3))．
(2)证明直线l ∥平面α时，
①可取直线l 的方向向量a 与平面α的法向量n ，证明a ·n ＝0；
②可在平面α内取基向量{e 1，e 2}，证明直线l 的方向向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，然后说明l 不在平面α内即可；
③在平面α内找两点A 、B ，证明直线l 的方向向量n ∥AB →
.
(3)证明平面α∥平面β时，设α、β的法向量分别为a 、b ，则只须证明a ∥b . 题型二 用向量证明线面垂直
[例2] 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.
证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，
则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ???
?1，12，0，M (1,1，m )．∴AC →
＝(－1,1,0)，
又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，
∴EF →＝1
2
AC →
＝????－12，12，0. 又∵B 1E →＝????0，－12，－1，D 1M →
＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →
＝0.
∴???
－12＋1
2
＋(m －1)·0＝00－1
2＋(1－m )＝0
，∴m ＝1
2
.
故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.
点评：①证明直线 l 1与l 2垂直时，取l 1、l 2的方向向量a 、b ，证明a ·b ＝0.
②证明直线l 与平面α垂直时，取α的法向量n ，l 的方向向量a ，证明a ∥n .
或取平面α内的两相交直线的方向向量a 、b 与直线l 的方向向量e ，证明a ·e ＝0，b ·e ＝0. ③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n 1、n 2，证明n 1·n 2＝0.或取一个平面α的法向量n ，
在另一个平面β内取基向量{e 1，e 2}，证明n ＝λe 1＋μe 2.
题型三 用向量法证明面面垂直与面面平行
[例3] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别是BB 1、DD 1、DC 的中点，求证： (1)平面ADE ∥平面B 1C 1F ； (2)平面ADE ⊥平面A 1D 1G ；
(3)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE .
解析：以D 为原点，DA →、DC →、DD 1→
为正交基底建立空间直角坐标系O －xyz ，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，G (0,1,0)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)．
(1)设n
1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →.
∴?????
n 1·DA →＝0n 1·
AE →＝0，∴?????
2x 1＝02y 1＋z 1＝0，
取y 1＝1，z 1＝－2，∴n 1＝(0,1，－2)． 同理可求n 2＝(0,1，－2)．
∵n 1∥n 2，∴平面ADE ∥平面B 1C 1F .
(2)∵DA →·D 1G →＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0，∴DA →⊥D 1G →. ∵AE →·D 1G →＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，∴AE →⊥D 1G →. ∵DA →、AE →
不共线，∴D 1G ⊥平面ADE .
又∵D 1G ?平面A 1D 1G ，∴平面ADE ⊥平面A 1D 1G .
(3)由于点M 在AE 上，所以可设AM →＝λ·AE →
＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴M (2,2λ，λ)，A 1M →
＝(0,2λ，λ－2)． 要使A 1M ⊥平面DAE ，只需A 1M ⊥AE ，
∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，
∴λ＝25.故当AM ＝2
5AE 时，A 1M ⊥平面DAE .
跟踪练习1
已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .
(1)证明：PA ⊥BD ；
(2)证明：平面PAD ⊥平面PAB . 证明：(1)取BC 的中点O ，
∵侧面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .
以O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.
∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)． ∴BD →＝(－2，－1,0)，PA →
＝(1，－2，－3)． ∵BD →·PA →＝0，∴PA →⊥BD →，∴PA ⊥BD .
(2)取PA 的中点M ，连结DM ，则M ????12，－1，32.
∵DM →＝????32，0，32，PB →
＝(1,0，－3)，
∴DM →·PA →＝0，∴DM →⊥PA →
，即DM ⊥PA . 又DM →·PB →＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB . ∴DM ⊥平面PAB ，∴平面PAD ⊥平面PAB .
点评：线线垂直即直线的方向向量垂直；线面垂直即直线的方向向量与平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直.
题型四 用向量法求异面直线所成的角
[例4] 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形
BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点，设点E 1、G 1 分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影． (1)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；
(2)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．
思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．
(1)证明 以D 为原点，DD 1→、DC →、DA →
分别为z 轴、y 轴、x 轴的正向，12|DD 1
→|为1个单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点E 、F 、G 1、E 1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，
∴FE 1→＝(0,1，－1)，FG 1→＝(0，－1，－1)，EE 1→
＝(－1,0,0)， ∴FG 1→·EE 1→＝0，FG 1→·FE 1→＝0?FG 1→⊥EE 1→，FG 1→⊥FE 1→， 又∵EE 1∩FE 1＝E 1.∴FG 1⊥平面FEE 1. (2)解 由题意知点A 的坐标为(2,0,0)，
又由(1)可知EA →＝(1，－2，－1)，E 1G 1→
＝(0，－2,0)， ∴cos 〈EA →，E 1G 1→
〉＝EA →·E 1G 1→|EA →|·|E 1G 1→
|＝63，
∴sin 〈EA →，E 1G 1→
〉＝
1－cos 2〈EA →，E 1G 1→
〉＝33
.
探究提高 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈????0，π
2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.
如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1
＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1.求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值．
解 以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)，C 1(4,3,2)，于是EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→
＝(－4,2,2)，设EC 1与FD 1
所成的角为β，则： cos β＝|EC 1→·FD 1→|
|EC 1→|·|FD 1→|
＝
1×(－4)＋3×2＋2×2
12＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝21
14
，
∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114
.
题型五 线面角
例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，
垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点． (1)证明：PE ⊥BC ；
(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．
思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．
(1)证明 以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)， 则A (1,0,0)，B (0,1,0)．
设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ????12，m 2，0. 可得PE →＝????12，m 2，－n ，BC →
＝(m ，－1,0)． 因为PE →·BC →＝m 2－m
2＋0＝0，所以PE ⊥BC .
(2)解 由已知条件可得m ＝－3
3
，n ＝1， 故C ?
???－
33，0，0，D ????0，－33，0，E ???
?1
2，－36，0， P (0,0,1)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量， 则????? n ·
HE →＝0，n ·HP →＝0，即?????
12x －36y ＝0，z ＝0.
因此可以取n ＝(1，3，0)．又P A →
＝(1,0，－1)， 所以|cos 〈P A →
，n 〉|＝24
.
所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24
. 探究提高 利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝1
2
AB ，
N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．
(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，1
2，0)．
所以CM →
＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．
因为CM →·SN →
＝－12＋12＋0＝0，
所以CM ⊥SN .
(2)解 设平面CMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则???
n ·CM →
＝x －y ＋12
z ＝0
n ·CN →＝(x ，y ，z )·????12，－1，0＝12
x －y ＝0.
∴y ＝1
2
x ，z ＝－x ，取x ＝2，
则n ＝(2,1，－2)为平面CMN 的一个法向量． ∴cos 〈n ·SN →
〉＝n ·SN →|n |·|SN →|
＝
(2，1，－2)·????－12
，－12，022＋1＋(－2)2·????－122＋???
?－1
22＋02＝－
2
2
. ∴〈n ·SN →〉＝135°，
故SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.
题型六 求二面角
例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩
形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE . (1)证明：BD ⊥平面P AC ；
(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．
思维启迪：利用图中的P A ⊥平面ABCD 、ABCD 为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题． (1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .
同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD . 又P A ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面P AC . (2)解 如图，
分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系． 由(1)知BD ⊥平面P AC ， 又AC ?平面P AC ， ∴BD ⊥AC .
故矩形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2. ∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． ∴PB →＝(2,0，－1)，BC →＝(0,2,0)，BD →
＝(－2,2,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·PB →＝0，n ·
BC →＝0， 即?????
2·
x ＋0·y －z ＝0，0·x ＋2·y ＋0·z ＝0， ∴?
????
z ＝2x ，
y ＝0，取x ＝1得n ＝(1,0,2)． ∵BD ⊥平面P AC ，∴BD →
＝(－2,2,0)为平面P AC 的一个法向量． cos 〈n ，BD →
〉＝n ·BD →|n |·|BD →
|
＝－1010.
设二面角B －PC －A 的平面角为α，由图知0<α<π
2，
∴cos α＝
1010，sin α＝1－cos 2α＝31010
. ∴tan α＝sin α
cos α
＝3，
即二面角B －PC －A 的正切值为3.
探究提高 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐
角还是钝角．
(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1
2
PD .
(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q —BP —C 的余弦值．
(1)证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以DA 、DP 、DC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .
依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →
＝(0,0,1)， PQ →
＝(1，－1,0)．
所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .
又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .
(2)解 依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →
＝(－1,2，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量， 则?????
n ·CB →＝0，n ·
BP →＝0， 即?????
x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.
因此可取n ＝(0，－1，－2)．
同理，设m 是平面PBQ 的法向量，则?????
m ·
BP →＝0，m ·PQ →＝0，
可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－15
5
. 故二面角Q —BP —C 的余弦值为－155
.
题型七 异面直线间的距离
[例7] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1.求异面直线DA 1与AC 的距离．
解析：如图建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)、C (0,1,0)、B 1(1,1,1)、A 1(1,0,1)，向量AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，DA →
＝(1,0,0)．
设向量n ＝(x ，y,1)，且n ⊥DA 1→，n ⊥AC →
，则
????? (x ，y ，1)·(1，0，1)＝0(x ，y ，1)·(－1，1，0)＝0，解得?
????
x ＝－1y ＝－1， 所以n ＝(－1，－1,1)．
∴异面直线DA 1与AC 的距离为d ＝|DA →
·n ||n |＝|(1，0，0)·(－1，－1，1)|
|(－1，－1，1)|＝
3
3
.
题型八 点、线、面到平面的距离
[例8] 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ??
?
?32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A →＝???
?32，12，－1，C 1B 1→＝(0,1,0)，C 1B →
＝(0,1，－1)，
设平面ABC
1的法向量为n ＝(x ，y,1)， 则有?????
C 1A →·n ＝0C 1B →·
n ＝0，解得n ＝????3
3，1，1，
则d ＝????
??C 1B 1→·n |n |＝
1
1
3
＋1＋1＝217.
答案：217
跟踪练习3
如图所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离．
解析：设AP →、AE →、EC →
的单位向量分别为e 1、e 2、e 3，选取{e 1，e 2，e 3}作为空间向量的一组基底，易知
e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，
AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →
＝22e 3， PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →
)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3，
设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →
，
∴?????
n·AE →＝0n ·
PF →＝0???? (x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0(xe 1＋ye 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0????
26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0 ??????
y ＝0x ＝22
，∴n ＝22e 1＋e 3 ∴直线AE 与平面α间的距离为d ＝|AP →·n ||n|＝|2e 1·(2
2e 1＋e 3)||2
2e 1|2＋|e 3|2＝23
3.
题型九 求线段长
[例9] 如图所示，在60°的二面角α－AB －β中，AC ?α，BD ?β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A 、B ，已知AB ＝AC ＝BD ＝a ，求线段CD 的长．
分析：欲求线段CD 的长，将|CD|看作是CD 的模，将CD
用已知长度及
夹角关系的AC ，AB ，BD 来表示，其中AC 与BD
所成的角等于二面角AB αβ--的大小.
解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，
又因为二面角α－AB －β为60°的二面角， ∴ >＝120°， 于是|CD →|2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2 ＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3a 2＋2a 2cos120°＝3a 2－a 2＝2a 2，∴CD ＝2a 点评：|a |2＝a ·a ，将求线段长的问题转化为向量的数量积运算是求距离的主要方法． 跟踪练习4 (2010·河北邯郸市模考)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为 2 2 a ，D 是棱A 1C 1的中点． (1)求证：BC 1∥平面AB 1D ； (2)求二面角A 1－AB 1－D 的大小； (3)求点C 1到平面AB 1D 的距离． [解析] (1)连结A 1B 与AB 1交于E ，则E 为A 1B 的中点，∵D 为A 1C 1的中点，∴DE 为△A 1BC 1的中位线， ∴BC 1∥DE . 又DE ?平面AB 1D ，BC 1?平面AB 1D ， ∴BC 1∥平面AB 1D . (2)解法1：过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质可知，DF ⊥平面ABB 1A 1，连结EF ，DE ，在正△A 1B 1C 1中，∴B 1D ＝ 32A 1B 1＝3 2 a ， 由直角三角形AA 1D 中，AD ＝AA 21＋A 1D 2＝ 32 a ， ∴AD ＝B 1D ，∴DE ⊥AB 1， 由三垂线定理的逆定理可得EF ⊥AB 1. 则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角， 又DF ＝3 4 a ，∵△B 1FE ∽△B 1AA 1， ∴ EF AA 1＝B 1E A 1B 1?EF ＝34a ，∴∠DEF ＝π4 . 故所求二面角A 1－AB 1－D 的大小为π4. 解法2：(向量法) 建立如图所示空间直角坐标系，则A (0，－12a,0)，B 1(0，12a ，2 2 a )， C 1(－ 32a,0，22a )，A 1(0，－12a ，22a )，D (－34a ，－14a ，2 2 a )． ∴AB 1→＝(0，a ，22a )，B 1D → ＝(－34a ，－34a,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 即????? y ＋22z ＝0 x ＋3y ＝0 ， 取y ＝1可得n ＝(－3，1，－2)． 又平面ABB 1A 1的一个法向量n 1＝OC → ＝(－32a,0,0)，设n 与n 1的夹角是θ，则cos θ＝n ·n 1|n |·|n 1|＝22. 又知二面角A 1－AB 1－D 是锐角， 所以二面角A 1－AB 1－D 的大小是π 4 . (3)解法1：设点C 1到平面AB 1D 的距离为h ，因AD 2＋DB 21＝AB 2 1，所以AD ⊥DB 1，故S △ADB 1＝ 1 2 ????32a 2＝38 a 2，而S △C 1B 1D ＝12S △A 1B 1C 1 ＝38a 2， 由VC 1－AB 1D ＝VA －C 1B 1D ?1 3S △AB 1D ·h ＝13S △C 1B 1D ·AA 1?h ＝66 a . 解法2：由(2)知平面AB 1D 的一个法向量n ＝(－3，1，－2)，AC 1→ ＝(－32a ，12a ，22a )， ∴d ＝|n ·AC 1→ ||n |＝a 6＝66a . 即C 1到平面AB 1D 的距离为6 6 a . 练习题 1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线BA 1和AC 所成的角的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．30° [答案] B [分析] 先选取基向量，将BA 1→与AC →用基向量表示，然后依据两向量夹角公式求出〈BA 1→，AC → 〉，再转化为异面直线所成的角，或建立空间直角坐标系，用坐标法求解． [解析] 解法1：以BA →，BB 1→，BC →为基向量，则BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →)＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →＝－|BA →|2＝－a 2，|BA 1→|＝2a ，|AC →|＝2a ， ∴cos 〈BA 1→，AC → 〉＝BA 1→·AC → |BA 1→|·|AC →| ＝－a 22a ·2a ＝－12， ∴〈BA 1→，AC → 〉＝120°， ∴异面直线BA 1与AC 成60°角． 解法2：以B 为原点，BC ，BA ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,1,0)，C (1,0,0)，A 1(0,1,1)， ∴BA 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1，－1,0)，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC → |BA 1→|·|AC →|＝－12·2＝－12，∴〈BA 1→，AC → 〉 ＝120°，∴异面直线BA 1→与AC → 所成角为60°，故选B. 解法3：在正方体中，AC ∥A 1C 1，A 1C 1＝A 1B ＝BC 1， ∴∠BA 1C 为异面直线BA 1与AC 所成的角，且∠BA 1C ＝60°. 2．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( ) A ．150° B ．45° C ．60° D ．120° [答案] C 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋ BD → . ∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD → 〉＝－12， ∴〈CA →，BD → 〉＝120°，所以二面角的大小为60°. 3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为 ( ) A.3 4 B. 32 C.334 D. 3 [答案] B [解析] 解法1：取BC 中点E ，连接AE 、A 1E ，过点A 作AF ⊥A 1E ，垂足为F . ∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥BC ， ∵AB ＝AC .∴AE ⊥BC . ∴BC ⊥平面AEA 1. ∴BC ⊥AF ，又AF ⊥A 1E ， ∴AF ⊥平面A 1BC . ∴AF 的长即为所求点A 到平面A 1BC 的距离． ∵AA 1＝1，AE ＝3，∴AF ＝ 32 . 解法2：VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×3×1＝3 3 . 又∵A 1B ＝A 1C ＝5，在△A 1BE 中，A 1E ＝A 1B 2－BE 2＝2. ∴S △A 1BC ＝12×2×2＝2. ∴VA －A 1BC ＝13×S △A 1BC ·h ＝2 3h . ∴23h ＝33，∴h ＝32.∴点A 到平面A 1BC 距离为3 2 . 4．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． [解析] 分别取AB 、A 1B 1的中点D 、D 1，连结DD 1，以DB →|DB →|、DC →|DC →|、DD 1 →|DD 1→|为正交基底建立空间直 角坐标系，则A －a 2，0,0，C 1????0，32a ，2a ，AC 1→＝a 2，32a ，2a ， 平面ABB 1A 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n |AC 1→||n | ＝12.∴〈AC 1→ ，n 〉＝π3. ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2， 空间向量在立体几何中的应用 【知识网络】 空间向量的定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐标表示及运算 应用空间向量的运算解决立几问题 证明平行、垂直 求空间角与距离 【考点梳理】 要点一、空间向量 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 3.向量的数量积 （1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 （2）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<> ；②0a b a b ⊥??= ；③2||a a a =? ． （3）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；②a b b a ?=? （交换律）；③()a b c a b a c ?+=?+? （分配律）。 4.空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角 坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律： （1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ?=++ ，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥?++= ； ||a == ||b == ． 夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==? ． 向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E 已知两异面直线 b a,，,,, A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值； （2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。 点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。 （2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 或 （3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中，AB=4，AD=6，，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP|=2，Q 是DD 1的中点， 求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 （1）平面的法向量的求法：设，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面的一个法向量，AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量，则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 （3）二面角的求法：①AB，CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为 空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项) 3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B 向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： 空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处 理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。 空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如, 2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程:联立方程组?????=?=?0 0,并解方程组 4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角: 设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ, 则=θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:?≤=<21,n n θ或><-21,n n π, 其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为,,α?A α∈B ,则点A 到平面α 2、求两条异面直线的距离 设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥ (2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,?=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的 点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。将ADE ?沿 DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中 3='O A 。 (1)证明:BCDE O A 平面⊥' (2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值 3、(2009广东,理)如图,已知正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为2,点 E 就是正方形11B BCC 的中心,点 G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中 点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。 (1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥; (3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。 立体几何空间向量练习 1．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF的长 （2）证明：EF∥平面AA1D1D； （3）证明：EF⊥平面A1CD． 2．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A 1B与C1D所成角的余弦值； （2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的 角）的余弦值． 3．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设P A＝1，AD＝2． （1）求平面BPC的法向量； （2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值． 4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知 BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5． （1）求直线A1C和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面A1MC的距离． 5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB的中点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为， 求直线P A与平面EAC所成角的正弦值． 6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点． （1）证明：AB1∥平面BC1D； （2）证明：BD⊥平面AA1C1C； （3）若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值． 7．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝， 求PB与平面QCD所成角的正弦值． 8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E； （Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值． 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ， . 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，． 立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议： 微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?== 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有：cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； 空间向量与立体几何典型例题 一、选择题: 1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( C ) A. 13 D.2 3 1、解:C.由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体,设棱长为a , 则1AB =, 棱柱的高 1 3AO a ===(即点1B 到底面ABC 的距离),故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =、 另解:设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底,1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ,平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 1OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r 、 二、填空题: 1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D -- M N ，分别就是AC BC ，的中点,则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 . 1、答案: 1 6 、设2AB =,作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥,则CH AB ⊥,CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=,结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解:以O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----, 1111(,,(,,)222222 M N ---, 向量法解立体几何 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ? = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.空间向量和立体几何练习题及答案.
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