(一) 矢量基本概念
定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法
定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），a 。
特殊的向量
零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系
两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：
零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；
共线矢量必共面；
两矢量必共面；
三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算
（一）矢量的加法
矢量的和（三角形法则）
设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA =，b AB =得一折线OAB ，从折线的端
点O 到另一端点B 的矢量c OB =，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c +=。
矢量的和（平行四边形法则）
如图示，有b a c
+=。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...-+++=
运算规律：
1） 1） 交换律：a b b a
+=+；
2） 2） 结合律：)()(c b a c b a ++=++。
矢量的差
若a c b =+，则称c 为矢量a 与b 的差，并记作b a c -=。
由定义，得矢量减法的几何作图法：
矢量加法的性质
（1）)(b a b a
-+=- （2）||||||b a b a
+≤+ （3）||||||+≤- （4）?++≤+???++||||||2121a a a a a n ||n a ?+?
（二）矢量的数乘
定义（数量乘矢量）
实数λ与矢量的乘积a λ是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ?=λλ；
（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0>λ时，λ与方向相同；当0<λ时，λ与方向相反；当0=λ或0=时，是零向量，方向不定。
定义
如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0
a 为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。 由定义，0
||a a a ?= |
|0
a a =∴
数量乘法的运算规律 1）结合律：a a )()(λμμλ=
2）第一分配律：μλμλ+=+)(
3）第二分配律：b a b a λλλ+=+)(
由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： )()(222111μλνμλν+-+
22221111μνλνμνλν--+=
)()(22112211μνμνλνλν-+-=
（三）两矢量的数性积
一、 一、数性积的定义与性质
定义
),(||||b a Cos b a ∠??，叫做矢量b
a 与的数性积（也称内积或点积）
，记为b a ?。即：)
,(||||b a C o s b a b a ∠??=?。
性质
1）),(||||b a Cos b a b a ∠??=?=a j b b j a b
a Pr ||Pr ||?=?。
2）2||a a a =?，叫做a 的数量乘方，并记作2a
。
3）0=??⊥b a b a
。
4）|
|||),(b a b a b a Cos ??=∠。
矢量数性积的运算规律 1） 1） 交换律：?=?。
2） 2） 结合律：)()()(λλλ?=?=?。 3） 3） 分配律：c b c a c b a ?+?=?+)(。
同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。
二、矢量的坐标表示矢量的数性积 定理
在右手系直角坐标系中，),,(111z y x a = ，),,(222z y x b = ，则212121z z y y x x b a ++=? 。
证明：k k z z j i y x i i x x k z j y i x k z j y i x b a ?++?+?=++?++=?212121222111)()(
又1=?=?=?k k j j i i ，0=?=?=?k j k i j i
， ∴212121z z y y x x b a ++=? 。
三、矢量的方向角与方向余弦：
定义
矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角，记为λβα,,。方向角的余弦叫做矢量的方向余弦，记为λβαCos Cos Cos ,,。
定理
若
)
,,(z y x a =
，则2
22|
|z y x x a x
C o s ++=
= α，
2
22|
|z y x y a y
Cos ++=
= β，
2
2
2
|
|z
y x z a z
Cos ++=
= λ。
证明：αCos ?=?|| ，且x =?，|
|,||a Cos x Cos =
∴=∴αα。
同理可证另两个结论。
推论
{}1,,2220
=++?=γβαγβαCos Cos Cos Cos Cos Cos 。
四、两矢量的夹角
若),,(111z y x a =
，),,(222z y x b = ，则|
|||),(b a Cos ?=
∠2
2
2
22
22
12
12
12
12121z y x z y x z z y y x x ++?++++=
推论 0=??⊥0212121=++?z z y y x x 。
（四）两矢量的矢性积
一、 一、 矢量积的定义与运算性质 定义
两个矢量a 与b 的矢性积（又叫外积，叉积）b a
?是这样一个矢量：
（1） （1） 模长为),(||||||Sin ∠?=?；（2）方向为：与b a ,均垂直且使),,(b a b a
?成
右手系。
性质 1） 1） 若b a ,中有一个为，则0 =?b a 。
2） 2） ,?=?共线{或平行}。
3）
3） 几何意义：||?表示以,为邻边的平行四边形的面积。
矢性积的运算规律 1） 1） 反交换律：?=?-。
2） 2） 结合律：)()()(λλλ?=?=?。 3）
3） 分配律：b c a c b a c c
b c a c b a ?+?=+??+?=?+)()(。
同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。
二、二、坐标计算矢量的矢性积
定理
在右手系直角坐标系中，),,(111z y x a =
，),,(222z y x b = ，
则k y x y x j x z x z i z y z y z y x z y x k j i b a
)()()(1221122112212
22111-+-+-==?。
证明：
z z y x x x z y x z y x ?++?+?=++?++=?212121222111)()(
又0=?=?=?k k j j i i ，j i k i k j k j i =?=?=?,,，
∴y x y x x z x z z y z y )()()(122112211221-+-+-=?，用行列式可记成
2
22
111
z y x z y x k
j i
=?，便于记忆。
（五）矢量的混合积
定义
??)(称为矢量的混合积，也可记为)
),,(（或或??。
(三) 矢量的线性关系与矢量的分解
定义
由矢量n a a a ,,,21???与数量n λλλ,,,21???所组成的矢量n n a a a λλλ+???++=2211，叫做矢量n a a a ,,,21???的线性组合。或称可以用矢量n a a a ,,,21???线性表示。或称可以分解成矢量n a a a ,,,21???的线性组合。
定义（线性相关）
对于n n ()1≥个矢量n a a a ,,,21???，若存在不全为零的实数n λλλ,,,21???，使得02211=+???++n n a a a λλλ，则称矢量n a a a ,,,21???线性相关。
不是线性相关的矢量叫做线性无关，即矢量n
a a a ,,,21???线性无关：
00212211==???==?=+???++n n n a a a λλλλλλ。
定理1
在2≥n 时，矢量n a a a ,,,21???线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量是其余矢量的线性组合。
证明：设矢量n a a a ,,,21???线性相关，则存在不全为零的实数n λλλ,,,21???使得
02211=+???++n n a a a λλλ，且n λλλ,,,21???中至少有一个不等于0，不妨设0≠n λ，则
112211---???---=n n
n n n n a a a a λλλλ
λλ；
反过来，设矢量n a a a ,,,21???中有一个矢量，不妨设为n a ，它是其余矢量的线性组合，即
112211--+???++=n n n a a a a λλλ，即0)1(112211=-++???++--n n n a a a a λλλ。因为数121,,,-???n λλλ，-1不
全为0，所以矢量n a a a ,,,21???线性相关。
显然，如果一组矢量中的部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。 如果一组矢量中含有零矢量，那么这一组矢量就线性相关。 定理2
若0≠，则矢量与共线x =?且系数x 被,唯一确定。
证明：若x =，由定义知，矢量与共线。反过来，若矢量与共线，则一定存在实数x ，使得x =。如果=，那么?=0，即0=x 。
最后证明唯一性。若x x '==，则)'(=-x x ，而0≠，所以x x ='。 利用矢量间的线性相关的概念，可推广到更一般的形式：
定理2’
两矢量与共线,?线性相关。
定理3
若矢量21,e e 不共线，则矢量r 与21,e e
共面21e y e x r +=?，且系数y x ,被r e e ,,21唯一确定。
证明省略。推广到更一般的形式：
定理3’
三矢量r 与21,e e 共面r e e ,,21线性相关。
定理4
若矢量321,,e e e 不共面，则空间任意矢量r 均可以由矢量321,,e e e 线性表示，即321e z e y e x r
++=，且系数
z y x ,,被321,,e e e ，r
唯一确定。
证明省略。推广到更一般的形式：
定理4’
空间任意四个或四个以上的矢量总是线性相关的。
标架与坐标
一、 一、坐标的定义
在第四节，曾经有个结论：
若矢量321,,e e e 不共面，则空间任意矢量r 均可以由矢量321,,e e e 线性表示，即
321e z e y e x r ++=，且系数z y x ,,被r ，321,,e e e 唯一确定。
定义
{}32
1
,,;e e e O 叫做空间中的一个标架，称作仿射标架。
若3
2
1
,,e e e 是单位矢量，则{
}3
21,,;e e e O 叫做笛卡儿标架。 若321,,e e e 是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角标架。
定义（坐标）
取定标架{}321,,;e e e O ，若321e z e y e x ++=，称),,(z y x 为r
关于标架{}
321,,;e e e O 的坐标。
取定标架{}3
2
1
,,;e e e O ，P 为任意一点，称为点P 的径矢，则关于标架的坐标{}z y x ,,称为点P 的坐标。
由标架决定坐标系，则由仿射标架决定的坐标系叫做仿射坐标系，今后我们用的通常是空间右手直角坐标系，
并记k j i
,,为特定的坐标矢量。
O 称为坐标原点，Oz Oy Ox ,,称为坐标轴，yOz xOz xOy ,,称为坐标面。三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。 二、 二、 坐标表示矢量的线性运算
1． 1． 矢量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标。
已知),,(),,,(222111z y x B z y x A ，证明121212,,(z z y y x x ---=）。 证明：由定义，),,(),,,(222111z y x z y x ==，
∴ -=),,(121212z z y y x x ---=。
2． 2
．
若
)
,,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则
+)
,,(121212z z y y x x +++=，
-),,(121212z z y y x x ---=，{}111,,z y x λλλλ=。
根据坐标的定义既可证明。
3． 3． 两非零矢量),,(),,,(222111z y x z y x ==，则b a
,共线
21
2121z z y y x x ==?。 推论：三点
),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x B z y x A 共线131223121312z z z z y y y y x x x x --=
--=--?。 4． 4． 三非零矢量),,(),,,(),,,(333222111z y x z y x z y x ===，则,,共面
011114
4
4333222111=?
z y x z y x z y x z y x 。
证明： 共面?=++?νμλ系数行列式0=D 。
5． 5． 线段的定比分点坐标 定义
对有向线段)(2121P P P P
≠，若存在点P 满足21PP P λ=，则称点P 分线段21P P 成定比λ。
定理
设),,(),,,(22221111z y x P z y x P
，则分有向线段21P P 成定比λ的分点P 的坐标是 λλλλλλ++=++=++=
1,1,12
1
2121z z z y y y x x x 。
证明： 21PP P λ=，用坐标表示，即???
??-=--=--=-)
()()(212121z z z z y y y y x x x x λλλ，解出z y x ,,即得。
例
对于平行四边形ABCD ，求DB AD D A ,,,在仿射标架],;[BD AC C 中的坐标。
解：作图如下
)
1,0()
2
1,21()21,21()21,21()0,1(-=--==-
-B D A 。
例
用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。
（略）
矢量在轴上的射影
定义（点在轴上的射影）
已知一点A 及一轴l ，过A 作垂直于l 的平面α，该平面与轴l 的交点A '称为点A 在轴l 上的射影。
定义（射影矢量）
的始点A 与终点B 在轴l 上的射影为点B A '',，则''A 就定义为矢量在轴l 上的射影矢量，记为射影矢
量AB l 。
定义（射影）
矢量'A 在轴l 的长度，称为矢量在轴l 上的射影，记为射影AB l （AB j l Pr ）。
即：射影l （j l Pr ）??
?-=方向相反。
与同方向。与l B A B A l B A B A ''|
'|''|''|
射影定理
θCos AB AB j l ?=||Pr ，其中θ为AB l ,的夹角。
证明略。 推论
相等矢量在同一轴上的射影相等。 定理
j j j l l l Pr Pr )(Pr +=+。
定理
a j a j l l Pr Pr λλ=。
(五) 典型例題
例
试证明：点M 在线段AB 上的充要条件是：存在非负实数λ，μ，使得μλ+=，且1=+μλ，其中O 是任意取定的一点。
证明：（先证必要性）设M 在线段AB 上，则AM 与同向，且||||0≤≤， 所以 k =，10≤≤k 。任取一点,O 所以)(k -=-
所以，k k +-=)1(，取k -=1λ，k =μ，则1=+μλ，0≥λ，0≥μ。 （必要性）若对任一点O 有非负实数λ，μ，使得μλ+=，且1=+μλ， 则μμμλμλ=-=+-+=-=)()()( 所以AM 与共线，即M 在直线AB 上。又10≤≤μ，所以M 在线段AB 上。
例
证明三角形的三条高线交于一点。
证明：如图，设ABC ?的两条高线CF BE ,交于点M ，连结AM 。
AC BE ?=??=?-?=?∴⊥0)(0
AB AC AB AM AB AC AM AB CM AB CF ?=??=?-?=?∴⊥0)(0 BC AM ⊥?=???=?∴0
延长BC AM ,交于D ，则AD 为BC 边上的高。即三条高线交于一点M 。
例
已知三点)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M ，求AMB ∠并且求在MB 上的射影。 解：2||,2||,1)1,0,1(,)0,1,1(==
=?∴==
3212
21|
|||π=∠∴=
?=
?=
∠∴A M B MB MA AMB Cos 。
射影
22
||=
∠?=AMB Cos MB
。
例
证明矢量)()(c a b c b a ?-?与相互垂直。
证明：c c a b c b a ??-?))()((=))(())((c b c a c a c b ??-??=0
例
已知空间三点)5,2,3(,)5,1,2(,)3,2,1(--C B A ，试求（1）ABC ?的面积。（2）ABC ?的AB 边上的高。 解
)6,12,24(8
023||2
1
)8,0,2(,)23,1(=--=?=∴-=-=?k
j S ABC
216||=?∴ ∴A B C ?的面积为213。
又ABC ?的AB 6314
216|
|==
AB 。
例
若?=?=?=++则,，且说明其几何意义。 证明：,)(,
)(?+?+?=++?=?=++? 又
a c
b a ?=?∴。同理可证明
c b b a ?=? 。
例
设b a
,为两不共线矢量，证明b b a a u 11+=，b b a a v 22+=共线的充要条件是0212
1=b b a a 。
证明：v u ,共线?v u ,线性相关，即存在不全为0的实数μλ,，使得=+μλ，
即)()(2121=+++b b a a μλμλ。
又因为b a ,不共线?b a
,线性无关????=+=+00
2121μλμλb b a a 有唯一零解?02
12
1=b b a a 。
例
对于平行四边形ABCD ，求D A ,,,在仿射标架],;[C 中的坐标。
解：作图如下
)
1,0()
2
1,21()21,21()21,21()0,1(-=--==-
-B D A 。
例
用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。 （略）
2002—2003年应数02级《空间解析几何》复习试题
一．一．填空：（每题6分）
1．向量{}4,3,4-=a 在向量{}1,2,2=b 上的投影是 。 ２．已知,3,3k j OB k i OA +=+=→
则△OAB 的面积为 。
３．曲线?
????==-0122
22y c z a x 绕Z 轴旋转一周之曲面方程为 。
４．求直线
13411:1+==-z y x L 和1222:2-=
-+=z y x L 的夹角为 。 ５．二次曲线01362
2=-++--y x y xy x 的渐近线为 。
二．（８分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。
三．（１０分）证明：二次曲线084165482
2
=-++++y x y xy x 表示一个椭圆，并写出其标准形。
四．（１０分）求直线
??
?=++-=--+0101:z y x z y x L 在平面0:=++z y x π上的投影直线的方程。
五．（１０分）已知两垂直的直线0734:1=-+y x l 与0143:2=+-y x l ，取1l 为'
x 轴，2l 为'y 轴 ，求坐标
变换公式，并求02''3:3=+-y x l 在原坐标系中的方程。
六．（12分）判别两直线11222
--=-+=z y x 与直线112341-+=-=-z y x 的位置关系，并求两直线间的距离。
七．（10分）已知一柱面的准线是球面12
2
2
=++z y x 和平面0=++z y x 的交线，母线垂直于准线所在的平
面，求它的一般方程。
八．（10分）设μλ,满足什么条件时，二次曲线04362
2
=-++++y x y xy x μλ（1）有唯一的中心；（2）无中心；（3）有一条中心直线。
2002—2003年应数02级《空间解析几何》复习试题
二．一．填空：（每题6分）
1．向量{}4,3,4-=a 在向量{}1,2,2=b 上的投影是 。 ２．已知,3,3k j OB k i OA +=+=→
则△OAB 的面积为 。
３．曲线?
????==-0122
22y c z a x 绕Z 轴旋转一周之曲面方程为 。
４．求直线
13411:1+==-z y x L 和1222:2-=
-+=z y x L 的夹角为 。 ５．二次曲线01362
2=-++--y x y xy x 的渐近线为 。
二．（８分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。
三．（１０分）证明：二次曲线084165482
2
=-++++y x y xy x 表示一个椭圆，并写出其标准形。
四．（１０分）求直线
??
?=++-=--+0101:z y x z y x L 在平面0:=++z y x π上的投影直线的方程。
五．（１０分）已知两垂直的直线0734:1=-+y x l 与0143:2=+-y x l ，取1l 为'
x 轴，2l 为'y 轴 ，求坐标
变换公式，并求02''3:3=+-y x l 在原坐标系中的方程。
六．（12分）判别两直线11222
--=-+=z y x 与直线112341-+=-=-z y x 的位置关系，并求两直线间的距离。
七．（10分）已知一柱面的准线是球面12
2
2
=++z y x 和平面0=++z y x 的交线，母线垂直于准线所在的平
面，求它的一般方程。
八．（10分）设μλ,满足什么条件时，二次曲线04362
2
=-++++y x y xy x μλ（1）有唯一的中心；（2）无中心；（3）有一条中心直线。
平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别： 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 ５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念： 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
角（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿：赵炜 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2 ）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图1 图2
要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角 的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
材料学中的相和组织 铁渗碳体相图中所有的物质都是由渗碳体和铁素体构成；相：是指合金中具有同一聚集状态、同一晶体结构和性；相（phase）体系内部物理和化学性质完全均匀的；（1）相与相之间有界面，各相可以用物理或机械方法；（2）一个相可以是均匀的，但不一定只含一种物质；体系的相数P∶；气体：一般是一个相，如空气组分复杂；液体：视其混溶程度而定，可有1、2、3…个相；固体：有几种物 铁渗碳体相图中所有的物质都是由渗碳体和铁素体构成的，这两个是相，但由于结晶方式的不同，它们两个的形态，相对数量会有所不同，造成宏观上形貌的不同，即构成不同的组织了。如珠光体和莱氏体，它们本质都是由两种相构成，但是比例不同，当然形貌不同，它们就是不同的组织。 相：是指合金中具有同一聚集状态、同一晶体结构和性质并以界面相互隔开的均匀组成部分；组织：是指合金中有若干相以一定的数量、形状、尺寸组合而成的并且具有独特形态的部分。 相（phase）体系内部物理和化学性质完全均匀的部分称为相。相与相之间在指定条件下有明显的界面，在界面上宏观性质的改变是飞跃式的。体系中相的总数称为相数，用P表示。（1）相与相之间有界面，各相可以用物理或机械方法加以分离，越过界面时性质会发生突变。 （2）一个相可以是均匀的，但不一定只含一种物质。体系的相数P∶ 气体：一般是一个相，如空气组分复杂。液体：视其混溶程度而定，可有1、2、3…个相。固体：有几种物质就有几个相，如水泥生料。但如果是固溶体时为一个相。 固溶体：固态合金中，在一种元素的晶格结构中包含有其它元素的合金相称为固溶体。在固溶体晶格上各组分的化学质点随机分布均匀，其物理性质和化学性质符合相均匀性的要求，因而几个物质间形成的固溶体是一个相。 系统中物理状态、物理性质和化学性质完全均匀的部分称为一个相（phase）。系统里的气体，无论是纯气体还是混合气体，总是一个相。若系统里只有一种液体，无论这种液体是纯物质还是（真）溶液，也总是一个相。若系统中有两种液体，如乙醚与水，中间以液-液界面隔开，为两相系统，考虑到乙醚里溶有少量水，水里也溶有少量乙醚，同样只有两相。同样，不相溶的油和水在一起是两相系统，激烈振荡后油和水形成乳浊液，也仍然是两相（一相叫连续相，另一相叫分散相）。不同固体的混合物，是多相系统，如花岗石（由石英、云母、长石等矿物组成），又如无色透明的金刚石中有少量的黑色的 金刚石，都是多相系统。相和组分不是一个概念，例如，同时存在水蒸气、液态的水和冰的系统是三相系统，尽管这个系统里只有一个组分——水。一般而言，相与相之间存在着光学界面，光由一相进入另一相会发生反射和折射，光在不同的相里行进的速度不同。混合气体或溶液是分子水平的混合物，分子（离子也一样）之间是不存在光学界面的，因而是单相的。不同相的界面不一定都一目了然。更确切地说，相是系统里物理性质完全均匀的部分。 铁碳合金相图中的相有：铁素体、奥氏体、渗碳体三种。铁碳合金相图中的组织有：铁素体、奥氏体、渗碳体、珠光体、莱氏 体、索氏体、托氏体、贝氏体、马氏体、回火马氏体、魏氏组织。其中铁素体、奥氏体、渗碳体三种既是相也是组织，具有双重身份，其他的都是混合物。 如何区分？ 1、根据含碳量：铁素体含碳0~0.0218%，奥氏体0~2.11%，渗碳体6.69%， 2、根据冷却速度：珠光体、索氏体、托氏体、贝氏体、马氏体一个比一个冷速快。 3、根据相变反应：珠光体是共析转变产物、莱氏体是共晶转变产物。
三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
基本组织 上皮组织 1、上皮的概念：由许多排列紧密的细胞和少量的细胞间质组成，覆盖于人体的外表面或衬在体内各种管、腔、囊的内表面。 2、上皮组织的特点：细胞排列紧密、细胞间质少。细胞有极性，分游离面和基底面。一般没有血管和淋巴管。有丰富的神经末梢。 3、被覆上皮的分类：单层扁平上皮，单层立方上皮，单层柱状上皮，假复层纤毛柱状上皮，变移上皮，复层扁平上皮 结缔组织 1、结缔组织的特点：1）细胞排列较疏松、细胞间质多。2）细胞间质中有纤维。3）血管丰富、有神经末梢和淋巴管。 2、猪身上的结缔组织? 猪蹄筋坚韧致密的软组织 猪气泡肉疏松如蜂窝 软骨半固体 猪骨坚硬的固体 猪血流动的液体 3、疏松结缔组织的成分及其形态特征： 细胞：1)成纤维细胞：在光镜下，细胞成梭形或扁的星形，有尖细的突起；依附在纤维旁；核为长卵圆形，有1~2个明显的核仁。2)巨噬细胞：在光镜下，固定巨噬细胞多呈星形或梭形，不易与成纤维细胞区分；胞质中常有其吞噬的大小不等、分布不均的异物颗粒，游离巨噬细胞形状多样，细胞界限清楚，细胞边缘有钝圆形突起；胞核常偏于细胞的一端。3)浆细胞：细胞较小；细胞呈圆形或卵圆形，胞质嗜碱性；胞核呈车轮状，常偏于细胞的一侧。4)肥大细胞：细胞较大，呈卵圆形；核小，染色浅；胞质内充满了粗大、均匀的嗜碱性颗粒；肥大细胞常沿小血管和淋巴管分布。 功能：1)成纤维细胞：胞体较大，细胞器丰富。功能活跃，具有合成和分泌胶原纤维、弹性纤维、网状纤维以及基质的功能。2)纤维细胞：胞体较小；胞核小，着色深；细胞器较少。功能处于静止状态。机体创伤时，纤维细胞可转化为成纤维细胞，与大量新生的毛细血管一起构成肉芽组织。成纤维细胞分裂增殖，并大量分泌基质，从而填平伤口。3）巨噬细胞：活跃的吞噬功能。担负机体非特异性的防御功能。吞噬、处理抗原，并将此信息传递给免疫淋巴细胞；受淋巴因子的作用，可有效杀伤细胞内病原体和肿瘤细胞，从而间接或直接参与免疫反应。4）浆细胞：合成分泌蛋白质——免疫球蛋白，即抗体。故浆细胞是体液免疫的效应细胞。5）肥大细胞：肥大细胞受到某些刺激后，可将其颗粒排放至细胞外，即出现脱颗粒现象（引起组织水肿）。可能主要是参与过敏反应。 纤维种类：1）胶原纤维：肉眼观：新鲜时呈白色，发亮，又称白纤维。物理特性：抗拉性极强，韧性大，但无弹性；化学特性：易被蛋白酶消化；亦可水解。形态特点：纤维束较粗，直径1~20微米，着色很浅。2）弹性纤维：肉眼观：呈黄色，又称黄纤维。物理特性：折光性强，富于弹性，韧性小。化学特性：难溶于水；但易被胰液消化。形态特点：纤维较细，直径0.2~1.0微米，分支交错；染色较深暗。3）网状纤维：形态特点：一般染色法不能使之着色，需用镀银法染色。网状纤维细而短，分支多，交织成网。又称嗜银纤维。由于构成它的胶原原纤维超微结构与胶原纤维的完全一致，其化学成分也为胶原蛋白，故认为网状纤维是胶原纤维的前身。 4、血液的组成及其生理功能1）组成：(1) 血浆：把血细胞从血液中分离出来，剩下的黄色液体即为血浆。血浆相当于细胞间质。(2) 有形成分：包括血细胞和血小板。
小学六年级数学总复习（九） 班级______ 姓名_______ 得分__________ 复习内容： ① 线和角的基本概念 ② 平面几何图形的基本概念 一、填空 1. 2. 从一点引出（ ），就组成一个角，这个点叫做角的（ ），这（ ） 叫做角的边。 3. 两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线叫做（ ），其中一条直线叫做另一 条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）。 4. 一个三角形有两条边相等，这个三角形叫做（ ）。如果这个三角形的顶角是70°， 其余两个底角各是（ ）度。 5. 直角度数的 31 ，等于平角度数的()()，等于周角度数的()() 。 6. 在直角三角形中，如果一个锐角的度数是另一个锐角度数的一半，那么这两个锐角的度 数分别是（ ）度和（ ）度。 7. 一个三角形的每个角都是60°，如果按角分，这个三角形是（ ）三角形；如果按边 分，这个三角形是（ ）三角形。 8. 平行四边形的两组对边（ ），两组对角（ ）。 9. 在梯形里，互相平行的一组对边分别叫梯形的（ ）和（ ），不平形的一组对边 叫梯形的（ ）。 10. 等腰三角形有（ ）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴，长方形有（ ）条 对称轴，正方形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴。 二、判断（对的请在括号内打“√”，错的打“×”。） 1. 一条直线长10厘米。……………………………………………………（ ） 2. 角的两条边越长，角就越大。………………………………………… （ ） 3. 通过圆心的线段叫做圆的直径。……………………………………… （ ） 4. 比90°大的角叫做钝角。……………………………………………… （ ） 5. 两个正方形一定可以拼成一个长方形。……………………………… （ ） 6. 四条边相等的四边形不一定是正方形。……………………………… （ ） 7. 经过两点可以作无数条直线。………………………………………… （ ） 8. 两条不平行的直线一定相交。………………………………………… （ ） 9. 平角是一条直线。……………………………………………………… （ ） 10.平行四边形没有对称轴。……………………………………………… （ ）
小学线和角的基本概念总 复习 The latest revision on November 22, 2020
小学六年级数学总复习（九） 班级______ 姓名_______ 得分__________ 复习内容： ① 线和角的基本概念 ② 平面几何图形的基本概念 一、填空 1. 2. 从一点引出（ ），就组成一个角，这个点叫做角的（ ），这 （ ） 叫做角的边。 3. 两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线叫做（ ），其中一条 直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）。 4. 一个三角形有两条边相等，这个三角形叫做（ ）。如果这个三角形 的顶角是70°，其余两个底角各是（ ）度。 5. 直角度数的3 1，等于平角度数的()()，等于周角度数的()()。 6. 在直角三角形中，如果一个锐角的度数是另一个锐角度数的一半，那么这 两个锐角的度数分别是（ ）度和（ ）度。 7. 一个三角形的每个角都是60°，如果按角分，这个三角形是（ ）三角 形；如果按边分，这个三角形是（ ）三角形。 8. 平行四边形的两组对边（ ），两组对角（ ）。 9. 在梯形里，互相平行的一组对边分别叫梯形的（ ）和（ ），不平 形的一组对边叫梯形的（ ）。 10. 等腰三角形有（ ）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴，长方形 有（ ）条对称轴，正方形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（ ）条对 称轴，圆有（ ）条对称轴。 二、判断（对的请在括号内打“√”，错的打“×”。） 1. 一条直线长10厘米。…………………………………………………… （ ） 2. 角的两条边越长，角就越大。………………………………………… （ ） 3. 通过圆心的线段叫做圆的直径。……………………………………… （ ） 4. 比90°大的角叫做钝角。……………………………………………… （ ）
平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向 （2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； 7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念： 长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 A(起点) B （终点） a
长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. B A O D E F
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计
气质的差异与应用 （一）什么是气质 心理学中所说的气质与日常人们所说的气质不太一样，而近似于人们常说的脾气。气质是人心理活动的动力特点。 它在人参与的不同活动中有近似的表现，而不依赖于活动的内容、动机和目的 气质是个人与神经过程特征相联系的行为特征，主要指一个人在情绪体验和行为反应的强度和速度等方面的特点。 神经过程可以分为兴奋和抑制，不同的个体的这个过程有三方面的特征：1.神经过程的强度，2.神经过程的均衡性；3.神经过程的灵活性。这些特征在不同的人身上有不同的组合表现，形成不同的气质类型。 （二）气质差异——气质类型 根据人高级神经活动的这三个特点将人的气质分为四种类型：胆汁质、多血质、粘液质和抑郁质。 （三）气质差异的应用 1．应用范围 （1）职业要求 某些职业或岗位对人员的气质要求非常高，必须具备某些气质特征。如航天员，外交官等。 教师职业也对气质有一定的要求，如胆汁质或抑郁质显然是不适合做教师的。 （2）人际关系 人际关系也是影响工作效率的，因此，管理人员应了解每一个人的气质，在人事安排上应该考虑不同气质人员的互补，以及在与他们交往时应该注意的人际技巧。 （3）思想教育 在对工作人员进行批评教育时，要考虑因气质差异而运用不同的批评方式。同时鼓励不同气质类型人的努力克服自己的弱点，提高心理素质。 2．应用原则 （1）气质绝对原则 气质是人最稳定的心理特征,是很难改变的,因此一些专业工作要求人员具备某些气质特征。教师是专业人员，其任务是教书育人。目前虽然对教师的气质没有明确的要求，但是教师确实应具有足够的耐心和细心。 （2）气质互补原则 不同气质类型的人组成团体，可以产生互补作用。气质学家研究了气质对群体协同活动的影响，发现两个不同气质或相反气质类型的人的合作，往往会取得更好的成就。这种例子在现实生活中很多，我们的管理者要做有心人，在分配工作时要注意人的气质的协调与互补。 （3）气质发展原则 气质虽然稳定，但并不是不可以改变和控制。气质在实践活动中是可以缓慢地发生变化。例如，加强学习，提高人的修养和自控能力，使气质消极的一面得到制约。同样管理者自己也要认识自己的气质特征，“扬长制短”，使管理水平不断提高。
平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F
《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。
二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。
课题：向量的概念及表示 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示等 本节从台湾与大陆直航问题中的距离和方向两个要素出发，以及金钱豹与小狗的追逐问题。抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念 在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 例如：从台湾与大陆直航问题中的距离和方向，以及金钱豹与小狗的追逐问题，方向不同效果不同。抽象出向量的概念，向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O
（3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。
1、管理是由计划、组织、指挥、协调及控制等职能为要素组成的活动过程。 2、管理就是通过其他人来完成工作：（1）管理必然涉及其他人（2）管理的目的就是要通过其他人来完成工作（3）管理的核心问题是管理者要处理好与其他人的关系，调动人的积极性。 3、管理是一种实践，其本质不在于“知”而在于“行”；其验证不在于逻辑，而在于成果；其唯一权威就是成就。 4、管理就是决策。决策过程实际上是任何管理工作解决问题时所必经的过程。 5、管理就是设计并保持一种良好环境，使人在群体里高效率地完成既定目标的过程。 6、管理是对资源进行计划、组织、领导和控制以快速有效地达到组织目标的过程。 7、管理是通过协调其他人的工作有效率和有效果地实现组织目标的过程。 管理的职能： 决策：组织中所有层次的管理者，包括高层管理者、中层管理者和一线管理者，都必须从事计划活动 组织：计划的执行要靠他人的合作，组织工作正是源自人类对合作的需要 领导：组织目标的实现要靠组织全体成员的努力 控制：为了保证目标及为此而制定的计划得以实行 创新：创新在这管理循环之中处于轴心的地位，成为推动管理循环的原动力 管理的两重属性： 自然属性：管理的出现时由人类活动的特点决定的，人类的任何社会活动都必定具有各种管理职能。管理是社会劳动过程中的一种特殊职能，也是生产力。它不以人的意志为转移，也不因社会制度意识形态的不同而有所改变，是一种客观存在。 社会属性：管理是为了达到预期目标而进行的具有特殊职能的活动。管理的预期目标都是为了使人与人之间的关系以及国家、集体和个人的关系更加和谐。 泰罗制的评价： 1、它冲破了百多年沿袭下来的传统的落后的经验管理方法，将科学引进了管理领域，并且创立了一套具体的科学管理方法来代替单凭个人经验进行作业和管理的旧方法，这是管理理论上的创新，也为管理实践开辟了新局面 2、推动了生产的发展，适应了资本主义经济在这个时期发展的需要 3、使管理理论的创立和发展有了实践基础 4、泰罗制是适应历史发展的需要而产生的，同时也受到历史条件和倡导者个人经历的限制。泰罗的一系列主张，主要是解决工人的操作问题，生产现场的监督和控制问题，管理的范围比较小，管理的内容也比较窄。企业的供应、财务、销售、人事等方面的活动，基本没有设计 法约尔管理理论： 法约尔认为要经营好一个企业，不仅要改善生产现场的管理，而且应当注意改善有关企业经营的六个方面的职能：技术职能、经营职能、财务职能、安全职能、会计职能、管理职能。其中管理职能还包括计划、组织、指挥、协调、控制。 他还提出了管理人员解决问题时应遵循的十四条原则：分工、权利与责任、纪律、统一命令、统一领导、员工个人要服从整体、人员的报酬要公平、集权、等级链、秩序、平等、人员保持稳定、主动性、集体精神。 需要层次理论： 从一定的需要出发，为达到某一目标而采取行动，进而实现需要的满足，而后又为满足新需要产生新行为过程，是一个不断的激励过程。只有尚未得到满足的需要，才能对行为起激励作用。需要层次理论有两个基本论点：一是人的需要取决于他已得到什么，尚缺少什么，只有尚未满足的需要能够影响行为。二是人的需要都有轻重层次，某一层需要得到满足后，另一需要才出现。这一理论没有注意到工作与工作环境的关系。