浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期第一次联考数学（理）试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．已知全集为R ，集合{
}{
}
2
21,680x
A x
B x x x =≥=-+≤，则R A
C B =（ ）
（A ）{}
0x x ≤ （B ） {}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x ≤<>或 （D ）{}
024x x x ≤<≥或 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】C
解析：因为{
}{
}
{
}{
}
2
210,68024x
A x x x
B x x x x x =≥=≥=-+≤=≤≤，所以
{}{}24,024R R C B x x x A C B x x x =<>=≤<>或或，则选C.
【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时，可先对不等式求解，再对集合进行运算. 【题文】2．在等差数列{}n a 中，432a a =-，则此数列{}n a 的前6项和为（ ） （A ）12 （B ）3 （C ）36 （D ）6 【知识点】等差数列D2
【答案】【解析】D 解析：因为432a a =-，所以()436432,36a a S a a +==+=，所以选D..
【思路点拨】遇到等差数列问题，可先观察其项数，根据项数之间的关系判断有无性质特征，有性质特征的用性质解答.
【题文】3．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ ） （A ）1- （B ） 1 （C ）5- （D ）5 【知识点】偶函数B4
【答案】【解析】D 解析：因为函数()y f x x =+是偶函数，所以()()()22223,25f f f --=+=-=，
所以选D .
【思路点拨】抓住偶函数的性质，即可得到f(2)与f (－2)的关系，求值即可.
【题文】4．已知直线,l m ，平面,αβ满足,l m αβ⊥?，则“l m ⊥”是“//αβ”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件
（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件A2
【答案】【解析】C 解析：因为,l m αβ⊥?，若l m ⊥，两面α、β可能平行可能相交，所以充分性不
满足，若//αβ，则l ⊥β,由线面垂直的性质可得l m ⊥，所以必要性满足，综上知选C.
【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.
【题文】5．函数()cos 3f x x πω??
=+
??
?
(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω??
=+ ??
?
的图象（ ）
（A ）向左平移
2π
个单位长度 （B ）向右平移
2π
个单位长度
（C ）向左平移4
π
个单位长度
（D ）向右平移4
π
个单位长度
【知识点】三角函数的图像C3
【答案】【解析】C 解析：因为函数()cos 3f x x πω?
?
=+
??
?
的最小正周期为π，所以22πωπ==，则()cos 23f x x π?
?=+ ???，()sin 2cos 2cos 233243g x x x x πππππ????????=+=+-=-+ ? ? ????????
???，则用
4
x π
+
换x 即可得到f(x)的图像，所以向左平移
4
π
个单位长度，则选C . 【思路点拨】判断两个函数图象的平移情况，关键是抓住解析式中的x 的变化规律. 【题文】6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为
4
3
，则它的正视图为( )
【知识点】三视图G2
【答案】【解析】B 解析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方
体，由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为
1，所以选B.
【思路点拨】熟悉常见的几何体的三视图特征是解答本题的关键.
【题文】7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥中恒成立的为（ ）
（A ）①③ （B ）③④ （C ）①② （D ）②③④
【知识点】平行、垂直的位置关系G4 G5 【答案】【解析】A 解析：如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ． ①由正四棱锥S-ABCD ，可
得SO ⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ，∴SO ⊥AC ．∵SO ∩BD=O ，∴AC ⊥平面SBD ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM ∥BD ，MN ∥SD ，而EM ∩MN=N ，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC ⊥EP ．故
正确．②由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP ∥BD ，因此不正确；③由（1）可知：平面EMN ∥平面SBD ，∴EP ∥平面SBD ，因此正确．④由（1）同理可得：EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP ∥EM ，与EP ∩EM=E 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即不正确．综上可知：①③正确．所以选A ．
.
【思路点拨】判断线线、线面位置关系能直接利用定理或性质进行推导的可直接推导，不能推导的可用反例法排除.
【题文】8．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=
+()n N *∈．若11
(2)(1)n n
b n a λ+=-?+
()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）
（A ）23λ
>
（B ）32λ> （C ）23λ< （D ）3
2
λ< 【知识点】数列的表示D1
【答案】【解析】C 解析：由12n
n n a a a +=
+得
1112111,121n n n n a a a a ++??=++=+ ???
，所以111222n n n a -+=?=，则11
(2)(1)(2)2n
n n
b n n a λλ+=-?+=-?，则()2b 212λ=- 若数列{}n b 是
单调递增数列，则21b b > ，整理得2
3
λ
<
，则排除A,B,D ，所以选C . 【思路点拨】由递推关系求通项公式时，通常构造等差数列或等比数列进行解答,本题也可直接用排除法解答.
【题文】9．定义,max{,},a a b a b b a b ≥?=?
2x y ?≤??≤??，则
max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）
（A ）[8,10]-
（B ） [7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-
【知识点】简单的线性规划B5
【答案】【解析】B
解析：如图,令z 1=4x+y,点(x,y)在四边形ABCD 上及其内部,求得-7≤z 1≤10;
令z 2=3x-y,点(x,y)在四边形
ABEF 上及其内部(除AB 边),求得-7≤z 2≤8. 综上可知,z 的取值范围为[-7,10].故选B.
.
【思路点拨】由线性约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合进行解答.
【题文】10．已知函数52
log (1)(1)()(2)2
(1)
x x f x x x ?-<=?--+≥?，则关于x 的方程1
(2)f x a x
+
-=的实根个数不．可能．．
为（ ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个
【知识点】函数与方程B9
【答案】【解析】A 解析：因为f(x)=1时，x=1或x=3或x=45或x=-4，则当a=1时14
25
x x +-=或1或3或－4,又因为11202-4x x x x +
-≥+-≤或,则当1
2=-4x x
+-时只有一个 x=－2与之对应其它情况都有两个x 值与之对应，所以此时所求方程有7个根，当1＜a ＜2时因为函数f(x)与y=a 有4个交点，每个交点对应两个x ，则此时所求方程有8个解，当a=2时函数f(x)与y=a 有3个交点，每个交点对应两个x ，则此时所求方程有6个解，所以B,C,D 都有可能，则选A.
【思路点拨】一般判断方程根的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题进行解答..
非选择题部分（共100分）
【题文】二、填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 【题文】11．函数)
2(log 1
)(2-=
x x f 的定义域为_____▲____．
【知识点】函数的定义域B1
【答案】【解析】{x ▏x ＞2且x ≠3} 解析：由题意得(
)2x-20
log 20x >???-≠??，
解得x ＞2且x ≠3.所以函数的定义域为{x ▏x ＞2且x ≠3}.
【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合.
【题文】12．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====
，2BC AD ==，则直线AD 与底面BCD 所成角为_____▲____． 【知识点】线面所成的角G11
【答案】【解析】60° 解析：取BC 中点E ，连接AE,DE ，因为2AB AC BD CD ====，所以BC ⊥平
面AED ，得平面AED ⊥平面BCD ，所以∠ADE 即为直线AD 与底面BCD
所成角，又
AE DE ===
AD =，所以△AED 为等边三角形，则
∠ADE=60°.
【思路点拨】求线面所成角时，可利用线面所成角的定义寻求直线在平面内的射影，进而得到其平面角，
再利用其所在的三角形解答. 【题文】13．已知3cos()4
5π
α+
=
，322
ππα≤<，则cos 2α=_____▲____． 【知识点】诱导公式 倍角公式C2 C6 【答案】【解析】2425-
解析：因为337,22444πππππαα≤<<+<，所以4sin 45πα?
?+=- ??
?，则
43
24cos 2sin 22sin cos 224455
25πππαααα????????=+=++=?-?=- ? ? ? ?????????.
【思路点拨】遇到给值求值问题，通常从角入手，观察所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系，再利
用相应的公式计算.
【题文】14．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(1)2f =，则
(2013)(2015)f f +=_____▲____．
【知识点】奇函数 函数的周期性B4
【答案】【解析】－2 解析：因为()()()(3)(),f 63f x f x x f x f x +=-+=-+=，又函数为奇函数，
则f(0)=0，所以()()()()(2013)(2015)31012f f f f f f +=+-=--=-.
【思路点拨】熟悉常见的周期性条件是解答本题的关键，先利用周期性把所求值向已知条件靠拢，再利用已知条件转化成已知函数值.
【题文】15．设12n ??????a ,a ,,a ,是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)=-a ， 且1(1,1)n n --=a a ，则其中模最小的一个向量的序号n = ___▲____． 【知识点】向量的坐标运算F2
【答案】【解析】1002或1001 解析：因为()()11,12005,12n a a n n n n =+--=-+，所以
(n a n =
=
22224006201512y n n =-++的对称轴方程为1
10012
x =，又n 为正整数，所以当n=1002或1001
时模最小.
【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值. 【题文】16．设向量2(2,)λλα=+a ，(,
sin cos )2
m
m αα+b =，其中,,m λα
为实数．若2=a b ，则
m
λ
的取值范围为_____▲____．
【知识点】三角函数的性质 向量相等 函数的单调性F1 C3 B3 【答案】【解析】[－6,1] 解析：由2=a b 得2
222sin 2m
m λλαα+=???
-=+??
，得[]22
2sin 22,22
3λπλα+?
?-
=+∈- ???,解得322λ-≤≤，则()
2
24,'022t t m λλλλ===>++ ，所以函数在区间上单调递增，当3
2
x =-
时得最小值为－6,当x=2时得最大值为1,所以所求的范围是[－6,1].
【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系，再利用三角函数的性质求出λ的范围，再利用导数判断单调性，利用单调性求函数的值域.
【题文】17．若实数,,a b c 满足2
2
2
1a b c +
+=，则2
33
2ab bc c -+
的最大值为____▲____． 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】3 解析：
)
2
2
3323
32ab bc c c ????-+=++? ??? ?
?????
22222313322222223a b b c c ????
≤++++ ? ?????
()22233a b c =++= 【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.
【题文】三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】18．（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知30B ∠=,ABC ?的面积为
3
2
． （Ⅰ）当,,a b c 成等差数列时，求b ； （Ⅱ）求AC 边上的中线BD 的最小值． 【知识点】解三角形C8
【答案】【解析】
（Ⅰ）1b =
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）由已知得a+c+2b,ac=6,
而(
)(
(2
2
2
2
2
2462b a c a c ac b =+-=+-+=-+
，得
1b =
（Ⅱ）因为2
2
2
2,2BA BC BA BC BA BC BA BC BD BD
??++++?===
≥==
，当a c ==. 【思路点拨】计算中线的长度时，可利用向量巧妙的转化为三角形边之间的关系进行解答.
【题文】19．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -如图放置，//,AB CD BC CD ⊥,
2AB BC ==，
1CD PD ==，PAB ?为等边三角形．
（Ⅰ）证明：面PD PAB ⊥；
（Ⅱ）求二面角P CB A --的平面角的余弦值．
【知识点】线面垂直 二面角G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）略； 解析：（Ⅰ）易知在梯形ABCD 中，AD ，而
12，PD AP ==，则PD PA ⊥
同理PD PB ⊥，故
面PD PAB ⊥；
（Ⅱ）取AB 中点M ,连,PM DM ，
作PN DM ⊥,垂足为N ,再作NH BC ⊥,连HN 。 易得面AB DPM ⊥，则面面ABCD DPM ⊥ 于是面PN ABCD ⊥，面BC NPH ⊥ 即NHP ∠二面角P CB A --的平面角。
在NHP ?
中，1,PN PH NH =
==
∴cos =
7
NHP ∠， 故二面角A PB C --
. 【思路点拨】证明直线与平面垂直通常利用其判定定理进行证明，求二面角一般先结合二面角的平面角的定义作出其平面角，再利用其所在的三角形求值，本题也可以用向量解答. 【题文】20．本题满分15分）已知函数2
()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围． 【知识点】函数的单调性 函数的最值B3
【答案】【解析】（Ⅰ）当0a ≥时，在R 上递增 ，当0a <时，在(,)a -∞和(,)3a
+∞上递增，在在(,)3
a a 上递减（Ⅱ）112a -≤≤-
或5
52
a ≤≤. 解析：（Ⅰ）222
2()()()3()()
33x a a x a f x a a x x a ?--+≤?
=?--
>??
当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，∵2()f a a =，则()f x 在R 上递增 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a
+∞上递增，在在(,)3
a a 上递减 （Ⅱ）由题意只需min max ()4,()16f x f x ≥≤ 首先，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增 则min ()(1)1214f x f a ==+-≥，解得12a ≤-或52
a ≥ 其次，当52a ≥时，()f x 在R 上递增，故max ()(2)4416f x f a ==-≤，解得5
52
a ≤≤ 当12a ≤-
时， ()f x 在[1,2]上递增，故max ()(2)12416f x f a ==-≤，解得112
a -≤≤-
综上：112a -≤≤-
或5
52
a ≤≤. 【思路点拨】一般遇到由不等式恒成立求参数范围问题，通常转化为函数的最值问题进行解答. 【题文】21．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
n
n
n a b a +=
，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n n T -<-<．
【知识点】数列的通项公式 数列求和D1 D4 【答案】【解析】（Ⅰ）21n n a =-；（Ⅱ）略 解析：（Ⅰ）因为2n
n S a n =-，
当n=1时111121,1S a a a ==-= ，又1121n n S a n ++=--与2n n S a n =-两边分别相减得11221n n n a a a ++=--得()1121n n a a ++=+，又112a +=，所以12n n a +=，得
21n n a =-；
（Ⅱ）因为1121
21
n n n n n a b a ++-==-，所以234211111
,022********n n n n n b T ++??
-
=--=-+++
< ?
----?
?，得02
n n T -<，又2111
22
223232n n n n +=
<--+??，所以21111111
232223323
n n n n T ??-=-++
+=-+>- ????，所以1032
n n
T -
<-<. 【思路点拨】遇到由数列的n 项和与通项之间的递推公式可先转化为通项之间的递推关系再进行解答. 【题文】22．（本题满分14分）给定函数()f x 和常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“好数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“类好数对”．已知函数
()f x 的定义域为[1,)+∞．
（Ⅰ）若(1,1)是函数()f x 的一个“好数对”，且(1)3f =，求(16)f ； （Ⅱ）若(2,0)是函数()f x 的一个“好数对”，且当12x <≤时，()f x =，求证：
函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；
（Ⅲ）若(2,2)-是函数()f x 的一个“类好数对”，(1)3f =，且函数()f x 单调递增，比较()f x 与
22
x
+
的大小，并说明理由．
【知识点】函数的单调性 函数与方程 不等式的证明B9 B3 E7 【答案】【解析】 （Ⅰ）7；（Ⅱ）略；（Ⅲ）()22
x
f x >
+ 【解析】（Ⅰ）由题意，(2)()1f x f x =+，且(1)3f =，则1(2)(2)1n n f f -=+ 则数列{}
(2)n f 成等差数列，公差为1d =，首项(1)3f =，于是(16)7f = （Ⅱ）当122n n x +<≤时，122n
x
<
≤，则由题意得
22()2()2()=
=2(
)222
2n n x x
x f x f f f ====
由()0f x x -=x =，解得0x =或2n x = 均不符合条件
即当122n n x +<≤时，函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点； 注意到21(1,)(1,2]
(2,2](2,2]
n n ++∞=
故函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；
（Ⅲ）由题意得()()222f x f x ≥-，则()()
12222n n f f -≥-，即()()1
2
2222n
n f f -??-≥-??，得
()()()()1
220
222222222222n n n n n f f f f --??????-≥-≥-≥≥-=????
??
，即()222n n f ≥+，而对任意x ＞1,必存在*n N ∈，使得1
2
2n n x -<≤,由f(x)单调递增得()()()122n n f f x f -<≤，则
()()1
1
22
2
22222
n n n x f x f --≥≥+=+≥+，所以()22x
f x >+.
【思路点拨】对于新定义函数，理解其含义是解题的关键，再多步问答问题中，解下一问时注意上一问的
结论或过程的应用.