三校2020届高三数学联考试题 理
本试卷共 2 页，共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1．已知U R =，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2
<-=x x x N ，则下列结论正确的是 A ．M
N N = B ．()U M
C N φ= C ．M N U =
D ．)(N C M U ?
2．复数z 满足：(2)i z z -?=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是
A ．2
2i z = B ．2z z ?= C ．||2z = D ．0z z += 3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln x
y e =的定义域和值域相同的是
A ．y
=
B ．ln y x =
C ．y x =
D ．10x
y =
4．三个数0.20.4
0.44,3,log 0.5的大小顺序是
A ．0.40.20.43<4log 0.5<
B ．0.20.40.4log 0.543<<
C ．0.40.20.4log 0.534<<
D ．0.40.2
0.43 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.在边长为2的等边三角形ABC 中，若1 ,3 AE AC BF FC ==，则BE AF ?= A ．23- B ．43- C ．8 3 - D ．2- 7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ． 43钱 B ．73钱 C ．83钱 D ．103 钱 8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征 点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加 扣除包括①赡养老人费用 ②子女教育费用 ③继续教育费用 ④大病医疗费用 等，其中 前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元 ②子女教育费用：每个子女 每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下： 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% 现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附 加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为 A ．590元 B ．690元 C ．790元 D ．890元 9．已知函数2 ()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是 A ．()2,8 B ．[]2,8 C ．(][),28,-∞+∞ D ．[)2,8 10.已知函数()sin 26f x x π? ? =- ?? ? ，若方程()2 3 f x = 的解为12,x x (120x x π<<<)， 则()21sin x x -= A ． 23 B ．4 9 C 11.若函数32 , 1()3,1 x e a x f x x x x ?->?=?-+≤??有最小值，则实数a 的取值范围为 A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．(]0,1 D ．(]0,e 12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2 k a k Z π≠ ∈，22 3557sin 2sin cos sin a a a a +?=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20, 3 π ?? ??? 上单调且存在020, 3x π ?? ∈ ??? ，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是 A ．20, 3?? ??? B ．30,2? ? ??? C ．24,33?? ??? D ．33,42?? ??? 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知1 (0,),sin cos 5 απαα∈+= ，则tan α=_______． 14．已知命题2 00 :,10p x R mx ?∈+≤；命题2:,10q x R x mx ?∈++>．若p q ∨为假命题，则 实数m 的取值范围为_________． 15．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ， 满足2 (sin cos )40,2a B B b -++==， 则ABC ?的面积为_________． 16．函数21y x =-和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_________． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知ABC ?的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-． （Ⅰ）求证：2A B =； （Ⅱ）若53b c = ，a =BC 边上的高． 18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足2 1 n n n S a S =-． （Ⅰ）求证：数列1n S ?? ? ??? 是等差数列； （Ⅱ）证明：22 2 127 4 n S S S ++ +< ． 19．（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD -中，//,2AB CD CD AB =． （Ⅰ）设AC 与BD 相交于点M ，()0AN mAP m =>，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值； （Ⅱ）若,620,AB AD DP BAD PB AD ?==∠=，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值． 20．（本小题满分12分） 已知抛物线2 :2C x y =和直线:2l y x =-，过直线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线， 切点分别为,A B ． （Ⅰ）判断直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由； （Ⅱ）求PAB ?的面积的最小值． 21．（本小题满分12分） 已知2 ()cos 1(0)f x x mx x =+-≥． （Ⅰ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线． （Ⅰ）当玫瑰线的0,2 πθ??∈???? 时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； （Ⅱ）求曲线 22 sin 4 ρ π θ = ?? + ? ?? 上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的 点M、N的极坐标． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()223 f x x a x a =-+-+，()24, g x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1 a=时，解关于x的不等式()4 f x≤； （Ⅱ）若对任意 1 x R ∈，都存在 2 x R ∈，使得不等式()() 12 f x g x >成立，求实数a的取值范围． “宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟” 高三11月联考理科数学参考答案 一、选择题： 1-4 ABAB 5-8 CDCB 9-12 ACBD 二、填空题 13．4 3 - 14．2m ≥ 15．2 16．(]0,2e 三．解答题 17．解：（Ⅰ）因为2cos b c b A =-，所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+， 所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+-．……………………2分 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+-， 即sin cos sin sin cos B B A B A =-，即sin sin()B A B =-，………………………………4分 因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--(舍去)，故2A B =．……………………………………6分 （Ⅱ）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3 A = ， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 得222551()23 3 3 b b b b =+-?? ， 解得：6,10b c ==，……………………………………………………………………………9分 由1cos 3A = 得，sin A =BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ?=?， 即610?=， 所以h =．…………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）当2n ≥时，2 11 n n n n S S S S --=-，………………………………………………2分 11n n n n S S S S ---=，即 1 111n n S S --=，……………………………………………………………4分 从而? ?? ?? ?n S 1构成以1为首项，1为公差的等差数列．……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 111(1)1n n n S S =+-?=，1 n S n ∴=．………………………………7分 则当2n ≥时2 22111111211n S n n n n ??= <=- ?--+?? ．…………………………………………9分 故当2n ≥时22 2 12111111111123224211n S S S n n ??????++ +<+-+-+ +- ? ? ?-+???? ?? 1111137 111221224 n n ??=++--<+?= ? +??．……………………………………11分 又当1n =时，21714 S =< 满足题意，故22 2127 4 n S S S +++< ．……………………………12分 法二：则当2n ≥时2 22 1111 1n S n n n n n = <=---， 那么22 2 12111111 1717142334144 n S S S n n n ??????+++<+ +-+-+-=-< ? ? ?-???? ?? 又当1n =时，21714S =< ，当时，217 14 S =<满足题意， 19． 解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以11 ,23 AM AB AM MC CD AC ===即．…………………………1分 因为//MN PCD 平面，MN ?平面PAC ，平面PAC 平面PCD PC =， 所以//MN PC ． ……………………………………………………………………………………3分 所以1 3AN AM AP AC ==，即13 m =．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为,60AB AD BAD =∠=?,可知ABD ?为等边三角形， 所以BD AD PD ==，又2BP AD ，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥． 由已知,PD AD AD BD D ⊥=，所以PD ⊥平面ABCD ， 如图，以D 为坐标原点，DA DP , 的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………6分 设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====， 所以(1,0,0)A ,)3,0,1(),0,1,0(),2 3 , 0,21 (-C P B ， 则13 (,1, ),(1,2PB PC =-=--，(1,1,0)PA =- 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则有 1100n PB n PC ??= ?? ?=?? 即11111120, 0. x y x y ?- =??+=?? 令11x =，则112,y z ==1(1n =，…8分 设平面APC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =,则有 2200n PA n PC ??=?? ?=??即2222200x y x y -=? ??--=? ?令22 x y =，则22z =，即2(3, n =．…10分 所以121212 cos ,422n n n n n n <>== =?11 分 设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=．………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设点()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y ，由2 2x y =两边同时对x 求导， y x '=，则抛物线在点A 处的切线方程为11111()y x x x y x x y =-+=-，……………………1分 又该切线方程经过点()00,P x y ，则0101y x x y =-，……………………………………………2分 同理有0202y x x y =-，故()()1122,,,A x y B x y 均在直线00y x x y =-上， 又002y x =-，则直线AB 的方程为0020x x y x --+=，……………………………………4分 整理得()0120x x y --+=，恒过定点()1,2．…………………………………………………5分 说明：第一问若设点()00,P x y ，然后直接写出切点线方程0 022 y y x x +=? ，没有给出证明 即0020x x y x --+=，得出定点()1,2．给3分，扣2分． （Ⅱ）由题联立方程20022 x y y x x x ?=?=-+?得2 002240x x x x -+-=，120120224x x x x x x +=???=-?， (7) 分 12AB x =-= =， ………………………………………………………………………………………………8分 点()00,2P x x -到直线AB ：0020x x y x --+= 的距离为d =， (9) 分 则PAB ? 的面积 1 2 S AB d =??= =11 分 当01x =时，即()1,1P - 时，PAB ?的面积最小值为12分 21．解：（Ⅰ）法一：由题意()sin 2f x x mx '=-+，()cos 2f x x m ''=-+………………1分 ① 若21m ≥，即1 2 m ≥ 时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增， 则()(0)0f x f ''≥=，则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……3分 ② 若121m -<<，即11 22 m - <<时，存在00x >，使得0()0f x ''=，且当()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调 递减，此时()(0)0f x f <=，舍 去；…………………………………………………………………4分 ③ 若21m ≤-，即1 2 m ≤- 时，()0f x ''<，则()f x '在[)0,+∞上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在[)0,+∞单调递减， ()(0)0f x f <=，舍去； 故1 2 m ≥．……………………………………………………………………………………………5分 法二：由题知(0)0f =，且()sin 2f x x mx '=-+，(0)0f '=，()cos 2f x x m ''=-+……1分 要使得()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，则必须满足(0)0f ''≥，即210m -≥，1 2 m ≥．……2分 ① 若1 2 m ≥ 时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增，则()(0)0f x f ''≥=， 则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……………………………3分 ② 若1 2 m < 时，存在()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去； 故1 2 m ≥．……………………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当12m ≥时，2 ()cos 10f x x mx =+-≥．取12 m =， 则 2 11cos 2 x x -≥-，………………………………………………………………………………6分 由（Ⅰ）()sin 0f x x x '=-+≥，则sin x x ≥，故2 11sin cos 2 x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证2 1212 x e x x -≥+-．………………………………………8分 令()2 112 x g x e x x =- --，则()1x g x e x '=--，()1x g x e ''=-， 当0x ≥时，()0g x ''≥，则()g x '在[)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x e x x - --≥， 即有21 212 x e x x -≥+-，得证． (12) 分 22. 解：（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为1ρ=与2sin 2ρθ=联立，得2sin21θ=，……2分 所以1sin 22θ=，因为0,2πθ??∈???? ，所以12πθ=或512π，则极坐标为1,12π?? ???和51,12π?? ??? ……5分 （Ⅱ）曲线sin 4ρπθ= ?? + ? ? ?的直角坐标方程为4x+y=，……………………………………7分 玫瑰线2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于2, 4N π? ? ?? ? 取得， 连接O ，2, 4N π?? ?? ? ，与4x y += 垂直且交于点4M π?? ?? ? ． 所以距离的最小值为2- ，此时4M π?? ?? ? ，2, 4N π?? ?? ? ．……………………………10分 23.解：（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1, 2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-??=- ≤≥ (2) 分 当1x <-时，由()f x ≤4得，22x --≤4，解得21x -<-≤； 当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立； 当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤． 所以()f x ≤4的解集为{} 22x x -≤≤．……………………………………………………5分 （Ⅱ）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，得()()12f x g x >成立，所以()()min min f x g x >．……6分 因为()2 223120a a a -+=-+>，所以2 23a a >-， 且() ()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥， ① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+．…………………………8分 又因为2 222 444244a a a x ax x ? ?++=++-- ?? ?≥， ② 当2a x =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-．………………………………………9分 所以22 2344a a a -+>-，即a 的取值范围为()2,2,5? ?-∞-+∞ ? ? ?．……………………10分
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