2019~2020学年上学期期末考试高一数学
一、选择题: 1.已知集合{}0,2,4,6A =,集合{}215B x x =-<,则A
B =( )
A. {}0
B. {}0,2
C. {}4,6
D. {}0,2,4
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简集合B ,再求交集,即可得出结果. 【详解】因为{}{}
2153B x x x x =-<=<,{}0,2,4,6A =,
所以{}0,2A
B =.
故选:B.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算,熟记概念即可,属于基础题型. 2.已知直线:31l y x =+,则直线l 的倾斜角为( )
A. 30
B. 45?
C. 60?
D. 90?
【答案】C 【解析】 【分析】
先设直线的l 的倾斜角为α,由直线方程得到tan 3α=,进而可求出结果. 【详解】设直线的l 的倾斜角为α,
由斜率的定义与直线方程,可得:tan 3α=, 解得:60α=?. 故选:C.
【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角,熟记斜率的定义即可,属于基础题型. 3.下列函数中,不是奇函数的是( ) A. 2y x =-
B. 1y x x
=+
C. 1ln
1
x
y x -=+ D. 1
2
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性的概念,逐项判断,即可得出结果.
【详解】A 选项,因为2y x =-的定义域为R ,且2()(2)x x --=--,所以2y x =-是奇函数; B 选项,因为1y x x =+
的定义域为()(),00,-∞?+∞,且11?
?-+=-+ ?-?
?x x x x ,所以
1
y x x
=+
是奇函数; C 选项,由
101x
x ->+得11x -<<,即函数1ln 1
x y x -=+的定义域为()1,1-,又111ln
ln ln 111x x x x x x ++-==--+-+,所以1ln 1
x y x -=+是奇函数; D 选项,1
2x y -=的定义域为R ,但1122x x ---≠-,所以1
2
x y -=不是奇函数.
故选:D.
【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性,熟记函数奇偶性的概念即可,属于基础题型. 4.已知幂函数()()
2
3m
x m x f =-在()0,∞+上为减函数,则()3f =( )
A.
19
B. 9
C.
13
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据幂函数的单调性,以及幂函数的定义,得到231
m m ?-=?,求出m 的值,进而可求函数值.
【详解】因为幂函数()()
2
3m
x m x f =-在()0,∞+上为减函数,
所以2310
m m ?-=?,解得:2m =-,因此()2
f x x -=
所以()139
f =. 故选:A.
【点睛】本题主要考查求幂函数的值,熟记幂函数的单调性与幂函数的概念即可,属于基础题型.
5.设,αβ表示不同的平面,l 表示直线,,,A B C 表示不同的点,给出下列三个命题: ①若,,,A l A B B l αα∈∈∈∈,则l α?; ②若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈,则AB αβ?=; ③若,l A l α?∈,则A α?. 其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2
C. 3
D. 0
【答案】B 【解析】
试题分析:①正确,即公理一;②正确,即公理二;③错误,点A 可以是直线l 与平面α的交点.故选B
考点:直线与平面,点与平面的位置关系判断 6.已知
13
log 4a =,2
log 3b =,
0.32c -=,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >>
D.
b c a >>
【答案】D 【解析】 【分析】
先由对数函数,以及指数函数的性质,确定a ,b ,c 的范围,进而可得出结果. 【详解】因为
113
3
log 4log 10a =<=,22
log 321log b =>=,
0.300221c -<=<=, 所以b c a >>. 故选:D.
【点睛】本题主要考查比较指数幂,以及对数的大小,熟记对数函数以及指数函数的性质即可,属于基础题型.
7.函数()2
e 2x
f x x --=的一个零点所在区间为( )
A. ()2,0-
B. ()1,0-
C. ()0,1
D. ()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数零点的存在性定理,直接判定即可.
【详解】因为函数()2
e 2x
f x x --=在定义域内是连续的函数,
又()2
42e 20f ----<=,()2
e 02100
f --=-<=,()1
11e 20f --=--<,
()e 12301e f --=-<=,()22e 42e 260f =--->=,
所以(1)(2)0f f ?<,
因此函数()2
e 2x
f x x --=的一个零点所在区间为()1,2.
故选:D.
【点睛】本题主要考查判断函数零点所在区间,熟记函数零点的存在性定理即可,属于常考题型.
8.若圆1O :()()2
2
3425x y -+-=和圆2O :()()22
212x y r -+-=(05r <<)相切,则r 等于( )
A. 5-
B. 5-
C. 5
D. 5【答案】A 【解析】 【分析】
先由圆的方程,得两圆的圆心坐标与半径,求出圆心距,确定两圆内切,进而可求出结果. 【详解】因为圆1O :()()2
2
3425x y -+-=的圆心坐标为1(3,4)O ,半径为5R =, 圆2O :()()2
2
212x y r -+-=的圆心坐标为2(1,2)O ,半径为r ;
所以圆心距为:125O O =
=<,
又两圆相切,所以只能内切,
因此12O O R r =-,所以5r =-故选:A.
【点睛】本题主要考查由两圆内切求半径的问题,熟记圆与圆位置关系即可,属于常考题型.
9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,则实数t的值为( )
A. 1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
【答案】C
【解析】
分析:连接AC交BQ于N,交BD于O,说明PA ∥平面MQB,利用PA∥MN,根据三角形相似,即可得到结论.
详解:连AC交BQ于N,交BD于O,连接MN,如图,
则O为BD的中点.
又∵BQ为△ABD边AD上的中线,
∴N为正三角形的中心.
令菱形ABCD的边长为a,则AN=a,AC=a.
∵PA∥平面MQB,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,
∴PA∥MN,∴PM∶PC=AN∶AC,即PM=PC,t=. 故选C.点睛:本题考查了线面平行的性质定理的运用,关键是将线面平行转化为线线平行,利用平行线分线段成比例解答. 10.若函数()()()21,2log1,2a a x x f x x x?--≤?=?->??(0a>且1a≠)对任意的12x x≠,恒有
()()1212
0f x f x x x ->-成立,则实数a 的取值范围为( )
A. ()2,+∞
B. 52,2
?? ???
C. 5,2??+∞
???
D. 5,42??
????
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意,确定函数是
增函数,再由函数解析式,根据函数单调性,列出不等式组求解,即可得出结果.
【详解】因为函数()f x 对任意的12x x ≠,恒有()()1212
0f x f x x x ->-成立,
所以函数()f x 在定义域上单调递增;
因此()2012(2)1log 21a a a a ?->?>??--≤-?
,即2125
a a a >??>??≤?,解得:522a <≤.
故选:B.
【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数的问题,熟记函数单调性的定义,以及分段函数的性质即可,属于常考题型. 11.设函数()1
23
x f x x -=+,()22g x x a =+-,若在区间()0,3上,()f x 的图象在()g x 的
图象的上方,则实数a 的取值范围为( ) A. ()1,+∞ B. ()2,+∞
C. ()3,+∞
D. ()4,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意,得到12322x a x x -+>-++在区间
()
0,3上恒成立,分别令
1
()3
,(0,3)x u x a x -=+∈,2()22,(0,3)v x x x x =-++∈,根据函数单调性求出min ()u x ,
max ()v x ,只需min max ()()u x v x >即可求出结果.
【详解】因为在区间()0,3上,()1
23
x f x x -=+的图象在()22g x x a =+-的图象的上方,
所以()()1
23
220x f x g x x x a --=+--+>在区间()0,3上恒成立,
即12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立, 令1
()3,(0,3)x u x a x -=+∈,2()22,(0,3)v x x x x =-++∈,
则11
13,13()3
3,01
x x x a x u x a a x ---?+<<=+=?+<,所以min ()(1)1u x u a ==+,
又2
()22v x x x =-++是开口向下,对称轴为1x =的二次函数, 因此max ()(1)1223v x v ==-++=,
为使12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立,只需min max ()()u x v x >, 所以13a +>,解得:2a >. 故选:B.
【点睛】本题考查函数性质的综合应用,熟记函数的单调性,最值等,灵活运用转化与化归的思想即可求解,属于常考题型.
12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,P ,Q ,R 分别是AB ,AD ,11B C 的中点,设过P ,Q ,R 的截面与面11ADD A ,以及面11ABB A 的交线分别为l ,m ,则l ,m 所成的角为( ) A. 90? B. 30
C. 45?
D. 60?
【答案】D 【解析】 【分析】
先取11C D ,1DD ,1BB 的中点分别为G ,F ,E ,连接FG , FQ ,QP ,PE ,ER ,RG ,根据题意,证明P ,Q ,R ,G ,F ,E 六点共面,即为过P ,Q ,R 的截面;得到EP 即
为直线m ,FQ 即为直线l ;连接1AB ,1AD ,11B D ,根据异面直线所成角的概念,得到11
B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角,根据题中条件,即可得出结果.
【详解】因为,在正方体1111ABCD A B C D -中,P ,Q ,R 分别是AB ,AD ,11B C 的中点,
取11C D ,1DD ,1BB 的中点分别为G ,F ,E ,连接FG , FQ ,QP ,PE ,ER ,RG , 根据正方体的
特征,易知,若连接PG ,EF ,RQ ,则这三条线必相交于正方体的中心, 又////GR EF QP ,所以P ,Q ,R ,G ,F ,E 六点必共面,即为过P ,Q ,R 的截面; 所以EP 即为直线m ,FQ 即为直线l ; 连接1AB ,1AD ,11B D , 因为1//EP AB ,1//FQ AD ,
所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角,
又因为正方体的各面对角线都相等,所以11AB D 为等边三角形, 因此1160B AD ∠=?. 故选: D.
【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角,熟记异面直线所成角的概念,会用几何法作出异面直线所成角即可,属于常考题型. 二、填空题:
13.3log 272log 3-=______. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据对数运算法则,直接计算,即可得出结果.
【详解】33333log 272log 3log log 33123-=-=-=.
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查对数的运算,熟记对数运算法则即可,属于基础题型. 14.已知点()1,1,2-关于y 轴对称点为A ,点()3,2,1B -,则AB =______.
【解析】 【分析】
先由题意,求出A 点坐标,再由两点间距离公式,即可求出结果. 【详解】因为点A 与点()1,1,2-关于y 轴对称,所以()1,1,2A ---, 又()3,2,1B -, 所以
AB =
==.
【点睛】本题主要考查求空间中两点间的距离,熟记公式即可,属于基础题型.
15.已知直线20mx y m
--=与函数()20,
22,0,x f x x x -≤≤=->??
的图象有两个交点,则实
数m 的取值范围是______. 【答案】[]1,0-
【解析】 【分析】
先画出函数()20,
22,0,
x f x x x -≤≤=->??的图像,再由直线20mx y m --=得到直线过定
点(2,0),根据函数图像,即可得出结果.
【详解】画出函数()20,
22,0,
x f x x x -≤≤=->??的图像如下,
由20mx y m --=得(2)0m x y --=,若20x -=则0y =, 所以直线20mx y m --=过定点(2,0)M ,
又直线20mx y m --=与函数()2
4,20,
22,0,
x x f x x x ??-+-≤≤=?->??的图象有两个交点,
由图像可得:只需20
0102
MA m k -≥≥==--, 即10m -≤≤. 故答案为:[]1,0-
【点睛】本题主要考查由函数交点个数求参数的问题,以及直线过定点的问题,熟记直线过定点的求法,灵活运用数形结合的方法,即可求解,属于常考题型.
16.在三棱锥1A ABC -中,1AA ⊥底面ABC ,1BC A B ⊥,11AA =,2AC =,则该三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】5π 【解析】 【分析】
先由题意,得到可将该三棱锥看成长方体的一部分,将其补成一个长方体,则长方体外接球的球心即为该三棱锥外接球的球心,根据题中数据,求出半径,即可得出结果. 【详解】因为1AA ⊥底面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA BC ⊥,1AA AC ⊥, 又1BC A B ⊥,所以可将该三棱锥看成长方体的一部分,将其补成一个长方体如下图, 则该三棱锥外接球的球心,即为长方体外接球的球心,即体对角线的中点,即1A C 的中点,记作O ,
因为11AA =,2AC =,所以21125AC AA AC =+=,
因此外接球的半径为
115
2A C =
, 所以,该三棱锥的外接球的表面积为2
5452S ππ??
=?= ? ???
. 故答案为:5π.
【点睛】本题主要考查几何体与球外接的问题,熟记几何体的结构特征,以及球的表面积公式即可,属于常考题型. 三、解答题: 17.设函数()42x f x =
-A ,集合{}11B x a x a =-<<+.
(1)若2a =,求A B ;
(2)若(
)R
A
B R =,求实数a 的取值范围.
【答案】(1){}
3A B x x ?=<(2)1a ≤ 【解析】 【分析】
(1)先解不等式,得到集合A ;由2a =,得到{}
13B x x =<<,再由并集的概念,即可得出结果. (2)先求出
B R
,再根据(
)R
A
B R =,即可得出结果.
【详解】(1)由420x -≥,得2x ≤, ∴(],2A =-∞;
2a =,则{}13B x x =<<.
∴{}
3A B x x ?=<.
(2){}
11B x a x a =-<<+, ∴
{1R
B x x a =≤-或}1x a ≥+,
又(
)R
A
B R =,(],2A =-∞,
∴12a +≤, ∴1a ≤.
【点睛】本题主要考查求集合的并集,以及由集合并集与补集的运算结果求参数,熟记并集与补集的概念,会求具体函数的定义域即可,属于常考题型. 18.已知直线l 过点()1,2A -. (1)若直线l 与直线1
12
y x =
-垂直,求直线l 的方程; (2)若直线l 与直线430x y b -+=平行,且两条平行线间的距离为2,求b . 【答案】(1)2y x =-(2)0b =或20 【解析】 【分析】
(1)先由题意,设直线l 的方程为2y x m =-+,再由直线过点()1,2A -,即可求出结果; (2)先由题意,设直线l 的方程为430x y n -+=,再由直线过点()1,2A -,求出10n =,根据两平行线间的距离公式,即可求出结果. 【详解】(1)因为直线l 与直线1
12
y x =-垂直,所以设所求直线l 的方程为2y x m =-+, ∵直线l 过点()1,2A -, ∴22m =+,即0m =. 所以l 的方程为:2y x =-;
(2)因为直线l 与直线430x y b -+=平行, 所以可设所求的直线l 的方程为430x y n -+=,
因为直线l 过点()1,2A -,则有460n --+=,得10n =.
又l 与直线340x y b -+=间的距离为2,
∴
10
25
b -=,解得0b =或20. 【点睛】本题主要考查求直线的方程,以及由两平行线间的距离求参数的问题,熟记直线的斜截式与一般式,以及两平行线间的距离公式即可,属于常考题型.
19.已知函数()2
2
ax f x b x =+,且()112f =,()
425f =.
(1)求实数a ,b 的值; (2)求()()1112(3)2019232019f f f f f f ??
????
++++++
? ? ???????
.
【答案】(1)1a b ==(2)2018 【解析】 【分析】
(1)先由题意,列出方程组112
4445a
b a b ?=??+??=?+?,求解,即可得出结果;
(2)先由(1)得到()2
2
1x f x x
=+,求出()11f x f x ??
+= ???
,进而可求出结果. 【详解】(1)由()1
12f =
,()425
f =, 得112
4445a
b a b ?=??+??=?+?,解得1a b ==.
(2)由(1)知()22
1x f x x =+,
则()2
222222
111111111x x x f x x x x f x x ?? ?????+=+=+= ?+++????
+ ???
,
∴()()()111320192322019f f f f f f ??
????
++++++
? ? ???????
()12018201822f f ?
?
??=?+
= ???????
. 【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求函数值的问题,熟记待定系数法求解析式即可,属于常考题型.
20.已知圆O :2
2
4x y +=和点()1,M a .
(1)若4a =,求过点M 作圆O 的切线的切线长;
(2)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切,求实数a 的值,并求出切线方程.
【答案】(12)a =a =40x +-=或40x --=
【解析】 【分析】
(1)根据题中条件,先求点到圆心的距离,再由几何法即可求出切线长;
(2)先由题意,得到点M 在圆O 上,求出a =分别研究a =a =求出对应的切线方程即可.
【详解】(1)若4a =,则点()1,4M .
点()1,4M 与圆心()0,0O 的距离为4OM ==>,
所以切线长为l =
=
=(2)因为过点M 有且只有一条直线与圆O 相切,所以点M 在圆O 上,
所以2214a +=,解得a =.
当a =
(M ,则OM k =,所以切线斜率为1OM
k k =-
=
因此,所求切线方程
:1)y x -=-,即4x +=;
当a =(1,M ,则OM k =,所以切线斜率为13
OM
k k =-
=
,
因此,所求切线方程为:3
3(1)y x -=
-,即34x y -=; 因此,所求的切线方程为340x y +-=或340x y --=.
【点睛】本题主要考查求切线长,以及圆的切线方程的问题,熟记直线与圆位置关系,以及几何法求弦长即可,属于常考题型.
21.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,13AB AA ==,4AC =,5BC =,
M ,N 分别为11B C 、1AA 的中点.
(1)求证:平面1ABC ⊥平面11AAC C ;
(2)求证://MN 平面1ABC ,并求M 到平面1ABC 的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析,6
5
【解析】 【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理,先证明AB ⊥平面11AAC C ,再由面面垂直的判定定理,即可证明结论成立;
(2)取1BB 中点D ,由线面平行的判定定理,证明//MN 平面1ABC ,得到N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离,过N 作1NH AC ⊥于H ,由题意,得到NH ⊥平面
1ABC ,进而可由题中数据,求出结果.
【详解】(1)因为222AB AC BC +=,所以AB AC ⊥,
又1AA ⊥平面ABC ,所以1AA AB ⊥, 又1AC AA A =∩,所以AB ⊥平面11AAC C , 因为AB
平面1ABC ,
所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ;
(2)取1BB 中点D ,因为M 为11B C 中点,所以1//MD BC , 又N 为1AA 中点,四边形11ABB A 为平行四边形, 所以//DN AB , 又MD
DN D =,所以平面//MND 平面1ABC .
因为MN ?平面MND ,所以//MN 平面1ABC .
所以N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离. 过N 作1NH AC ⊥于H , 因为平面1ABC ⊥平面11AAC C , 所以NH ⊥平面1ABC ,
所以
111
1
113462255
AA AC NH AC ??=?=?=. ∴M 到平面1ABC 的距离为
6
5
.
【点睛】本题主要考查证明面面垂直,以及求点到面的距离,熟记面面垂直的判定定理,以
及几何法求点到面的距离即可,属于常考题型.
22.已知函数()e e x x x a
f b
+=+( 2.718e ≈)在R 上是奇函数.
(1)求实数a ,b 的值;
(2)判断函数()f x 的单调性,并用定义证明;
(3)求满足不等式121log log 404m
f f ??
?
?+< ? ???
??
的m 的取值范围. 【答案】(1)1a =,1b =-(2)函数()f x 在R 上为增函数,证明见解析(3)()10,1,2??+∞ ???
【解析】 【分析】
(1)根据奇函数的性质,先求出1b =-;再由()()f x f x -=-,求出1a =;
(2)设1x ,2x 为任意两个实数,且12x x <,作差比较()1f x 与()2f x 的大小,根据函数单调性的定义,即可得出结果;
(3)根据函数奇偶性,将原不等式化为()1log 24m
f f ?
?< ???,再由函数单调性得到1log 24
m <,分别讨论1m ,01m <<两种情况,即可求出结果. 【详解】(1)因为函数()f x 在R 上是奇函数, ∴()00f =,解得1b =-.
又()()f x f x -=-,∴e 1e 1
e e x x x x
a a
----=-++,化简后得22a =,即1a =. (2)设1x ,2x 为任意两个实数,且12x x <,则12x x e e <,
所以()()()()()
12121
21
2122e e e 1e 1
0e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++, 即()()12f x f x <,
因此,函数()f x 在R 上为增函数; (3)因为函数()f x 为奇函数,
所以()12211log log 40log log 4044m m f f f f ???
??
?+
+- ? ? ??
?????
()()11log 20log 244m m
f f f f ???
?
-< ? ????
?
, 又函数()f x 在R 上单调递增, 所以1
log 24
m
<. 当1m 时,2
14
m >
,解得1
2m >,所以1m ;
当01m <<时,2
14
m <
,解得102m <<,所以102m <<;
综上m 的取值范围为()10,
1,2??
+∞ ??
?
.
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数,由函数单调性的定义判断函数单调性,以及由单调性与奇偶性解不等式,熟记函数的奇偶性与单调性即可,属于常考题型.