图形的相似易错题汇编含答案
一、选择题
1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）
A．3
5
B．
4
3
C．
5
3
D．
3
4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽
Rt△ECD，再利用相似比得出
1
2.5
2
NE CD
==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三
角形，从而求出CE．
【详解】
解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，
∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴两三角形相似比为1：2，
∴可以得到CE=2NF，
1
2.5
2
NE CD
==
∵AC平分正方形直角，
∴∠NFC=45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，
∴
2255
.
3323 CE NE
==?=
故选C．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，
则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1
【答案】B
【解析】
【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴△DFE ∽△BFA ，
∵DE ：EC=3：1，
∴DE ：DC=3：4，
∴DE ：AB=3：4，
∴S △DFE ：S △BFA =9：16．
故选B ．
3．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
∵AD ：AF=3：5，
∴AD ：DF=3：2，
∵AB ∥CD ∥EF ， ∴
AD BC DF CE =，即362CE
=， 解得，CE=4，
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性
质可得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出
CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AF AB
GF GD
==2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（）
A ．2244x y +=
B ．2244x y -=
C ．2288x y -=
D ．22
88x y += 【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝
12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE
＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y
＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，
∴CD ＝
12
AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，
∵EF 垂直平分CD ， ∴CE ＝12
CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝
GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，
∴∠ACD ＝∠FCE ，
∴△CEG ∽△FEC ， ∴GE CE ＝CE FE ， ∴y ＝2FE
， ∴y 2＝
24FE ，
∴24y
＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，
∴24y
＝x 2﹣4， ∴24y
+4＝x 2， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
6．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③2EG ＝BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，其中正确的结论是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据SAS ，即可证明①△ABE ≌△CDF ；在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证明△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2，即可证得②AG ＝GH ＝HC ，③2EG ＝BG ；由S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，可得结论④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，
AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，BC ＝DA ，
∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，
∴AE ＝CF ，
∴△ABE ≌△CDF ，故①正确；
∵AD ∥BC ，
∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，
∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ，
∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，
∴AE ＝12AD ，CF ＝12
BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，
∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2
∴AG ＝CH ＝
１３
AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；
∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，
∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，
故选：D
【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
7．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，AF 与DE 相交于点O ，则AO DO
=（ ）．
A ．13
B 25
C ．23
D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE ≌△BAF ，从而进一步得△AOD ∽△EAD ．运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴AE=BF ，AD=AB ，∠EAD=∠B=90?
∴△ADE ≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF ，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB=90?，∠FAB+∠BFA=90?，∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴
1
2 AO AE DO AD
==
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，
使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQ
AQ
的值为（）
A B C D
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度
数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQ
AQ
转化为
BQ
AC
，再由相似三角形和等腰直角
三角形的边角关系得出答案．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝
2
AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得：BQ
AC
＝
BD
AE
，
∴BQ
AQ
＝
BQ
AC
＝
AD
AE
＝
2AE
AE
＝2．
故选：A．
【点睛】
考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）
A．2
3
5
B．
2
3
3
C．
3
3
4
D．
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴3
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠DBC ，
∴∠ABD=∠BDE ，
∴DE ∥AB ，
∴△DEF ∽△BAF ， ∴DF DE BF AB ＝， 在Rt △ABD 中，∠ABD=30°，BD=23，
∴AB=3， ∴
23DF BF ＝， ∴25
DF BD ＝， ∴DF=
22432355BD =?=， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．
10．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )
A 3
B 3
C 33
D ．23【答案】A
【解析】
【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．
【详解】
Q 等边ABC V 的边长为4，
2ABC 3S 4434∴=?=V ， Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，
DE ∴是ABC V
的中位线， DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2
=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2
===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12
， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4，
即ADE ABC 11S S 43344=
=?=V V ， 故选A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
11．把Rt ABC ?三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）
A ．扩大为原来的3倍
B ．缩小为原来的
13
C ．扩大为原来的9倍
D ．不变 【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A 的大小不变，
∴锐角A 的余弦值不变，
故选：D ．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'
OA
＝
1
3
.
∴A E
AD
＝
0E
0D
＝
1
3
.∴A′E＝
1
3
AD＝2，OE＝
1
3
OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为1
3
，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×
1
3
，
6×1
3
），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.
考点：位似变换.
13．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．28cm
B ．26cm
C ．24cm
D ．22cm
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=12
AC ，故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积的14
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=
12AC 故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积
14
即图中阴影部分的面积为4cm 2．
故选：C
【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.
14．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x
（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣6
x
B．y=﹣
4
x
C．y=﹣
2
x
D．y=
2
x
【答案】C 【解析】【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵BO
AO
=tan30°
3
∴
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，
∵1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3，
∴S△BCO=1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣2
x
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
15．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）
A．9 B．12 C．14 D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
【详解】
解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，
由题意得∠ACB＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴AB BC
DE CE
=，即
1.5
212
DE
=，
∴DE＝9．
即旗杆的高度为9m．故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
16．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）
A ．（25+2）cm
B ．（25﹣2）cm
C ．（5+1）cm
D ．（5﹣1）cm 【答案】B
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义进行作答.
【详解】
由黄金分割的定义知，
51MP MN -=，又MN=4，所以，MP=25 - 2. 所以答案选B. 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.
17．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）
A ．距C 点1km 处
B ．距
C 点2km 处 C ．距C 点3km 处
D ．CD 的中点处
【答案】B
【解析】
【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则
PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.
【详解】
作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．
根据PCE PDB ??:，设PC x =，则5PD x =-，
根据相似三角形的性质，得
PC CE PD BD =，即253
x x =-，
解得2
x ．
故供水站应建在距C点2千米处．
故选：B．
【点睛】
本题为最短路径问题，作对称找出点P，利用三角形相似是解题关键.
18．下列图形中，一定相似的是（）
A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
19．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于( )
A．10
3
B．
20
3
C．
5
2
D．
15
2
【答案】C 【解析】
【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可． 【详解】
解：∵AB ∥CD ∥EF ，
∴3AD BC DF CE
==， ∴BC=3CE ，
∵BC+CE=BE ，
∴3CE+CE=10，
∴CE=
52
． 故选C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）
A ．1.
B 2
C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B ，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD ∽△CBD ，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】
∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B ，
∴△ACD ∽△CBD ，
∴=AD CD CD BD
， ∵CD=2，BD=1， ∴
2=21AD ， ∴AD=4.
故选D.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD ∽△CBD.
图形的相似易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到 菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．28cm B ．26cm C ．24cm D ．22cm 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC= 1 2 AC ，故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积的14 【详解】 解：如图， 由平移的性质得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=1 2 AC 故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积14 即图中阴影部分的面积为4cm 2． 故选：C 【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题. 2．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性 质可得出AF AB GF GD ==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出 CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴AF AB GF GD ==2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似 图形，且相似比为1 3 ，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为 （） A．（8，6）B．（9，6）C． 1 9,6 2 ?? ? ?? D．（10，6） 【答案】B
一、选择题 1．PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm =0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm 用科学记数法可表示为（ ） A ．23×10﹣5m B ．2.3×10﹣5m C ．2.3×10﹣6m D ．0.23×10﹣7m 2．计算1÷ 11m m +-(m 2 －1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 3．如图，设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 （a ＞b ＞0），则有 （ ） 甲 乙 甲
（A ）k ＞2 （B ）1＜k ＜2 （C ）121< 10．若分式 的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．2 D ．﹣2或2 11．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 12．在 2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（ ） A ．1 B.2 C.3 D ．4 13．若a ＝－0.3－2 ，b ＝－3－2 ，c ＝(－ 13)－2，d ＝(－13 )0 ，则( ) A ．a ＜d ＜c ＜b B ．b ＜a ＜d ＜c C ．a ＜d ＜c ＜b D ．a ＜b ＜d ＜c 14．如果为整数，那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 15．下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中，是分式的是 A ． y 2 B ． 11 a - C ．x D ． 13π 16．把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍，那么这个代数式的值 A ．不变 B ．扩大3倍 C ．扩大6倍 D ．缩小到原来的 13 17．已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为（ ）g /cm 3． A ．1.239×10﹣3 B ．1.2×10﹣3 C ．1.239×10﹣2 D ．1.239×10﹣4 18．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( ) A ． 2 1 a a + B ． 21 1 a a -+ C ． 21 1 a - D ． 11 a + 19．下列式子：2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 20．若分式 的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 21．已知实数 a ， b ，c 均不为零，且满足 a ＋ b ＋c=0，则 勾股定理易错题 一、折叠 1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm BC=8cm 现将△ ABC 折叠，使点B 与 点A 重合，折痕为DE 贝U BE 的长为 ________________ cm 2、如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在AB 上的点E 处，已知AC=6 / B=30°, 则DE 的长是 _________________ 。 3、如图，Rt △ ABC 中, AB=9,BC=6 / B=90°,将厶ABC 折叠，使A 点与BC 的中点重合，折 4、如图，长方形纸片 ABCD 沿对角线AC 折叠，设点D 落在D '处，BC 交AD 于点E, AB=6crm BC=8cryi 求阴影部分的面积。 5、如图，已知矩形ABCDft 着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC 交AD 于 E ， A E F 痕为MN 则线段BN 的长为 E. A B AD=8,AB=4贝U DE 的长为 6如图，长方形ABCD 中, AB=3cm AD=9cm 将此长方形折叠，使点 B 与点D 重合，折痕为 EF ,则厶ABE 的面积为 ______________ 11、如图，在Rt △ ABC 中，/ B=90°，AB=3 BC=4将厶ABC 折叠，使点B 恰好落在边 AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB' = __________________ . 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合, AC=18cm BC=24cm 现将直角边 AC 沿直线AD 你能求出BD 的长吗？ 8、如图，在 Rt △ ABC 中，AB=9,BC=6,/ B=90°， 将厶ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为 MN OAB 其中/ AOB=90，OA=2 OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标 0B 交于点C,与边AB 交于点D 。若折叠后点B 与点A 重合，求点C 的坐 ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两 则线段BN 的长为 9、已知已知直角三角形纸片 系中，折叠该纸片，折痕与边 / ABC=60 点。若BD=2，贝U AB 的长是 B 整式的加减拔高及易错题精选 （全卷总分100分）姓名得分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．计算3a 3＋a 3，结果正确的是（） A ．3a 6 B ．3a 3 C ．4a 6 D ．4a 3 2．单项式??21a 2n ?1b 4?与?3a 2m b 8m ?是同类项?,?则?(1+n )100?(1?m )102=（） A ．无法计算B ．14 C ．4 D ．1 3．已知a 3b m ＋x n －1y 3m －1－a 1－s b n+1+x 2m －5y s+3n 的化简结果是单项式，那么mns=（） A.6 B.－6 C.12 D.－12 4．若A 和B 都是五次多项式，则（） A.A ＋B 一定是多式 B.A －B 一定是单项式 C.A －B 是次数不高于5的整式 D.A ＋B 是次数不低于5的整式 5．a －b=5，那么3a ＋7＋5b －6(a ＋3 1b)等于（） A.－7B.－8C.－9D.10 6．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a 元后，再次打7折，现售价为b 元，则原售价为（） A ．710b a + B ．10 7b a + C ．710a b +D ．10 7a b + 7．如图，阴影部分的面积是（） A.211xy B.2 13xyC ．6xyD ．3xy 8．一个多项式A 与多项式B ＝2x 2－3xy －y 2的和是多项式C ＝x 2＋xy ＋y 2，则A 等于（） A ．x 2－4xy －2y 2 B ．－x 2＋4xy ＋2y 2 C ．3x 2－2xy －2y 2 D ．3x 2－2xy 9．当x ＝1时，ax ＋b ＋1的值为－2，则(a ＋b －1)(1－a －b)的值为（） A ．－16B ．－8 C ．8 D ．16 10．一种商品进价为每件a 元，按进价增加25％出售，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利（） A.0.125a 元 B.0.15a 元 C.0.25a 元 D.1.25a 元 二、填空题(每小题分，共18分) 图形的相似 1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（） A．B．C．D． 2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A．点P B．点O C．点M D．点N 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54 4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR． 6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°． 7．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣． 8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°． 9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732） 10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离 地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．） 12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空： 当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值． (3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4． 【解析】 【分析】 （1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2） ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标． 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b， ∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b， 故答案为CB的延长线上，a+b； (2)①CD＝BE， 理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB， 勾股定理中的易错题辨析 一、审题不仔细，受定势思维影响 例1 在△ABC 中，的对边分别为，且，则（ ）,,A B C ∠∠∠,,a b c 2()()a b a b c +-=（A ）为直角 （B ）为直角 （C ）为直角 （D ）不是直角三角 A ∠C ∠ B ∠形 错解：选（B ） 分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的C ∠认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转C ∠化为，即，因根据这一公式进行判断. 222a b c -=222a b c =+正解：，∴.故选（A ） 222a b c -= 222a b c =+例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长. 错解：. 5==分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边. 正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为 ； 5==（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为 . =二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理 例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） （A ）1、2、3 （B ） （C （D 2223,4,5错解：选（B ） 分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式. 222a b c += 正解：因为，故选（C ）222 +=例4 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里的速度前60?进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 错解：甲船航行的距离为BM=（海里）， 8216?=乙船航行的距离为BP=（海里）. 15230?= （海里）且MP=34（海里） 34= （易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编 一、选择题 1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（） A．3 5 B． 4 3 C． 5 3 D． 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽ Rt△ECD，再利用相似比得出 1 2.5 2 NE CD ==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三 角形，从而求出CE． 【详解】 解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点， ∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN， ∴Rt△FNE∽Rt△ECD， ∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF， ∴两三角形相似比为1：2， ∴可以得到CE=2NF， 1 2.5 2 NE CD == ∵AC平分正方形直角， ∴∠NFC=45°， ∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF， ∴ 2255 . 3323 CE NE ==?= 故选C． 【点睛】 此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法. 2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（） A ．1：2 B ．1：5 C ．1：100 D ．1：10 【答案】C 【解析】 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100． 故选：C ． 点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点 E ，连接AC 交DE 于点 F .若3sin 5 CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 【答案】D 【解析】 【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ??∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =． 【详解】 解：连接BD ，如图， AB Q 为直径， 90ADB ACB ∴∠=∠=?， AD CD =Q ， DAC DCA ∴∠=∠， 而DCA ABD ∠=∠， DAC ABD ∴∠=∠， DE AB ∵⊥， 90ABD BDE ∴∠+∠=?， 一、选择题 1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A ．600m B ．500m C ．400m D ．300m 2．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2 (1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是 （ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为( ) 22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长 等于BC 的长． A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④ 4．如图，等边ABC ?的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ?沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ?外部，则阴影部分图形的周长为（ ） A ．1cm B ．1.5cm C ．2cm D ．3cm 5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为 （ ） A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm 6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=30°，点E为AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，DE=3，BC=1，CD=13，则CE的长是（） A．14B．17C．15D．13 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD平分∠ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（） A．10 2 B．2 C． 51 2 + D． 3 2 8．如图，已知AB AC =，则数轴上C点所表示的数为( ) A．3B．5C．13 -D．15 - 9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A236 、、B345 C347D234 10．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A．6，8，10 B．5，12，13 C．3，5，6 D235二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方 七年级上册整式的加减 一、选择题 1、下列各组中，不是同类项的是（ ） A 、2235.0ab b a 与 B 、y x y x 2222-与 C 、315与 D 、m m x x 32--与 2、若七个连续整数中间的一个数为n ，则这七个数的和为（ ） A 、0 B 、7n C 、－7n D 、无法确定 3、若a 3与52+a 互为相反数，则a 等于（ ） A 、5 B 、－1 C 、1 D 、－5 4、下列去括号错误的共有（ ） ①c ab c b a +=++)(；②d c b a d c b a +--=-+-)(；③c b a c b a -+=-+2)(2；④b a a b a a b a a +-=+--+---222)]([ A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、计算：)](2[n m m n m ----等于（ ） A 、n 2- B 、m 2 C 、n m 24- D 、m n 22- 6、式子223b a -与22b a +的差是（ ） A 、22a B 、2222b a - C 、24a D 、2224b a - 7、c b a -+-的相反数是（ ） A 、c b a +-- B 、c b a +- C 、c b a +-- D 、c b a --- 8、减去m 3-等于5352 --m m 的式子是（ ） A 、)1(52-m B 、5652--m m C 、)1(52+m D 、)565(2-+-m m 二、填空题 1、若4243b a b a m n 与是同类项，则m ＝＿＿＿＿，n ＝＿＿＿＿。 2、在x x x x 6214722+--+-中，27x 与＿＿＿同类项，x 6与＿＿＿是同类项，－2与＿＿是同类项。 3、单项式ab b a ab ab b a 3,4,3,2,3222--的和为＿＿＿＿。 4、把多项式3223535y x y x xy +--按字母x 的指数从大到小排列是：＿＿＿＿ 5、若4)13(22+-=+--a a A a a ，则A ＝＿＿＿＿＿。 6、化简：_______77_______,6 53121 _________,5722=+-=+-=-ba b a a a a x x 7、去括号：__________)(32________;)2(2=-+-=-+-d c b a y x （易错题精选）初中数学图形的相似全集汇编及答案解析(1) 一、选择题 1．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（） A．AF＝1 2 CF B．∠DCF＝∠DFC C．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由AE=1 2 AD= 1 2 BC，又AD∥BC，所以 1 2 AE AF BC FC ==，故A正确，不符合题意； 过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1 2 BC，得到 CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意； 根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意； 由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意． 【详解】 解：A、∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴AE BC ＝ AF FC ， ∵AE＝1 2 AD＝ 1 2 BC， ∴AF FC ＝ 1 2 ，故A正确，不符合题意； B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝1 2 BC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF＝DC， ∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意； C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意． D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有b a ＝ 2 a ． ∵tan∠CAD＝CD AD ＝ b a ＝ 2 2 ，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性 质可得出AF AB GF GD =2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出 CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形， 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（ C ） A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是（ A ） A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度（ B ） A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有（ B ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是（ C ） A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2 ，则两圆的位置关系是（ B ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 勾股定理中的易错题辨析 江苏省通州市刘桥中学 吴锋 226363 一、审题不仔细,受定势思维影响 例1 在△ABC 中,,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ,且2()()a b a b c +-=,则（ ） （A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形 错解：选（B ） 分析：因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为C ∠,因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=,即222a b c =+,因根据这一公式进行判断. 正解：222a b c -=,∴222a b c =+.故选（A ） 例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长. 错解：5==. 分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为3和4时,斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,但也可能为直角边. 正解：（1）当两直角边为3和4时,第三边长为 5==； （2）当斜边为4,一直角边为3时,第三边长为 =二、概念不明确,混淆勾股定理及其逆定理 例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是（ ） （A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C （D 错解：选（B ） 分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理,对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时,应将所给数据进行平方看是否满足222a b c +=的形式. 正解：因为222 +=,故选（C ） 例4 在B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60?方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M 岛,乙船到P 岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 错解：甲船航行的距离为BM=8216?=（海里）, 乙船航行的距离为BP=15230?=（海里）. 34=（海里）且MP=34（海里） ∴△MBP 为直角三角形,∴90MBP ∠=?,∴乙船是沿着南偏东30?方向航行的. 1、3（a+5b）-2（b-a） 2、3a-（2b-a）+b > 3、2（2a2+9b）+3（-5a2-4b） 4、（x3-2y3-3x2y）-（3x3-3y3-7x2y） 5、3x2-[7x-（4x-3）-2x2] ] 6、（2xy-y）-（-y+yx） 7、5（a2b-3ab2）-2（a2b-7ab） — 8、（-2ab+3a）-2（2a-b）+2ab 9、（7m2n-5mn）-（4m2n-5mn） ` 10、（5a2+2a-1）-4（3-8a+2a2） 11、-3x2y+3xy2+2x2y-2xy2 # 12、2（a-1）-（2a-3）+3 13、-2（ab-3a2）-[2b2-（5ab+a2）+2ab] ^ 14、（x2-xy+y）-3（x2+xy-2y） 15、3x2-[7x-（4x-3）-2x2] ? 16、a2b-[2（a2b-2a2c）-（2bc+a2c）] 17、 17、-2y3+（3xy2-x2y）-2（xy2-y3） 18、2（2x-3y）-（3x+2y+1） } 19、-（3a2-4ab）+[a2-2（2a+2ab）] 20、5m-7n-8p+5n-9m-p ` 21、（5x2y-7xy2）-（xy2-3x2y） 22、 22、3（-3a2-2a）-[a2-2（5a-4a2+1）-3a] ） 23、3a2-9a+5-（-7a2+10a-5） 24、-3a2b-（2ab2-a2b）-（2a2b+4ab2） 25、（5a-3a2+1）-（4a3-3a2） 26、 ! 26、-2（ab-3a2）-[2b2-（5ab+a2）+2ab] 27、(8xy－x2＋y2)＋(－y2＋x2－8xy) > 28、(2x2－ 2 1 ＋3x)－4(x－x2＋ 2 1 ) 27.1 图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4 1 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．9 4 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 （第5题） （第7题） 2 3833258 9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) （第10题） 初中数学代数式易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ） A ．5，3 B ．5，?3 C ．?5，3 D ．?5， ?3 【答案】D 【解析】 【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值． 【详解】 由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3, 故答案选D. 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键． 2．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ） A ．20 B ．27 C ．35 D ．40 【答案】B 【解析】 试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个， 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个， 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， …， 按此规律， 第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=(3)2 n n +个， 则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个． 故选B ． 考点：规律型：图形变化类. 3．下列运算正确的是（） A ．336a a a += B ．632a a a ÷= C ．()235a a a -?=- D ．()336a a = 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出每个式子的值，3332a a a +=，633a a a ÷=，()235a a a -?=-，()339a a =再进行判断即可. 【详解】 解：A: 3332a a a +=，故选项A 错； B ：633a a a ÷=，故选项B 错； C ：()235a a a -?=-，故本选项正确； D.：()339a a =，故选项D 错误. 故答案为C. 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方和积的乘方的应用；掌握乘方的概念，即求n 个相同因数的乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂；分清()22n n a a -=，() 2121n n a a ++-=-. 4．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A ．（11，3） B ．（3，11） C ．（11，9） D ．（9，11） 【答案】A 【解析】 试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数 根据此规律即可得出结论． 解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数． 故选A ． 考点：坐标确定位置． 勾股定理单元易错题测试基础卷 一、选择题 1．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm． A．25 B．20 C．24 D．105 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（） A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米 4．在△ABC中，∠BCA=90°,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到 △ECD，连接BE，则线段BE的长等于（） A ．5 B ．75 C ． 145 D ． 365 5．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ） A ．①④⑤ B ．③④⑤ C ．①③④ D ．①②③ 6．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 8．如图，已知AB 是线段MN 上的两点，MN ＝12，MA ＝3，MB ＞3，以A 为中心顺时针旋转点M ，以点B 为中心顺时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，当△ABC 为直角三角形时AB 的长是（ ） A ．3 B ．5 C ．4或5 D ．3或51 七年级数学整式的加减 练习题精选 Revised as of 23 November 2020 22(4).(426)2(225)a a a a ----- 其中 1-=a . 221131 (5).2()()2223 a a b a b ----- 其中 32,2=-=b a . （6）.化简 )]72(53[2b a a b a ---- 一、选择题 1.下列说法中，正确的是（ ） A. 234 x -的系数是34 B. 2 32 a π的系数是32 C. 23ab 的系数是3a D. 225 xy 的系数是25 2.下列计算正确的是 （ ） 22.34a a A a +=).2(2a b B a b --=-+ 222.2C a b a b a b -=- .541D a a -= 3．下列说法中，不正确的是 （ ） A.单项式是整式 B.多项式322358r x yr axr π-+-是按 r 的降幂排列的 C.含加减运算的式子都是单项式 D.不含加减运算的式子都是单项式 4.下列说法正确的是（ ） A. 23 xyz 与23 xy 是同类项 B. 1x 和 12x 是同类项 C. 320.5x y 和237x y D. 25m n 与24nm -是同类项 5.下列各式中去括号正确的是（ ） 2222..(2)2A x y x z x y x z --+=--+ ..36(41)3641B a a a a a a -[--]=--+ ..2(6423)2642C a x y a x y +-+-=-=-22..(2)(1)21D x y z x y z --+-=---- 6.若多项式32281x x x -+-与多项式323253x mx x +-+的 和不含二次项，则m 等于（ ） 7.如图，边长为3m +（） 的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边 长是（ ） 二、填空题 8.单项式2323ab c -的系数为 ，次数为 9.若2512 m x y --与212n xy =是同类项，则m n += 10. 3(2)a a b --= . 11.若代数式2345x x --的值为7，则2453 x x --的值为 12.如图，∠AOB =45?过射线OA 上到点O 的距离分别为 1,3,5,7,9,11，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，…观察其中的规律，则第n 个黑色梯形的面积S n = 三、解答题 13.计算 1.32)(57)2(24)a b a b a b -+---（）（ 2222(2).(2)2(3)3(24)x xy y xy x y xy -+---+- 14.化简求值： 2(1)..3(2)322()x x y x y xy y ---[-++]，其中 1 ,32 x y =-=-勾股定理易错题
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