统计学第5章假设检验答案

第5章假设检验

5.1复习笔记

一、假设检验的基本原理（重点）

1．假设的陈述

假设检验：指利用样本信息判断假设是否成立的过程，它是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。

原假设（零假设）H0：通常是研究者想收集证据予以反对的假设；

备择假设（研究假设）H1：通常是研究者想收集证据予以支持的假设。

（1）对建立假设的几点认识

①原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立。即在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立；

②在建立假设时，通常是先确定备择假设，然后再确定原假设；

③在假设检验中，等号“=”总是放在原假设上；

④原假设与备择假设本质上是带有一定的主观色彩的，所以，在面对某一实际问题时，由于不同的研究者有不同的研究目的，即使对同一问题也可能提出截然相反的原假设和备择假设；

⑤假设检验的目的主要是收集证据拒绝原假设。

（2）假设检验的基本形式（如表5-1所示）

表5-1 假设检验的基本形式

2．两类错误与显著性水平

假设检验过程中可能发生以下两类错误：

当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第I类错误，又称弃真错误。犯第I类错误的概率通常记为α，称为显著性水平，即当原假设实际上是正确的时，检验统计量落在拒绝域的概率。

当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错误称为第Ⅱ类错误，又称取伪错误。犯第Ⅱ类错误的概率通常记为β。

两类错误的概率之间存在的关系：当α增大时，β减小；当β增大时，α减小。使α和β同时减小的唯一办法是增加样本量。但由于犯第I类错误的概率是可以由研究者控制的，因此在假设检验中，人们往往先控制第I类错误的发生概率。

3．检验统计量与拒绝域

检验统计量是根据样本观测结果计算得到的、并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量。它实际上是总体参数的点估计量，但点估计量并不能直接作为检验的统计量。只有将其标准化后，才能用于度量它与原假设的参数值之间的差异程度。

对点估计量标准化的依据：①原假设H0为真；②点估计量的抽样分布。标准化检验统计量简称为检验统计量。对于总体均值和总体比率的检验，标准化的检验统计量可表示为：

假设检验的基本原理：根据检验统计量建立一个准则，依据这个准则和计算得到的检验统计量值，研究者就可以决定是否拒绝原假设。

4．利用P值进行决策

P值就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。用P值进行决策的准则为：

如果P值<α，拒绝H0；如果P值>α，不拒绝H0

二、一个总体参数的检验

1．总体均值的检验

（1）大样本（n≥30）的检验方法（如表5-2所示）

表5-2 大样本情况下一个总体均值的检验方法

（2）小样本（n<30）的检验方法（如表5-3所示）

表5-3 小样本情况下一个总体均值的检验方法

2．总体比率的检验（如表5-4所示）

总体比率π：指总体中具有某种相同特征的个体所占的比值，这些特征可以是数值型的，也可以是品质型的。

表5-4 大样本情况下一个总体比率的检验方法

其中，π0表示对总体比率的某一假设值，p表示样本比率。

3．总体方差的检验（如表5-5所示）

总体方差的检验，不论样本量n是大还是小，都要求总体服从正态分布，这是由检验统计量的抽样分布决定的。

表5-5 一个总体方差检验的方法

表示假定的总体方差的某一值。

其中，2

三、两个总体参数的检验

1．两个总体均值之差的检验

（1）两个总体均值之差的检验：独立样本

①大样本的检验方法（如表5-6所示）

在大样本情况下，两个样本均值之差（x1－x2）的抽样分布近似服从正态分布，而（x

－x2）经过标准化后则服从标准正态分布。

1

表5-6 独立大样本情况下两个总体均值之差的检验方法

②小样本（要求总体均服从正态分布）的检验方法（如表5-7所示）

表5-7 独立小样本情况下两个总体均值之差的检验方法

（2）两个总体均值之差的检验：匹配样本（如表5-8所示） d i ：第i 个配对样本数据的差值，i =1，…，n ；

d ：配对样本数据差值的平均值，即1

n

i

i d

d n

==

∑；

2

d

s ：配对样本数据差值的方差，即2

21

()1

n

i

i d d

d s n =-=-∑。

表5-8 匹配小样本情况下两个总体均值之差的检验方法

2．两个总体比率之差的检验 当n 1p 1、n 1（1－p 1）、n 2p 2、n 2（1－p 2）都大于或等于5时，就可以认为是大样本。根据两个样本比率之差的抽样分布，可以得到用于检验两个总体比率之差的统计量为：

式中：12p p σ-=

，即两个样本比率之差抽样分布的标准差。

由于两个总体的比率π1和π2是未知的，需要利用两个样本的合并比率p 来估计12p p σ-，其中

则两个样本比率之差（p 1－p 2）抽样分布的标准差12p p σ-的最佳估计量为：

此时，两个总体比率之差检验的统计量为：

3．两个总体方差比的检验

由于两个样本方差比2

2

12/s s 是两个总体方差比值2

2

12/σσ的理想估计量，而当容量为n 1

和n 2的两个样本分别独立地抽自两个正态总体时，检验统计量为：

5.2 课后习题详解

思考题

1．解释原假设与备择假设的含义，并归纳常见的几种建立原假设与备择假设的原则。 答：（1）原假设通常是研究者想收集证据予以反对的假设，也称零假设；备择假设通常是研究者想收集证据予以支持的假设，也称研究假设。

（2）建立原假设与备择假设的原则：

①原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立。即在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立；

②在建立假设时，先确定备择假设，然后再确定原假设； ③在假设检验中，等号“=”总是放在原假设上。

2．第I 类错误和第Ⅱ类错误分别是指什么？它们发生的概率大小之间存在怎样的关系？ 答：（1）当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第I 类错误，又称弃真错误，犯第I 类错误的概率通常记为α；当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错误称为第Ⅱ类错误，又称取伪错误，犯第Ⅱ类错误的概率通常记为β。

（2）这两类错误的概率之间存在这样的关系：当α增大时，β减小；当β增大时，

α

减小。要使α和β同时减小的唯一办法是增加样本量。

3．什么是显著性水平？它对于假设检验决策的意义是什么？

答：显著性水平是指当原假设实际上是正确的时，检验统计量落在拒绝域的概率。它是人们事先指定的犯第I类错误概率α的最大允许值。

它对于假设检验决策的意义是：显著性水平是人们事先指定的犯第Ⅰ类错误的最大允许值。显著性水平越小，犯第一类错误的可能性自然就越小，但犯第二类错误的可能性则随之增大。确定了显著性水平就等于控制了犯第Ⅰ类错误的概率，即在拒绝原假设时，只规定了

犯第Ⅰ类错误的概率不超过给定的显著性水平，但对于犯第二类错误的概率β却无法确定。

4．什么是P值？P值检验和统计量检验有什么不同？

答：P值就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率，也称为观察到的显著性水平。

P值检验不仅能得到与统计量检验相同的结论，而且能给出统计量检验不能给出的信息。利用统计量根据显著性水平作出决策，如果拒绝原假设，也仅仅是知道犯错误的可能性是α

那么大，但究竟是多少却不知道。而P值则是犯错误的实际概率。

5．什么是统计上的显著性？

答：统计显著是指在原假设为真的条件下，用于检验的样本统计量的值落在了拒绝域内，作出了拒绝原假设的决定。

6．比较单侧检验和双侧检验的区别。

答：单侧检验和双侧检验的区别有：

（1）问题的提法不同

如果要检验样本均值（或成数）与假设总体的均值（或成数）是否有显著性差异，而不问差异的方向，应采用双侧检验。

如果不仅要检验样本均值（或成数）与假设总体的均值（或成数）是否有显著性差异，还要追究其差异的方向，应采用单侧检验。决定是使用左侧检验还是使用右侧检验，取决于备选假设的性质。

（2）建立假设的形式不同

双侧检验的原假设和备则假设为：

H0：μ = μ0，H1：μ≠μ0

如果关心的问题是总体的均值（或成数）是否低于预先的假设，采用的是左单侧检验，此时，其原假设和备选假设为：

H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0

如果关心的问题是总体的均值（或成数）是否超过预先的假设，采用的是右单侧检验，此时，其原假设和备选假设为：

H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0

（3）拒绝域不同

双侧检验的拒绝域在抽样分布的两侧（所以被称为双侧检验）。而单侧检验中，如果为左侧检验，拒绝域位于抽样分布的左侧；如果为右侧检验，拒绝域位于抽样分布的右侧。

7．分别列出小样本情形下总体均值左侧检验、右侧检验及双侧检验的拒绝域。 答：小样本情形下总体均值左侧检验、右侧检验及双侧检验的拒绝域分别为：

)1(),1(),1(2->->--

练习题

1．某乐器厂以往生产的乐器采用的是一种镍合金弦线，这种弦线的平均抗拉强度不超过1035Mpa ，现产品开发小组研究了一种新型弦线，他们认为其抗拉强度得到了提高并想寻找证据予以支持。在对研究小组开发的产品进行检验时，应该采取以下哪种形式的假设？为什么？

1035:0≤μH ，1035:1>μH 1035:0≥μH ，1035:1<μH 1035:0=μH ，1035:1≠μH

解：研究者想要寻找证据予以支持的假设是“新型弦线的平均抗拉强度相对于以前提高了”，所以原假设与备择假设应为：1035:0≤μH ，1035:1>μH 。

2．一条产品生产线用于生产玻璃纸，正常状态下要求玻璃纸的横向延伸率为65，质量控制监督人员需要定期进行抽检，如果证实玻璃纸的横向延伸率不符合规格，该生产线就必须立即停产调整。监控人员应该怎样提出原假设和备择假设，从而达到判断该生产线是否运转正常的目的？

解：为了找出生产线不正常运转，监控人员提出的原假设与备择假设应为：65:0=μH ，

65:1≠μH 。

3．一家大型超市连锁店上个月接到许多消费者投诉某种品牌炸土豆片中60g 一袋的那种土豆片的重量不符。店方猜想引起这些投诉的原因是运输过程中沉积在食品袋底部的土豆片碎屑，但为了使顾客们对花钱买到的土豆片感到物有所值，店方仍然决定对来自于一家最大的供应商的下一批袋装炸土豆片的平均重量（g ）μ进行检验，假设陈述如下：

60:0≥μH ，60:1<μH

如果有证据可以拒绝原假设，店方就拒收这批炸土豆片并向供应商提出投诉。 （1）与这一假设检验问题相关联的第Ⅰ类错误是什么？ （2）与这一假设检验问题相关联的第Ⅱ类错误是什么？

（3）你认为连锁店的顾客们会将哪类错误看得较为严重？而供应商会将哪类错误看得较为严重？

解：（1）第Ⅰ类错误是该供应商提供的这批炸土豆片的平均重量的确大于等于60克，但检验结果却提供证据支持店方倾向于认为其重量少于60克；

（2）第Ⅱ类错误是该供应商提供的这批炸土豆片的平均重量其实少于60克，但检验结果却没有提供足够的证据支持店方发现这一点，从而接收这批产品；

（3）连锁店的顾客们自然看重第二类错误，而供应商更看重第一类错误。

4．某种纤维原有的平均强度不超过6g ，现希望通过改进工艺来提高其平均强度。研究人员测得了100个关于新纤维的强度数据，发现其均值为6.35。假定纤维强度的标准差仍保持为1.19不变，在5％的显著性水平下对该问题进行假设检验。

（1）选择检验统计量并说明其抽样分布是什么样的。 （2）检验的拒绝规则是什么？

（3）计算检验统计量的值，你的结论是什么？

解：（1）检验统计量n

s

x z μ-=

，在大样本情形下近似服从标准正态分布；

（2）建立假设：01:6,:6H H μμ≤>。

在5％的显著性水平下如果05.0z z >，就拒绝0H ； （3）检验统计量645.194.2100

19

.1635.605.0=>=-=

-=

z n

s

x z μ，所以应该拒绝0H 。

即该种纤维原有的平均强度得到提高。

5．一项调查显示，每天每个家庭看电视的平均时间为7.25个小时，假定该调查中包括了200个家庭，且样本标准差为平均每天2.5个小时。据报道，10年前每天每个家庭看电视的平均时间是6.70个小时，取显著性水平α=0.01，这个调查是否提供了证据支持你认为“如今每个家庭每天收看电视的平均时间增加了”？

解：建立假设：

70.6:0≤μH ，70.6:1>μH

这是右侧检验，总体方差未知，所以检验统计量z 为：

0.013.11 2.33x z z =

==>= 所以拒绝0H ，即认为“如今每个家庭每天收看电视的平均时间增加了”。

6．一个视频录像设备（VCR ）的平均使用寿命为6年，标准差为0.75年，而抽选了由30台电视组成的一个随机样本表明，电视使用寿命的样本方差为2年。试构造一个假设检验，能够帮助判定电视的使用寿命的方差是否显著大于视频录像设备的使用寿命的方差，并在α=0.05的显著性水平下作出结论。

解：建立假设：

22075.0:≤σH ，22175.0:>σH

检验统计量的值为：

2

22

22

(1)(301)2206.220.75

n s χσ--?=

==

由于2

2

0.05206.22(301)42.557χ

χ=>-=，所以拒绝0H ，即认为电视的使用寿命

的方差大于视频录像器设备的使用寿命的方差。

7．某生产线是按照两种操作平均装配时间之差为5分钟而设计的，两种装配操作的独立样本产生的资料详见表5-9。

表5-9 两种操作的独立样本

对α=0.02，检验平均装配时间之差是否等于5分钟。 解：建立假设：

5:210=-μμH ，5:211≠-μμH

这是双侧检验，并且两个总体的方差未知且为大样本，检验的统计量z 为：

( 5.145

x x z =

==-

由于0.0225.145 2.33z z =>=，所以拒绝0H ，即认为平均装配时间之差不等于5分钟。

8．某市场研究机构用一组被调查者样本来给某特定商品的潜在购买力打分。样本中每个人都分别在看过该产品的新的电视广告之前与之后打分。潜在购买力的分值为0～10分，分值越高表示潜在购买力越高。原假设认为“看后”平均得分小于或等于“看前”平均得分，拒绝该假设就表明广告提高了平均潜在购买力得分。对α=0.05的显著性水平，用表5-10中的数据检验该假设，并对该广告给予评价。

表5-10 “看后”与“看前”的购买力得分

解：设“看后”平均分为1μ，“看前”平均分为2μ，建立假设：

0:210≤-μμH ，0:211>-μμH

利用Excel 中的“t -检验：平均值的成对二样本分析”给出的检验结果如表5-11所示

表5-11 t-检验：成对双样本均值分析

由于“P （T<=t ）单尾”值=0.108419>=0.05，所以不拒绝原假设，也就是说没有足够的证据拒绝““看后”平均得分小于或等于“看前”平均得分”。

9．在旅游业中，特定目的地的旅游文化由旅游手册提供，这种小册子由旅游管理当局向有需要的旅游者免费提供。有人曾进行过一项研究，内容是调查信息的追求者（即需要旅游手册者）与非追求者之间在种种旅游消费方面的差别。两个独立随机样本分别由288名信息追求者和367名非信息追求者组成。对样本成员就他们最近一次离家两天或两天以上的愉快旅行或度假提出若干问题。问题之一是：“你这次度假是积极的（即主要包括一些富有挑战性的事件或教育活动），还是消极的（即主要是休息和放松）？”每个样本中消极休假的人数列于表5-12中。试问：这些数据是否提供了充分证据，说明信息追求者消极度假的可能性比非信息追求者小？显著性水平α=0.10。

表5-12 信息追求者与非信息追求者的消极度假人数

解：设1π=信息追求者消极度假的比率，2π=非信息追求者消极度假的比率。 建立假设：

0:210≥-ππH ，0:211<-ππH

两个样本的比率分别为：

684.02881971==

p ，82.0367

301

2==p 两个样本的合并比率为p ：

76.0367

288301

197212211=++=++=

n n p n p n p

检验统计量为：

05

.436712881

)76.01(76.082.0684.011)1()(21

21-=?

?

? ??+?-?-=?

??? ??+--=

n n p p p p z

由于282.105.41.0-=-<-=z z ，所以拒绝0H ，认为信息追求者消极度假的可能性比非信息追求者小。

10．生产工序中的方差是工序质量的一个重要测度，通常较大的方差就意味着要通过寻找减小工序方差的途径来改进工序。某杂志上刊载了关于两部机器生产的袋茶重量的数据（单位：g ）如表5-13所示，请进行检验以确定这两部机器生产的袋茶重量的方差是否存在显著差异。取α=0.05。

表5-13 两部机器生产的袋茶重量（单位：g ）

解：建立假设：

0H ：2212σσ=，1H ：22

12σσ≠

由样本数据可知：

1

11

2.95

3.45 3.12

3.328425

n

i

i x

x n =++

+=

=

=∑

21

21

11222

()

1

(2.95 3.3284)(3.45 3.3284)(3.12 3.3284)

251

0.048889

n

i

i x x s n =-=

--+-++- =

- =∑

同理可得：2 3.278182x =，2

20.005901s =。 这是两个总体的双侧检验，检验的统计量F 为：

=

=22

21s s F 0.048889

8.280.005901=>0.025(251,221) 2.3675F --= 所以拒绝0H ，即认为这两部机器生产的袋茶重量的方差存在显著差异。

11．为比较新旧两种肥料对产量的影响，以便决定是否采用新肥料。研究者选择了面积相等、土壤等条件相同的40块田地，分别施用新旧两种肥料，得到的产量数据如表5-14所示。

表5-14 施用新旧两种肥料的产量

取显著性水平α=0.05，用Excel 检验：

（1）新肥料获得的平均产量是否显著地高于旧肥料？假定条件如下： ①两种肥料产量的方差未知但相等，即2

22

1σσ=。 ②两种肥料产量的方差未知且不相等，即2

22

1σσ≠。 （2）两种肥料产量的方差是否有显著差异？ 解：（1）①建立假设：

211210:,:μμμμ<≥H H

两种肥料产量的方差未知但相等，即2

22

1σσ=，用Excel 进行检验，结果如表5-15所示。

可以采用统计量或P 值两种方法进行决策，由表5-15可知：① <

0.05(19) 1.685954t -=-，所以拒绝原假设；②P 值 1.74E-060.05α=<=，拒绝0H 。

②建立假设：

211210:,:μμμμ<≥H H

两种肥料产量的方差未知且不相等，即2

22

1σσ≠，用Excel 进行检验，结果如表5-16所示。

表5-16 t-检验： 双样本异方差假设

可以采用统计量或P 值两种方法进行决策，由表5-7可知：① <

0.05(37) 1.687094t -=-，所以拒绝原假设；②P 值 1.87E-060.05α=<=，拒绝0H 。

（2）建立假设：

2222

012112:,:H H σσσσ=≠

用Excel 进行方差检验，结果如表5-17所示。

0.975(19,19)0.395812F =，所以不拒绝原假设；②由于P 值=2×0.24311=0.48622>0.05，同样

也不拒绝原假设。因此，不能认为这两个总体的方差有显著差异。

5.3 考研真题与典型习题详解

一、单项选择题

1．在假设检验中，显著性水平α的意义是（ ）。[中南财大2006研，西安交大2008研]

A ．H 0为真，经检验拒绝H 0的概率

B ．H 0为真，经检验接受H 0的概率

C ．H 0不成立，经检验拒绝H 0的概率

D ．H 0不成立，经验接受H 0的概率 【答案】A

【解析】假设检验依据的是样本提供的信息，由于样本信息的不完备性，据此所作的判断不可避免地会犯错误。当实际上H 0为真时仍可能做出拒绝H 0的判断，就可能犯弃真（第I 类）错误。α实际上就是犯弃真错误的概率，即P {拒绝H 0｜H 0为真}=α。

2．在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（ ）。[江西财经大学2007研]

A ．α减小时β也减小

B ．α增大时β也增大

C ．α，β不能同时减小，减小其中一个时，另一个就会增大

D ．A 和B 同时成立

【答案】C

【解析】样本量n 不变的情况下，α和β的变化是相反的；但是增大样本量可以同时减少α，β。

3．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平α=0.05下应接受假设H 0：μ=μ0，则在显著水平α=0.1下，下列结论中正确的是（ ）。[华中科大2004研]

A ．必接受H 0

B ．可能接受，也可能不接受H 0

C ．必拒绝H 0

D ．不接受，也不拒绝H 0 【答案】B

【解析】由于0.050.12z z >，则在显著性水平α=0.1时的拒绝域包含了显著性水平为α=0.05的拒绝域，即α=0.05时的接受域包含了α=0.1时的整个接受域和部分接受域。所以当在显著水平α=0.05下应接受假设H 0时，在显著水平α=0.1下，可能接受，也可能不接受H 0。

4．某厂生产的化纤纤度服从正态分布，纤维纤度的标准均值为1.40。某天测得25根纤维纤度的均值x=1.45，检验与原来设计的标准均值相比是否有所变化，要求的显著性水平为α=0.05，则下列正确的假设形式是（）。

A．H0：μ=1.40，H1：μ≠1.40 B．H0：μ≤1.40，H1：μ>1.40

C．H0：μ<1.40，H1：μ≥1.40 D．H0：μ≥1.40，H1：μ<1.40

【答案】A

【解析】题中研究者感兴趣的备择假设没有特定的方向，只是关心该天纤维纤度的均值与标准均值相比是否发生了变化，并不关心是大于还是小于标准均值，所以应采用双侧检验。

5．下列假设检验中，属于左侧检验的是（）。

A．H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0B．H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0

C．H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0D．H0：μ>μ0，H1：μ≤μ0

【答案】B

【解析】在单侧检验中，由于研究者感兴趣的方向不同，又可分为左侧检验和右侧检验。如果研究者感兴趣的备择假设的方向为“<”，称为左侧检验；如果研究者感兴趣的备择假设的方向为“>”，称为右侧检验。在假设检验中，等号“=”总是放在原假设上。

6．生产某种产品，要求其抗压能力μ在500以上，如果对此进行假设检验，则原假设为（）。

A．H0：μ≥500

B．H0：μ≤500

C．H0：μ=500

D．H0：μ≠500

【答案】B

【解析】生产某种产品，要求其抗压能力μ在500以上，这属于右侧检验问题，所以提出假设为：H0：μ≤500；H1：μ>500。

7．在假设检验中，接受原假设时，（）

A．可能会犯第I类错误B．可能会犯第II类错误

C．可能会犯第I、II两类错误D．不会犯错误

【答案】B

【解析】当原假设为真却被拒绝时，犯的是弃真错误，称之为犯了第I类错误，而原假设为假却被接受时，犯的是取伪错误，称之为犯了第II类错误，因而接受原假设可能会犯第II类错误。

8．在假设检验中，1－α是指（）。

A．拒绝了一个真实的原假设的概率B．接受了一个真实的原假设的概率

C．拒绝了一个错误的原假设的概率D．接受了一个错误的原假设的概率

【答案】B

【解析】α表示H0为真时，经检验拒绝H0的概率，从而1－α表示H0为真时，经检验接受H0的概率，即接受了一个真实的原假设的概率。

9．在假设检验中，1－β是指（）。

A ．拒绝了一个正确的原假设的概率

B ．接受了一个正确的原假设的概率

C ．拒绝了一个错误的原假设的概率 C ．接受了一个错误的原假设的概率 【答案】C

【解析】原假设为伪却没有拒绝，犯这种错误的概率用β表示，称为取伪错误。因此，1－β是指拒绝了一个错误的原假设的概率。

10．进行假设检验时，在其他条件不变的情况下，增加样本量，检验结论犯两类错误的概率会（ ）。

A ．都减小

B ．都增大

C ．都不变

D ．一个增大一个减小 【答案】A

11．设样本X 1，X 2，…，X 9来自N （μ，0.04），在显著性水平α=0.05条件下，对于假设检验H 0：μ≤0.5，H 1：μ>0.5，若总体均值的真实值为μ=0.65，则此时的取伪概率为（ ）。

A ．Ф（0.605）

B ．Ф（－0.605）

C ．Ф（1.65）

D ．Ф（－1.65） 【答案】B

【解析】当总体方差已知时，对于总体均值的右侧检验的拒绝域为：

0.050.5

1.6450.23x x z -=>= 由于总体均值的真实值为μ=0.65，则此时的取伪概率为：

000.5

(|)(

1.645|0.65)0.23

0.650.15

( 1.645)

0.230.230.650.15

( 1.645)0.230.23

(1x P H H P x P x P P z μ-=<=- =+<- =<- =<接受不真0.15

.645)

0.23(0.605)

Φ- =-

12．若假设形式为H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，当随机抽取一个样本时，其均值x =μ0，则（ ）。 A ．肯定接受原假设 B ．有1－α的可能接受原假设 C ．有可能接受原假设 D ．有可能拒绝原假设 【答案】A

【解析】对于任意的显著性水平α，当均值x =μ0

20x z α=<，

所以肯定接受原假设H 0，但是有可能犯第II 类错误。

13．设z c 为检验统计量的计算值，总体方差2

σ已知，检验的假设为H 0：μ≤μ0，H 1：μ＞μ0，当z c =1.645时，计算出的P 值为（ ）。

A ．0.025

B ．0.05

C ．0.01

D ．0.0025 【答案】B

【解析】由于总体方差2

σ已知，则检验总体均值μ的统计量z~N （0，1）。所以

P 值=()( 1.645)0.05c P z z P z >=>=

14．两个样本均值经过t 检验判定有显著性差别，P 值越小，说明（ ）。 A ．两样本均值差别越大 B ．两总体均值差别越小

C ．越有理由认为两样本均值有差别

D ．越有理由认为两总体均值有差别 【答案】D

【解析】P 值是反映实际观测到的数据与原假设H 0之间不一致程度的g 一个概率值。P 值越小，说明实际观测到的数据与H 0之间不一致的程度就越大，检验的结果也就越显著。

15．在大样本情况下，当总体方差2

σ未知时，检验总体均值所使用的统计量是（ ）。 A ．0/x z

n μσ-=

B

．x z =

C

．x t =

D

．x z =【答案】D

【解析】大样本情况下，当总体方差2

σ已知时，总体均值检验的统计量为：

当总体方差2

σ未知时，可以用样本方差s 2来近似代替总体方差，此时总体均值检验的统计量为：

16．在对总体均值进行检验时，用t 统计量检验的条件是（ ）

A ．正态总体，方差已知，大样本

B ．非正态总体，方差未知，大样本

C ．正态总体，方差已知，小样本

D ．正态总体，方差未知，小样本 【答案】D

【解析】A 项与C 项采用z 检验，B 项的抽样分布可以用正态分布近似，因而也采用z 检验，只有当总体为正态总体，方差未知，且为小样本时采用t 检验。

17．从正态总体中随机抽取一个n =10的随机样本，计算得到x =231.7，s =15.5，假定

20σ=50，在α=0.05的显著性水平下，检验假设H 0：2σ≥50，H 0：2σ<50，得到的结论是

（ ）。

A ．拒绝H 0

B ．不拒绝H 0

C ．可以拒绝也可以不拒绝H 0

D ．条件不足，无法判断 【答案】B

【解析】由样本数据计算检验统计量22

2

21)915.543.24550

n s χσ-?=

==（；因为20.95(9) 3.33χ=；22

0.9543.245(9) 3.33χχ=>=，所以在显著性α=0.05的水平下，不能拒

绝H 0。

18．某企业人事部经理认为，该企业职工对工作环境不满意的人数占职工总数的1／5以上。为了检验这种说法，从该企业随机调查了职工100人，其中有26人表示对工作环境不满意。则分别在0.10和0.05的显著性水平下，调查结果（ ）这位经理的看法。

A ．不支持；不支持

B ．不支持；支持

C ．支持；不支持

D ．支持；支持 【答案】C

【解析】这是一个总体比率检验。由于是大样本，可以近似采用z 检验。 建立假设：H 0：π≤1／5，H 1：π>1／5，则：

1.5z =

=

=

检验的P 值=P （z ≥1.5）=1－0.9332=0.0668。

①当显著性水平α=0.1时，P 值＜α，应拒绝原假设，即支持这位经理的看法。

②当显著性水平α=0.05时，P 值＞α，不能拒绝原假设，即不能支持这位经理的看法。

二、多项选择题

1．根据原假设的情况，假设检验中的临界值（ ）。[西安交大2007研] A ．只能有一个，不可能有两个 B ．有时为一个，有时有两个 C ．只会为正值

D ．总是以零为中心，呈对称分布

E ．有时会有负值 【答案】BE

【解析】假设检验分为单侧检验和双侧检验，故其当为单侧检验时，临界值有一个，双侧检验时临界值有两个，但不一定以零为中心，如2

χ检验，在做双侧检验时两个临界值都会大于零；假设检验中的临界值会有负值，如t 分布的双侧检验。

2．下列关于β错误的说法，正确的是（ ）。 A ．是在原假设真实的条件下发生的 B ．是在原假设不真实的条件下发生的 C ．取决于原假设与实际值之间的差距

D ．原假设与实际值之间的差距越大，犯β错误的可能性越小

E ．原假设与实际值之间的差距越小，犯β错误的可能性越大 【答案】BCDE

3．已知总体服从正态分布，现抽取一小样本，拟对总体方差进行双侧假设检验，取α=0.05，则原假设的拒绝区域为（ ）。

A ．2

0.975(0(1)]n χ-， B ．20.975((1)]n χ-∞-，

C ．2

0.025[(1))n χ-+∞， D ．2

0.975[(1))n χ-+∞，

E ．20.025(0(1)]n χ-，

【答案】AC

4．某机场的塔台面临一个决策上的问题：如果荧幕上出现一个小的不规则点，并逐渐接近飞机时，工作人员必须作一判断：H 0：一切正常，那只是荧幕上受到一点干扰罢了；H 1：可能会发生碰撞意外。在这个问题中，（ ）。

A ．错误地发出警报属于第Ⅰ类错误

B ．错误地发出警报属于第Ⅱ类错误

C ．错误地发出警报的概率为α

D ．错误地发出警报的概率为β

E ．α不宜太小 【答案】ACE

【解析】错误的发出警报是指0H 为真，却拒绝了0H ，即犯了第I 类错误，犯第I 类错误的概率为α；犯第I 类错误的概率α不宜过小，因为在其他条件不变的情况下，如果犯第I 类错误的概率α过小，则会导致犯第II 类错误的概率增大，即已经发生碰撞意外了，却没有发出警报的概率增大，不利于事故控制。

5．对于两个总体均值之差的检验，

利用检验统计量(x x t =

进行检验，

必须满足的条件有（ ）。

A ．两个总体都为正态总体

B ．两个总体方差已知

C ．两个总体的方差未知，但相等

D ．t 分布的自由度为n 1+n 2－2

E ．t 分布的自由度为n 1+n 2－1 【答案】ACD

【解析】关于正态总体均值差12μμ-的检验，当2

1σ、2

2σ未知且相等，总体为小样本时，采用检验统计量

(x x t =

进行检验，

12~(2)

t t n n +-，其中

22

21122

12(1)(1)2p

n s n s s n n -+-=

+-。

三、判断题

1．所谓小概率原理是指发生概率很小的事件，在试验中不可能发生。（ ）[西南财大2000研]

【答案】×

【解析】小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的。小概率事件虽然发生概率很小，但并不代表不可能发生。

2．在总体方差未知情况下进行均值检验，一定要用t 统计量。（ ）[西南财大2000研]

【答案】× 【解析】在总体方差未知情况下进行均值检验，一般用t 统计量，但若在大样本情况下，t 分布可用正态分布近似，故在这种情况下可用样本方差来近似代替总体方差，采用z 统计量。

3．假设检验的基本思想可以利用小概率事件原理来解释。（ ） 【答案】√ 【解析】假设检验是基于小概率原理即认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会发生，如果小概率事件在一次试验中出现了，则这是与概率论的基本原理相违背的。因而有理由被认为是不合理的。

4．拒绝原假设说明原假设是错误的。（ ）