湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 第10课时 对数函
数学案
【学习目标】
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性. 【课本导读】
1.对数
(1)对数的定义 . (2)对数恒等式
①N
a a log = (a >0且a ≠1,N >0).②log a a b
= (a >0,且a ≠1,b ∈R ). (3)对数运算法则(a >0且a ≠1,M >0,N >0)
①log a (M ·N )= ;②log a M N
= ;③log a M n
= . (4)换底公式
log b N =log a N
log a b
(a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,N >0).
推论:
①log a b ·log b a = ; ②log a b ·log b c = ;③n
a b n log = ; ④
n a b m log = .
2.对数函数
(1)对数函数的概念
函数y =log a x (a >0且a ≠1)叫做对数函数. (2)对数函数的图像
(3)对数函数的性质
①定义域为 ,值域为 .②恒过定点(1,0).
③a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上为 ;0 ④当a >1,x >1时,log a x 0;当a >1,0 1.(课本习题改编)写出下列各式的值: (1)log 26-log 23=____;(2)lg5+lg20=_____;(3)log 53+log 51 3 =____;(4)log 35- log 315=____. 2.(1)化简log 89 log 23 =____________. (2)已知9 4 3 2 a (a >0),则log 23a =________. (3)若2a =5b =10,则1a +1b =________. 3.对于a >0且a ≠1,下列结论正确的是 ( ) ①若M =N ,则log a M =log a N ;②若log a M =log a N ,则M =N ; ③若log a M 2=log a N 2,则M =N ;④若M =N ,则log a M 2=log a N 2 . A .①③ B .②④ C .② D .①②④ 4.已知a =21.2 ,b =(12 )-0.8,c =2log 52,则a ,b ,c 的大小关系为 ( ) A .c B .c C .b D .b 题型一 对数式的计算 例1 计算下列各式: (1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;(2)log 34273log 5[2log 3 210log 21 727)33(4--]; (3)已知log 23=a ,3b =7,求212log 7 3 的值. 探究1 在对数运算中,要注意以下几个问题: (1)在化简与运算中,一般先用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并. (2)a b =N ?b =log a N (a >0,且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意互化. 思考题1 (1)|1+lg0.001|+lg 21 3 -4lg3+4+lg6-lg0.02的值为________. (2)(log 32+log 92)·(log 43+log 83)= . 题型二 对数函数的图像及应用 例2 比较下列各组数的大小: (1)log 23.4,log 28.5; (2)log 67,log 76; (3)m =0.95.1 ,n =5.10.9,p =log 0.95.1; (4)若0 a ,log 1a b 的大小关系. 探究2 (1)比较两个指数幂或对数值大小的方法: ①分清是底数相同还是指数(真数)相同;②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小; ③当底数、指数(真数)均不相同时,可通过中间量过渡处理. (2)多个指数幂或对数值比较大小时,可对它们先进行0,1分类,然后在每一类中比较大小. 思考题2 (1)(2011·天津)已知a =log 23.6,b =log 43.2,c =log 43.6,则 ( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .c >a >b (2)已知x =ln π,y =log 52,x =2 1 e ,则 ( ) A .x 题型三 对数函数的性质 例3 (1)作出函数y =log 2|x +1|的图像,由图像指出函数的单调区间,并说明它的图像可由函数y =log 2x 的图像经过怎样的变换而得到. (2)当x ∈(1,2)时,不等式(x -1)2 A .(0,1) B .(1,2) C .(1,2] D .(0,1 2 ) 探究 3 (1)作一些复杂函数的图像,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过来.一般是先作出基本函数的图像,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图像. (2)对于较复杂的不等式有解或恒成立问题,可借助函数图像解决,具体做法是:对不等式变形,不等号两边对应两函数.在同一坐标系下作出两函数图像,比较当x 在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况. 思考题3 (1)已知图中曲线C 1、C 2、C 3、C 4是函数y =log a x 的图像,则曲线C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 的值依次为 ( ) A .3、2、13、12 B .2、3、13、1 2 C .2、3、12、13 D .3、2、12、1 3 (2)(2013·衡水调研卷)已知函数f (x )=(13 )x -log 2x ,若实数x 0是方程f (x )=0的解, 且0 题型四 对数函数的综合应用 例4 (1)求f (x )=log 12 (3-2x -x 2 )的单调区间. (2)已知函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),如果对于任意x ∈[3,+∞)都有|f (x )|≥1成立,试求a 的取值范围. 探究4 关于形如log a f (x )的函数的单调性,有以下结论: 函数y =log a f (x )的单调性与函数u =f (x )[f (x )>0]的单调性,当a >1时相同,当0 思考题4 是否存在实数a ,使得f (x )=log a (ax 2 -x )在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a 的范围;若不存在,说明理由. 【本课总结】 指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置,搞清这部分基础知识相当重要. (1)搞清指数函数与对数函数的关系:即二者互为反函数,因此,图像关于直线y =x 对称,它们在各自的定义域内增减性是一致的.即a >1时都为增函数,0<a <1时都为减函数. (2)比较指数函数、对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型.具体做法是:①底数相同指数不同时,要考虑指数函数的单调性;②底、指数都不同时要借助于中间值(如0或1)再不行可考虑商值(或差值)比较法;③对数函数型数值间的大小关系,底相同者考虑对数函数的单调性,底不同时可考虑中间值(如0或1),或用换底公式化为同底.最后可考虑比较法. 【自助餐】 1.已知函数x x f ?? ? ??=21)(的图象与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称,令 )1()(x g x h -=,则关于)(x h 有下列命题:①)(x h 的图象关于原点对称;②)(x h 为偶函数;③)(x h 的最小值为0;④)(x h 在上为减函数.其中正确命题的序号为 . 2.已知函数)3(log )(ax x f a -=. (1)当[]2,0∈x 时,函数)(x f 恒有意义,求实数a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数a ,使得函数)(x f 在区间[]2,1上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值. 3.已知集合}321 ≤≤???=x x P ,函数)22(log )(22+-=x ax x f 的定义域为Q . (1)若(]3,2,32,21-=?? ? ???=Q P Q P ,求实数a 的值; (2)若φ=Q P ,求实数a 的取值范围。 第10讲 对数运算和对数函数 1.对数的概念 如果a x =N (a >0且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中__a __叫做对数的底数,__N __叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a M N =log a M -log a N ; ③log a M n =n log a M (n ∈R );④log m n a M =n m log a M . (2)对数的性质 ①log a N a =__N __;②log a a N =__N __(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d . 3.对数函数的图象与性质 (1)定义域:(0,+∞) [玩转典例] 题型一 指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14;(2)102=100;(3)e a =16;(4)6431 -=14;(5)log 39=2;(6)log x y =z . [玩转跟踪] 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.e 0=1与log e 1=0 B.831=2与log 82=13 C.log 24=2与421=2 D.log 33=1与31=3 题型二 对数运算性质的应用 例2 计算下列各式的值: (1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg 25+23 lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. (3)3 53log 1+-232log 4++103lg3+????1252log . [玩转跟踪] 1.计算下列各式的值: (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2)lg 3+25lg 9+35lg 27-lg 3lg 81-lg 27 (3)1)9 43log 21+525log 1+. 题型三 换底公式的应用 例3 已知log 189=a,18b =5,用a 、b 表示log 3645. 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以当a>b>1时,有log2a>log2b>log21=0; 当log2a>log2b>0=log21时,有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是() A.a=b 解析 由题意y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过(3,1)点,可解得a =3.选项A 中,y =3-x =? ? ? ??13x ,显然图象错误;选项B 中,y =x 3,由幂函数图象可知正确;选项C 中,y =(-x )3=-x 3,显然与所画图象不符;选项D 中,y =log 3(-x )的图象与y =log 3x 的图象关于y 轴对称,显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )=???log 2x ,x >0,3-x +1,x ≤0, 则f (f (1))+f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.-1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)=log 21=0, f (f (1))=f (0)=30+1=2, f ? ? ? ??log 312=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3, 所以f (f (1))+f ? ? ? ??log 312=5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A.(a -1)(b -1)<0 B.(a -1)(a -b )>0 C.(b -1)(b -a )<0 D.(b -1)(b -a )>0 解析 ∵a >0,b >0且a ≠1,b ≠1. 对数与对数函数同步练习 一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则 N M 的值为( ) A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>,且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于( ) A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ,则αβg 的值是( ) A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =,那么1 2 x -等于( ) A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ) A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( ) A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 2. 2.1第一课时 对数的概念教案 【教学目标】 1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化 2.渗透应用意识,培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力【教学重难点】 重点:对数的概念 难点:对数概念的理解. 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、情景导入、展示目标。 (一)复习引入: 1庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺? 2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:1. =?,=0.125x=? 2. =2x=? 也是已知底数和幂的值,求指数你能看得出来吗?怎样求呢? (二)新授内容: 定义:一般地,如果 的b 次幂等于N, 就是 ,那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,记作 ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 例如: ; ; 探究:⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵, ∵对任意 且 , 都有 ∴ 同样易知: ⑶对数恒等式 如果把 中的 b 写成 , 则有 421??? ??x ?? ? ??21?()x %81+?()1,0≠>a a a N a b =b N a =log 1642=?216log 4=100102 =?2100log 10=242 1=?2 12log 4= 01.0102 =-?201.0log 10-=01log =a 1log =a a 0>a 1≠a 10 =a 01log =a 1log =a a N a b =N a log N a N a =log 课时跟踪检测(十)对数与对数函数[高考基础题型得分练] 1.[2018·四川泸州一诊]2lg 2-lg 1 25的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:2lg 2-lg 1 25 =lg ? ? ? ? ? 22÷ 1 25 =lg 100=2.故选B. 2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=() A.log2x B.1 2x C.log1 2 x D.2x-2答案:A 解析:由题意知f(x)=log a x, ∵f(2)=1,∴log a2=1,∴a=2, ∴f(x)=log2x. 3.[2018·河北衡水中学调研卷]若01的解是() A.x>a B.a A .d =ac B .a =cd C .c =ad D .d =a +c 答案:B 解析:由已知得b =5a ,b =10c,5d =10, ∴5a =10c,5d =10, 同时取以10为底的对数可得, a lg 5=c ,d lg 5=1,∴c a =1 d ,即a =cd . 5.[2018·福建朋口中学高三上期末]已知y =log a (2-ax )在[0,1]上为x 的减函数,则a 的取值范围为( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 答案:B 解析:因为f (x )=log a (2-ax )在[0,1]上是减函数,所以f (0)>f (1), 即log a 2>log a (2-a ),所以?? ? a >1,0<2-a <2, 所以10, 3-x +1,x ≤0, 则f (f (1)) +f ? ? ? ??log 312的值是( ) A .5 B .3 C .-1 D.7 2 答案:A 解析:由题意可知f (1)=log 21=0, 第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、填空题 1.如果 ,那么x ,y,1的大小关系是________. 解析 ∵ 是(0,+∞)上的减函数,∴x >y >1. 答案 1<y <x 2.(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=log 3(1+x ),则f (-2)=________. 解析 f (-2)=-f (2)=-log 33=-1. 答案 -1 3.函数y =log 12 (3x -a )的定义域是? ????23,+∞,则a =______. 解析 要使函数有意义,则3x -a >0,即x >a 3, ∴a 3=23,∴a =2. 答案 2 4.已知f (x )=??? 2a 2,x <2,log a (x 2-1),x ≥2,且f (2)=1,则f (1)=________. 解析 ∵f (2)=log a (22-1)=log a 3=1, ∴a =3,∴f (1)=2×32=18. 答案 18 5.函数y =log a (x -1)+2(a >0,a ≠1)的图象恒过一定点是________. 解析 当x =2时y =2. 答案 (2,2) 6.(2012·重庆卷改编)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是________. 解析 a =log 23+log 23=log 233>log 22=1,b =log 29-log 23=log 233=a >1,c =log 32 对数与对数函数试题 一.选择题 1.函数y= 的图象大致为( ) A . B . C . D . 2、下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y x = 3、已知03.1()2a =,20.3b -=, 12log 2c =,则,,a b c 的大小关系是 () A .a b c >> B .a c b >> C.c b a >> D .b a c >> 4、对于任意实数x ,符号[x ]表示x 的整数部分,即[x ]是不超过x 的最大整数,例如 [2]=2;[1.2]=2;[2.2-]=3-,这个函数[x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ的值为() A .21 B .76 C .264 D .642 5、已知{}a b 2,3,4,5,6,7,8,9∈、,则log a b 的不同取值个数为( ) A. 53 B. 56 C. 55 D. 57 6、若, ,则( ) A. B. C. D. 7、函数 的图像大致是( ) A. B. C. D. 8、函数()2log (2)a f x x =+-(01)a a >≠且的图像必经过点() A .(0,1)B .(2,1)C .(3,1)D .(3,2) 9、三个数03770.30.3.,,,㏑,从小到大排列() A.0.37.73.0㏑0.3 B.0.37,㏑0.3,0.37 C.7,0.3 0.3, 70.3,,㏑ D.70.3ln 3,0.3,7 10、当01a <<时,在同一坐标系中,函数x y a -=与log a y x =的图象是() A . B . C.D . 11、设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)-,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有() A .11f() 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0 ,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1 时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10,, 的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ? ? ?12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????0101, 则,则 当01<<<>?????0101, 则, 则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐(4)当a >1时,y a x =是增函数, 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1.将下列指数式与对数式互化: (1);(2);(3);(4);(5);(6). 思路点拨:运用对数的定义进行互化. 解:(1);(2);(3);(4);(5); (6). 总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三: 【变式1】求下列各式中x的值: (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x. 解:(1); (2); (3)10x=100=102,于是x=2; (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2.求值:解:. 总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.举一反三: 【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0) 思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算. 解:. 类型三、积、商、幂的对数 3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解:(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三: 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解: (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值. 解:由3a=c得: 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:. 证明: . 【变式4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:. 证明:∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4.(1)已知log x y=a,用a表示; (2)已知log a x=m,log b x=n,log c x=p,求log abc x. 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分) 1.方程lg x +lg(x +3)=1的解x 为 ( ) A .1 B .2 C .10 D .5 解析 B ∵lg x +lg(x +3)=lg 10,∴x (x +3)=10.∴x 2+3x -10=0. 解得x =2或-5(舍去). 2.“a =1”是“函数f (x )=lg(ax +1)在(0,+∞)上单调递增”的 ( ) A .充分必要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )=lg(x +1),g (x )=lg(2x +1)在(0,+∞)上均单调递增,所以“a =1”是“函数f (x )=lg(ax +1)在(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件. 则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a 1)的值域是 ( ) A .(-∞,-2] B .[-2,+∞) C .(-∞,2] D .[2,+∞) 解析 A ∵x + 1x -1+1=x -1+1 x -1 +2≥2(x -1)·1 x -1 +2=4,∴y ≤-2. 5.函数f (x )=2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )=2|log2x |=???? ? x ,x ≥1,1 x ,0 一、 教学目标: 1.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质;能利用对数函数的性质解题. 二、教学重、难点: 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律: 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化,对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数,主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等,主要以填空为主。 四、教学内容: 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作 ,其中a 叫做对数的 ,N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化:log b a a N b N =?= 2.常用对数:通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数,记作lg N 。 自然对数:通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数,记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式:①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 (2)换底公式:log a N =log log b b N a (3)对数的性质:①负数和零没有对数 ② 1的对数是零,即log 10a = ③底的对数等于1,即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且,那么 (1)log ()a MN = ; (2)log a M N = ; (3)log n a M = ; (4)log n a m M = 。 (5)log log a b b a ?= ; (6)log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).、 6.对数函数图像与性质 注:对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内,图像从左到右相应的底逐渐增大, 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时,应抓住定义的“形式”,像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且,因此,它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像,应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 第6节 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,1 2的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重 要的函数模型;4.了解指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质:①a log a N =N ;②log a a b =b (a >0,且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a M N =log a M -log a N ; ③log a M n =n log a M (n ∈R ); ④log a m M n =n m log a M (m ,n ∈R ,且m ≠0). (3)换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念:函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质 a >1 0 第13讲:对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,a≠1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象与性质 2、反函数 指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 三、自主热身、归纳总结 1、函数f(x)=log 2(-x 2+22)的值域为(B ) A . ????-∞,32 B . ?? ??-∞,32 C . ????32,+∞ D . ????32,+∞ 2、若log a 2<log b 2<0,则下列结论正确的是(B ) A . 0<a <b <1 B . 0<b <a <1 C . a >b >1 D . b >a >1 3、函数2 2()log (34)f x x x =--的单调减区间为( ) A .(,1)-∞- B .3(,)2 -∞- C .3(,)2 +∞ D .(4,)+∞ 4、(2019秋?菏泽期末)已知函数()log (1)a f x x =+,()log (1)(0a g x x a =->,1)a ≠,则( ) A .函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B .函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C .函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D .函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 5、(2018苏州期末)已知4a =2,log a x =2a ,则正实数x 的值为________. 6、(2018盐城三模).函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ . 四、例题选讲 考点一对数函数的性质及其应用 例1、(1)函数的定义域为( ) A . B . C . D . 第6讲 对数与对数函数 1.对数 指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N .( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ).( ) (3)函数y =log 2x 及y =log 13 3x 都是对数函数.( ) (4)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.( ) (5)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a ,1),????1 a ,-1,函数图象只在第一、四象限.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y =x ln(1-x )的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1) C .(0,1] D .[0,1] 解析:选B .因为y =x ln(1-x ),所以? ????x ≥0, 1-x >0,解得0≤x <1. 函数f (x )=log 12 (x 2-4)的单调递增区间为( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(2,+∞) D .(-∞,-2) 解析:选D.设t =x 2-4,因为y =log 12 t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2). lg 5 2 +2lg 2-????12-1=________. 解析:lg 52+2lg 2-????12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2 =(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1. 答案:-1 (教材习题改编)函数y =log a (4-x )+1(a >0,且a ≠1)的图象恒过点________. 解析:当4-x =1即x =3时,y =log a 1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1). 答案:(3,1) 对数式的化简与求值 [典例引领] 计算下列各式: 第二章 函数的概念与基本初等函数I 第五讲 对数与对数函数 1.[2021江苏省镇江中学质检]若函数f (x )=a x -2 ,g (x )=log a |x |(a >0,且a ≠1),且 f (2)·g (2)<0,则函数f (x ),g (x )在同一平面直角坐标系中的大致图象是( ) A B C D 2.[2021河北省张家口市宣化区模拟]若函数f (x )=lo g 13 (x 2 +2a -1)的值域为R,则a 的取值范围 为( ) A.(-∞,1 2] B.(-∞,1 2 ) C.[1 2 ,+∞) D.(1 2 ,+∞) 3.[2021湖北省四地七校联考]设a =lo g 12 3,b =(1 2 )3 ,c =312 ,则( ) A .a ab B.a +b 2019版新教材数学课外辅导讲义——第一册第10讲 对数函数
第6讲 对数与对数函数
(完整word版)对数与对数函数练习题及答案
A1-1-10对数的概念与性质
对数与对数函数 10
2015高考数学(理)一轮题组训练:2-6对数与对数函数
对数和对数函数测试题(卷)
指数函数 和 对数函数公式 (全)
带答案对数与对数函数经典例题.
对数及对数函数典型例题精讲
对数函数讲义(可直接使用).
2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版
第13讲 对数函数(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
6 第6讲 对数与对数函数
20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题:第2章第5讲 对数与对数函数 2