第11章 静电场

r r r E = Exi + Ey j
λ λ Ex = (sinθ2 − sinθ1 ) Ey = (cosθ1 − cosθ2 ) 4πε0d 4πε0d
1. 对其结果进行讨论： 无限长， 对其结果进行讨论： 无限长，即 d<<L
θ1 = 0 θ2 = π
∴Ex = 0
λ Ey = y 2πε0d
根据电场强度的定义有 球对称
q1
q2
r
r er
r r F q2 r E= = e 2 r q1 4πε0r
E(x, y, z) = E(r)
E(r)
r=c
= const.
四、点电荷系电场的电场强度
设源电荷是有 n 个点电荷 q1, q2, Lqn 处的场强： 则在场中 P 处的场强：
r r F E= = i q0 q0
λdx Ex = ∫ cosθ 2 4πε0r
d r= sinθ
y
dE
dEy
P
x = −dctgθ
dEx
d dx = 2 dθ sin θ
θ1
d o
r
x
θ
dx
θ2
x
Ex = ∫
θ2
θ1
θ2
Ey = ∫
θ1
λ λ cosθdθ = (sinθ2 − sinθ1 ) 4πε0d 4πε0d λ λ sinθdθ = (cosθ1 − cosθ2 ) 4πε0d 4πε0d
x dx Q L x a P
dq Qdx dE = = 2 2 4πε0 x 4πε0Lx
E = ∫ dE =
a+L
∫
a
Qdx Q = 2 4πε0Lx 4πε0a(a + L)
P点的电场强度沿x轴负方向
[例11-3] 均匀带电圆环轴线上的场 11解：在圆环上任取电荷元dq 在圆环上任取电荷元d
y
如图所示,真空中有一电荷均匀分布的细直棒, [例11-2] 如图所示,真空中有一电荷均匀分布的细直棒, 11带电量为Q(Q＞0),长为L。求在棒的延长线的一端为a的 0),长为 点处的电场强度(大小及方向) P点处的电场强度(大小及方向) 。 解：dq在P点产生的电场 强度的大小为: 强度的大小为:
定义电场强度： 定义电场强度： 电场强度
r F 与试验电 （2）比值 ） q0 荷无关 r r F E= q0
（1）受力与位置（场点）有关 ）受力与位置（场点）
电场强度的方向为正电荷所受电场力的方向。 电场强度的方向为正电荷所受电场力的方向。 方向为正电荷所受电场力的方向
讨论: 讨论
ur ur •静电场为矢量场：E = E ( x, y , z ) 静电场为矢量场： 静电场为矢量场
矢量式： 矢量式：
r q1 q 2 F = k 2 r q1 q 2 = k 3 r
令 则
r er r r
q1
q2
r
r er
4πε 0 r q1q2 r F= e 2 r 4πε0r
k=
1
演示
1 ε0 = = 8.851×10−12 c2 / N ⋅ m2 4πκ
为真空介电常数
二、电力叠加原理
个点电荷组成的点电荷系， 设有n个点电荷组成的点电荷系，点电荷 受到其他点电荷 qi作用的总静电力为
11.4 高斯定理 一、电场线 （1）曲线上各点的切线方向都与该点处的场强 方向一致 EP （2）电场线密度 电场线的性质： 电场线的性质：
dN E= dS
EQ
Q P
dS
dN
电场线起自于正电荷或无穷远， 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或 没有电荷处不中断； 无穷远 ，没有电荷处不中断； 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。 两条电场线不会相交，不能相切。
dS⊥ dS
r 面元的法向单位矢量 en ——面元的法向单位矢量
把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场
r r dΦ = E ⋅ dS
非匀强电场
θ
dS
对整个曲面积分，即得： 对整个曲面积分，即得：
r r Φ = ∫ dΦ = ∫S E ⋅ dS
Φ=
en
E
2.通过闭合曲面的电通量 2.通过闭合曲面的电通量
•电场强度单位： 电场强度单位： 电场强度单位 国际单位制 N ⋅ C -1 或：V ⋅ m -1 •定义电场强度后，点电荷（q）处于外场中时受电 定义电场强度后，点电荷（ 定义电场强度后 r r 场作用力： 场作用力：
F = qE
三、点电荷电场的电场强度
根据库仑定律， 根据库仑定律，
q2 受到的电场力为 r q1q2 r F= e 2 r 4πε0r
σ x (1− ) 3 = 2 2 2ε0 2 2 2 x +R (x + r ) σ << R, 则 E = 2ε0
rdr
1 R2 1+ 2 x )
dr r R
σ E= (1 − 2ε 0
r dE
P x
σ R2 ≈ 2ε 0 2 x 2 q = 2 4πε 0 x
——点电荷的场！ 点电荷的场！ 点电荷的场
几种典型带电系统的电场线
二、电通量 通过电场中任意一给定面的电力线总根数， 通过电场中任意一给定面的电力线总根数， 即为通过该面的电通量 通过面积元 dS⊥的电通量为
dΦ = EdS⊥
匀强电场
通过面积元 dS
的电通量为
r E
r en
r θE
dΦ = EdS⊥ = E cos θ dS
r r u r r dΦ = E ⋅ dS d S = dSen
r 讨论 d Φ = E ⋅ d S
∫r
S
r r E ⋅ dS
正、负取决于面元的法线方向与电场强度方向的关系 规定闭合曲面法线方向向外为正！ 规定闭合曲面法线方向向外为正！
三、静电场的高斯定理 在真空中， 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/ 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/εo倍。
θ1
d L
θ2
x
2.
半无限长
即
θ1 =
π
2
θ2 = π
y
λ Ex = − 4πε0d或源自θ1 = 0θ2 =
λ Ey = 4πε0d π
2
λ Ex = 4πε0d
λ Ey = 4πε0d
d θ1 L
θ2
x
点在直线上或在直线的延长线上， 3.p点在直线上或在直线的延长线上，不可 使用上述公式，要具体分析。 使用上述公式，要具体分析。
∫
S
r r E ⋅ dS
的贡献不同
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 只有闭合面内的电量对电通量有贡献 电通量 2. 静电场性质的基本方程 3. 源于库仑定律 高于库仑定律 有源场
11.5 高斯定理的应用 一均匀带电球面， [例11-5] 一均匀带电球面，总电量为Q，半径为R， 11求电场强度分布。 求电场强度分布。 解：根据对称性分析，电场分 根据对称性分析， 布也应具有球对称性， 布也应具有球对称性，且电场 强度方向应沿径向！ 强度方向应沿径向！ Q
Φ =∫ e
S
v v 1 n E ⋅ dS = ∑qi
εo
i=1
1.点电荷在球形高斯面的圆心处 1.点电荷在球形高斯面的圆心处
E + dS
E=
q 4πεo R
2
qdS q q 2 Φ =∫ = ⋅ 4π R = e 2 2 S4 πεo R 4πεo R εo
q ⋅ dS dΦ = E cos0°dS = e 4πεo R2
Φ =∫ e
S
v v E ⋅ dS = 0
+
4.任意电荷系的静电场 4.任意电荷系的静电场 个点电荷组成， 由 n 个点电荷组成，其中
q1'q2' Lqk 在闭合面内， 在闭合面内，
q2
. . qn .
qk+1, qk+2 ,Lqn
在闭合面外。 在闭合面外。 . qk +1 .q . .
1
则通过闭合面的电通量
n
r ∑Fi
n
qi
P
v r i
n r qi r = ∑Ei = ∑ e 2 i πε0ri i=1 i=1 4
这一结论称为场强叠加原理
五、任意带电体的场强 若为电荷连续分布的带电体， 若为电荷连续分布的带电体，如图所示 Q 可以把带电体切割成无穷多个电 荷元， 荷元，每个电荷元可看作点电荷
r E =
2.点电荷在任意形状的高斯面内 2.点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面S的电场线也必通 过任意曲面S' ，即它们的 电通量相等。 电通量相等。为q/εo
S'
S +
Φ =∫ e
S′
v v q E ⋅ dS =
εo
3.电荷 3.电荷q在闭合曲面以外 穿进曲面的电场线条数等于 穿出曲面的电场线条数。 穿出曲面的电场线条数。
dq
R
r dE =
dq 4π ε0r
2
r
x
θ
P
ˆ r
dE
o
x
dEx = dE cosθ dE⊥x = dE sinθ
z
Q
由对称性分析知 轴的场强为0 垂直x 轴的场强为0
r ˆ E = Ex x
r ˆ E = Ex x
E = Ex =
( Q)
y
dq
r
∫
dq 4π ε0r
2
cosθ
o