∴ 整数a 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分
∴ 整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.
[注]本题在确定待定系数的值时，反复运用了抛物线与x 轴没有交点时，判别式小于0，体现解一元二次不
等式的数形结合思想。
三、东城25题
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交
于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0) （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；
④
⑤
② ③ ⑥ ⑦
（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求
出此时点M 的坐标；
（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△C P B 的面积最大？最大面积是多少？
并求出 此时点P 的坐标.
【参考答案】
25．解：（1）由题意，得：3,
9-60.
c a a c =??
+=?…
解得：-1,3.
a c =??
=?
所以，所求二次函数的解析式为：2--23y x x =+……2分 顶点D 的坐标为（-1，4）.……3分 （2）易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6
设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6. ① 当1=
9=33
O BE S ??时，
易得
E 点坐标（-2，-2），直线OE 设M 点坐标（x ，-x ），
2
12---2
3.
-122
x x x x x =++==（舍），
∴-1-1(
2
2
M +
+
，
……4分
② 当1=
9=63
O BE S ??时，同理可得M 点坐标．
∴ M 点坐标为（-1，4）……5分
32m +-，
（3）连接O P ，设P 点的坐标为(),m n ，因为点P 所以PB PO O PB O B S S S S =+-△C △C △△C ……6分
111()2
22
O C m O B n O C O B
=?-+?-
?
()339
3
32
2
22
m n n m =-+-
=--
()2
23
33273.2228
m m m ??
=-+=-++ ??? ……7分 因为3<0m -<，所以当32
m =-时，154
n =
. △C P B 的面积有最大值
27.8
……8分
所以当点P 的坐标为315(,)24-
时，△C P B 的面积有最大值，且最大值为27
.8
[注]第（3）问使用铅垂高的方法，也比较简捷：易得BC 解析式为y=x+3，设过P 与x 轴垂线交直线BC 于
Q ，可得Q （m,m+3）, 则铅垂高为m m 32--，水平宽为
3，易得面积
()2
2
3
33273.2228
m m m ??=-+=-++ ???
四、朝阳25题
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，
点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不
存在，请说明理由.
【参考答案】25. 解：（1）∵抛物线42++=bx ax y 经过A （－3,0），B （4,0）两点，
∴??
?=++=+-.
04416,0439b a b a
解得??
???
=-=.
31,31b a
∴所求抛物线的解析式为43
13
12
++
-
=x x y . ……………………………2分
（2）如图，依题意知AP ＝t ，连接DQ ，
由A （－3,0），B （4,0），C （0,4）， 可得AC ＝5，BC ＝24，AB ＝7. ∵BD ＝BC ，
∴247-=-=BD AB AD .
∵CD 垂直平分PQ ， ∴QD ＝DP ，∠CDQ = ∠CDP . ∵BD ＝BC ， ∴∠DCB = ∠CDB . ∴∠CDQ = ∠DCB . ∴DQ ∥BC . ∴△ADQ ∽△ABC . ∴BC DQ AB
AD =. ∴
BC
DP AB
AD =.
∴
2
47
2
47DP =-.
解得 7
3224-=DP . ………………………………………………………4分 ∴7
17=
+=DP AD AP .………………………………………………………5分
∴线段PQ 被CD 垂直平分时，t 的值为7
17.
（3）设抛物线43
1312
++
-
=x x y 的对称轴2
1=
x 与x 轴交于点E .
点A 、B 关于对称轴2
1=
x 对称，连接BQ 交该对称轴于点M .
则MB MQ MA MQ +=+，即BQ MA MQ =+. …………………………6分 当BQ ⊥AC 时，BQ 最小. …………………………………………………7分 此时，∠EBM = ∠ACO . ∴4
3tan tan =∠=∠ACO EBM .
∴4
3=BE
ME .
∴
43
27=ME ，解得821=
ME . ∴M （
2
1，
8
21
）.
即在抛物线43
1312
++
-
=x x y
MQ ＋MA 的值最小.
[注]本题应特别注意，由对称点所产生的角分线，加上BC=BD 可产生平行，即角分线、平行线、等
腰知二求其一的基本模式。
五、石景山25题
已知：抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m-2交y 轴于点A （0，2m-7）．与直线
y ＝2x 交于点B 、C （B 在右、C 在左）． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得B F E C F E ∠=∠，若存在，求出
点F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线OC 上有两个动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度
的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒，若△PMQ 与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m-2有公共点，求t 的取值范围．
备用图
【参考答案】25.解：（
2
∴（2）由
?
??=+-=x y x y 22∴B
（32,3）
B （32,3对称点为2('-
B 可得直线
C B '由???=+=1
32y x y ∴)6,1(F （3）当)2,2(t t M --当)2,(t t P --舍去负值，所以[注]第（2）问作对称点构造角等是关键。请梳理得角等的方法：如作平行线，
构造等腰三角形，做辅助圆利用圆心角定理等。 第（3）问可知OP=t 5，所以)2,2(t t M -- ，)2,(t t P --
六、延庆25题
已知：在如图1所示的平面直角坐标系x O y 中，A 、C 两点的坐标分别为A (4,2)，
C(n,-2)（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形． （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B 、C 两点的坐标及图2中OF 的长；
（3）若OM 是∠AOB 的角平分线,且点G 与点H 分别是线段AO 与射线OM 上的两个动点，直接写出HG+AH
的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。
图
七、密云24题
如图，在直角坐标系x o y 中，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线23
y x =-
+与y 轴的交点A 和点
M (2
-
，0)．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）将这条抛物线沿x 轴向右平移，使其经过坐标原点．
①在题目所给的直角坐标系xo y 中，画出平移后的
抛物线的示意图；
②设平移后的抛物线的对称轴与直线A B （B 是直线23
y x =-
+与x 轴的交点）相交于C 点，判
断以O 为圆心、O C 为半径的圆与直线A B 的位置关系，并说明理由；
（3）P 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P 点的坐标，使得以O 、A 、C 、P 四点为顶点的四边
形是平行四边形．
【参考答案】24．（本小题满分7分） （1）设0x =，则2y =．∴A （0,2）． 设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：22y ax =+．
∵过点M (2
-，0)，∴有2
()202
a ?-+=．解得83
a =-
．
∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2
823
y x =-+．----------2分
（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3分
②相切． 理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的
对称轴为直线
2
x =
∵C 点是对称轴与直线A B 的相交，
∴易求得点C 的坐标为（
2
，
32
）．
由勾股定理，可求得O C =
设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 A B d A O B O ?=?．
∵点A 为（0，2），点B 为（0），∴4A B =．
423d =?∴d O C ==．
这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．
∴以O 为圆心、O C 为半径的圆与直线A B 相切． -------------------------------------5分
（3）设P 点的坐标为（
2
，p ）．
∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．
∴只需P C A O =2=，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）知，点C 2
，
32
），
∴322
p -
=．∴22p -=±．解得 172
p =
，212
p =-
．
∴ P 点的坐标为1p （
2
，
72
）或2p （
2
，12
-
）．----------------------------7分
[注]第（2）问用到了面积法和作垂直证半径的切线判定方法；第（3）问依旧可用点的平移解决平行四边形存在性问题。
八、丰台25题
如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；
（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中
的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；
（3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A ’C’的
中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为 ．
【参考答案】
25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．
∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分 ∴
二次函数的解析式为：22y x =-++．……2分
(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’， 设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3．
∴OA ’ = OA =32．
在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’， 在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1． ∴C ’(3，1)．……6分
(3) 120°，4．……8分
[注]第（3）问利用圆中的弦长为直径时最大。
九、昌平24题
【参考答案】24． 解：（1）据题意，A (0，2)，B (2，2)， C (2，0) ．
∵ 抛物线y =ax 2
+bx +c 经过点A 、B 和D (4，3
2
)，
∴ ???????
++=++==．，，24163
2
22422b a b a c ∴
∴ 23
16
12
++
-
=x x y ． ………………………………………………………… 2分
（2）点B 关于抛物线的对称轴x =1的对称点为A ． 连接AD ，与对称轴的交点即为M ．
∵ A （0，2）、 D （4
，3
2），
∴ 直线AD 的解析式为：23
1+-=x y ．
当x =1时，3
5=
y ，
∴ M （1，3
5）．
………………………………………………………… 4分
（3） ① AP =2t, PB =2-2t, BQ =t ．
在Rt △PBQ 中,∠B =90°， ∴ 2
2
2
BQ
PB
PQ +=．
∴ 2
2
22t t S +-=
）（． ∴ 4852+-=t t S ,（0≤t ≤1）．
②当时45=S ，
4854
52
+-=t t ．
∴ 2
1=
t ,10
11=
t ＞1（舍）．
∴ P （1，2），Q （2，2
3）．
∴ PB = 1．
．
，
，
231
6
1==
-=c b a
根据分析，以点P 、B 、Q 、R 为顶点的平行四边形只能是□PQRB ． ∴ R （3，2
3）．
此时，点R （3，2
3）在抛物线23
16
12
++
-
=x x y 上． ……………………………… 8分
[注]第（3）平移法构造平行四边形，是常用技巧。
十、通州24题
如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ′使四边形POP ′C
为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大，并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最
大面积．
【参考答案】24. 解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得??
?-==++3
c 0c b 39 …………….(1分)
解得：???-=-=3
2c b …………………………………….(2分)
所以二次函数的表达式为：322--=x x y ……….(3分) （2）存在点P ，使四边形POP /
C 为菱形．设P 点坐标
为（x ，322
--x x ）， PP /
交CO 于E
若四边形POP /
C 是菱形，则有PC ＝PO ．
连结PP /
则PE ⊥CO 于E ，…………………………………….(4分) ∴OE =EC =
2
3
∴322
--x x =2
3-
解得1x =210
2+
，2x =
2
10
2-
（不合题意，舍去）
∴P 点的坐标为（
2
10
2+
，2
3-
） …………………………………….(5分)
（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ， ………….(6分)
设P （x ，322--x x ），
易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.
EB
QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ?+
?+
?=++=???2
12
12
1
3)3(2
1342
12
?+-+??=x x
当23
=x 时，四边形ABPC 的面积最大= 8
7523232
+??? ??--x
此时P 点的坐标为??
?
??-
415,2
3，四边形ABPC 的面积8
75的最大值为．
……………………………………………………………………(7分)
[注]第（3）问也可连OP ，将四边形ABPC 分割为
PF
OB xP OC OC AO S S S S OBP
OCP AAOC ABPC ?+
?+
?=
++=???2
12
12
1 。
十二、顺义25题
如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B
（-1，0）和点C ，顶点为P ． （1）求二次函数的解析式；
（2）设D 为线段OC 上的一点，若D P C B A C ∠=∠，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M 在抛物线2
12
y x bx c =
++上，点N 在y 轴上，要使以M 、N 、B 、D
为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M 、N 是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M 的
坐标；若不存在，说明理由．
【参考答案】25．解：（1）将点A （-3，6），B （-1，0）代入2
12
y x bx c =
++中，得
9
36,2
10.2
b c b c ?-+=???
?-+=?? 解得 1,
3.2
b c =-???=-?? ∴二次函数的解析式为2
132
2
y x x =
--
．…………………………… 2分
（2）令0y =，得
2
1302
2
x x --
=，解得 11x =-，23x =．
∴点C 的坐标为（3，0）． ∵2
2
131(1)222
2
y x x x =
--
=
--，
∴顶点P 的坐标为（1，-2）．…………………………………………… 3分 过点A 作AE ⊥x 轴，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ． 易得 45
D =?．
AC ==PC ==
又D P C B A C ∠=∠，
∴△ACB ∽△PCD ．…………………… 4分
∴
B C A C C D
P C
=
．
∵3(1)4BC =--=， ∴43
B C P C C D A C
=
= ．
∴45333
O D O C C D =-=-=．
∴点D 的坐标为5(
,0)3
．……………………………………………… 5分
（3）当BD 为一边时，由于83
B D =
，
∴点M 的坐标为885
(,318
-
或811(
,)318-． ………………………… 7分 当BD 为对角线时，点M 的坐标为235(
,3
18
-
． …………………… 8分
[注]第（2）问利用构造相似三角形得角等；（3）平移法构造平行四边形，及利用中点坐标公式。
十三、平谷25题
如图，抛物线42
++=bx ax y ()0≠a 与x 轴交于点A (－2，0)和B (4，0)、与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是 以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标； (3)点M 、Q 分别从点A 、B 以每秒1个单位 长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M
到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒 3
2
个单位
长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物 线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线 l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时 间t (秒)与△APQ 的面积S 的函数关系式．
【参考答案】25．解：（1）∵抛物线过点A (－2，0)和B (4，0)
∴ ???=++=+-044160424b a b a 解得?????=-=1
21b a
∴ 抛物线的解析式为42
1
2++-=x x y …………1分
（2）抛物线的对称轴为1=x 令x =0，得y =4，∴()04C ，
设T 点的坐标为()h ,1，对称轴交x 轴于点D ，过C 作CE ⊥TD 于点E 在Rt △ATD 中， ∵TD =h ，AD =3 ∴2
2
2
2
9h TD
AD
AT
+=+=………………………………………………………………2分
在Rt △CET 中， ∵E ()4,1
∴ET =h -4，CE =1 ∴()142
2
2
2
+-=+=h CE
TE
CT
∵AT =CT
∴()22
914h h +=+-，………………………3分
解得1=h .
∴()1,1T . ...............….………………………………………………………………………4分 （3）当20≤CO
PM AO
AM =
∴PM =2t ∴t t PM AQ S 62
12
+-=?=
………………6分
当32≤∴BM =t -6.由OC =OB =4，可证BM =PM =t -6. ∵BQ =t t 235)2(2
32-
=--
∴AQ =t t 2
312356+=??? ?
?
-
-
∴()344
36231212
12
++-=-???? ??+=
?=
t t t t PM AQ S ．……………………………..8分 综上所述，()
??
?
??≤<++-=≤<+-=)32(34432062
2t t t S t t t S
[注]第（3）问关键是能够正确地表示出各条线段的长，并能利用分类讨论思想。
十四、房山25题
如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t
（t ＞0）秒，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ．已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）．
⑴求c 、b （可以用含t 的代数式表示）；
⑵当t>1时，抛物线与线段AB 交于点M ．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；
⑶在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围．
【参考答案】25．解：解：⑴把x =0，y =0代入y =x 2
+bx +c ，得c =0，
------------------------1分
再把x =t ，y =0代入y =x 2+bx ，得t 2+bt =0， ∵t ＞0，
∴b =-t ；-----------------------------------------------3分 ⑵不变．
当x =1时，y =1-t ，故M （1，1-t ）， ∵tan ∠AMP =1，
∴∠AMP =45°-----------------------------------------------5分 ⑶
2
7＜t ＜
3
11．-----------------------------------------------7分
[注]第（3）问当抛物线经过好点（3，-2）时，可得t=11/3,当抛物线经过（2，-3）时，可得t=7/2,故t 介于两者之间。
中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)
2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1
【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
代数几何综合题含答案
代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2
B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B
中考数学代数选择题
中考数学代数选择题 (08北京市卷)1．6-的绝对值等于（ A ） A ．6 B ． 16 C ．16 - D ．6- (08北京市卷)2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ D ） A ．5 0.21610? B ．3 21.610? C ．3 2.1610? D ．4 2.1610? (08北京市卷)4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ C ） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 (08北京市卷)6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ B ） A ． 1 5 B ． 25 C ． 12 D ． 35 (08北京市卷)7．若230x y ++-=，则xy 的值为（ B ） A ．8- B ．6- C ．5 D ．6 (08天津市卷)1．ο60cos 的值等于（ A ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 2 3 D ．1 (08天津市卷)4．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=610-毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这 种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ B ） A ．210个 B ．410个 C ．610个 D ．810个 (08天津市卷)5．把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ A ） A ．522+=x y B ．522-=x y C ．2)5(2+=x y D ．2)5(2-=x y (08天津市卷)6．掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（ C ）
代数几何综合题(含答案)
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<01、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y
一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
2018年中考数学真题汇编：代数式(含答案)
2018年中考数学真题知识分类汇编：代数式（含答案）一、单选题 1．下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 【答案】B 2．计算的结果是（） A. B. C. D. 【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 【答案】B 【解析】分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可. 详解： = = 故选：B. 点睛：本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键. 3．下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 【答案】D 4．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得. 【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意； B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键. 5．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】C 6．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】B 7．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】安徽省2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得. 【详解】A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误；
初三数学代数几何综合题
代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)
(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,
中考数学代数几何综合题2
中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C
代数几何综合题含答案
代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 B
初中数学中考试题研究《代数综合》
初中数学中考试题研究 《代数综合试题》 Ⅰ、综合问题精讲： 代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（丽水，8分）已知关于x 的一元二次方程x 2 －(k ＋1) x －6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值． 解：设方程的另一根为x 1，由韦达定理：2 x 1=－6， ∴ x 1=－3.由韦达定理：－3+2= k ＋1，∴k=－2. 【例2】（嘉峪关，7分）已知关于x 的一元二次方程（k+4）x 2 ＋3x+k 2 －3k －4=0的一 个根为0，求k 的值． 解：把x=0代入这个方程，得k 2 －3k －4=0，解得k 1＝l ，k 2＝－4．因为k+4≠0．所以k ≠－4，所以k ＝l 。 点拨：既然我们已经知道方程的一个根了，那么我们就可以将它代入原方程，这样就可以将解关于x 的方程转化为解关于k 的方程．从而求出b 的解．但应注意需满足k+4的系数不能为0，即k ≠－4。 【例3】（自贡，5分）已对方程 2x 2 +3x －l ＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数． 解：设2 x 2 +3x －l ＝0的两根为x 1、x 2 则新方程的两根为12 11, x x 得12123212 x x x x ? +=-????=-?? 所以 121 2 12 11= =3 x x x x x x ++所以新方程为y 2 －3y －2=0· 点拨：熟记一元二次方程根与系数的关系是非常必要的
2019届中考数学总复习：代数几何综合问题
2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.
中考数学二模试题汇编代数综合题
-x – 2019-2020年中考数学二模试题汇编代数综合题 【xx 昌平二模】 27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左 侧）. （1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且，直接写出直线l 的表达式； （3）如果点和点在函数的图象上，PQ=2a 且，求的值. 【xx 房山二模】 27. 对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当-1≤x ≤1时， -1≤y ≤1，则称这个函数为“闭函数”. 例如：y =x ，y =-x 均是“闭函数”(如右图所示). 已知是“闭函数”，且抛物线经过点A (1，-1)和点 B (-1， 1) . （1）请说明a 、c 的数量关系并确定b 的取值； （2）请确定a 的取值范围. 【xx 通州二模】 27．已知：二次函数，与x 轴的公共点为A ，B . （1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数 为，当时，结合函数的图象，求的取值范围.
【xx朝阳二模】 27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值 范围． 【xx海淀二模】 27．抛物线与轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1． （1）求抛物线的表达式； （2）若CD∥x轴，点D在点C的左侧，，求点D的坐标；
试卷分类汇编_ 代数几何综合
代数几何综合 1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2 关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点?? ? ??232，D 在抛物线上，直线是一次函数 ()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以? ??=++=+-5.1240 c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又12=- a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以2 3 212++-=x x y . （2）由（1）知2 3 212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23 ,27k )， 令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2 k )， 根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE, 即： ,5 11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2 1 232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为2 2 1x y - = 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,
九年级数学代数几何综合题解析提高班教师版
1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b
九年级中考代数真题汇编——选择题专训(含答案)
中考数学代数---选择题 (08北京市卷)1．6-的绝对值等于（ A ） A ．6 B ． 16 C ．16 - D ．6- (08北京市卷)2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ D ） A ．5 0.21610? B ．3 21.610? C ．3 2.1610? D ．4 2.1610? (08北京市卷)4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ C ） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 (08北京市卷)6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ B ） A ． 1 5 B ． 25 C ． 12 D ． 35 (08北京市卷)7．若230x y ++-=，则xy 的值为（ B ） A ．8- B ．6- C ．5 D ．6 (08天津市卷)1．ο60cos 的值等于（ A ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 2 3 D ．1 (08天津市卷)4．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=610-毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这 种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ B ） A ．210个 B ．410个 C ．610个 D ．810个 (08天津市卷)5．把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ A ） A ．522+=x y B ．522-=x y C ．2)5(2+=x y D ．2)5(2-=x y (08天津市卷)6．掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（ C ）
代数几何综合题.doc
代数儿何综合题一、基础题 （大兴，2010期末，18） 18.已知：如图，在山8C中，ZC = 90°,P为43上一点，且 点p不与点刀重合，过点户作PE1AB交刀C边于点点厅不与点。 重合，若力3 = 10,4。= 8,设，户的长为x,四边形PEC3周长为*. （1）求证：/^APE s MCB ； （2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象 （丰台，2010期末，21） 22.（本小题满分6分） 已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P,但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南 偏东60°的方向上，问渔船现在距港口P多远？（结果精确到0.1千米）（参考数据: V2M.41, V3M.73,际"24, ^6^2.45) （丰台，2010期末，25） 25.（本小题满分7分） RtAABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，ZC=90°, AB=6, AC=3,点A在x轴上由原点。开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至与点。重合时，运动结束.在上述运动过程中，OG始终是一个以 AB为直径的圆.
（1）试判断在运动过程中，原点。与OG的位置关系，并说明理由； （2）设点C坐标为（x,y）,试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长.
二、提高题 （吕平，2010期末，25） 25. （7分）已知，抛物线y^ax1轴的两个交点分别 为A（1,0）, B（4, 0）,与y轴的交点为C. （1）求出抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P,M为顶点的三角形与AOCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （朝阳，2010期末，24） 24.（本小题7 分）如图，在z^ABC 中,ZA=90°, AB=8, 过M点作MN〃BC交AC于点N.以MN为 直径作。0,并在。0中作内接矩形AMPN.令 AM=x. （1）用含x的代数式表示AIVINP的面积S； （2）当x为何值时，。。与直线BC相切？ （3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的 面积为V，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？/ P \ B ------------------ C （第24题） （朝阳，2010期末，25） 25.（本小题8分） 已知：在/XABC中，ZACB=90°, CD_LAB于点D,点E在AC上，BE交CD于点G, EF1BE交AB于点F.
试卷分类汇编_代数几何综合
代数几何综合 一、选择题 1. （2012浙江义乌3分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在【 】 A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 【答案】B 。 【考点】算术平方根，估算无理数的大小。 【分析】∵一个正方形的面积是15， ∵9＜15＜16＜4。故选B 。 2. （2012浙江杭州3分）已知抛物线()3y k x 1x k ? ?=+ ??? -与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是【 】 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 。 【考点】抛物线与x 轴的交点。 【分析】根据抛物线的解析式可得C （0，﹣3），再表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，再根据ABC 是等腰三角形分三种情况讨论，求得k 的值，即可求出答案： 根据题意，得C （0，﹣3）． 令y=0，则()3k x 1x 0k ? ?+= ??? -，解得x=﹣1或x=3k 。 设A 点的坐标为（﹣1，0），则B （3k ，0）， ①当AC=BC 时，OA=OB=1，B 点的坐标为（1，0），∴ 3k =1，k=3； ②当AC=AB 时，点B 在点A 的右面时， ∵AC =B 1，0）， ∴31,k k == ③当AC=AB 时，点B 在点A 的左面时，B 0）， ∴ 3k k == 。
∴能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B 。 3. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】 A C ．3 D ．4 【答案】A 。 【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】过B 作BF⊥OA 于F ，过D 作DE⊥OA 于E ，过C 作CM⊥OA 于M ， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。 ∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA= 12OA=2。 由勾股定理得： 设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ， ∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。 ∴BF OF CM AM DE OE DE AE == ，，即F C M 2x 22-，解得：) 2x BF CM 2 -==，。 A 。 4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于【 】 A ． 40° B ． 60° C ． 80° D ． 90° 【答案】A 。
历年初三数学中考代数几何综合题及答案
中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
