例8.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。
又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。
（2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，
△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC。
∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。
∴点N是线段BC的中点。
（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。
在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。
在Rt△OEF 中，OE=2，∠AED=30°，∴OF 3=。∴FG=2OF 3
=。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE ，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB 得出∠EFG=∠AGF，
从而
判断出EF=AG ，得出四边形AGEF 是平行四边形，从而结合AG=GE ，可得出结论。
（2）连接ON ，则ON⊥BC，从而判断出ON 是梯形ABCE 的中位线，从而可得出结论。
（3）根据（1）可得出AE=AB ，从而在Rt△ADE 中，可判断出∠AED 为30°，在Rt△EFO 中求
出FO ，从而可得出FG 的长度。
8.依次连接一矩形场地ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH ，M
为边EH 的中点，点P 为小明在对角线EG 上走动的位置，若AB=10米，BC=当PM+PH 的和为最小值时，EP 的长为 ▲ 。
10.如图，在矩形ABCD 中，AD=4cm ，AB=m （m ＞4），点P 是AB 边上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接PD ，过点P 作PQ⊥PD，交直线BC 于点Q ．
（1）当m=10时，是否存在点P 使得点Q 与点C 重合？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC ，若PQ∥AC，求线段BQ 的长（用含m 的代数式表示）；
（3）若△PQD 为等腰三角形，求以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围．
1.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为▲ ．
例2.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，
连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN
BM
的值为【】
A．2 B．4 C．D．
【答案】D。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN 的长，从而求得答案：
过点N作NG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。
∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。
∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。
设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。
在Rt△CGN 中，NG ，
在Rt△MNG 中，MN ，
∴MN BM D 。
例1.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为 ▲ 。
例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，
∴△ABP≌△QBP（AAS ）。∴AP=QP，AB=BQ 。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH≌△BQH（HL ）。∴CH=QH。
∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F 作FM⊥AB，垂足为M ，则FM=BC=AB 。
又∵EF 为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME ，∴△EFM≌△BPA（ASA ）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，即2
x BE 2+8
=。 ∴2
x CF BE EM 2+x 8=-=-。 又∵四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴()()22211x 11S BE CF BC=4+x 4=x 2x+8=x 2+622422??=?+??-?-- ? ???
。 ∵1042
<<，∴当x=2时，S 有最小值6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答案。
（2）先由AAS 证明△ABP≌△QBP，从而由HL 得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH 。因此，△PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2
，利用二次函数的最值求出即可。
4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD ＝6cm ，
∠ABC＝60°，则四边形ABCD 的面积等于_ ▲ cm 2．
例2.如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则EF= ▲ ．
【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；．
【分析】连接EC ，AC 、EF 相交于点O 。
∵AC 的垂直平分线EF ，∴AE=EC。
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。 ∴△AOE∽△COF。∴AO OE OC OF
。 ∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE 。 在Rt△CED 中，由勾股定理得：CE 2=CD 2+ED 2，即CE 2=（4－CE ）2+22，解得：CE=52。
∵在Rt△ABC 中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=
∵在Rt△CEO 中，CE=52
，由勾股定理得： 例3.已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，
6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。
∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．
∴点P的坐标为（，6）。
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。
∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。
又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ
=。
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．
∴
6t
11t6m
=
--
。∴2
111
m t t6
66
=-+（0＜t＜11）。
（Ⅲ）点P，6，6）。
【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP， △QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。
（Ⅲ）首先过点P 作PE⊥OA 于E ，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与21
11m t t 666
=-+，即可求得t 的值： 过点P 作PE⊥OA 于E ，∴∠PEA=∠QAC′=90°。
∴∠PC′E+∠EPC′=90°。
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。 ∴△PC′E∽△C′QA。∴PE PC AC C Q
'=''。 ∵PC′=PC=11－t ，PE=OB=6，AQ=m ，C′Q=CQ=6－m ，
∴AC '= 11t
6m --。 ∵
6t
11t 6m =--，即611t t 6m -=-6t ，即23612m=t -。 将2111m t t 666
=-
+代入，并化简，得23t 22 t 36=0-+。解得：
12t t ==。
∴点P 6，6）。 5.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉重叠地放在
一起，重合部分为四边形ABCD ，则AB 与BC 的数量关系为 ▲ .
例1.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】
A．B．．D．
【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。
∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。
∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。
∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=1
2
CF=
1
2
。∴NG=
1
2
。
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣15
22
=。∴BF=2BN=5
∴BC==B。
例2.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B 重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），
如果BD B 14
A =，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为【 】
A.41
B.53
C.51
D.4
3 【答案】D 。
【考点】平行四边形的判定和性质。
【分析】过点P 作PH∥BC 交AB 于H ，连接CH ，PF ，PE 。
∵AP BE ，∴四边形APEB 是平行四边形。∴PE
AB 。， ∵四边形BDEF 是平行四边形，∴EF
BD 。 ∴EF∥AB。∴P，E ，F 共线。
设BD=a ， ∵1BD AB 4
=，∴PE=AB=4a。∴PF =PE ﹣EF=3a 。 ∵PH∥BC，∴S △HBC =S △PBC 。
∵PF∥AB，∴四边形BFPH 是平行四边形。∴BH=PF=3a。
∵S △HBC ：S △ABC =BH ：AB=3a ：4a=3：4，∴S △PBC ：S △ABC =3：4。故选D 。
例3.如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：
①S 1+S 2=S 3+S 4 ② S 2+S 4= S 1+ S 3
③若S 3=2 S 1，则S 4=2 S 2 ④若S 1= S 2，则P 点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。
【考点】矩形的性质，相似
【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，
∴S1+S3=1
2
S矩形ABCD；
同理可得出S2+S4=1
2
S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。
如图，若S1=S2，则1
2
×PF×AD=
1
2
×PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，
即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。
例6.如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。
且AB=4，BC=3，求PC的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，
∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。
四边形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。
（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。
设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得
3 x＋5 x=12，解得x=3
2
，即DN=BM=
3
2
。
过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。
在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得。
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，
。
在△CBQ中，，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。
∴NP=MQ=1
2
。∴PC=4－
3
2
－
1
2
=2。
【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。
（3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=3
2
。过点N作NH⊥AB于H，则由
勾股定理可得PQ=CQ，即可求得。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。
例2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁
到达蜂蜜的最
短距离为▲ cm．
【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得BC15。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例2.如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【】
A． a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长
【答案】D。
【考点】生活中的平移现象，平移的性质。
【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。
例3.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为▲ ．
【答案】28。
【考点】平移的性质，勾股定理。
=，将五个小矩形的所有上边平移【分析】由勾股定理，得6
至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。
1.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【】
A、14
B、16
C、20
D、28
如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点
C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
（1）求证：AG＝C′G；
（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM 的长。
如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．Array如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）
A、B、C、D、6
已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，
分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．
1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，B C=5c m，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，求重叠部分△AEF的面积。