高三文科数学（解析儿何）练习
「已知椭圆C ：存$］心〉0）的离心仆孕原点到过点心。），B （OT ）的直线的距离是琴.
（I ）求椭圆C 的方程;
（II ）若直线y = b + l 伙工0）交椭圆C 于不同的两点E, F, ME, F 都在以B 为圆心的圆上，求R 的值.
解（I ）因为汁孚—2
2 ,2
故所求椭圆C 的方程为二+上=1 ........................................................................ 6分
16 4 （II ）由题意
y = kx +1,
<兀2 2 消去y ,整理得
—+—= 1
116 4 (1 + 4疋)兀 2+8&_12二0 ......................................................................... 7 分
可知△>(). .................................. 8分
EF 的中点是M (x w , y M ),
所以心 + ky M + 2k = 0.
-AL k
即——+ -------- +220.
1 + 4疋 1 + 4疋
又因为kHO,
1 逅
所?以 k 2=-.^ 以 ￡=± 8 4
2 2 2.已知椭圆C ：l + ￡ = l （d>b>0）的四个顶点恰好是边长为2, —内角为60。的菱形的四个顶点. dT b （T ）求椭圆C 的方程;所以a = 2h. ................................................................ 2分
因为原点到直线AB ab \Ja 2
+Z?2 4A /5
解得a = 4, b = 2. ................................................................ 5分
10分
所以恋迸“ ................................................................ 11分
.......................................... 13分
(II)若直线y = kx 交椭圆C 于人B 两点，且在肓线/：x + y-3 = 0上存在点P,使得\PAB 为等边三角形，求￡的 值.
?内角为6(y 的菱形的四个顶点,
所以a = ^b = l,椭圆C 的方程为—+/ = 1 ........................ 4分
(I I)设 A (尢 I J),则 3(-兀］，一 ％ ),
当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是V 轴, y 轴与直线/ ：兀+ y - 3 = 0的交点为P(0,3), 又因为\AB\=^,\PO 1=3,所以ZPAO = 6(T,
所以MAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y = 0 .................... 6分
当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为V = kx
y = kx 3宀3
3/ + 1
设AB 的垂直平分线为y = --x f 它与直线l ：x + y-3 = 0的交点记为P(x 0,j 0) k
?
y = -x + 3
所以 1 ，解得V y =——JC 则心临分 因为APAB 为等边三角形，所以应有\PO l=V3IA(9l
代入得釦治"需，解得? (舍)，7 ................................................................... 13分
14分
2 2 _____________________________________________________________________________________________________________ _ ______
3.已知椭圆C:罕+ ￡ = l@>b>0)的右焦点F (1,0),长轴的左、右端点分别为人显2，且两?亦=—1. cr b° (I )求椭圆C 的方程;
(II )过焦点F 斜率为R 伙H0)的直线Z 交椭圆C 于4, 〃两点，弦AB 的垂总平分线与X 轴相交于点Q.试问椭圆解: ⑴因为椭圆C:
= l(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,
所以
=1 化简得(3P + 1)X 2=3 3k = ----- ° k-\ -3 儿=— 则肿=吋爲 所以
C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到 轴的距离；若不存在，请说明理由. 解：(I )依题设￡(一。,0), %@,0),则两= (_a_l,O), 亦= (a —1,0). 由两?亦 =一1,解得a 2 = 2,所以h 2
= \. r 2
所以椭圆C 的方程为一+ )，=1. ........................................................... 4分 2
(II)依题直线/的方程为y = k(x-\).
由得(2 疋 + 1)14*3 + 2/-2 = 0.
设 A(x i ,y i ), 3(兀2，儿)，弦的中点为M(x 0,y 0)，
若四边形 ADBE 为菱形,则 x E + x D = 2x 0, y E + y D = 2y 0.
竟 2 若点E 在椭圆C 上，贝％ —尸+ 2( —)2
=2, 2k~ + l 2ZT + 1
整理得f =2,解得k 2
=y/2.所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.
此时点E 到y 的距离为，2~3^ .......... ................................................................ 14分 2 2
4.已知椭圆C :―^ +七^ = 1(。> /? > 0)的右焦点为F(l,0),且点(―1, )在椭圆C 上
a 2
(I )求椭圆C 的标准方程;
则 Xj + x 2 = 4k 2 2/+1 2伙—I) x.x 9 = ----- ---- 1 2 2疋+1 2k 2 -k "°一2疋 + 1'儿一 2疋 + 1 ' 所以M( 2疋 -R
2疋 + 1'2疋 + 1
). 直线MD 的方程为y + k
2/ + 1
k 2
2疋+1
,0). 所以E(
-2k 2疋 + 1‘2/+1 k 2
(11)己知点2(-,0),动总线/过点F,且直线/与椭圆C 交于A, B 两点，证外 M ?创为定值.
4
(I )解：由题意知：c = 1 .
根据椭圆的定义得：= J(- 1- I)2 + (―)2 + —,即61=近? V 2 2
.................................................. 3分
所以决=2?1= 1.
所以椭圆C 的标准方程为—+ /=1.
(II)证明:当直线Z 的斜率为0时,A(V2,0),B(-V2,0).
贝|」eA 2B = (V2--,0) (-V2--,0) = -—. 4 4 16
................................................. 6分
当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为：%= ty+1, Ad 』)』
/,)" | X 2 ,2 _ 1 由 1T + V
二'可得：(r 2+ 2)/+ 2ty- 1= 0.
|x= ty+ 1 显然△> 0.
| 2f
I : ................................................. 9 分 卜厂口
因为 X] = ty { + 1, x 2= ty 2 + \ 9
所以 CV *'])?(兀2 |o ；2)=(如 |)(^2 -占)+ >卩2
7 1 1
=(广 +1))卩 2，丁'()1+)‘2)+77 4 lo
"1 1 2r 1
r 2+ 2 4 r 2+ 2 16
即刃? QB = -~ -2f 2- 2+ t 2 2(r 2 + 2) + j__ 2_ 16~ ' 16 13分