第41讲：应用题的解法2
一、高考要求
高考应用题的比例稳定，分值有所增加；考查力度在突出建模能力、所给材料具有原始
性等方面进一步加强，同时统计图表作为数学信息的主要载体．
二、两点解读
重点：①读懂题意，明确问题的实际背景；②将文字语言叙述的实际问题转化为数学符
号语言叙述．
难点：深刻理解问题的实际背景，理清蕴含其中的数学关系，把生活中实际问题数学化，标准化．
三、课前训练
1．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
2．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（）
（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种
3．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有场比赛．
4．如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去Array一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱
容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容
积最大．
图1
四、典型例题
例1甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）：
其中产量比较稳定的小麦品种是．
例2某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）
（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种
例 3 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分．若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是_____．（结果用数值表示）
例4 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种．（结果用数值表示）
例5甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
应用题的解法2 课后作业
1．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________．（用数字作答）
2．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长
为6的正方形，SD=PD＝6，C R=SC，AQ=AP，点S，
D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，
使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的
几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．
3．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是．(结果用分数表示)
4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为．
5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人．
6．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①．②．③．④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
（A）96 （B）48 （C）24 （D）0
7．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
.0）
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率．（精确到01
8．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
几何应用题 类型一 与三角形有关的应用题 ↓1.如图①是写毛笔字时用于搁字帖的架子，方便临帖．当支架按如图①所示的方式放置时，人的视觉感受最舒服．如图①经测量，AB ＝BC ＝2，①ABC ＝36°，AD 平分①BAC 交BC 于点D ，则线段CD 的长为__ ___． 第1题图 3－5 【解析】①AB ＝BC ＝2，①ABC ＝36°，①①BAC ＝①C ＝72°，①AD 平分①BAC 交BC 于点D ，①①BAD ＝①CAD ＝36°，①①CAD ＝①ABC ，又①①C 是 公共角，①①ACD ①①BCA ，①CD CA ＝AC BC ，设CD ＝x ，则AC ＝AD ＝BD ＝2－x ，①x 2－x ＝2－x 2，解得x 1＝3＋5＞2，故舍去，x 2＝3－ 5.①线段CD 的长为3－ 5. ↓2.如图，书桌上的一种新型台历由一块主板AB 、一个架板AC 和环扣(不计宽度，记为点A )组成，其侧面示意图为①ABC ，已知AC ①BC ，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，现为了书写记事方便，需调整台历的摆放，将点C 移动到点C ′，此时①C ′＝30°，则移动的距离CC ′的长度约为________cm.(结果取整数，其中3≈1.732，21≈4.583)
第2题图 5 【解析】过点A′作A′D①BC′，垂足为D，在①ABC中，①AC①BC，AB＝5 cm，AC＝4 cm，①由勾股定理得BC＝3 cm.当动点C移动至C′时，A′C′＝AC＝4 cm，在①A′DC′中，①①C′＝30°，①A′DC′＝90°，①A′D＝1 2A′C′＝2 cm，C′D＝3A′D＝2 3 cm.在①A′DB中，①①A′DB＝90°，A′B＝AB＝5 cm，A′D＝2 cm，①BD＝A′B2－A′D2＝21 cm，①CC′＝C′D＋BD－BC＝23＋21－3，①3≈1.732，21≈4.583，①CC′≈2×1.732＋4.583－3≈5.故移动的距离CC′的长约为 5 cm. 第2题解图 3.近年来由于旅游行业的带动，拉杆箱等物品的销售稳步提升．一款拉杆箱使用时的截面示意图如图所示，EC⊥CD，AG⊥地面MG，BF⊥AG于点F，CE与①O相切于点E，DE①MG，已知AB＝41 cm，BC＝50 cm，AF＝40 cm，CD ＝ 4.32 cm，EM为①O的直径且EM＝8 cm，则点A到地面的距离AG＝cm.
2019年高考应用题精讲-解析几何模型类 此类题目需构造几何模型，运用几何模型的基本性质求解 1. 如图，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30 m ．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看，活动中心的截面由两部分组成，其下部分是矩形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长EG 不超过 2.5 m ，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ＝34 . (1) 若设计AB ＝18 m ，AD ＝6 m ，问：能否保证上述采光要求？ (2) 在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3) 解：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． (1) 因为AB ＝18，AD ＝6，所以半圆的圆心为H(9，6)， 半径r ＝9.设太阳光线所在直线方程为y ＝－34 x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0，(2分) 则由|27＋24－4b|32＋42 ＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34 x ＋24.(5分) 令x ＝30，得EG ＝1.5 m ＜2.5 m. 所以此时能保证上述采光要求．(7分) (2) 设AD ＝h m ，AB ＝2r m ，则半圆的圆心为H(r ，h)，半径为r. (解法1)设太阳光线所在直线方程为y ＝－34 x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0. 由|3r ＋4h －4b|32＋42 ＝r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －2r(舍)．(9分) 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34 x ＋h ＋2r. 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤52 ，得h ≤25－2r.(14分) 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52 (r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20 m 且AD ＝5 m 时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)
1、同学们去春游，车上已经坐了45人；还有4个小组在等下一辆车，每组9人。去春游的一共有多少人？ 2、一共有150人去春游，已经走了54人，剩下的坐两辆车去，平均每辆车要坐多少人？ 3、舞蹈队里有18名男生，女生人数是男生的2倍，舞蹈队里男、女生一共有多少人？ 4、同学们做花，小军做了63朵，小红做的花比小军少做18朵，两人一共做了多少朵花？ 5、食堂里第一次买来白菜25千克，第二次买来白菜175千克，按每千克白菜6角钱计算，食堂里买白菜一共用去多少钱？ 6、小华给小刚看一本书，小华4天看了132页，小刚3天看96页，谁看得快？为什么？
7、妈妈给小明买了3件汗衫，每件汗衫23元，付给营业员100元，还应找回多少元？ 8、体育用品商店原来有72只篮球，卖出60只，又购进45只，现在有多少只篮球？ 9、同学们去天文台参观，女生有9人，男生去的人数是女生的3倍，一辆40座的汽车够坐么？ 10、学校活动室里有24盒象棋，军旗的盒数是象棋的两倍，跳棋有12盒，跳棋比军旗少多少盒？ 11. 学校买来白粉笔80盒，红粉笔20盒，用了60盒，还剩多少盒？ 12. 老师有8袋乒乓球，每袋6个，借给同学15个，还剩多少个? 13. 老师拿70元去买书，买了7套故事书，每套9元，还剩多少元? 14. 制衣组有90米布，用了63米，剩下的布做了9套衣服．平均每套衣服用布多少米? 15. 食品店有80包方便面，上午卖了26包，下午卖了34包，还剩多少包?(用两种方法解答) 16、某化肥厂一月份生产化肥310吨，二月份生产400吨，三月份生产490吨化肥，平均每月生产化肥多少吨？ 17、一匹马每天吃12千克草, 照这样计算, 25匹马, 一星期可吃多少千克草?(用两种方法计算) 18、工人王师傅和徒弟做机器零件, 王师傅每小时做45个, 徒弟每小时做28个, 王师傅工作6小时, 徒弟工作8小时, 他们共做多少个机器零件? 19、工厂有煤8000千克, 原计划烧25天, 由于改进炉灶, 实际烧了32天, 平均每天比原计划节约多少千克? 20、工地需要1280袋水泥, 用8辆大车4次才全部运来, 一辆大车, 一次可运多少袋化肥?(用两种方法计算) 1、在中原路上铺一条地下电缆，已经铺了34 ，还剩下250米没有铺。这条电缆全长多少米
九．几何应用题 几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题 型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线 运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几 何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应 特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。 一、三角形在实际问题中的应用 例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90o，AC=80 米，BC=60米。 （1） 若入口E 在边AB 上，且A ，B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长； （2） 若线段CD 是一条水渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点在距A 点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？ 分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首 先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。 ．E 点在AB 上且与AB 等距离，说明E 点是AB 的中点，E 点到C 点的最短路线即为线段CE 。 ．水渠DC 越短造价越低，当DC 垂直于AB 时最短，此时造价最低。 本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。 解：（1）由题意知，从入口E 到出口C 的最短路线就是Rt △ABC 斜边上的中线CE 。 在Rt △ABC 中，AB= 10060802222=+=+BC AC （米）。 ∴CE=21AB=2 1×100=50（米）。 即从入口E 到出口C 的最短路线的长为50米。 （3） 当CD 是Rt △ABC 斜边上的高时，CD 最短，从而水渠的造价最低。 ∵CD ?AB=AC ?BC ，∴CD=(48100 8060=?=?AB BC AC 米）。 ∴AD=22224880-=-CD AC =64（米）。所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价 最低，其最低造价为48?10=480元。 例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工 成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请 你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果 中的分数可保留）。 B A D
微专题27 例题 答案：(1)150；(2)10. 解析：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直 角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4 3.又因为AB ⊥BC ， 所以直线AB 的斜率k AB ＝3 4. 设点B 的坐标为(a ，b)，则k BC ＝ b －0a －170＝－4 3，k AB ＝b －60a －0＝34 .解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝ （170－80）2＋（0＋120）2＝150.答：新桥BC 的长为150 m . (2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4 3(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0， d)到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以???r －d ≥80， r －（60－d ）≥80， 即???680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80， 解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大． 答：当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 变式联想 变式1 答案：(1)22＋2百米；(2)点Q 在线段DE 上且距离y 轴1 3 百米． 解析：(1)设直线OM ：y ＝kx(其中k 一定存在)，代入y ＝x ＋1x ，得kx ＝x ＋1 x ，化简为(k －1)x 2＝1.设M(x 1， y 1)，则x 1＝ 1 k －1 ，(k ＞1)，所以OM ＝x 12＋y 12＝x 12＋k 2x 12＝1＋k 2·1k －1 ＝1＋k 2 k －1 .令t ＝k －1(t ＞0)，则1＋k 2k －1＝t 2＋2t ＋2t ＝t ＋2 t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝2时等号成立，即k ＝2＋1时成立．综上， OM 的最短长度为22＋2百米．
久久教育辅导讲义 学员编号：990003 年 级：新初一 课时进度及课时数：8/30 学员姓名：殷纪元 辅导科目：数学 教师：魏老师 课 题 应用题解法 授课时间： 07月19日下午 2：30—4：30 备课时间： 07月18日 教学目标弥补学生不知道的知识，讲解应用题的解题方法，。 重点、难点对应用题的理解能力，加强解题思路方法。考点及考试要求一般出现在解答题中 教学内容 应用题的基本解法：首先要读清楚题意，根据题意列出等式，如果需要设未知数的，要设未知数，然后得出的结果带入方程检验。 在解应用题中，必须明白题目所讲的内容，列出符合题意的等式。在解方程中，解出来的结果要带入方程中检验是否正确。 例1、甲、乙两种商品成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来根据市场情况都是按定价的90%出售，结果共获利润131元。甲、乙两种商品的利润各是多少元？ 本题是二元一次方程组。设：甲商品的成本为X元，乙商品的成本为Y 元。根据题意，甲商品的销售定价为1.2X元，乙商品的成本为1.15Y 元。实际销售价为:甲商品的销售为1.2X*90%元，乙商品的销售价1.15Y*90%元。列如下方程组： X+Y=2200 1.2X*90%+1.15Y*90%-2200=131 求借得：X=1200,Y=1000
甲产品的利润：1.2*1200*90%-1200=96 乙产品的利润：1.15*1000*90%-1000=35 例2、红星服装厂生产一种服装，按套装成本价的20%作利润，由成本价与利润的和定为出产价。其中上装的出厂价比上装的成本价高30%，而下装的出厂价和成本价相等为64元，这种套装的成本价是多少元？ 设上装成本价为X 则总成本价=X+64 由题意利润也就是总成本的20%等于上装成本的30%所以等于就出了（X+64)*20%=30%X X=128 所以成本价为128+64=192 例3、甲、乙两辆汽车合运一批货物，原计划甲车运货量是乙的2倍。实际乙车比原计划多运4吨。这样甲车就只运了这批货的14/27，这批货物共有多少吨？ 设原计划乙车运X吨 这批货物Y吨 (2X－4)／Y=14／27 3X=Y 联立方程组得 (2X－4)／3X=14／27 得X=9 即乙车原计划运9吨 由3X=Y 可以得出这批货物为3×9=27吨 所以这批货物共27吨 例4、邮递员从甲地到乙地原计划用5.5小时，由于雨水的冲刷，途中
初中数学教学中几何解题思路分析 【摘要】平面几何在初中数学中一直占据着很重要的位置。而学生在对几何知识进行学习和掌握的过程中，最重要的一个部分就是能够应用到实践中进行解题。正像美国一位著名的数学家曾经所说过的那样：“数学这门学科，真正的组成部分就是问题和解题，在问题与解题中，解题就是数学的心脏所在。”学生在学习的过程中是否会解题，能否对一定的解题技巧与方法进行掌握对学生学习效果有直接的影响。对教师来说，学生对基本的解题能力进行掌握，也是“双基”教学的一个方面。在数学中对基本的解题方法和技巧进行注意，对学生的学习能力的提高无疑有着重要的促进作用，与此同时还能够对学生良好学习习惯的形成有推动作用。 【关键词】初中数学；教学；几何；解题思路； 对初中的几何教学来说，初中几何中的重要部分是解题技巧与规律教学。尤其是在初中几何的后期与复习阶段，通过对学生的几何解题技巧的培养，能够使学生对知识有系统性的掌握，同时能够培养其对知识进行灵活应用的能力。当然，处了解题技巧与规律的培养，还应该注意对学生思维能力的培养。只有思维能力得到提高，才能更好地掌握解题技巧与规律。下面我们通过具体的实例进行详细分析初中数学几何题的解题思路， 一、初中数学几何的解题技巧 1、对常见的题型与解题方法进行归纳总结 初中的几何题中，其实常见的题型并不多，所以这对经常见的几何题型与解题方法进行归纳与总结，是初中几何解题一个和实用的解题技巧。初中几何，证明题是最常见的，而证明题中，又以线段或角的一些关系的证明最为常见。对线段的关系的证明通常包括相等及其和差关系等的证明。在这些中，相等关系的证明是学生应该进行的基本掌握，对线段相等关系的证明，在思路与方法上常用的包括“三角形全等”、“比例线段”以及“等角对等边”和对中间量的过渡进行选取等思路。在这些方法中，“三角形全等”是最常用的，也是应该掌握的基本解题方法。对线段不等关系则一般常用“线段公理”，而对线段的和差及其它（如倍、分）关系，在解题过程中要注意使用截长、补短等技巧。对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。 2、注意对辅助线进行添加和使用 在对初中几何进行解题的过程中，除了要对常用的解题方法与规律进行掌握外，还要对辅助线的添加与使用加以关注。在初中几何题中，当直接解题出现障碍使，添加辅助线是常见的解题技巧，往往会让人产生一种“柳暗花明又一村”的感觉。对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。下面我们通过一道例题详细进行分析几何证明题的解题方法及技巧： 如下图所示，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，BC AC =,DB AD =,BF AE =,求证：DF DE =，
1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 差倍问题： 已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。基本关系式是：两数差÷倍数差＝较小数。 例：有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原来两堆煤各有多少吨？ 分析：原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×2吨，由基本关系式列式是： （40－5×2）÷（3－1）－5 ＝（40－10）÷2－5 ＝30÷2－5 ＝15－5 ＝10（吨）第一堆煤的重量10+40＝50（吨）→第二堆煤的重量 答：第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨 和差问题： 已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。一般关系式有：（和－差）÷2＝较小数（和＋差）÷2＝较大数。 例：甲乙两数的和是24，甲数比乙数少4，求甲乙两数各是多少？ （24＋4）÷2 ＝28÷2 ＝14 乙数（24－4）÷2 ＝20÷2 ＝10 甲数 答：甲数是10，乙数是14 还原问题： 已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。 还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。 例：仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？ 分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×2吨。以下类推。 列式：[（19＋12）×2－12]×2 ＝[31×2-12]×2 ＝[62-12]×2 ＝50×2 ＝100（吨）答：这个仓库原来有大米100吨。 置换问题： 题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。 例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？ 分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。 列式：（2000－1880）÷（20－10）＝120÷10 ＝12（张）→10分一张的张数 100－12＝88（张）→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。 五盈亏问题（盈不足问题）： 题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。 教学目标 1、认识了解方程及方程命名 2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解 3、运用等式性质解方程 4 、会解简单的方程 知识点拨 一、方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。 古代解方程的方法是利用算筹。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。 《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！ 二、方程的重要性 方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。一元一次方程解法综合 三、相关名词解释 1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式 2、等式：表示相等关系的式子 3、方程：含有未知数的等式 4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ?+=（）， 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解， 5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。 6、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 四、解方程的步骤 1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。 2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说“移项变号”。 3、移项的目的：是为了把含有x 的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。 4、怎样检验方程的解的正确性？ 判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。 例题精讲 【例1】解下列一元一次方程： ⑴38x +=；⑵83x -=；⑶39x ÷=；⑷39x =． 20、（2006湖南常德）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架， 小山的斜坡的坡度1: 3 i=，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的 仰角为45，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60． （1）求小山的高度； （2）求铁架的高度．3 1.73 ≈，精确到0.1米） 21、（2006福建泉州）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD. ⑴当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； ⑵已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（米2）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米） A B D O r 22、（2006吉林长春）某商场门前的台阶截面积如图所示。已知每级台阶的席度（如CD ）均为0.3m ，高度（如BE ）均为0.2m 。现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离。（精确到0.1m ）。 （参考数据：16.09tan ,99.09cos ,16.09sin ≈≈≈ ） 5.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分 别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明； （2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由． 图 1 图2 图3 E D B F E D A A B A C D E F M N O 专题9.5：解析几何应用题 【拓展探究】 1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中,AC BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记EFA α∠=，α为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦） （1）用α表示AF 的长； （2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S 关于α的 函数关系式，并设计α的大小，使“蝴蝶形图案” 的面积最小． 【解】（1）由抛物线的定义知，cos 2AF AF α=?+，解得 1cos α-2? ??? ． （2）据（1）同理可得22 π1sin 1cos 2BF αα== +??-+ ? ?? ， () 22 1cos π1cos CF αα = = -++，22 3π1sin 1cos 2DF αα= = -??-+ ? ?? ． 所以“蝴蝶形图案”的面积 12212221cos 1sin 21cos 1sin S αααα=??+??-++-， 即()2241sin cos sin cos S αααα-=，π0,2α?? ∈ ??? ． 令1sin cos t αα= ，则() [)24,2,S t t t =-∈+∞，所以当2t =，即π 4 α=时，S 的最小值为8． 答：当π 4 α=时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小． 2. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ （2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4 π = ） F D 小学三年级数学应用题分类解法一、一步简单应用题 （一）、求一个数的几倍，用乘法计算（解题方法：小数乘以倍数=大数） 1、小明今年9岁，爸爸的年龄是小明的5倍，爸爸今年多少岁？ 分析：根据爸爸的年龄是小明的3倍，用乘法算出爸爸的年龄。 2、买一支笔2元钱，买60支这样的笔要多少钱？ 分析：根据单价乘以数量=总价，即可解答。 （二）、求一个数是另一个数的几倍，用除法计算（解题方法：大数除以小数=倍数）3、小明今年9岁，爸爸今年45。爸爸的年龄是小明的几倍？ 分析：用爸爸的年龄除以小明的年龄即可求出爸爸年龄是小明的几倍。 4、买一支笔2元钱，花120元可以买多少支这样的笔？ 分析：根据总价除以单价=数量，即可解答。 1 5、三个同学做纸花。做了24朵红花，6朵黄花。红花是黄花的几倍？ 分析：根据倍数除法的意义求解。 （三）已知一个数是另一个数的几倍，求另一个数，用这个数除以倍数（解题方法：大数除以倍数=小数） 6、爸爸今年45岁，是小明年龄的5倍，小明今年多少岁？ 7、买一朵玫瑰花需要2元钱，用140元可以买多少支玫瑰花？ 分析：根据总价除以单价=数量，即可解答。 8、饲养小组有母鸡12只，恰好是公鸡的3倍，公鸡有几只？ 9、图书馆买来40本故事书，是科技书的5倍，科技书几本？ 2 10、一只海狮重378千克，是一只企鹅体重的9倍。这只企鹅的体重是多少千克？ 二、两步应用题 （一）几倍多几（解题方法：单位量乘以倍数加多的量） 1、文具店运来三箱红墨水，每箱100瓶。运来的蓝墨水比红墨水多200瓶，运来蓝墨水多少瓶？ 分析：根据题意，用每箱红墨水的数量乘以3，再加200，即为蓝墨水瓶数。 2、一只猴子重25千克，一头熊猫的体重比猴子的6倍还多12千克一头熊猫的体重是多少？ （二）几倍少几（单位量乘以倍数减去少的量） 3、、王大伯前年养猪2头，去年养猪头数是前年的3倍，到年底卖了4头，还有几头？ 分析：根据题意，用前年养猪头数乘以3，再减去卖掉的4头，即剩下猪的头数。 4、一个牧民养了76只山羊，养的绵羊比山羊的4倍少16只。这个牧民养了多少只绵羊？ 3 小学数学基本应用题数量关系共11种（附例题）.DOC 1．已知一部分数和另一部分数,求总数。 例：小明家养灰兔8只,养白兔4只。一共养兔多少只？ 想：已知一部分数（灰兔8只）和另一部分数（白兔4只）。求总数。 列式：8+4=12（只） 答：（略） 2.已知小数和相差数,求大数。 例：小利家养白兔4只,灰兔比白兔多3只。灰兔有多少只？ 想：已知小数（白兔4只）和相差和（灰兔比白兔多3只）,求大数。（灰兔的只数。）列式：4+3=7（只） 答：（略） 减法的种类：（3种） 1．已知总数和其中一部分数,求另一部分数。 例：小丽家养兔12只,其中有白兔8只,其余的是灰兔,灰兔有多少只？ 想：已知总数（12只）,和其中一部分数（白兔8只）,求另一部分数（灰兔有多少只？）列式：12—8=4（只） 2．已知大数和相差数,求小数。 例：小强家养白兔8只,养的白兔比灰兔多3只。养灰兔多少只？ 想：已知大数（白兔8只）和相差数（白兔比灰兔多3只）,求小数（灰兔有多少只？）列式：8－3=5（只） 3．已知大数和小数,求相差数。 例：小勇家养白兔8只,灰兔5只。白兔比灰兔多多少只？ 想：已知大数（白兔8只）和小数（灰兔5只）,求相差数。（白兔比灰兔多多少只？）列式：8－5=3（只） 乘法的种类：（2种） 1．已知每份数和份数。求总数。 例：小利家养了6笼兔子,每笼4只。一共养兔多少只？ 想：已知每份数（4只）和份数（6笼）,求总数（一共养兔多少只？）也就是求6个4是多少。用乘法计算。 列式：4×6=24（只） 本类应用题值得一提的是,一定要学生分清份数与每份数两者关系,计算时一定不要列反题。不得改变两者关系。即：每份数×份数=总数。决不可以列式：份数×每份数=总数。 2．求一个数的几倍是多少？ 例：白兔有8只,灰兔的只数是白兔的2倍。灰兔有多少只？ 想：白兔有8只,灰兔的只数是白兔的2倍,也就是说：灰兔有白兔只数两个那么多,就是求2个8只是多少？ 初一上册几何应用题 1. （2010 年福建省晋江市）已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB 3 . 1若双曲线的一个分支恰好经过点 A ，求双曲线的解析式；2若把含30°的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点 A 落在点A′ ，试求图中阴影部分的面积结果保留π . y A 答案：解：1 在RtOBA 中，∠AOB 30°，AB 3 ，B OB cot ∠AOB ，D AB ∴OB AB cot 30° 3 3 ，O C A’ x ∴点A 3 3 3 设双曲线的解析式为y k k ≠ 0 x k 9 3 y ∴3 3 ，k 9 3 ，则双曲线的解析式为y A 3 x B 2 在RtOBA 中，∠AOB 30°，AB 3 ， D AB 3 sin ∠AOB ，sin 30°，OA OA ∴OA 6 . O C A’ x 由题意得：∠AOC 60°，60 π 6 2 S 扇形AOA 6π 360 在RtOCD 中，∠DOC 45°，OC OB 3 3 ，2 3 6 ∴OD OC cos 45° 3 3 . 2 2 2 1 13 6 27 ∴S ODC OD 2 . 2 2 2 4 27 6π ∴S阴＝S扇形AOA S ODC 42. （2010 年青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80 米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）A 3 3 7 11 （参考数据：sin 37 ≈ ，，，≈ o tan37 o s in 48 ≈ o tan48 ≈ ） 解排列组合应用题的解法?技巧 引言： 1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧 2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 （2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则 （3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接 解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。 3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列, 无序组合. （一）排列组合应用题的解法 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目 中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五. 排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法 一.运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。 例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……； n个人通过，有C；种结果。所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。 解法2 :用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这 样，……，第n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。 例2:同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A） 6 种（B）9 种（C）11 种（D）23 种 解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d o 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 2） 9种分配方式。 小学数学应用题解题技巧 小学应用题解题技巧汇集 成县水泉学校杜庆瑜 本人从教近二十年来，其中所教学科主要是小学中、高年级的数学。在长时间的教学过程中，发现学生对文字应用题的分析、列式很是头疼，特别是数量间的关系更是找不准，高年级学生如果用列方程的方法，问题还不太大，但当要求用算数方法列综合式时，往往就束手无策。正是这个原因，在屡次考试中，学生失分率最大的就是应用题的计算。绝大多数学生还得不到应用题总分的三分之一，相当一部分学生甚至是不做这一部分，只有为数不多的尖子生才能完成。 综上所述，应用题的教学是小学数学教学的重点和难点，特别是工程问题、行程问题和分数、百分数应用题等。鉴于此，我将长期教学中积累总结的有关应用题的解法与分析技巧整理出来，以便于学生解答应用题，又可以与同仁探讨，如对提高学生解答应用题的能力有所帮助，也就达到了我的目的。不足之处在所难免，望同行多提宝贵意见。 为了见少篇幅，在各种题型中，都省去了题例。 应用题的解法与技巧 一、常见应用题解法 1、求平均数问题： 总数十总份数二平均数 2、归一问题：复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法” 。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算” 、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。 先求出一个单位数量，再以这个单位数量为标准求出所需结果（这类题都有“同样”、“照这样”等一类词） 3、倍比问题： 成县水泉学校：杜庆瑜 9——1 第二讲——列方程解应用题 例题精讲 例1、果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ 分析：设梨树有x棵，则梨树的3倍少30棵，这句话用含有x的式子可以表示为，现在我们用x代替了梨树，那么题目就换成了这样的句子 果园里有苹果树270棵，比x的3倍少30棵，x有是多少？ 再把句子简化则句子变成了 270比x的三倍少30 那么我们可以列式为 解这个方程得x= （注意结果是不带单位的） 答： 课堂巩固 一只足球65元，比一只排球价钱的3倍多5元，一只排球的价钱是多少元？ 分析：设一只排球为x元，则一只排球价钱的3倍多5元，这句话用含有x的式子可以表示为 再把题目进行简化则句子变成了 那么我们可以列式为 解这个方程得x= 答：例2、同学们植树，五六年级一共植了600棵，六年级植的棵数是五年级的2 倍，两个年级各植多少棵？ 分析：我们先在题目中寻找含有倍数或和差的句子，六年级植的棵数是五年级的2 倍，我们设相对少的那个量为x，这道题中我们设为x棵，那么为棵 题目告诉我们五六年级一共植了600棵，用含有x的式子表示就是 解方程得x= 答 课堂巩固 学校买一台电脑和一台彩电共用去8850元，已知一台电脑的价格是彩电的2倍，一台电脑和一台彩电各是多少元？ 解：设为x元，那么 为元。 列方程为 解方程得x= 答： 课后练习： 1、解方程： 5x+20=170 60-3x=15 6x-3x=180 220÷2x=10 2、六年级有学生100人，比五年级学生人数的2倍少20人，问五年级共有学生多少人？ 3、李明和王军共有邮票54张，王军的张数是李明张数的2倍，李明和王军各有邮票多少张？ 4、一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍，李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠笔，一共用了18元。钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？ 5、两袋大米共重104千克，甲袋重量是乙袋的3倍，两袋面粉各多少千克？ 6、学校买了18个篮球和20个足球，共付了472元，每个篮球14元，每个足球多少元？ 7、运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。还要运几次才能运完？小学数学各类应用题类型及解题方法
第二讲 列方程解应用题 五年级上册
函数和几何应用题及其答案
专题9.5：解析几何应用题
三年级数学应用题分类解法汇总完整版
小学数学基本应用题数量关系共11种(附例题)
初一上册几何应用题
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧
应用题解法与技巧
第二讲列方程解应用题
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