椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。
解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.
所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 224
＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，
A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116
42
2=+y x ；
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5
＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210
＝1.
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为1222
=+y a
x ， 由?????=+=-+101222y a
x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2
111a x y M M +=-=， 4112===a
x y k M M OM ，∴42=a ，
∴1422=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c ∴223a c =，∴333
1-=e ． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2
1=e ，求k 的值． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2
1=
e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=
e ，得4191=-k ，即4
5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。 解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5,2c ＝8，所以c ＝4，所以
b 2＝a 2－
c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.又A 、B 、C 三点构成
三角形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)答案：x 225＋
y 2
9＝1(y ≠0)
2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2
25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 4a ＝441.
3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积．
△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4.
七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆1222=+y x ，求过点??? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ??-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()
02
32122212222=+-+--+k k x k k x k ． 由韦达定理得22212122k
k k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．
解法二：设过??? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得 ?????????=+=+=+=+④1.
③1②12①12
212122222121y y x x y x y x ，，，
①－②得02
22212221=-+-y y x x ．⑤ 将③、④代入⑤得212121
-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1-． 所求直线方程为0342=-+y x ．
八、椭圆中的最值问题
例 椭圆112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
解：由已知：4=a ，2=c ．所以2
1=e ，右准线8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()
332，M ．
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9
16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0）
，（4，0）． （2）当259<
k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）25 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点??? ??4153，P ，?? ? ??-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上． （3）与双曲线14 162 2=-y x 有相同焦点，且经过点() 223， 解：（1）设双曲线方程为12 2=+n y m x ∵P 、Q 两点在双曲线上， ∴???????=+=+12592561162259n m n m 解得???=-=916n m ∴所求双曲线方程为19162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2=--λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去）
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