静力学的发展
古代自然科学经过古希腊的辉煌时代，随着罗马帝国的崛起并且于公元前 2 世纪征服希腊而逐渐失去
了光芒。而紧接着却是西方长达一千年的黑暗的中世纪。在这漫长的历史时期中，每一代都是优者亡劣者存，国民素质代代下降，愚昧变成了大家恭维的德性，人类已经远离古希腊对生活的乐观态度，禁欲主义变成了人类精神枷锁。
处在埃及北边，地中海沿岸的亚力山大城，在古希腊时期，由于与希腊毗连，希腊人、埃及人、阿拉伯人混居，就一直受希腊文化的影响而成为古希腊文化的一部分。在希腊被征服后，起到了延续与保存希腊文化的作用。
在欧洲处于黑暗时代，阿拉伯吸收了古希腊文化并将它保存了下来。文艺复兴后，许多古希腊失传的书籍如欧几里得的《几何原本》，从阿拉伯文翻译回去。阿拉伯这个地区，在人类文明史上起了东西交流的作用，中国的发明如火药、印刷术也是经过阿拉伯传入欧洲的。
从14 世纪末开始了的欧洲文艺复兴时期，科学精神又逐渐复活。在力学中出现了空前的景象，它以致于成为整个自然科学最活跃的中心。
这一时期在力学上的主要进展乃是：静力学体系的建立与完成；哥白尼日心说的提出与胜利；第谷、开普勒对天体运行的精密观测；伽利略、牛顿关于动力学基本原理的建立等等。本章我们先就静力学的成就作一介绍。内容基本上是17 世纪的成果。
1 埃及与阿拉伯的古代的科学技术与力学
1．1 亚力山大的希罗与帕普斯
亚力山大的希罗( Hero of Alexandria, 约公元62 年前后)是一位埃及人，关于他的生活事迹除了他留下的著作外什么也不知道。连他的名字也不确实，一说是Heron 。
希罗留下的重要著作有两本，一本是《气体力学》( Pneumatics),另一本是《力学》(Mechanics)
这两本书的名字说明他是一位著名的力学家，书的内容说明他可能在亚力山大一带的大学里教授过数学、物理、气体力学与力学。
《气体力学》这本书很像是一本教学随笔，其中涉及有真空、水与空气的压力、虹吸管、一种火泵、水乐器、大量玩具、室内魔术用具等内容，其中有些玩具是用热空气或水蒸汽来驱动的。气体力学的理论部分有对有错，不过还是当时理论的最高水平。
希罗的最著名的发明是一个空心球体上面连上两段弯管，当球内的水沸腾时，蒸汽通过管子喷岀，这个球就迅速旋转，这是最早的蒸汽机。不过那时只是用于祭神与玩耍。
在1896年，又发现了希罗的一种著作：《测量学》，在发现这本书之前，人们认为他是一位技师，由于这本书的发现，人们才了解到他还是一位训练有素的应用数学家。
帕普斯(Papusof Alexandria，约300 —350)出生在亚力山大，并且晚年卒于亚力山大城。他最重要的贡献是把古希腊的全部数学汇编于八本书中，除了一本失传外其他七本都流传了下来。他的这些著作培育了后来的希腊科学家。我们现在所知道的古希腊的数学大部分是从他的著作中得到的。此外他还仔细地批注了托勒密的天文体系，对于推进托勒密体系的传播起了很大的作用。
1. 2阿拉伯古代的科学技术与力学
阿拉伯人在公元7世纪征服了印度、西班牙、北非、南意大利等的大片土地。到了公元8世纪他们分裂为东西两个王国。东部的以巴格达为首都，西部的以西班牙的哥尔多华为首都。他们吸收了古代埃及、古希腊、古印度、波斯的文化，把那些地方的著作翻译为阿拉伯文。他们还开办学院、设天文台，聘请印度、希腊、波斯等地的学者来讲学。所以在中世纪的一个时期科学技术非常发达。
在8到9世纪后阿拉伯逐渐分裂为若干小国家，在强有力的国家专制之下，修建了许多工程设施，女口灌溉工程、给水设施、运河、防砂墙、水库等。抽水机、风车与水磨被大量使用。手工业与农业有了分离。在城市有新兴的纺织、造纸、陶瓷、金属加工等手工业。
相应地，数学、天文学与力学也有很高的水平。在数学上，从公元8世纪引进了印度的记数法，至今
世界通用的十进数字，阿拉伯数字就是那时形成的。现今世界通称的代数( Algebra) —字，就是从阿拉伯文al-jebr来的，其中al是冠词没有什么意思，jebr是!恢复！与胚原！的意思。在天文学上，那里出现了天文学家阿卜！利汗！比鲁尼(Abu-Reihan-MehanmedeBiruni,973 —1048)，他制造了许多天文仪器，利用他的仪器可以把星球的轨道的测量精确到，他还测量过地球的半径。
在力学方面阿拉伯最杰出的学者，要数阿勒哈齐尼(Al-Khazini,约12世纪)了，在大约1121年，他
写了一本名为《智慧的天平》的书。书中系统介绍了具有等臂天平和秤盘的使用，秤杆上刻有刻度，秤盘共有5个，其中有的是活动的，因而可以当杆秤使用，也可以把一个秤盘挂在另一个秤盘下面用来在水中称东西。阿勒哈齐尼利用这种天平确定了许多物质的比重。他研究清楚了水的比重与温度的依赖关系。
他发现了空气有重量，而且它的密度越接近地面就越大。阿勒哈齐尼指岀阿基米德的液体浮力定律也
适用于空气。由于空气的浮力所以物体的重量在不同的高度是不同的，越在高处称量就越重。
1.3约丹努对静力学的贡献
约丹努（Jordanusde Nemore大约在1220年前后）是中世纪最伟大的力学家。关于他的身世没有留下什么，也无从考查。"De Nemore"是"一个未知的地方"的意思。他留下来的著作主要是力学，特别是《重物的科学》，即静力学。有12篇论文留下来，这些论文是否他的著作，众说不一，不过能肯定其中的一篇是属于约丹努的。在这篇论文中，他以"位置的重力”的概念引进了力的分量。他引进了无限小的思想来讨论静
力学，在讨论杠杆平衡时，他的假定类似于用现在的语言来说，以在无限小虚位移上作的功证明了杠杆原理。
约丹努提岀了他的原理为："所有的重物都趋向于中心，其强度是抵抗一个向下运动的能力。一个运动的物体在
下降时较重是当它向中心运动时更直接。一个更斜的下降是对于采取更不直接的路径而说的。
约丹努的这个原理可以用图1来说明。图中处于铅垂圆上的与a两b个重物，分别由杆与ca与中心相连。比起b来说重力较小，是因为当它们沿圆周各下降相等的距离与时，垂直下降的高度比对应的为小。bh换一种说法oz,沿圆弧运动比起沿圆弧运动更斜，它的下落路径更不直接
虚功原理的早期萌芽
约丹努利用上述这种想法证明了直杠杆的平衡问题。他的证明是”令是要讨论的梁，为支点，与是梁端
所悬的重物，设它们的重量之比为。则杠杆保持平衡不动。事实上，若下落且梁有一个新位置，下落了而上升了距离。若有等于的重物置于点，距离，它将要升起的距离为。显然对于之比和对之比一样。所以，能够把升到相当于能够把升到。但是和是平衡的，所以假设的运动是不可能的，反方向的运动也是一样不可能。"
2斯梯芬的生平及其贡献
斯梯芬像
斯梯芬（Simon Stevin,1548 - 1620）,荷兰人，他是一位军事工程师，曾当过商人的雇员。也可能是, 他是文艺复兴以后第一个认真对力学问题钻研的人。
斯梯芬和伽利略几乎是同时代人，他比伽利略年长，但是他们研究的领域是不同的，斯梯芬是在静力学方面的奠基人，而伽利略则是动力学的开山祖师，斯梯芬侧重在地面上的实际工程问题，而伽利略则对天体的问题有兴趣得多。斯梯芬著有《静力学原理》（1586年）、《数学扎记》（1605 - 1608年）
斯梯芬在静力学上不仅对刚体，而且对流体静力学也作岀了宝贵贡献。从他的著作中，已经可以看到虚位移或虚速度原理的萌芽。在研究滑轮和滑轮组时，斯梯芬发现：在任何这种滑轮系统中，每个被支承的重物与它由于该系统的任意给定位移所带动而移过的距离的乘积在整个系统中处处相等时，该系统仍保持平衡。
斯梯芬得到了斜面上物体平衡的条件与力合成的平行四边形定律，不过他没有给岀证明，而是通过直
觉给岀的。他的思想是这样的：如图ABC三角形上挂以等距等重球组成的链，将AC直线下面的各球割去与否都仍应平衡。于是每边压于边上球的总重，与三边的长度呈正比。所以，如果用分别表示每边上每个
小球的力那么必有
与倾角的正弦成正比
sin^ |=
则有
AB sin a
6
所以有- .这一事实用文字表示岀来就是,
放在斜面上的物体所受沿斜面方向的重力
斯梯芬进行了流体压力实验，称为”流体静力学悖论"。：承受的总压力与面积的大小和它上面的液体的注高的乘积呈正比，而与容器的形状无关。这个结论再前进一步便是所谓的帕斯卡原理。他还测定了液体内各点的压强。
斯梯芬研究了浮体平衡问题。他发现物体的重心必与浮心处于同一垂线上。他猜想到：为了平衡稳定，物体的重心必须低于浮心，而前者比后者愈低稳定程度就愈高。现在看来，这后一半说法不对，应当是：浮体的稳定性由重心相对于定倾中心（液体向上压力合力的作用点）的位置来决定。
早在古希腊时代，通过杠杆的研究已经知道力矩平衡的规律，现在又知道二力、三力合成与平衡的规律。有了这两条，我们便可以去处理一切刚体的平衡问题，也可以处理一切复杂力系的化简问题。所以人们常说，斯梯芬是静力学的奠基人。
在动力学方面，斯梯芬在他的著作中描述了他与他的一位朋友所作的落体实验：取两个铅球，一个的重量十倍于另一个，把它们同时从离开一块板30英尺的地方坠落，他们看到，它们似乎同时到达这块板。
这是第一次对亚里斯多德关于不同重量下落速度不同理论的反驳。
斯梯芬在数学上的贡献是引进了十进小数。在他之前，欧洲人记数，大多采用古罗马记数法，如把348记为CCCXLVHI。意大利的达.芬奇把印度的十进制记数法传到了欧洲，但是还没有使用十进小数。斯梯芬
引进了十进小数的思想是很了不起的，不过它迟迟不能推广。过了200多年，在法国大革命后的第二年，
于1890年才在法国以法律的形式肯定下来。即使这样，在英国、美国等一些国家，至今有的书上还在使用12进制的单位。
3达.芬奇、伽利略、托里拆利、帕斯卡等在静力学上的工作
3. 1达.芬奇及其在力学上的贡献
达芬奇的自画像
达.芬奇是私生子，生于佛罗伦萨，但他的父亲又收养了他。在 之
后曾研究解剖学、天文学、力学、数学、机械工程、音乐等。在 程师与露天表演主持人等，之后到威尼斯成为凯撒大帝的建筑师, -1513年任路易十二的画师和工程师。
达.芬奇是一位多才多艺的学者，他的最高成就是绘画，他是文艺复兴时代绘画方面的代表人物。他把 科学知识和艺术想象结合起来，使当时的绘画水平发展到一个新阶段。
他研究过落体运动，他的结论是， "有足够的证据表明，重物下降运动及其速度与时间的比例关系为锥
形。因为前面提到的各种能力都属锥形的，而且，重物由静止开始降落，按算术的比例继续增长。
"他还发 现"在每段谐和时间里，物体经历的距离也不相等，是按算术的比例分配的。
”这些结论已经与后来伽利略
对于落体问题的研究相去不远了。 在他的札记中，有许多对力学、机械设计的构想。这些构想曾经涉及：起重机械、蒸汽炮、抽水机、 飞行器、机械传动、降落伞、升降机、气枪等方面。他并且试图去证明永动机不可能；他曾提岀力的平行 四边形；他观察到空气的压缩和空气的阻力；他用 U 形管中液体的平衡来比较各种液体的密度；他研究过
拱门、墙和柱的压力；还研究过细丝在牵引力作用下的伸长。他参加过米兰大教堂的设计，他还设计过灌 溉系统和运河的挖掘模型。
他在艺术上发挥的人文主义精神和在科学上的实践精神对后来自然科学与力学的发展留下了不可磨灭 的影响。例如他说："力学是数学科学的天堂，因为，我们在这里获得数学成果。 ” ±科学是统帅，实践是战 士。"坏是数学家请勿读我的著作。” 土在你将定律作为根据前，要先在同一情况下试验二、三次，看看试 验是否产生同样效果。”
3. 2伽利略对静力学所作的贡献
伽利略在静力学上最重要的贡献是给岀了最早一般表达的虚速度或虚位移原理。他指岀：一个质点系 在给定力系的作用下所得到的各点速度或位移分量是与质点系内部连接条件是相容的。当质点系通过一个 平衡位置时，各个力同它们各自作用的质点分速度的乘积的总和等于零 (后半句是19涉及法国力学家科里 奥利(Coriolis )的表述)。伽利略利用这条原理处理过滑轮组与斜面问题。他处理滑轮与斜面问题的方法 是这样的。
如图，若P 下落h, Q 升高h/2, _则Ph=Qh/2.伽利略得到的方程是 Ps=Qw 这里s 是P 的位移w 是Q 的
位移。
1466 - 1477年他从名师韦罗基奥学画， 1482— 1499年之间，曾任宫廷画师、工 之后又成为凯撒大帝的首席工程师。 1507
伽利略在阿基米德之后重新作实验证实流体静力学的浮力定律。他把虚位移原理与流体平衡联系起来，
这种观点后来为帕斯卡所充分发展。
3. 3托里拆利对静力学的贡献托里拆利
(Evangelista Torricelli, 1608 —1647)是一位英年早逝的学者。他从20岁开始在伽利略指导下学习，是
伽利略的最好的学生与密友，也是伽利略思想的传播者。
托利拆里像
托里拆利的最著名的贡献是发明了气压计。1644年，他遵从伽利略的遗示，将一根盛了水银的4英尺长的玻璃管倒立在盆中，发现有一部分水银不流岀而管顶是真空，经多次实验观察，他认为管中留存水银高度变化决定于大气压力的变化，这就是早期的大气压力计，也称气压计。
托里拆利在1644年出版的著作《论自然落体的运动》中有《几何结果》一篇，系统介绍了伽利略关于
落体的研究。虽然这是一篇阐述动力学的著作，其中也有不少关于静力学的重要见解。其中提到：”彼此连
在一起不能单独运动的两个重物，它们的重心不下落。事实上，当两个重物彼此拉住(不管用杠杆还是滑轮或者别的机械联系)好象是由两个部分组成的一个重物，不过这个重物不发生重心不下落的运动。当重物的重心不再下落时，显然它居留在同一位置。"这种表述称为托里拆利原理的第一表述。之后他还给岀了
另一表述："如果物体重心可以沿一个球运动，而且将重心提离球的最低点，则物体不可能保持静止。”这
一表述是关于平衡稳定性的最原始的形式。
托里拆利的另外的重要工作是他给岀了液体在容器底部开孔时，流岀射流的速度计算公式
￥ =y[2gh
并且作了实验验证。这里是孔口流速，g是重力加速度，h是液面距孔口的高度。这一结果被称为托里
拆利定律，之后推广到一般情形，称为伯努利定律。
3. 4帕斯卡对静力学的贡献帕斯卡
(BlaisePascal,1623 - 1662)是法国的力学家、数学家、哲学家，他1623年6月19日生于法国的克勒芒(Clermont)。他从小多病，在短暂的一生中身体一直不好。
帕斯卡像
帕斯卡在数学上的贡献是：他是射影几何的奠基人之一；他发明了一种可作加法运算的机器；曾写过有关圆锥曲
线的文章得到大哲学家和大数学家笛卡尔的赏识；他发现二项展开定律；还是概率论的创始人之一。
在力学上，他的主要工作是提岀当液体静止时，密闭容器中液体中的压力可以传递，而且在各点与一
点的各个方向强度相同。这就是后来被称为的帕斯卡原理，它是前述斯梯芬关于容器底部压力实验结果的更一般的表述。帕斯卡利用这一原理制成了水压机，而且曾将虚位移原理用于计算水压机。
3. 5瓦利农与班琐对静力学的贡献
瓦利农(Pierre Varignon,1654 - 1722)是法国人，他从1686年起开始了他的数学教授生涯。他的出名
主要在于传播科学和教学上，比他晚了大约一百年，由于拉格朗日引用他的工作，他才得以闻名于世。他
一生写过几部数学教科书，在力学上的主要著作是1725年岀版的《新力学》。他在静力学上至今仍为人知
的工作是：空间的任意力系可以简化为一个主矢与转轴与主矢重合的力偶，这个结论现在被称为瓦利农定理；他在研
究力的分解时引进了实际上就是现在的向量积的概念。
路易!班琐(Louis Poinsot,1777 - 1859)是法国人，大学时期在巴黎综合工科学校学习，毕业后任道桥工程师。1804
年起到大学任数学教授，从1809年起，在巴黎综合工科学校任教。1813年被选为法国科学院院
士，继承拉格朗日的席位。
班琐对力学的主要贡献集中在他所写的《静力学原理》(1803年)与《力偶转动新论》(1834年)两书中
在这两本书中，他虽然对静力学的基本原理上没有提供多少新东西，但却重新整理了这门学科，使力系的简化至于比
较完善的水平。他最重要的贡献是系统讨论了力偶的性质。提出了明确的静力平衡条件，即合力为零与合力偶为零。
4 早期的变形体静力学
1．达.芬奇在他的手稿中研究和讨论了以下一些问题：
柱所能承受的载荷。他考虑将两根、三根、...柱单独或捆在一起，得到的承载能力导向一个结论：一根
高度给定的柱，承载能力与其直径成正比。他还实验了同样条件下梁的承载能力。可惜由于捆绑不够紧，没有得到正确结果(他得到的是成正比)。
他研究了给定截面梁的承载能力，得到承载能力与其跨度成反比的结论。
2．伽利略在他《关于两种新学科的对话》( 1638 年)提到、考查了固定端悬臂梁的承载能力的问题。
令L为梁长，d为高，W为荷载P为梁根部的纵向反力，T为横向反力，B为梁根部的弯矩，M为抗力矩，他得到的结论是 B = W L，M = PXd/2?伽利略给了8个命题，分别讨论各量之间的关系，其中有些重要的结论列举如下：长度与厚度都比相等的棱柱体和圆柱体具有抗断裂力(即悬臂端承载能力)与截面的直径立方成正比，而与长度成反比。
即：M *，W * /L。
伽利略接下来讨论了等强度梁的截面问题以及在自重下梁的强度问题。关于两端支承而中间受载梁，伽利略认为中间是危险点，从而靠支承点的材料可以削去。此外，他还讨论了空心圆截面梁(管梁)。
3?马略特(F.Mariote,1620 - 1684)是法国科学院的奠基人之一，也是一位教徒。他在科学的许多分支：
力学、光学、热学、和气象学等方面都作出过贡献。在他著的《论水和其他流体的运动》一书的第二讲中，讨论了固体的抗力和水管的强度问题。马略特作了伽利略所作的实验，得出悬臂梁的承载能力是：W = KTd/L，伽利略取K = 1/2，而马略特得到K在1/3与1/4之间。
马略特将梁根部的断面分成条状水平带，而不同学者采用的条上不同的应力分布，伽利略采用的是均匀应力分布，马略特采用的是三角形应力分布。由于他们的截面上平衡条件都不对，所以结果的系数都不正确。只有到了伯努利才彻底解决了这个问题。
1.雅科比.伯努利(Jacob Bernoulli,1654 - 1705)关于梁的研究。在17世纪末到18世纪初，微积分这一新的数学工具迅速发展起来了，莱布尼兹( Leibniz，1646-1716)最先给出微积分的表述。伯努利很快抓住这个新的工具去研究梁。他与前人不同，不是从解强度问题来讨论，而是从求解梁的挠度来讨论问题。他在1705 年发表的最后的论文中，最早引进了单位面积上的力即应力的概念，并且把应力作为伸长率即应变的函数。他的理论就是现今人们所称的伯努利梁理论。现今在材料力学中的梁的理论就是以它为基础的。
4.2胡克的生平与胡克定律英国力学家胡克( Robert Hooke,1635 - 1703)，其父是怀特岛(Hight,在英
吉利海峡内)上的一位牧师。他13岁入小学，住在校长的家中，在那几年内学会了拉丁文、希腊文和希伯来文，学通了欧几里得几何和一些数学课题。1653年，胡克被派到牛津的基督教堂当唱歌队的指挥员，在这个位置上，他坚持自学，于1662年得到工艺学硕士学位。在牛津他得以接触一些有名的科学家，而他当时的工艺很熟练，所以他曾帮那些科学家做过实验。特别他帮助当时的大科学家波义耳 (Robert Boyle,1627 - 1691)做研究工作，由于他的巧手才使波义耳的空气泵取得成功。
1663 年胡克成为英国皇家学会的会员，并且从1677年到1683 年当秘书，从1662 一直到死，都是该会的实验总监。
胡克有多方面的才能，他不仅在力学方面有贡献，他在化学、物理学、天文学、生物学等方面都有重要的贡献，
他写过一本《显微镜》的书，书中记载了他对显微镜的改进，也记载了他利用显微镜的发现，此外他还是一位积极钻研和传播武术的教师。在科学研究上他是一位十分灵巧而能干的实验大师，他在理论上的工作方面也很多，但是多数是不够严密和完整的。
胡克的性格乖僻，喜欢同别人争论，而常常声称某某发明是他先于别人有想法。
胡克在力学上最为出名的工作是首先研究了弹簧，得到了外力与变形成比例的结论，后人也称之为胡克定律。
1678 年胡克发表了题为《弹簧》的论文，它包含了胡克对于弹性体的实验结果（不过他声称他在1660 年就已经发现了这个结果）。文章在描述他的实验时说："取一根长20、或30、或40 英尺长的金属丝，把
上端同钉子系牢，而下端系一弹簧秤以承受砝码。用两脚规量出自秤盘底至地面的距离，把这一距离记下来。再将若干砝码加到秤盘上，并顺序记下金属丝的伸长量。最后比较这些伸长量便可以看到砝码与砝码引起的伸长量彼此之间存在着同样的比例。"
胡克一共用四种弹性物体来进行他的实验。除了金属丝之外还有：
一个轴铅垂的金属螺旋线，上端固定下端系秤盘和砝码，随着载荷增加螺旋成正比例地伸长。
把一根钟表发条上紧成垂直的螺旋，内端固定，外端附着在一个与此发条同轴的轻巧的齿轮的轮毂上，后者盘绕着一根丝线，丝线的自由端悬吊一个很轻的秤盘，秤盘中加多大的砝码，这齿轮便旋转相应的角度。
给干燥木质的悬臂梁的自由端加上载荷，挠曲变形也符合这条定律。
早在1665 年，他在《显微术》一书中便指出过，这条定律同样适用于压缩空气。他并且利用这一理论建议制造弹簧秤。英国科学家波义耳在1662 年与马略特在1676 年二人各自独立地建立了气体压强与体积关系的定律。它也可以看为与胡克同一时代同一类型的定律，胡克定律是对固体的，波义耳是对气体的。
胡克的弹性实验装置
4. 3库仑的摩擦定律
库仑(C.A.Coulomb,1736 - 1806)是法国学者，1764- 1772年在西印度马提尼克皇家工程公司工作，
后来又服役，到1802年担任拿破伦委任的教育委员会的委员，1805年任教育总监。1774年为法国科学院
院士。库仑博学，在物理上发现电学中的库仑定律，他还研究了地磁对磁铁的作用。
库仑在1781年发表的重要论文《简单机械》中给岀了摩擦定律。他最初的结论是：
1.干燥木块在木块上滑动时，反向阻力在静破坏的瞬间是与压力成正比的。在静止的初瞬间它增加但
过些时间它达到极大。
2?当干燥木块在木块上以任何速度滑动时，摩擦瞬间可以大于与压力的比例，但之后，则趋于比静止
某些瞬间测得的为小。
3?没有覆盖层的金属在金属上滑动时，与压力成正比例的规律一样，但在静止瞬时之后测得的值，与
在不变速度滑动时测得的值一样。
4．不同类的表面，如木与金属，在表面都没有覆盖物的情况下，这时摩擦力和前面得到的颇为不同，它随静止
的时间而变，例如在四天、五天或更多的天数之后，当速度按几何级数增加时摩擦力也有可观的增加。
这些规律，用更为近似的，今天在大部分领域使用的公式来表示，即最大静摩擦力F=g P
其中为正压力，为摩擦系数。
库仑在梁的弯曲问题的研究上，比前人进了一步，他已能用静力平衡条件来分析梁的内力，而且他对于梁截面上的应力分布也有了正确的概念。1784 年库仑发表了他对扭转问题的研究报告，库仑发明了一种测量金属丝扭转刚度的方法，即扭摆，是以一根悬挂在金属丝上的圆筒的扭转振动来进行测量的。由于其测量的精确性，扭摆被用于许多精密测量之中。
F DB CB DB F ' 习题3－3图 第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a ）：045cos 23=-?F F F F 2 2 3= （拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0 F 2 = F （受拉） 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。 解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i n F F ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 (b-1) 习题3－1图 (a-1) (a-2) '3 (b-2) 习题3－2图 F
流体力学标准化作业（三） ——流体动力学 本次作业知识点总结 1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。 2.流体流动的加速度、质点导数 流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即 (,,,)u u x y z t = 流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即 Du u u dx u dy u dz a Dt t x dt y dt z dt ????= =+++ ???? 投影式为 x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ?????=+++?????? ????? =+++???????????=+++?????? 或 ()du u a u u dt t ?==+??? 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t ??为固定空间点，由时间变化 引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。()u u ??为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。 欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。例如不可压缩流体，密度的随体导数 D D u t t ρρ ρ?=+???（） 3.流体流动的分类
（1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线 流线微分方程 x y z dx dy dz u u u == 迹线微分方程 x y z dx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流 （3）过流断面、流量及断面平均流速 体积流量 3(/)A Q udA m s =? 质量流量 (/)m A Q udA kg s ρ=? 断面平均流速 A udA Q v A A == ? （4）渐变流与急变流 5. 连续性方程 （1）不可压缩流体连续性微分方程 0y x z u u u x y z ???++=??? （2）元流的连续性方程 12 1122 dQ dQ u dA u dA =?? =? （3）总流的连续性方程 1122u dA u dA = 6. 运动微分方程 （1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
第三章 部分习题解答 3-10 AB ,AC 和DE 三杆连接如图所示。杆DE 上有一插销H 套在杆AC 的导槽内。试求在水平杆DE 的一端有一铅垂力F 作用时，杆AB 所受的力。设DE BC HE DH DB AD ===,,，杆重不计。 解： 假设杆AB ，DE 长为2a 。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程： ∑=0C M 02=?a F By 0=By F 取杆DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： ∑=0H M 0=?-?a F a F Dy F F Dy = ∑=0B M 02=?-?a F a F Dx F F Dx 2= 取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： ∑=0y F 0=++By Dy Ay F F F F F Ay -=(与假设方向相反) ∑=0A M 02=?+?a F a F Bx Dx F F Bx -=(与假设方向相反) ∑=0B M 02=?-?-a F a F Dx Ax F F Ax -=(与假设方向相反) 3-12AD AC AB ,,和BC 四杆连接如图所示。在水平杆AB 上作用有铅垂向下的力F 。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F 的位置如何，杆AC 总是受到大小等于F 的压力。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： ∑=0C M 0=?-?x F b F D F b x F D = F C F C y F D F Cx F Cy F Bx F By F Dx F Dy F Hy F Bx F By F Dy F Dx F Ax F Ay
取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： ∑=0A M 0=?-?x F b F B F b x F B = 杆AB 为二力杆，假设其受压。取杆AB 和AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： ∑=0E M 02 )2(2)(=?--?+?+b F x b F b F F AC D B 解得F F AC =，命题得证。 注意：销钉A 和C 联接三个物体。 3-14两块相同的长方板由铰链C 彼此相连接，且由铰链A 及B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M 的力偶。如b a >，忽略板重，试求铰链支座A 及B 的约束力。 解： 取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有： ∑=0A M 0)(=+-M M F M B A 即B F 必过A 点，同理可得A F 必过B 点。也就是A F 和 B F 是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。 取板AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： ∑=0C M 045cos 45sin 00=-?-?M b F a F A A 解得：b a M F A -=2(方向如图所示) 3-20如图所示结构由横梁BC AB ,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A 处的约束力及杆1，2，3所受的力。 解： 支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC 为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa ，作用在BC 杆中点。列平衡方程： F ABx F ABy F B F Ex F Ey F AC F B F A F B F Cx F Cy F Bx F By F 3
一元流体动力学基础 1.直径为150的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300×400的矩形风道,风量为2700m 3 ,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150×400,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得： A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=102=53=2.5的管道流入大气中. 当出口流速10 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解 ： (1) 由 s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。
解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3 ,，流速不超过20 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。 解：（1）由题设得测点到管心的距离依次为1r ……5r ∵103102221S r S r = = ππ 42 d S π= ∴ d r d r 102310221= = f 同理 d r 10 253= d r 10 274= d r 10 295= （2） ）（51251 4u u d v S G +????????+==π ρ ρ 7.某蒸汽管干管的始端蒸汽流速为25 ，密度为2.62 m 3 .干管前段直径为50 ，接出直径40 支管后，干管后段直径改为45 。
静力学 第三章空间力系 空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。这是力系中最一般的情形。许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用，例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。 本章研究空间力系的简化和平衡问题，并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。与研究平面力系相似，空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。 第一节空间力的分解与投影 一、空间力的分解 如图3-1所示，设力F 沿直角坐标轴的分力分别为F x、F y、F z，则 (3-1) 图3-1 力F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示： (3-2) 则(3-3) 其中i、j、k分别是x、y、z轴的正向单位矢量。 二、空间力的投影 1.直接投影法 如图3-2所示，若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ，以F x、F y、Fz表示力F在x、y、z三轴上的投影，则
(3-4) 力在坐标轴上的投影为代数量。在式(3-4)中，当α、β、γ为锐角时，投影为正，反之为负。 图3-2 2.二次投影法 若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示，其中γ为力F与z轴的夹角，φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角，则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。 先将力F向z轴和xy平面投影，得 注意：力在平面上的投影F xy为矢量。 再将F xy向x、y轴投影，得 因此 (3-5)
图3-3 反之，若已知力在直角坐标轴上的投影，则可以确定该力的大小和方向。 (3-6) 其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。 静力学 第三章空间力系第二节力对点之矩与力对轴之矩 一、力对点之矩 在平面问题中，力F与矩心O 在同一平面内，用代数量M O(F)就足以概括力对O 点之矩的全部要素。但在空间问题中，由于各力与矩心O所决定的平面可能不同，这就导致各力使刚体绕同一点转动的方位也可能不同。为了反映转动效应的方位，力对点之矩必须用矢量表示。 如图3-5所示，设力F沿作用线AB，O点为矩心，则力对一点之矩可用矢量表示，称为力矩矢，用M O(F)表示，力矩矢M O(F)的始端为O点，它的模（即大小）等于力与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所确定的平面，指向可按右手法则来确定。由图3-5可见 (3-7) 式中，表示三角形OAB的面积。
第三章 初稳性 习题解 3-3 某巡洋舰的排水量△=10200t ，船长L=200m ，当尾倾为1.3m 时，水线面面积的纵向惯性矩I L =420*104m 4，重心的纵向坐标x G =-4.23m ，浮心的纵向坐标x B =-4.25m ，水的重量密度3/025.1m t =ω。 3-13 某船长L=100m ，首吃水d F =4.2m ，尾吃水d A =4.8m ，每厘米吃水吨数TPC=80t/cm ，每厘米纵倾力矩MTC=75tm ，漂心纵向坐标x F =4.0m 。今在船上装载120t 的货物。问货物装在何处才能使船的首吃水和尾吃水相等。 解：按题意要求最终的首尾吃水应相等，即'='A F d d 设货物应装在(x,y,z)处，则装货后首尾吃水应满足： A A F F d d d d d d δδδδ++=++，即A A F F d d d d δδ+=+ （1）
??? ??????? ??+-=??? ??-=θδθδtg x L d tg x L d F A F F 22 （2） () L F GM x x P tg ??-=θ （3） L GM MTC L 100??= M T C L GM L ?=??∴100 （4） 将式（2）、（3）、（4）代入式（1）中得： ()()MTC L x x P x L d MTC L x x P x L d F F A F F F ?-??? ??+-=?-??? ??-+10021002 代入数值得： ()()75*100*1000.4*1200.420.1008.475*100*1000.4*1200.420.1002.4-?? ? ??+-=-??? ??-+x x 解得： x=41.5m 答：应将货物放在（41.5，0，z ）处。 3-14 已知某长方形船的船长L=100m ，船宽B=12m ，吃水d =6m ，重心垂向坐标z G =3.6m ，该船的中纵剖面两边各有一淡水舱，其尺度为：长l =10m ，宽b=6m ，深a=4m 。在初始状态两舱都装满了淡水。试求：（1）在一个舱内的水耗去一半时船的横倾角； （2）如果消去横倾，那们船上x=8m ，y=-4m 处的60t 货物应移至何处？ 解：
第三章 流体静力学 思考题 ? 1、液体静压力具有的两个基本特性是什么 ? 2、液体静压力分布规律的适用条件是什么 作业 ? ，，, ，， ， 一、选择题 1、静止液体中存在A A 压应力； B 压应力和拉应力； C 压应力和切应力； D 压应力、切应力和拉应力。 2、相对压力的起量点是C A 绝对真空； B 1个标准大气压； C 当地大气压； D 液面压强。 3.金属压力表的读数是B A 绝对压力； B 相对压力； C 绝对压力加当地大气压力； D 相对压力加当地大气压力 4、绝对压力 、相对压力p 、真空值、当地大气压力之间的关系是C A abs v p p p =+; B abs a p p p =+; C v a abs p p p =- 5、静止流场中的压强分布规律D A 仅适用于不可压缩流体； B 仅适用于理想流体； C 仅适用于黏性流体； D 既适用于理想流体，也适用于黏性流体。 6．在密闭的容器上装有U 形水银压力计（如图3-1），其中1、2、3点位于同一水平面，其压强关系为C A 123p p p ==; B 、123p p p >> ; C 、123p p p <<
图3-1 图3-2 图3-3 7用U 形水银差压计测量水管内A 、B 两点的压强差（如图3-2），水银面高差h p =10cm ，p a -p b 为B A ； B ；C 8、静水中斜置平面壁的形心淹深c h 与压力中心淹深D h 的关系为 c h _C__ D h 。 A 大于； B 等于； C 小于； D 无规律。 9如图3-3所示，垂直放置的矩形挡水平板，水深为3m ，静水总压力p 的作用点到水面的距离 为C A ； B ； C ；D 10完全淹没在水中的一矩形平面，当绕其形心轴旋转到什么位置时，其压力中心与形心重合C A 倾斜； B 倾斜； C 水平； D 竖直。 11、完全淹没在水中的一矩形平面，当绕其形心轴旋转到什么位置时，其压力中心与形心最远D A 倾斜；B 倾斜；C 水平；D 竖直。 12 在液体中潜体所受浮力的大小B
流体力学第三章课后习题答案 一元流体动力学基础 980.7kN/h1.直径为150mm的给水管道，输水量为，试求断面平均流速。 Q,,vA，，kN/h,kg/s,Q,,vA解:由流量公式注意: Qv,,Av,1.57m/s 得: 32.断面为300mm×400mm的矩形风道,风量为2700m/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩 为150mm×400mm,求该断面的平均流速 Qv,Q,vAA解:由流量公式得: vA,vAv,12.5m/s11222由连续性方程知得: 3.水从水箱流经直径d=10cm,d=5cm,d=2.5cm的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求123 dd12(1)容积流量及质量流量;(2)及管段的流速 3Q,vA,0.0049m/s33解:(1)由 ,Q,4.9kg/s质量流量 (2)由连续性方程: vA,vA,vA,vA11332233 v,0.625m/s,v,2.5m/s12得:
294210kg/h0.91.4m/s4.设计输水量为的给水管道，流速限制在?之间。试确定管道直 50mm径，根据所选直径求流速。直径应是的倍数。 Q,,vAd,0.3430.275mv,0.91.4m/s 将?代入得? 解: 50mmd,0.3m?直径是的倍数，所以取 Q,,vAv,1.18m代入得 35.圆形风道，流量是10000m /h,，流速不超过20 m/s。试设计直径，根据所定直径求流速。 直径规定为50 mm的倍数。 Q,vAv,20m/sd,420.5mmd,450mm解: 将代入得: 取 Q,vAv,17.5m/s代入得: 6.在直径为d圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。(1)试计算各测 u～u～u～u～u,12345点到管心的距离，表为直径的倍数。(2)若各点流速为，空气密度为， G求质量流量。 rr51解:(1)由题设得测点到管心的距离依次为……
第三章-静力学的基本知识（二） 第一节静力学的基本知识 3、力矩与力偶 （1）力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动效应的物理量。 用F与h的乘积来度量力使螺母绕点O转动效应的大小，O点称为力矩中心，简称矩心。O 点到F作用线的垂直距离h称为力臂。 力F对O点之矩——Mo（F）=±Fh 力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。量纲：力×力臂，力矩的单位为牛顿米（N·m）。 力矩为零的两种情况： （1）力等于零； （2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的特性： （1）力作用线过矩心，力矩为零； （2）力沿作用线移动，力矩不变。 合力矩定理： 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对于同一点力矩的代数和。
（2）力偶：作用在一个物体上的大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的一对力叫做力偶。 力偶的作用效果：使物体发生纯转动。 力偶臂——力偶中两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。 力偶矩一一力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，加上适当的正负号。m（F，F'）=m=±Fd 力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势， 力偶矩取正号；反之，取负号。 量纲：力×长度，牛顿米（N·m）。
力偶的表示方法： 力偶可用力和力偶臂来表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。 力偶特性一： 力偶的转动效应与转动中心的位置无关，所以力偶在作用平面内可任意移动。 力偶特性二： 力偶的合力为零，所以力偶的效应只能与转动效应平衡，即只能与力偶或力矩平衡，而不能与一个力平衡。 【例】求图中荷载对A、B两点之矩。 网校答案：图（a）：MA=-8×2=-16kN·m MB=8×2=16kN·m 【例】求图中荷载对A、B两点之矩。
ED F D DB F F α (a) α CB F B DB F 'AB F (b) 习题3－3图 第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a ）：045cos 23=-?F F F F 2 2 3= （拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0 F 2 = F （受拉） 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。 解：0=∑y F ，F F ED =αsin α sin F F ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 A F 3 F 2 F 1 F (b-1) 习题3－1图 F 3F 451F A 1 3 (a-1) 3F 2F D '3F (a-2) D 3 '3F (b-2) 习题3－2图 AB F W BC F ? W x 2 θy ?
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析 3.1 引言 在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。 在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。 工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。 关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。 工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。 研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。 工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。 工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
第一篇静力学1 引言1 第1章静力学基础1 1.1 静力学的基本概念1 1.2 静力学公理3 1.3 约束和约束反力的概念及类型6 1.4 物体的受力分析和受力图9 *附录Ⅰ：机械应用实例15 第一篇静力学 引言 静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。力系是指作用于同一物体上的一组力。物体的平衡一般是指物体相对于地面静止或作匀速直线运动。它主要解决两类问题：一是将作用在物体上的力系进行简化，即用一个简单的力系等效地替换一个复杂的力系；二是建立物体在各种力系下的平衡条件，并借此对物体进行受力分析。 力在物体平衡时所表现出来的基本性质，也同样表现于物体作一般运动的情形中。在静力学里关于力的合成、分解与力系简化的研究结果，可以直接应用于动力学。静力学在工程技术中具有重要的实用意义。 第1章静力学基础 本章将阐述静力学中的一些基本概念、静力学公理、工程上常见的典型约束和约束反力，以及物体的受力分析。 1.1 静力学的基本概念 1.1.1 力的概念 力的概念产生于人类从事的生产劳动当中。当人们用手握、拉、掷及举起物体时，由于肌肉紧张而感
受到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间。例如，奔腾的水流能推动水轮机旋转，锤子的敲打会使烧红的铁块变形等。 （1）力的定义力是物体之间相互的机械作用，这种作用将使物体的机械运动状态发生变化，或者使物体产生变形。前者称为力的外效应；后者称为力的内效应。 （2）力的三要素实践证明，力对物体的作用效应， 决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点的 位置，这三个因素就称为力的三要素。在这三个要素中， 如果改变其中任何一个，也就改变了力对物体的作用效 应。例如：用扳手拧螺母时，作用在扳手上的力，因大 小不同，或方向不同，或作用点不同，它们产生的效果 就不同（图1-2a）。 （3）力是矢量力是一个既有大小又有方向的量，而且又满足矢量的运算法则，因此力是矢量（或称向量）。 矢量常用一个带箭头的有向线段来表示（图1-2b），线段长度AB按一定比例代表力的大小，线段的方位和图1-1 箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用点。此线段的延伸称为力的作用线。用黑体字F代表力矢，并以同一字母的非黑体字F代表该矢量的模（大小）。 （4）力的单位力的国际制单位是牛顿或千牛顿，其符号为N，或kN。 1.1.2 力系的有关概念 物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为平衡条件。如果两个力系对同一物体的作用效应完全相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力系与一个力的作用效应完全相同时，把这一个力称为该力系的合力，而该力系中的每一个力称为合力的分力。 必须注意，等效力系只是不改变原力系对于物体作用的外效应，至于内效应显然将随力的作用位置等的改变而有所不同。 1.1.3 刚体的概念
流体力学标准化作业（三） ——流体动力学 本次作业知识点总结 1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。 2.流体流动的加速度、质点导数 流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即 流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即 投影式为 或 ()du u a u u dt t ?==+??? 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t ??为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。()u u ??为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。 欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。例如不可压缩流体，密度的随体导数 3.流体流动的分类 （1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线 流线微分方程 迹线微分方程 （2）流管、流束与总流 （3）过流断面、流量及断面平均流速 体积流量 3(/)A Q udA m s = ? 质量流量 (/)m A Q udA kg s ρ=? 断面平均流速 A udA Q v A A ==?
（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程 （1）不可压缩流体连续性微分方程 （2）元流的连续性方程 （3）总流的连续性方程 6. 运动微分方程 （1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程） 矢量表示式 （2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程） 矢量表示式 21()u f p u u u t νρ?+ ?+?=+??? 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程 （2）理想流体总流的伯努利方程 8.实际流体的伯努利方程 （1）实际流体元流的伯努利方程 （2）实际流体总流的伯努利方程 10.恒定总流的动量方程 投影分量形式