考点跟踪突破3 因式分解
一、选择题
1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是( A )
A ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2
B ．ax －ay ＋a ＝a (x －y )＋a
C ．x 3－x ＝x (x ＋1)(x －1)＋1
D ．x 2－4＋3x ＝(x ＋2)(x －2)＋3x
2．(2016·滨州)把多项式x 2＋ax ＋b 分解因式，得(x ＋1)(x －3)，则a ，b 的值分别是( A )
A ．a ＝－2，b ＝－3
B ．a ＝2，b ＝3
C.a ＝－2，b ＝3 D ．a ＝2，b ＝－3
3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(x －2)的是( B )
A ．x 2－4
B ．x 3－4x 2－12x
C ．x 2－2x
D ．(x －3)2＋2(x －3)＋1
4．若实数x ，y ，z 满足(x －z)2－4(x －y)(y －z)＝0，则下列式子一定成立的是( D )
A ．x ＋y ＋z ＝0
B ．x ＋y －2z ＝0
C ．y ＋z －2x ＝0
D ．z ＋x －2y ＝0
点拨：左边＝[(x －y )＋(y －z )]2－4(x －y )(y －z )＝(x －y )2－2(x －y )(y －z )＋(y －z )2＝[(x －y )－(y －z )]2，故(x －y )－(y －z )＝0，x －2y ＋z ＝0
5．已知：a ＝2018x ＋2019，b ＝2018x ＋2020，c ＝2018x ＋2021，则a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值是( D )https://www.doczj.com/doc/865052114.html,
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
点拨：∵a ＝2018x ＋2019，b ＝2018x ＋2020，c ＝2018x ＋2021，∴a －b ＝－1，b －c
＝－1，a －c ＝－2，则原式＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac )＝12
[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝12
×(1＋1＋4)＝3.故选D 二、填空题
6．(2016·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式__am ＋bm ＋cm ＝m (a ＋b ＋c )__．21教育网
7．(2017·哈尔滨)把多项式4ax 2－9ay 2分解因式的结果是__a (2x ＋3y )(2x －3y )__．
8．若x ＋y －1＝0，则12x 2＋xy ＋12y 2－2＝__－32
__.9.(2017·黔东南州)在实数范围内因式
分解：x 5－4x ＝__x (x 2＋2)(x ＋2)(x －2)__．【来源：21·世纪·教育·网】
10．已知实数a ，b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b
，则2018|a －b|＝__1__． 点拨：∵a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，两式相减可得a 2－b 2＝1a －1b ，(a ＋b )(a －b )＝b －a ab
，[ab (a ＋b )＋1](a －b )＝0，∴a －b ＝0，∴2 018|a －b|＝2 0180＝121·世纪*教育网
三、解答题
11．分解因式：
(1)3x 2－27；
解：原式＝3(x ＋3)(x －3)
(2)4＋12(x －y )＋9(x －y )2；
解：原式＝(3x －3y ＋2)2
(3)8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .
解：原式＝(x ＋4y )(x －4y )
12．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状． 解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(1＋2b )(a －c )＝0.∵1＋2b ≠0，∴a －c ＝0，∴a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形https://www.doczj.com/doc/865052114.html,
13．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是__a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)__．
解：或
14．(2017·湘潭)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋__2__)(x＋__4__)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，解得x＝－1或x＝4
15．(导学号：65244096)(2017·河北)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
解：验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝15，15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝5n2＋10，∵5n2＋10＝5(n2＋2)，又n是整数，∴n2＋2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数延伸：设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1，它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝3n2＋2，∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是221世纪教育网版权所有