高中数学
上海历年高考经典真题专题汇编专题：圆锥曲线
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专题7：圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________
2、（2015年上海高考）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
3、（2014年上海高考）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆
22
195
x y +=的右焦点重合， 则该抛物线的准线方程为 .
4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2
2
21y x b
-=的一个焦点到其渐近线的距离为，
则该双曲线的焦距等于________.
5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线214
y x =-的准线方程是
6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22
214
x y a -
=*()a N ∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212||||||F F PF PF =?，P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<，则2
a =
7、（虹口区2016届高三三模）过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． 若6,AF =则OAB ?的面积为
8、（浦东新区2016届高三三模）直线1y kx =+与抛物线22y x =至多有一个公共点，则k 的取值范围是
9、（浦东新区2016届高三三模）设P 为双曲线()22210x y a a -=>上的一点，12F F 、是左右焦点，1223
F PF π∠=，
则12F PF ?的面积等于（ ） A.23a B.23a C.
3 D.23
10、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线22
221x y a b
-=00a b >>（,）
的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．
11、（奉贤区2016届高三二模）双曲线22
41x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．
12、（虹口区2016届高三二模）如图, 22
22+1(0)x y A B a b a b
=>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的
垂线，与其交于点C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.
13、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为
14、（静安区2016届高三二模）已知双曲线22
21(0)y x m m
-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点，
则该双曲线的焦距的取值范围为 .
15、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线2
y ax =的准线方程是1
4
y =-，则a = .
16、（普陀区2016届高三上学期期末）设P 是双曲线22
142
x y -=上的动点，
若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ?=_________.
17、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4
π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________.
18、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线2
12y x =-的准线与双曲线22
193
x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．
19、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线
22
15
x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 ( )
.A 2y x =±
.B 5
y x =± .C 3y x =± .D 5y x =±
二、解答题
1、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边
运走。于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内
1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点
F 的坐标为（1,0）
，如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为
3
8
。设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值
2、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。
（1）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB ?是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +?=，求l 的斜率.
3、（2015年上海高考）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ．
（1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；
（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．
4、（2014年上海高考）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记
1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线
C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线.
(1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；
(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；
(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
5、（虹口区2016届高三三模）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，定义椭圆C 的“相关圆”E
为:22
2
2
22
a b x y a b +=+.
若抛物线2
4y x =的焦点与椭圆C 的右焦点重合，且椭圆C 的短轴长与焦距相等.
（1）求椭圆C 及其“相关圆”E 的方程；
（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作其切线 l ，若 l 与椭圆C 交于,A B 两点， 求证:AOB ∠为定值（O 为坐标原点）；
(3) 在（2）的条件下，求OAB ?面积的取值范围.
6、（浦东新区2016届高三三模）设椭圆1E 的长半轴长为1a ，短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a ，短半轴
长为2b ，若1122a b a b =，则称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆。已知椭圆2
2:12
x E y +=，其左顶点为A ，右顶点为B 。 （1）设椭圆E 与椭圆22
:12
x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值；
（2）设椭圆()2
2:012
x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点D
作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求出最小值；
（3）已知椭圆E 与椭圆()22
:122x y H t t
+=>是相似椭圆，椭圆H 上异于A B 、的任意一点()00,C x y ，求证：
ABC ?的垂心M 在椭圆E 上。
7、（奉贤区2016届高三二模）已知椭圆:C ()0122
22>>=+b a b
y a x 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）不过原点O 的直线与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．
8、（虹口区2016届高三二模）已知直线2y x =是双曲线22
22:1x y C a b
-=的一条渐近线，
(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．
(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）；
(2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ，
使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程．
9、（黄浦区2016届高三二模）对于双曲线22
(,)22:1a b x y C a b -=(,0)a b >，若点00(,)P x y 满足2200221x y a b -<，则
称P 在的(,)a b C 外部；若点00(,)P x y 满足22
00221x y a b
->，则称P 在(,)a b C 的内部；
（1）若直线1y kx =+上的点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围；
（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆2
2
2
x y r +=(0)r >在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长
等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围；
（3）若曲线2
||1xy mx =+(0)m >上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围；
10、（静安区2016届高三二模）已知12,F F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=（其中0a b >>）的左、右焦点，椭圆C
过点()且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．
11、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线
4-=x 的距离之比为2
1．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20< （3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、 OB 的斜率之积等于4 3 - ，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由． 上一点，从原点O 向圆()()8:2 02 0=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,． (1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k ． 13、（静安区2016届高三上学期期末）设P 1和P 2是双曲线22 221x y a b -=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，直线 P 1P 2不经过坐标原点O . (1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22 a b ； (2)若双曲线的焦点分别为1(F 、2F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为3 2 ， 求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积. 14、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3 (1,)2 ，它的一个焦点与抛物线 2:4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程； （2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为求k 的值； （3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的 纵截距为n ，证明：mn 为定值. 15、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线2 4y x =的焦点F 是椭圆M 的 一个焦点，以F 为圆心，以椭圆M 的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=：相切． （1）求椭圆M 的方程； （2）已知直线y x m =+与椭圆M 交于A B 、两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+，求m 的值． [参考答案] 一、填空、选择题 1、【答案】 5 【解析】试题分析： d=== 利用两平行线间距离公式得 2、解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1， 高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 宜城一中高三数学小题专项训练 1、一条长为2的线段，它的三视图分别是长为b a ,,3的三条线段，则ab 的最大值为 A ．1 B ．2.5 C ．6 D ．5 2、已知双曲线13 62 2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，点M 在双曲线上，且x MF ⊥1轴，则1F 到直线M F 2的距离为 A ．563 B ．665 C ．56 D ．65. 3、已知)3,1,2(-=，)2,4,1(--=，),5,7(λ=，若,,三向量共面，则实数λ等于 A ．762 B ．763 C ．764 D ．7 65 4、已知ABC ?的周长为12+，且C B A s i n 2s i n s i n = +。若A B C ?的面积为C sin 61，则角C 的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π. 5、当变量y x ,满足约束条件?? ???≥≤+≥m x y x x y 43时，y x z 3-=的最大值为8，则实数的值m 为 A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1. 6．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到 (2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得 1212()()()==,n n f x f x f x x x x 则n 的取值范围是 A ．{}3,4 B ．{}2,3,4 C ． {}3,4,5 D ．{}2,3 7、“c b a 1113++”称为a ，b ， c 三个正实数的“调和平均数”，若正数y x ,满足“xy y x ,,”的调和平均数为3，则y x 2+的最小值是 A ．3 B ．5 C ．7 D ．8. 8、已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直，点Q P ,分别是线段DE BC ,上的动点（包括端点），2=PQ 。设线段PQ 中点轨迹为ω，则ω的长度为 高三数学小题训练（10） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分；共50分. 1．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π =x 处取 得最小值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ） （A ）23 （B ）3 2 （C ）2 （D ）3 3．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- 4．设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 5．已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则 m n 等于 （ ） （A ） 1 3 （B ）3 （C ）33 （D 3 6．与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7．如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ） （A ）1213,PP PP （B ）1214,PP PP （C ）1215,PP PP （D ） 1216,PP PP 8．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 9．已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ） （Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）2 10．若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12．已知βα,??? ??∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___. 数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3，2014年高三数学选择题专题训练(12套)有答案
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