单位圆与正余弦函数的
定义
SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数
1.4.2单位圆与周期性
主备人：刘红岩
一、 教学目标
1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念
2、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟
数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一
二、 教学重、难点
1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单
位圆求三角函数值；
2、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法
三、情感态度与价值观
1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；
2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、教学过程
尝试回忆
1、1弧度的角；
2、角度制与弧度制的互化；
3、弧长公式及扇形面积公式；
4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。如090,k k Z π+∈，应写成
0018090,k k Z ?+∈或,2k k Z π
π+∈
3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？
由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。
O A P 图1
问题引入
如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h 0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在
你坐在座舱
中，从初始位置OA 出发（如图1所示），则
（1）过了30
秒后，你离地面的高度为多少？
（2）过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】从学生感兴趣的实际问题出发，发现问题，解决问题。
探究新知
1、单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。 单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。
2、任意角的正、余弦函数定义
在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v=sin α;点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,
记作u=cos α.
通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表示函数值， 因此定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为[-1，1]。
【设计意图】升华概念，加深对概念的理解。
3、三角函数值的符号
思考：以小组为单位讨论当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦函数值、余弦函数值的正、负号，幷将讨论的结果填入下表：
象限
三角
第一象限第二象限第三象限第四象限
函数
【设计意图】使学生掌握根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cosα在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。
练习1、求的正弦函数值和余弦函数值.
【设计意图】通过例1和练习1，使学生加深对三角函数概念的理解。
总结提升：若角α的终边经过点P(x，y),则角α的正弦函数值、余弦函数值分别为：
【设计意图】加深认识：已经角终边的一个点P，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三个量：角的终边上点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.
例2：已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦函数值、余弦函数值.
练习2:已知角α的终边经过点P(-1,2)，求角α的正弦函数值、余弦函数值.
变式1：已知角α的终边过点P(3a,4a)(a≠0)，求sinα的值．
变式2：已知角α的终边落在直线y＝-2x上，求cosα的值．
【设计意图】通过例2和练习使学生掌握一下方法：
1．已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值，常用的解题方法有以下两种:(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意
θ
,552sin -=θ一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝.
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
例3：确定下列各式的符号．
(1)cos250°；(2)sin(－π/4)
练习3：判断下面各式的符号：sin2·cos3
【思路探究】 由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号．
【设计意图】使学生掌握一下规律：1．判断三角函数值的符号关键是看角α的终边所在的象限位置，若角α的终边位置难以判断应先利用α＝2k π＋β(k ∈Z )进行转化．
2．判断三角函数值的符号的步骤：
(1)先观察角α所在终边所在象限；(2)判断角α各个三角函数值的符号；(3)给出最后的结论．
高考链接：（2011江西，14）
已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角终边上一点，且则y=.
【设计意图】通过高考真题，让学生了解本节课在高考中的考察方向，把握重点。
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：课本16页练习：2、3、4、5.