111
压杆稳定
1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量200 GPa E =, 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。
解：1
2.37 m, sin 26
H α??== ???,
0.169()Cy Dy F F F =-=↓,
N1N4N2N30.507F F F F F ==-=-=
由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 155.8 kN 0.507
A
F σ=
=
由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EI
F F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507
F F ==
结构破坏载荷 1.33 k N
F = 2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为30 mm d =， 1 m l =。各杆的弹性模量均为200 GPa E =，p 100λ=，061λ=，直线经验公式系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，许用应力[]160 MPa σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。 解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为
N1N2N3N4N F F F F F ===== 杆5受拉，其轴力为N5F F = 按杆5的强度条件：
N5
[], []113 kN F F A A
σσ≤≤= 按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133
λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F =
cr
st N
[]F n F ≥ 37.1 kN F ≤ ， []37.1 k
F = 3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量s 200 GPa E =，铜的弹性模量c 100 GPa E =，钢的线膨胀系数6s 12.510α-=?℃-1，铜的线膨系数6c 16.510α-=?℃-1。
m
112
解：铜杆受压，轴力为Nc F ，钢杆受拉，轴力为Ns F ，Nc Ns N F F F ==
由协调条件 s c l l ?=? 即 N N s c s c F l F l
tl tl E A E A
αα?+=?- N c s s c 11 ()F t A E E αα??
?=
+ ?-??
铜杆为细长杆 2c cr 2π98.7 kN E I
F l
==
当 Nc cr F F =时失稳, 此时 185 C
t ?= 4. 图示矩形截面杆AC 与圆形截面杆CD 均用低碳钢制成，C ，D 两处均为球铰，材料的弹性模量200 GPa E =，强度极限b 400 MPa σ=，屈服极限s 240 MPa σ=，比例极限
p 200 MPa σ=，直线公式系数304 MPa a =, 1.118 MPa b =。p 100λ=，061λ=，强度安
全因数[] 2.0n =，稳定安全因数st [] 3.0n =，试确定结构的最大许可载荷F 。 解：(1) 由梁AC 的强度
2
max max
max 2, , []
36 97.2 kN
z z
M F bh M W W F σσ===≤≤得 (2) 由杆CD 的稳定性
cr
p cr N N 1200, 15.50 kN, ,
33
15.50 kN, []15.50 kN
CD CD F F F F F F F λλ=>==≥≤=
5. 图示两端固定的工字钢梁，横截面积22
6.1 cm A =，惯性矩41 130 cm z I =，493.1 cm y I =,长度6 m l =，材料的弹性模量200 GPa E =，比例极限p 200 M P a σ=，
屈服极限s 240 MPa σ=，直线公式的系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，线膨胀系数712510/l α-=?℃，当工字钢的温度升高10t ?=℃时，试求其工作安全因数。
解：p 158.799.3λλ=>=
由欧拉公式，可得临界应力cr 78.2 MPa σ=
温度应力 25 MPa l tE σα=?= 工作安全因数 cr
st 3.13n σσ
=
=
113
6. 图示正方形平面桁架，杆AB ，BC ，CD ，DA 均为刚性杆。杆AC ，BD 为弹性圆杆，其直径20 mm d =，杆长550 mm l =；两杆材料也相同，比例极限p 200 MPa σ=, 屈服极限
s 240 MPa σ=，弹性模量200 GPa E =，直线公式系数304 MPa a =, 1.12 MPa b =，线膨
胀系数612.510/l α-=?℃，当只有杆AC 温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量cr t ?。
解：由平衡方程可得：N N N AC BD F F F == (压) 由变形协调方程，并注意到小变形， 有AC
BD ΔΔ
即 N N AC BD l F l F l
tl EA EA
α?-=
又由 p 11099λλ=>=, 知2cr 2πEI
F l
=
令 N cr F F =, 得 22
cr 2
π130.58d t l α?==℃
7. 图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E ，杆长l ，横截面积A 及线膨胀系数α均相同。问：当升温t ?为多大时，该结构将失稳。
解：由 N l F l
tl EA α?=， 可得 N l F t E A α=?
细长杆： 2cr 2π EI
F l =
当 N cr F F =时失稳 22πl EI
tEA l
α?= 得 22πl I t Al α?=
8. 图示结构ABC 为矩形截面杆，60 mm, 100 mm, 4 m b h l ===，BD 为圆截面杆，直径
60 mm d =，两杆材料均为低碳钢，弹性模量200 GPa E =, 比例极限p 200 MPa σ=,屈服
极限s 240 MPa σ=，直线经验公式为cr (304 1.12) MPa σλ=-，均布载荷 1 kN/m q =，稳定安全因数st []3n =。试校核杆BD 的稳定性。
解：(1) 由协调方程，Δcos45
BD
B l f =
得
3
4N N cos45(2)5(2)38448cos45
BD BD
F l F q l EI EI EA -= 解得 N 7.06 k N BD F = (2) 杆BD ：p 377100λλ=>= 由欧拉公式：cr 39 kN F = cr st st N 5.56[]BD
F
n n F ==>，安全。
B
D
A
C
9. 正方形截面杆，横截面边长a和杆长l成比例增加，它的长细比有4种答案：
(A)成比例增加；(B)保持不变；(C)按2
(/)
l a变化；(D)按2
(/)
a l变化。
答：B
10. 非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力。
答：大。
11. 两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形，其它条件均相同，则横截面为的柔度大，横截面为的临界力大。
答：圆形；正方形。
12. 在水平面ABC上用同材料的三根杆支持F。A、B、C、D
均为铰链节点。铅直力F的作用线恰好通过等边三角形ABC
的形心G。已知DG AB h
==。三杆截面均为圆形，直径为d，
材料的弹性模量为E。适用欧拉公式的临界柔度是90。已知
20
h d
=，试确定最大力F。
解：
2
sin60
3
BE
BE h BG BD
=?=====
1234N N
, 3sin,
N N N N
F F F F F DB
G F F
===∠===
所以
4
34
4
22
π
92.490,
64
π0.03π
()
d
Ed Ed
F
h h
λ
2
3
==>=
=?=
所以
13. 图示结构，由圆杆AB、AC通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹性模量均分别相等，BC间的距离保持不变，F为给定的集中力。试按稳定条件确定用材最省的高度h 和相应的杆直径D。（设给定条件已满足大柔度压杆的要求。）
解：杆达到临界状态时，
cr22
πEI
F
h l
2
=
+
，
此时之F值为：
4
22
2πEI
F
h l
23
==
+
可求得：4
D=(a)
114
115
二杆之总体积为：V == (b)
222d 0, 5, d 2V l
h l h h h ==+=得所以 (c) 将(c)式代入(a)
式得， 1.303D =14. 长方形截面细长压杆，/1/2b h =；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr F 是原来的多少倍？有4种答案：
(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C
15. 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因数μ的范围有4种答案：
(A)μ<0.5； (B)0.5μ<<0.7； (C)0.5μ<<2； (D)μ<2。 答：C
16. 圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。 答：
1π
;163
。 17. 试导出具有初始挠度0sin(π/)y a x l =的图示压杆的挠度曲线方程()y x 。 证：2220() , , sin(π/)F
EIy F y y k y k y k a x l EI
''''=-+=
+=-令 22
sin(π/)
sin()cos()π/1
a x l y A kx B kx k l 2''=++
- 由0, 0; 0, , 0; 0x y B x l y A ======
得 22s i n (π/)
πal F x l y EI l F
2=-
x
18. 某结构失稳时，挠曲线如图(a)所示，即上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推导临界力欧拉公式及挠曲线方程。
证：222
e cr cr e cr
, [], M F y F k M y k y k y EI EI F -''''==+= e
cr
sin()cos()M y A kx B kx F =++
由 e
cr
0, 0, 0, 0, M x y y A B F '=====-
e cr 2cr [1cos()]π, , 0, sin()0, kx M EI y x l y kl F F l
2-'=====
[1cos(/)]
, 2
x l x l y y δπδ-==,=
。
19. 的临界载荷。
解：给以微干扰，由其平衡状态求cr F
cr cr 0 22
B k l kl
M F F δδ'∑==,=得
20. 图示刚性杆，由弹簧支持，左右弹簧的刚度分别为1k 、2k ，试导出它的临界载荷。
解：由微干扰后的平衡状态 cr 120: ()A M F k l δδδ22∑=-=
11220: 0y F k k δδ∑=+=
22212cr 12112
1/k l k l k k
F k k k k δδδ2===-++
21. 导出图示结构在图形平面内失稳的临界载荷。已知：杆AB 、BC 均为刚性杆，杆CD 的弯曲刚度为EI 。注：悬臂梁端部受有横向集中力F 时，端点的挠度公式为3/(3)y Fl EI =。 解：cr N 0: A M F F l δ∑== 已知 3N cr 23, 3F l EI F EI l
δ==得
(a)(b)
F
117
22. 图示刚架，AB 为刚性杆，BC
垂载荷F EI 为常值。
证：由微干扰后的平衡状态知梁BC 在B 端的外力偶 e cr B M F a δδθ=,=
e cr 3, 3B M l EI
F EI al
θ=
=
23. 两根直径为d 细长杆考虑确定临界力cr F 。
此时，4cr 22ππ =, 64()d EI I
F l μμ2=2,==
24. 图示压杆，AC 、CB 两杆均为细长压杆，问x 为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与C 处不加支撑时承载能力的比值。 解：(1) 由cr 2π, ()EI
F l μ2
=
当0.7()x l x =-时承载能力最高， 0.70.4121.7
l x l ==
(2) 22
cr 22
cr 1
()π/(0.412) 2.89()π/(0.7)
F EI l F EI l 2== 25. 图示结构，AB 和BC 是两端铰支的细长杆，弯曲刚度均为EI 。钢丝绳BDC 两端分别连结在B 、C 两铰点处，在点D 悬挂一重量为P 的重块。试求： (1) 当3m h =时，能悬挂的P 最大值是多少？ (2) h 为何值时悬挂的重量最大？
解：(1) 2
tan 3
α=
钢丝绳受力 N 2c o s
P
F α=
杆受力 N N N N t a n c o s , s i n 223
A B B C P P F F F F ααα==
===由杆AB 求P ：21
12π2π, 29AB P EI EI P l 2==
3
118
由杆BC 求P ：22max 2π3π3π, , 31616
BC P EI EI EI
P P l 222===
(2) 由杆AB π92
EI P
2=
由杆BC πt a n 9
, t a n 16216
E I P αα2==
又由图知 32
tan , 3.56 m 9
h h α2===
26.铰接桁架，由竖杆AB 和斜杆BC 组成，两杆均为弯曲刚度为EI 的细长杆，在节点B 处承受水平力F 作用。
(1)设 1.2 m, 0.9 m a b ==，试确定水平力F 的最大值（用π、EI 表示）。 (2)保持斜杆BC 的长度不变，确定充分发挥两杆承载能力的α角。 解：(1)由力三角形容易求得 N N N cr N cr 222
45ππππ, , (), ()33 2.56 1.5AB
BC AB BC AB BC F F EI EI EI EI
F F F F l l 2222======
令2N N cr 4(), 0.293π3
AB AB F
F F F EI ==≤得 令2N N cr 5(), 0.267π3
BC BC F
F F F EI =
=≤得 max 0.267πF EI 2=
(2)N N tan , cos AB BC F
F F F αα
=?=
令N N cr N N cr (), (), AB AB BC BC F F F F α===61.51?得
27. 桁架ABC 由两根具有相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。确定使载荷F 为最大时的θ角（设0πθ<<）。 解：N N cos sin AB BC F F F F θθ=,= 设支座A 、C 间距离为l ，按稳定公式：
N N 2222ππ, cos sin AB BC EI EI
F F l l ββ
22==。
当杆AB 和杆BC 的承载能力同时达到临界值的F 为最大。 此时，22
2
22ππcos sin arctan(cot cos sin EI EI
F F l l θθθβββ
22=,=,=)
N
BC
N AB
m
119
28. 图示空间框架由两根材料、尺寸都相同的矩形截面细长杆和两块刚性板固接而成。试确定压杆横截面尺寸的合理比值/h b 。 解：在x z 平面内：cr 2
πy EI F l 2=
在y z 平面内：cr
2
π(2)x
EI F l 2
'= 合理的截面应使cr cr 4x y F F I I '==或，334, 21212bh hb h
b
?==
29. 在一般情况下，稳定安全因数比强度安全因数大。这是因为实际压杆总是不可避免地存在 、 以及 等不利因素的影响。当柔度λ越大时，这些因素的影响也越 。
答：初曲率；载荷的偏心；材料的不均匀；大。
30. 图示构架，AB 为刚性杆，F 作用在跨中，AC 、BD 、BE 均为细长压杆，且它的材料、横截面积均相同。设弹性模量E 、横截面面积A 、惯性矩I 和图示尺寸a 已知，稳定安全因数st []3n =，试求许可载荷[]F 。
解：N N N , 2AC BD BE F F F F ==
N N 22cr 22
π()AC AC BD AC F a
F i
i E
a
μλσμ===
22cr 22
cr cr cr cr π ()2()()2()()BD BD
AC AC
BD BD
i E a F F λσμσσ=
=
==>
故杆BD 、BE
杆先失稳st
[]F =
= 31. 托架横梁AB 由斜杆CD 支撑。杆CD 由两根10010010??的等边角钢焊成，两端CD 为球铰。角钢的惯性矩4179.5 cm x I =，横截面面积219.26 cm A =，0 2.84 cm z =。材料的比例极限
p 200 MPa σ=， 屈服极限s 235 MPa σ=，稳定直线
公式系数304 M P a a =, 1.12 MPa b =，弹性模量200 G P a
E =。稳定安全因数st []3n =。试根据杆CD 求托架的许可载荷[]
F 。
2
120
解：p 92.6, 99.3l
i
μλλ=
==
=, s
0p 061.6, a b
σλλλλ-=
=>>， 中柔度 cr 200 MPa a b σλ=-=
cr cr 770 kN F A σ==
由 0A M ∑=，并考虑st []n []121 k N
F = 32. 图示桁架ABC 由两根材料相同的圆截面杆组成，该桁架在节点B 处受载荷F 作用，其方位角θ可在0 90与间变化，0π/2θ≤≤。已知杆1,2的直径分别为120 mm d =，230 mm d =， 2 m a =，材料的屈服极限s 240 MPa σ=，比例极限p 196 MPa σ=，弹性模
量200 GPa E =，屈服安全因数 2.0s n =，稳定安全因数st [] 2.5n =。试计算许可载荷值[]F 。 解：(1)N1cos(60)F F θ=--， 1杆所受最大力为F
N2cos(30)F F θ=+，2杆所受最大力为2F
(2)p 100λ=
=
(3) 1杆 1p 200λλ=>
2
21cr 121cr 11st
ππ()15.5 kN
4()
[] 6.2 kN
[]d E F F F n λ=?===
(4) 2杆 2p 231λλ=>
2
22
cr 222cr 2
2N2st
ππ()26.2 kN
4
2()[]2[]20.96 kN
[]d E F F F F n λ=?=====
[] 6.2 kN F =
33. 图示结构，两细长杆弯曲刚度EI 相同，设载荷F 与杆AB 轴线的夹角为θ，且
0/2θπ≤≤，稳定安全因数st []2n =，试求许可载荷[]F 。
解： BC AB l l >， 稳定性由杆BC 控制
N π
sin ()2BC F F F θθ===
2
N cr 2
st ()2π[]3BC F EI
F n a =
=
121
34. 若cr σ表示压杆的临界应力，p σ为压杆材料的比例极限，则下列结论中哪些是正确的？
(1) 当cr p σσ<时，2cr 2πE σλ> (2) 当cr p σσ>时，2cr 2πE
σλ
<
(3) 当cr p σσ=时，2cr 2
πE
σλ=
(4) 在一切情况下，2cr 2
πE
σλ≤
(A) (1),(2)； (B) (3),(4)； (C) (1),(2),(3)； (D)(2),(3),(4)。 答：D
35. 设?为压杆的折减系数，下列结论中哪些是正确的？ (1) ?值越大，表示压杆的稳定性越好。 (2) 1?=表示杆不会出现失稳破坏。
(3) ?值与压杆的柔度λ有关，与杆件材料的性质无关。
(A) (1),(2)； (B) (2),(3)； (C) (1),(3)； (D) 全对。 答：A
36. 如图所示结构，横梁AB 的中央受集中力F 作用，木杆AC 、BD 、BE 的横截面相同，其面积为A ，材料许用应力为[]σ，杆AC 的柔度100λ=，试求构件的最大许可载荷。(稳定折减系数2
3 000
?λ=
，假定杆AB 满足弯曲强度条件)
解：杆AC 容许最大轴力N 0.3[]AC F A σ=；
杆BD 容许最大轴力N 0.15[]BD F A σ=；
由此可求得构件最大许可载荷]F A σ=。
37. 正方形截面压杆CD ，EF ，材料截面尺寸相同，已知：边长100 mm ，许用应力[]10 MPa σ=，当80λ≤时，21.020.55[(20)/100]?λ=-?+，当80λ>时，23 000/?λ=。
试求CD ，EF 两杆能同时达到稳定许用应力时的x 与a 的关系。 解：112
3 000
104, 0.277104λ?==
= 11[][]27.7 kN F A ?σ==
2
2269.32069.3 , 1.020.550.58100λ?+??
==-?= ???
22[][]58 kN F A ?σ==
由几何关系：1227.73[] 582l x F l
l a l EA
??==?=??
0.716x a =
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm，
第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
第10章 压杆稳定 10.1【学习基本要求】 1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。 3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。 7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。 9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】 1、压杆稳定的概念 稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。 稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的．．．直线平衡状态称为稳定平衡。 不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F 继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的．．．平衡为不稳定平衡。 失稳：轴向压力F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。 临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。 临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力） 【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。 2、理想压杆 理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。 工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。 3、细长压杆的临界力 细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为 ()2 0222c l EI l EI F r πμπ== (10.1) 【说明】①EI 为杆件的抗弯刚度；②l 0=μl 称为相当长度或计算长度，其物理意义为 各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。
第十章 压杆稳定 学时分配：共6学时 主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数 法进行压杆稳定校核。 $10.1压杆稳定的概念 1．压杆稳定 若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。 2．临界压力 当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用 τ c P 表示。 3．曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 $10.2细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xOy 。距原点为x 的任意截面的挠度为v 。于是有 Pv M -= 2．挠曲线近似微分方程： 将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得 ()Pv x M EIv -=='' 令 EI P k = 2 则有 0'2''=+v k v 该微分方程的通解为 kx B kx A v cos sin += c r c r
式中A 、B ——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 0=x 和l x =时，0=v 将其代入通解式，可解得 0=B ，0sin =kl A 上式中，若A=0，则0=v ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 0sin =kl 满足条件的kl 值为 πn kl =),2,1,0(Λ=n 则有 l n k π= 于是，压力P 为 2222 l EI n EI k P π= = 1=n 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力τc P 于是可得临界压力为 2 2l EI P c πτ= 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的 欧拉公式。 此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 22)(l EI P cr μπ= 式中μ称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。 两端铰支，1=μ；一端固定另一端自由2=μ；两端固定，2 1=μ；一端固定令一 端铰支，7.0=μ。
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
第10章压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。 1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。 为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。 图10.1 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= 为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
第十三章 压杆稳定 思考题 1 何谓失稳？何谓稳定平衡与不稳定平衡？ 2 试判断以下两种说法对否？ （1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。 （2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。 3 应用欧拉公式的条件是什么？ 4 柔度λ的物理意义是什么？它与哪些量有关系，各个量如何确定 。 5 利用压杆的稳定条件可以解决哪些类型的问题？试说明步骤。 6 何谓稳定系数？它随哪些因素变化？为什么？ 7 提高压杆的稳定性可以采取哪些措施？采用优质钢材对提高压杆稳定性的效果如何？ 习题 1 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪一根杆最容易失稳？哪一根杆最不容易失稳？ 2 图示压杆，材料为Ｑ235钢，横截面有四种形式，但其面积均为3.2×103ｍｍ2。试计算它们的临界力，并进行比较。已知弹性模量Ｅ＝200ＧＰａ，ａ＝240ＭＰａ，ｂ＝0.00682ＭＰａ。 题1图题2图
3 图示压杆的横截面为矩形，ｈ＝60mm，ｂ＝40mm，杆长l＝2.4ｍ，材料为Ｑ235钢，Ｅ＝200GPa。杆端约束示意图为：在正视图（a）的平面内两端为铰支；在俯视图（b）的平面内，两端为固定。试求此杆的临界力。 4 已知柱的上端为铰支，下端为固定，外径Ｄ＝200ｍｍ，内径ｄ＝100ｍｍ，柱长l ＝9ｍ，材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ。试求柱的许可荷载[Ｆ]。 题3图题4图 5 两端铰支工字钢受到轴向压力Ｆ＝400ｋＮ的作用，杆长l＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，试选择工字钢的型号。 6 压杆由两根∟140×12的等边角钢组成，如图示，杆长ｌ＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，两端固支。承受的轴向压力为Ｆ＝850ｋＮ。试对压杆进行稳定性校核。 7 图示一简单托架，其撑杆ＡＢ为圆截面木杆，已知ｑ＝50ｋＮ/ｍ，许用应力[σ]＝11ＭＰａ，ＡＢ两端为柱形铰，试求撑杆所需的直径ｄ。 题6图题7图 8 图示结构中，ＡＢ为刚性梁，Ａ端为水平链杆，在Ｂ点和Ｃ点分别与直径ｄ＝40ｍｍ的钢圆杆铰接。已知ｑ＝35ｋＮ/ｍ，圆杆材料为低碳钢，[σ]＝170ＭＰａ。试问此结构是否安全？ 9 图示结构中钢梁ＡＣ及柱ＢＤ分别由№22ｂ工字钢和圆木构成，均布荷载集度ｑ＝8ｋＮ/ｍ。梁的材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ；柱的材料为杉木，直径ｄ＝160ｍｍ，[σ]＝11ＭＰａ，两端铰支。试校核梁的强度和立柱的稳定性。
09工程力学答案第11章压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故
第十三章 压杆稳定 §13.1 压杆稳定的概念 构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定 直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲） 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力 压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。 §13.2 两端铰支细长压杆的临界压力 在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。 图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr = 代入挠曲线近似微分方程，即EI M(x) -y d 2 2=dx 得： EI F k k dx cr y ,0y y d 2 22 2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x 求得 ： 0A s i n ,0==kx B 解得： ),2,1,0(????==n l n k π2 22F l EI n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷 2 2F l EI cr π= 上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I
§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。 解：根据欧拉公式 239412 22 20010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-????===?? 此时横截面上的正应力 3 cr P 26 424.21077MPa 2010 F A σσπ-??===≤?? 图 11-8
第10章压杆稳定 教学目的：深入理解弹性平衡稳定性的概念；熟练应用压杆的临界压力公式，掌握杆端约束对临界力的影响；压杆的分类与临界应力曲线；掌握压杆 稳定性计算的方法。 教学重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教学难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：稳定的概念；两端铰支细长压杆的欧拉临界力；杆端约束的影响；临界应力总图；压杆稳定性计算。 教学学时：4学时。 教学提纲： 10.1 压杆稳定的概念 在第2章中，曾讨论过受压杆件的强 度问题，并且认为只要压杆满足了强度条 件，就能保证其正常工作。但是，实践与 理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是 正确的，对细长压杆不能应用上述结论， 因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是 因为强度不够，而是由于出现了与强度问 题截然不同的另一种破坏形式，这就是本图10－1 章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图10-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图10-1a所示的
同样粗细而比较长的杆件(图10-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图10-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图10-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图10-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图10-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图10-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图10-5b所示，当用外
第10章压杆稳定 学习目标： 1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算； 2．理解压杆的临界应力总图； 3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。 对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。 第一节压杆稳定的概念 在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。 一、问题的提出 工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。 这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。 二、平衡状态的稳定性
压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。 如图1 10-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图) -所示)。当轴向压力达到某一值时，加干扰力杆件变弯， 10a (1 而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡，不再恢复到原来的直线状态(如图) -所 10b (1示)，说明压杆处于不稳定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值时，压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态下平衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 F表示。它是压杆保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一 cr 个具体的压杆(材料、尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 F是一个确定的数值。 cr 压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受的实际压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的平衡状态是稳定的还是不稳定的。 10- 图1 工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆，自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 同一压杆的平衡是否稳定，取决于压力F的大小。压杆保持稳定平衡所能承受的最大
09 工程力学答案第11 章压杆稳定
11-1两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量 E=200GPa 试计算其临界荷载。 (1) 圆形截面，d 25mml 1m ； ( 2)矩形截面h 2b 400ml 1m ；( 3) 16号工字钢，I 2m 故采用欧拉公式计算其临界力: (2) 矩形截面 h 2b 400ml 1m 界力。故 (1)圆形截面，d 25mml 1m : F C r 2 EI 2 2 9 0.025 200 10 64 ——N 37.8kN 12 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 1时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先 失稳 I min(l y , l z ) I y 2 0.04 0.02 故： 12 P cr 卡 2 200 109 °.。4 °.°2 2 12 N 52.7kN 12 (3) 16号工字钢，I 2m 查表知：l y 93.1cm 4 4 ,l z 1130cm ， 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 min(l y ,l z ) I y 93.1cm ，故:P 軍 2 200 10 ： 93. 1 10 8 N 459.4kN I 2 22 11-3有一根30mn￥50mm 的矩形截面压杆，一端固定, 另一端铰支，试问压杆多长时可以用 欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量 E=200GPa 比例极限oP=200MPa 。 解: (1)计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P 2 9 200 10 ----------- 6 99.35 200 106 (2) 矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P 可米用欧拉公式计算临 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆, P 2 E 2 E T P P
第十一章 压杆稳定 11-1 图示压杆在主视图a 所在平面内，两端为铰支，在俯视图b 所在平面内，两端为固定，材料的为Q235钢，弹性模量GPa 210=E 。试求此压杆的临界力。 (a ) (b ) 解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 6.1386240 323212 13=?==?= =h l bh bh l i l a a a μλ 在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为 9.1034240 3312 5.03=?=== =b l bh hb l i l b b b μλ ∵ 100p ≈>>λλλb a ，∴为大柔度压杆，且失稳时在主视图平面内 失稳 故压杆的临界力为 kN 9.258N 40606.1381021023 222cr =????= =πλπA E F a 11-2 两端固定的矩形截面细长压杆，其横截面尺寸为 m m 60=h ，m m 30=b ，材料的比例极限MPa 200p =σ，弹性模量GP a 210=E 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。 3 2123 min min b bh hb A I i === 欧拉公式适用于max λp λ≥，即 m i n m a x i l μλ=p σπ E ≥ 由此得到 =≥P E i l σμπm i n m 76.1m 10 200102105 .0321030326 9 3p =?????= -π σμπE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l 1
[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。 2