函数的概念,三要素的求法
一、函数的概念：
1． 函数的概念：
函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：y = f (x )，x ∈A .
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.
（2）函数的表示方法
1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
（3）典型例题：
1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同
2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )
A B C D
3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）
A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B ．函数的定义域和值域一定是无限集合
C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .
5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.
2.映射
x y o x y o x y o x y o
映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平
方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一
性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B
的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射
辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即
A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；
映射观点下的函数概念
如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).
例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？
（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.
（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.
（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.
（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.
（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射
.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？
图1-2-2-21
“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.
例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：
⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；
⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；
⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00
≤α≤900
}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.
二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则
（a ）函数定义的理解.
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
(b) 区间的概念
（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示；（2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；
（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；
（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).
1.定义域的求法：
例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？
（1）1
()2
f x x =-；
（2）()32f x x =+；
（3）1
()12f x x x
=++-.
（4）3
212
+=x y
（5）1
||1
42-+
-=
x x y
（6）|
|1
3x x x y +-=
求函数的定义域的类型： 一、 含分式的函数
在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1 求函数f(x)=21
1
x x -+的定义域．
二、 含偶次根式的函数
注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况. 例1 求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.
三、 复合型函数
注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.
例1 求函数y ＝23-x ＋
3
3
23-+x x ）（的定义域．
练习：
1.求下列函数的定义域
（1）21
12y x =-+；
（2）22
4
x y x -=
-； （3）1
||
y x x =+；
（4）142y x x =-+-+； （5）21
4||3
y x x =-+-；
（6）3y ax =-(a 为常数).
2.（1）已知函数f (x )的定义域为(0, 1)，求f (x 2)的定义域. （2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x )的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x 2 – 2)的定义域.
抽象函数 （一）、已知的定义域，求的定义域， 其解法是：若
的定义域为
，则
中
，从中解得的取值范围即为
的
定义域。 例1. 设函数的定义域为
，则
（1）函数的定义域为________。
（2）函数的定义域为__________。
练习
1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.
2已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1x 2
1
(f -的定义域是________。
3设函数)x (f y =的定义域为),4[A +∞=，给出下列函数：)4x (f y ),4x 2(f y 2=-=，)x
16
(f y ),x 2(f y -==，其
定义域仍是A 的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4．（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是B
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ． [0,1)(1,4]
D ．(0,1)
（二）、已知的定义域，求的定义域。
其解法是：若的定义域为
，则由
确定
的范围即为
的定义域。
例 2. 已知函数
的定义域为
，则
的定义域为________。
练习
1已知函数)4x 2(f +的定义域为（0，1），则函数)x (f 的定义域是________。
2已知f(2x-1)的定义域为[-1，1]，求)x (f 的定义域
（三）、已知的定义域，求
的定义域。 其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
例 3. 函数
定义域是
，则
的定义域是（ ）
A.
B.
C. D.
练习
1函数f(2x-1)的定义域为[1,3]，求函数f(x 2+1)的定义域.
2已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
注f(x)定义域???????←???→
?∈∈的范围
求根据解)()(1x g D x D
x g f[g(x)]的定义域为D 1
（四）、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例 4. 已知函数的定义域是，求的定义域。
练习
1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4
1(-?x f 的定义域。
2．（2006年湖北卷）设()x x x f -+=22lg
，则??
?
??+??? ??x f x f 22的定义域为 （B ）
A. ()()4,00,4 -
B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
2.求函数值域的方法：
（1）直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2
-≥}；
当a<0时，值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≤}
（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域. 例：求下列函数的值域：
（1）y=x 2-4x+5； （2）y=x 2-4x+5，x ∈[1,4]； (3) y=x 2
+2x+4, x ∈[0,+∞)
（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(>+=k x
k
x y ，用公式来求值域； 例：求下列函数的值域： （1）y=1x x +,（x>0）； （2）y=41x x +,（x ≠0）； （3）y=9
x x
+,（0＜x ≤2)；
（4）y=x(6-x)； （5）y=212(4)4
x
x x ≥+,
（4）不等式性质法
例：求下列函数的值域：
（1）y=262x +； （2）y=222410
22
x x x x ++++； （3）y=62sin 1x -
（4）y=10-216x -；
（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d
cx b
ax y ∈++=
或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域. 例：求下列函数的值域：
（1）y=2sin 3sin x x +； （2）y=2
22
x x +；
（6）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 例：（1）41y x x =+-；（2）21y x x =+-
1.（1）已知f (x ) = 2x + 3，求f (1)，f (a )，f (m + n )，f [f (x )].
2. （1）已知函数
f (x ) =1,(0),
(0)0,(0)x x x x π+>??
=??
， 则f {f [f (–1)]} = .
（2）在函数
f (x ) =22,(1),
(12)2,(2)x x x x x x +≤-??
-<
中，若f (x ) = 3，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1或3
2
C ．±3
D ．3
求函数的解析式——求解析式的方法 1、整体代换（配凑法） 2、换元法（ 注意新元的取值范围）
3、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
4、构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）
5、赋值法
例题解析：
题型一、代入法求解析式
例1 已知2()357f x x x =++,求(21)f x +的解析式.
练习：1、已知()21f x x =+，2,0
()1,0
x x g x x ?≥=?-
题型二、换元法
例3、已知2
211(),11x x f x x
--=++,求()f x 的解析式
练1、已知2(1sin )sin cos f x x x -=-,求f(x)的解析式
题型三、配方法求函数解析式
例2、已知(1)2f x x x +=+,求f(x)及f(x+1)的解析式。
练、已知3311
()f x x x x
+=+,求f(x)的解析式
题型四、待定系数法
例4、已知()31,()[()]23f x x g x f g x x =-=+为一次函数，,求()g x 的解析式
练1、已知()f x 为一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。
2、已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图像过原点，求()g x ；
3、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；
题型五、抽象函数的解析式的求解.
例、若函数()f x 满足1
2()()3f x f x x
+=,求()f x 的解析式。
练1、已知22(43)(34)2()af x bf x x a b -+-=≠，求()f x 的解析式。
2、 已知2 f （x ）-f 1x ??
???
= 3x ，求函数f （x ）的解析式
赋值法求解析式
例10.设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++求f （x ）的解析式.
变式1. 已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1， 求f （x ）的解析式.
练习：
1、已知2()91,()f x x g x x =+=,求满足[()][()]f g x g f x =的x 的值。
2、已知二次函数()F x ，其图像的顶点是(1,2)-，且经过原点，求()F x
3、已知()f x 为二次函数,若(0)0f =且(1)()1f x f x x +=++,求函数()f x 的解析式。
4、设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--,且图象在y 轴上的截距为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数的解析式
5．若12)1(2
+=+x x f ，求)(x f
6．若一次函数)(x f 满足x x f f 21)]([+=，求)(x f
7. 已知f (x ) = x 2 + 1，则f (3x + 2) = ；
课堂检测 练习：
1.下图中可作为函数y = f (x )的图象是（ ）
2 函数||
x y x x
=+
的图象为下图中的（ ）
3．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴3
)
5)(3(1+-+=
x x x y ，52-=x y ；
⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(，2)(x x g =
；
⑷343()f x x x =-，3()1F x x x =-； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵
B ．⑵、⑶
C ．⑷
D ．⑶、⑸
4．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2
5．已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*
,,a N x A y B ∈∈∈
使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5
6．已知2
2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
，若()3f x =，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1或32
C ．1，3
2
或3± D ．3
6.求函数3
1
()1
x f x x -=
+的定义域。
7．求函数12++=
x x y 的值域。
8．12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，
求()y f m =的解析式及此函数的定义域
9．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。