第四章：《圆》
一、知识回顾
圆的周长：C=2 n r或C= n d、圆的面积：S= n r2
圆环面积计算方法：S=冗R2-n r2或S= n(R2-r2) (R是大圆半径，r是小圆半径)
二、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：至V定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点0为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：至V角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 d r点C在圆内;
2、点在圆上 d r点B在圆上;
3、点在圆外 d r点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点;
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;
2、直线与圆相切 有一个交点;
3、直线与圆相交
四、圆与圆的位置关系
外离（图1
）
外切（图2） 无交点 有一个交点 d d R R r ； r ； 相交（图3）
有两个交点 R r d 内切（图
4） 有一个交点 d R r ；
d r
有两个交点;
R
无交点
5
）
内含
R
(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;
(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出
其它3个结论，即:
中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即: 在O O 中，：AB //CD
???弧AC 弧 BD
六、圆心角定理
顶点到圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此 定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论, 即：① AOB DOE :② AB DE ;
③OC OF ;④弧BA 弧BD
七、圆周角定理
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的
即：??? AOB 和 ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角
AOB 2 ACB
①AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC 弧AD
角的一半
2、圆周角定理的推论:
推论1 :同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 的弧是等弧；
即：在。O中，??? C、D都是所对的圆周角
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径。
即：在。O中，：AB是直径或T C 90
??? C 90 /-AB 是直径
推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形。即：在△ ABC 中，：0C OA OB
? △ABC是直角三角形或C 90
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角即：在O 0中，
???四边形ABCD是内接四边形
C BA
D 180
对的弧是半圆,
三角形是直角相等的圆周角所对
DAE C
九、切线的性质与判定定理
(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：：MN OA 且MN 过半径OA
外端
???MN 是。O 的切线
(
)
(2) 性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)?
亠
MAN
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切 点。
推论2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个
十、切线长定理 切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角
即：：PA 、PB 是的两条切线
???PA PB P0平分 BPA
1 、圆幕定理
(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘
B D 180
积相等。
R
即：在。O 中，???弦AB 、CD 相交于点P ,
???PA PB PC PD
(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直 线段的比例中项。
即：在O O 中，???直径AB CD ,
2
? ??CE AE BE
(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在O O 中，：PA 是切线，PB 是割线
2
PA 2
PC PB
(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等(如上图)。 即：在O O 中，：PB 、PE 是割线
?PC PB PD PE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这 如图：
0Q 2垂直平分AB 。
即：TO O i 、O O 2相交于A 、B 两点
???O 1O 2垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
(1 )公切线长：Rt OQC 中，AB 2 CO ； QO 22
径所成的两条
线，切线长是这
(2)外公切线长：CO?是半径之差；内公切线长：CO?是半径之和十
四、圆内正多边形的计算
(1 )正三角形
在。O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行:
OD : BD :OB 1: .3:2 ;
(2 )正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，
OE : AE : OA 1:1: , 2 :
(3 )正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，
AB : OB: OA 1:、、3:2.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：(1 )弧长公式：I n R 180
(2 )扇形面积公式:
360 1 -IR 2
n：圆心角R :扇形多对应的圆的半径I :扇形弧长S :扇形面积
2、圆柱:
(1) A圆柱侧面展开图
2 % 2S底=2 rh 2 r 底面圆周长
母线长
C
1