江苏省徐州市九校2020-2021学年高一上学期期中联考数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}{}1,2,4,2,4A B ==，则A B =（ ）
A ．{}2
B ．{}1,2,4
C ．{}1,2,4,6
D ．{}2,4
2．函数()()0
2
f x x =-的定义域为 （ ） A ．[)1,2- B ．[)1,-+∞
C ．()
()1,22,-+∞ D ．[
)()1,22,-?+∞ 3．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不
必要条件
4．已知236m n ==，则11
m n
+等于 （ ） A ．-1
B ．2
C ．3
D ．1
5．若()()2
2
1120x f x x x --=≠，那么
13f ??
???
等于（ ） A ．8
B ．3
C ．1
D ．30
6．函数1y ax =-+与2y ax =在同一坐标系中的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在R 上定义运算:a b ad bc c d ??=-
??? ，若不等式1211
x a a x --??
≥ ?+?? 对任意实数x 恒
成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．12
-
B ．3
2
-
C ．
12
D ．
32
8．已知()26,1,1x ax x f x a
x x ?---≤?
=?>?
?
是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,2-- B ．7
,22??-- ???
C ．7,22??--????
D ．(]4,0-
二、多选题
9．下列函数()f x 中，满足对任意()12,1,x x ∈+∞，有()()
1212
0f x f x x x -<-的是（ ）
A ．()()2
212f x x =--- B ．()31f x x
=
- C ．()11f x x
=+
D ．()4f x x =-
10．命题“[]2
1,2,0x x m ?∈--≥”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．5m ≤
B ．4m ≤
C ．3m <
D ．4m <
11．已知一元二次方程()()2
1
102
x m x m Z +++
=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（ ）
A ．-2
B ．-3
C ．-4
D ．-5
12．设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）
A ．
11
a b
+有最小值4 B 1
2
C D ．22a b +有最小值
12
三、填空题
13．若()()()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a =__________．
14．已知命题“2
,40x R x ax ?∈++>”是假命题，则实数a 的取值范围为__________．
15．已知13log 7,134b
a ==，用,a
b 表示28log 52为__________．
16．已知为正实数，则163y x
x x y
++的最小值为__________．
四、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）
)
()
310
2
3
40.064-
-+；
（22
log 3
3718182log 7log 9log 6log 3-++
18．已知函数y 的定义域为集合A ，函数2
2,y x x x R =++∈的值域为集
合B .
（1）求,A B ；
（2）求,R A B A C B ??.
19．设集合{}2
|450A x x x =--≤，集合{}
()2
2
|2100B x x x m m =-+-≤>.
（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求m 的取值范围； （2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求m 的取值范围. 20．已知二次函数()f x 满足()()()1269f x f x x x R +--=-∈，且()02f =.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]0,5上是单调函数，求实数t 的取值范围. 21．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块
矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为S （m 2）．
（1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．
22．已知函数()2
1f x ax bx =+-.
（1）若不等式()0f x >的解集是{}|37x x <<，求,a b 的值；
（2）当3b =时，若不等式()0f x ≤对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围； （3）当1a =时，设()()2g x f x b =-，若存在[]12,0,1t t ∈，使得()()120g t g t <成立，求b 的取值范围.
参考答案
1．B 【分析】
直接利用并集运算求解即可. 【详解】
集合{}{}1,2,4,2,4A B ==，故A B ={}1,2,4.
故选：B. 2．C 【分析】
根据题意可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】 对于函数()()0
2
f x x =
-， 有1020x x +>??-≠?
，解得1x >-且2x ≠.
因此，函数()()0
2
f x x =+-的定义域为()()1,22,-+∞.
故选：C. 3．C 【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即2
1
x a
=-
，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而2
1x a
=-，所以0a <，
由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选C. 4．D 【分析】
利用对数和指数互化，可得2log 6m =，3log 6n =，再利用6611
log 2,log 3m n
==即可求解.
【详解】
由236m n ==得：2log 6m =，3log 6n =， 所以
66611
log 2log 3log 61m n
+=+==， 故选：D 5．A 【分析】
令12x t -=，得()112t
x t -=≠，则()()()
2
2
411t f t t --=-，即可得出结果. 【详解】
由于()()2
2
1120x f x x x --=≠，
令12x t -=，得()112
t
x t -=
≠， 则()()()2
222
11412112t t f t t t -??- ?--??==
--??
???
， 当1
3
t =
时， 2
21411383113f ??-- ?????== ?????
- ???
， 故选：A. 6．D 【分析】
对各个选项逐个分析判断 【详解】
解：由于2
y ax =的图像的顶点坐标为(0,0)，所以A ，B 选项错误；
对于C ，若2y ax =的图像是正确的，则0a <，所以1y ax =-+是增函数，所以C 错误；
对于D ，若2
y ax =的图像是正确的，则0a >，所以1y ax =-+是减函数，且与y 轴交于(0,1)，
所以D 正确， 故选：D 7．D 【分析】
根据定义,不等式转化为221x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，转化为求2
1y x x =-+的
最小值，再解不等式. 【详解】
由定义知，不等式1211x a a x --??≥ ?
+??
等价于()22
21x x a a ----≥，所以221x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立.因为2
21331244x x x ?
?-+=-+≥ ??
?，所以
234a a -≤
，解得1322a -≤≤ ，则实数a 的最大值为3
2
.
故选：D. 【点睛】
本题考查函数新定义，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题型. 8．C 【分析】
根据分段函数单调性列出不等式组即可得解. 【详解】
由题：()26,1,1x ax x f x a
x x ?---≤?
=?>?
?是R 上的增函数， 所以12
07a
a a a
?-≥???
故选：C 【点睛】
此题考查根据分段函数的单调性求解参数的取值范围，易错点在于容易漏掉考虑1x =处左
右函数值的情况. 9．AC 【分析】
由题意可得只需满足函数在区间(1,)+∞上单调递减即可. 【详解】
对任意12,(1,),x x ∈+∞有
()()
1212
0f x f x x x -<-，
则函数在区间(1,)+∞上为减函数，
对于A ，()()2
212f x x =---，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A 可选；
对于B ，()31f x x =
-，根据幂函数的性质，函数在区间(1,)+∞上为增函数，故B 不可选； 对于C ，()1
1f x x
=+，函数在区间(1,)+∞上为减函数，故C 可选；
对于D ，()4,4
44,4x x f x x x x -≥?=-=?
-
，显然函数在区间(1,)+∞上不是单调函数，故D 不可选； 故选：AC . 【点睛】
关键点睛：熟记二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性是解题的关键. 10．CD 【分析】
由命题“[]2
1,2,0x x m ?∈--≥”是真命题，可得()
2
max
m x
≤，即4m ≤，再利用充分不必
条件的定义进行判断即可 【详解】
解：对于命题“[]2
1,2,0x x m ?∈--≥”是真命题，可得()
2
max
m x
≤，
因为[1,2]x ∈-，所以2
[1,4]x ∈， 所以4m ≤，
所以命题“[]2
1,2,0x x m ?∈--≥”是真命题的一个充分不必要条件是3m <或4m <，
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：此题考查充分条件和必要条件的应用，解题的关键是根据命题为真命题求出m 的取值范围，进而可得答案，考查分析问题的能力，属于中档题 11．BC 【分析】
设()()2
112f x x m x =+++，利用已知条件得到()()()00
1030
f f f ?>??
，求解即可得出结果.
【详解】
设()()2
112
f x x m x =+++
， 由12013x x <<<<，
可得()()()()10
2001
10110
2301
93102f f
m f m ?>??>?
???
?+++>??
， 解得：255
62
m -
<<-， 又因为m Z ∈， 得3m =-或4m =-， 故选：BC. 12．ACD 【分析】
根据基本不等式及其变形逐项分析，由此判断出正确的选项. 【详解】 A ．(
)1111224b a a b a
b a b a b ??
+
=++=++≥+= ???，
取等号时12a b ==，故正确； B
1=22
a b +≤
，取等号时12a b ==
1
2，故错误；
C
2
12a b =++=+≤，
≤，取等号时1
2
a b ==，故正确；
D ．()2
2
2
11
=2121242
a b ab ab a b +-=-≥-?
+=，取等号时12a b ==，故正确，
故选：ACD. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13．2 【分析】
利用偶函数的定义求解即可． 【详解】
()()()()2222f x x x a x a x a =-+=+--，定义域为R
由()()f x f x -=可得
()()222222x a x a x a x a ---=+--恒成立
即()20a x -=，解得2a = 故答案为：2 14．4a ≥或4a ≤-， 【分析】
若命题“2
,40x R x ax ?∈++>”是真命题，则?<0，求出a 的取值范围，再求补集即可.
【详解】
若命题“2
,40x R x ax ?∈++>”是真命题，
则2440a ?=-?<， 解得：44a -<<，
若命题“2
,40x R x ax ?∈++>”是假命题，
则4a ≥或4a ≤-，
故答案为：4a ≥或4a ≤-， 15．
1
b a b
++ 【分析】
由指数与对数运算的关系可得13log 4b =，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解. 【详解】
由题意，13134log 4b
b =?=，
利用换底公式得：13lg 7
log 7lg 7lg13lg13
a a =
=?=， 132lg 2
log 42lg 2lg13lg13
b b =
=?=， 所以28lg132lg 252lg 72lg lg52lg13lg131
log lg 28lg 3lg 2113b b a b a b
++=
=+=+=++. 故答案为：1
b a b
++. 16．5 【分析】
根据题意，,x y 为正实数，化简1616
33y x y y x x y x
x
+=+
++，令y t x =，则1616161633
3333y x y t t y x x y x t t x
+=+=+=++-++++，利用基本不等式的性质即可得出最小值. 【详解】
,x y 为正实数，
则161633y x y y x x y x
x
+=+
++
， 令0y
t x
=>， 则161616333y x y t y x x y x t x
+=+=+
+++
，
由于0t >，30t +>，
则1616
333533
t t t t +
=++-≥=++， 当且仅当16
33
t t +=+时，即：1t =时取等号， 所以
1y
x y x
=?=， 则
163y x x x y
++的最小值为5； 故答案为：5. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（1）7π-，（2）0 【分析】
（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解 【详解】
解：（1）
)
()
3
10
2
3
40.064-
-++()
1
33
5180.4
2
π-=-++-
1
25752π-??
=-++- ???
7π=-
（22
log 3
3718182log 7log 9log 6log 3-++
18lg 7lg9log 18lg3lg 7
=
?+ lg 9
11lg 3=-
+ 2lg 3
110lg 3
=-
+= 18．（1）{|2A x x =≥或}0x ≤，7|4B y y ?
?=≥????；（2）(]7,0,4A B ???=-∞?+∞????
，
(],0R A B ?=-∞．
【分析】
（1）令220x x -≥可求得集合A ，由二次函数的值域可得集合B ； （2）利用交并补的定义求解即可． 【详解】
（1）令220x x -≥，解得2x ≥或0x ≤，则集合{|2A x x =≥或}0x ≤；
2
21772244y x x x ??=++=++≥
???，则集合7|4B y y ??=≥????； （2）(]7
,0,4A B ???=-∞?+∞????
7,
4
R B
，(],0R
B A ∴?
=-∞．
19．（1）[)4,+∞；（2）(0，2]. 【分析】
（1）利用不等式的解法分别化简A ，B ，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，可得A B ?，根据包含关系列不等式，进而得出结论；
（2）由x A ∈是x B ∈的必要条件，可得B A ?，根据包含关系列不等式，进而得出结论． 【详解】
（1）2450x x --，化为：(1)(5)0x x +-，解得：15x -≤≤．
[1A ∴=-，5]．
011m m m >?-<+，
因为22210x x m -+-，
[(1)][(1)]0x m x m ∴---+，解得11m x m -+． [1B m ∴=-，1]m +．
若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件
A B ∴?，
∴11150m m m -≤-??
+≥??>?
， 解得：4m ≥．
[)4,m ∴∈+∞， （2）
x A ∈是x B ∈的必要条件，
B A ∴?，
∴11150m m m --??
+??>?
， 解得：02m <．
(0m ∴∈，2]
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是将“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件转化为A B ?，将x A ∈是
x B ∈的必要条件转化为B A ?.
20．（1）()2
22f x x x =-+；（2）1t ≤-或4t ≥.
【分析】
（1）利用待定系数法，设()()2
0f x ax bx c a =++≠，利用已知条件列方程组，解方程组
即可求出,,a b c 的值，进而得出解析式；
（2）()()2
222x x x t g -++=，()g x 的对称轴为1x t =+，根据二次函数在区间[]0,5上
是单调函数，可得10t +≤或15t +≥，即可求解. 【详解】
设()()2
0f x ax bx c a =++≠，
则()02f c ==，所以()2
2f x ax bx =++，
()()()()22
11222269a x b x a x b x x ++++-----=-，
整理得：()243369a x b a x ++-=-，
所以246
339a b a +=??-=-?
，解得：12a b =??=-?，
所以()2
22f x x x =-+，
（2）()()2
222x x x t g -++=，()g x 的对称轴为1x t =+，
若()g x 在区间[]0,5上是单调递增，则10t +≤，解得：1t ≤-， 若()g x 在区间[]0,5上是单调递减，则15t +≥，解得：4t ≥， 所以实数t 的取值范围是1t ≤-或4t ≥. 【点睛】
方法点睛：求函数解析式的方法
（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ????的表达式求()f x 的解析式的问题，令
()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ????中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元
的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将()f g x ????右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 21．（1）()9007200822916S x x x x ??
=--=--+
???
，()8,450x ∈．（2）当矩形温室的室
内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2． 【详解】
试题分析：（1）建立实际问题函数解析式，关键读懂题意即可，本题题意明确，图形简单，三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积：
()9007200822916S x x x x ??=--=--+ ???
，根据边长为正得其定义域为()8,450
（2
）这是一个积为定值的函数，可根据基本不等式求最值：
72002240x x +
≥=当且仅当60x =时等号成立． 试题解析：（1）由题设，得
()9007200822916S x x x x ??=--=--+ ???
，()8,450x ∈．
（2）因为8450x <<
，所以72002240x x +≥=， 当且仅当60x =时等号成立． 从而676S ≤．
答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2． 考点：函数解析式，基本不等式求最值 22．（1）110
,2121a b =-=；（2）4
9a ≤-；（3
）4,0). 【分析】
（1）先依题意得210+-=ax bx 的根是3和7，再利用根与系数的关系求得参数即可； （2）分类讨论，结合一次函数的性质和二次函数的性质直接求解即可；
（3）对函数的解析式进行配方，利用一元二次方程根的分布性质情况直接求解即可. 【详解】
（1）依题意，()2
10f x ax bx =+->解集是{}|37x x <<，故0a <且210+-=ax bx 的
根是3和7，所以37137b
a a
?-=+????-=??? ，解得110
,2121a b =-=；
（2）当3b =时，()2
310f x ax x =+-≤对一切实数x 恒成立，
显然，0a =时不满足题意；
0a ≠时，根据二次函数图象特征可知，0a <且=940a ?+≤，故4
9
a ≤-，
a 的取值范围4
9a ≤-
； （3）当1a =时，()()2
22
2212412b b g x f x b x b x bx b ??=-==+--- ?+??
--是开口向上
的抛物线，若存在[]12,0,1t t ∈，使得()()120g t g t <成立，即函数()g x 在区间[]0,1内的
值有正有负，所以必须有2
2104
b b ++>，解得4b <-或4b >.
①若(1)0g >，即0b ->，亦即0b <，则对称轴02b
x =->，于是必须满足12
b -<，所以
20b -<<，故40b <<；
②若(1)0 x 02 =-<，但(0)120g b =--<，故函数()g x 在区间[]0,1内恒负，不满足条件. ③若(1)0g =，即0b =，则2 ()1g x x =-，函数()g x 在区间()0,1内恒负，不满足条件. 综上，b 的取值范围是4,0). 【点睛】 方法点睛： 二次函数()2 0f x ax bx c =++>在R 上恒成立，等价于0 0a >?? ? ； 二次函数()2 0f x ax bx c =++<在R 上恒成立，等价于00a ； 二次函数()2 0f x ax bx c =++≥在R 上恒成立，等价于0 a >?? ?≤?； 二次函数()2 0f x ax bx c =++≤在R 上恒成立，等价于0 0a .
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