专题 03 解三角形问题
1．（2018 新课标全国Ⅱ理科）在 △ABC 中， cos C 5 ， BC 1， AC 5 ，则 AB 25
A． 4 2
B． 30
C． 29
D． 2 5
答案 A
解析因为
所以
，选 A. 名师点睛解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转 化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2．（2018 新课标全国Ⅲ理科） △ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 的面积为
a2 b2 c2 ，则 C 4
A． π 2
C． π 4
答案 C
B． π 3
D． π 6
解析由题可知
，所以
，由余弦定理
，得
，因为
，所以 ，故选 C.
3．（2018 新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 .
（1）求 cosADB ；
（2）若 DC 2 2 ，求 BC . 解析（1）在△ABD 中，由正弦定理得 BD AB .
sin A sin ADB
由题设知， 5 2 ，所以 sin ADB 2 .
sin 45 sin ADB
5
由题设知， ADB 90，所以 cos ADB 1 2 23 . 25 5
4．（2017 新课标全国Ⅱ理科）△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 sin A C 8sin2 B ．
2
（1）求 cos B ；
（2）若 a c 6 ，△ABC 的面积为 2 ，求 b ．
解析（1）由题设及 A B C ，可得 sin B 8sin2 B ，故 sin B 41 cos B ．
2
上式两边平方，整理得17 cos2 B 32cos B 15 0 ，解得 cos B 1(舍去)， cos B 15 ． 17
（2）由
cos
B
15 17
得
sin
B
8 17
，故
S△ABC
=
1 2
ac
sin
B
4 17
ac
．
又
S△ABC
=
2
，则
ac
17 2
．
由余弦定理及 a c 6 得：
b2 a2 c2 2ac cos B a c2 2ac 1 cos B 36 2 17 (1 15) 4,
2 17
所以 b 2 ．
名师点睛解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和
定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行
“边转角”“角转边”，另外要注意 a c, ac, a2 c2 三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题
者的青睐．
1．利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，结合三角函数及其他知识，考查三角形边、角、面积等 的相关计算在选择题、填空题、解答题中均可能出现. 2．解三角形问题一直是近几年高考的重点，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换 交汇命题逐渐成为高考的热点．
指点 1：利用正弦定理、余弦定理解三角形 利用正弦定理、余弦定理解三角形时，要数形结合，画图分析其中的边角关系，合理使用公式.如果式子中 含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考 虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.需注意：求角时要用“大边对大角” 进行取舍.
例 1 如图，在锐角
中， 为边 的中点，且
，
.
为
外接圆的圆心，且
（1）求
的值；
（2）求 的面积.
解析（1）由题设知，
，
∴
，
∴
，
.
（2）如图，延长 至 ，使
，连接
，
则四边形 为平行四边形，∴
，
在 中， 定理得，
，
，
，
，则
，∴由余弦
即
，解得
，∴
，
∴
.
指点 2：解三角形与其他知识的交汇
1．解三角形与三角函数的交汇，不仅要用到解三角形的相关知识，还要用到三角公式进行恒等变形，对学
生应用数学的思想进行分析与解决问题有较高的要求，因此是命题者非常喜欢的考查方式.
2．解三角形与平面向量及不等式的交汇，往往用到向量的数量积、长度及坐标表示及基本不等式，求面积
或其最值，要注意相关知识的综合应用.
例 2 已知 为△ABC 的内角，当 x 5π 时，函数 12
角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
取得最大值．△ABC 的内
（1）求 ；
（2）若 ， 解析（1）
，求△ABC 的面积．
．
由题设知
sin
5π 6
A
1，因为
，所以 ．
（2）根据正弦定理得 a 14 ，
，
．
sinA 3
因为
，所以
．
由余弦定理得
得
．
因此△ABC 的面积为
．
例 3 在△ABC 中，设内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,向量 m cosA,sinA ,向量
n ( 2 sinA, cosA), m n 2 . (1)求角 A 的大小 (2)若 b 4 2 ,且 c 2a ,求△ABC 的面积.
解析(1) m n 2 = cosA
2 sinA 2 sinA cosA2 = 4 2
2
cosA sinA
4
4cos
π 4
A
,
4
4cos
π 4
A
4,
cos
π 4
A
0,
又 A0, π ,∴ π A π ,则 A π .
4
2
4
(2)由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA ,即 a2
4
2
2
2
2a 2 4
2
2acos π ,
4
解得 a 4 2 ,∴ c 8,
∴ S△ABC
14 2
2 8
2 16 . 2
1．在△ABC 中,角
A．
的对边分别为 ,若
C． 答案 B
,且
,则
B．
D．
解析因为
,所以
.因为
,且
,所以由余弦定理可知,
,
解得
,即 .故选 B．
2．在△ABC 中，
，
，则角 的取值范围是
A．
0,
π 6
C．
π 6
,
π 2
答案 A
B．
π 4
,
π 2
D．
π 6
,
π 2
解析因为 AB BC ，所以
，所以
，
sinC sinA
又
，则 必为锐角，故
.
3．设△ABC 的三个内角
所对的边分别为
么△ABC 外接圆的半径为
A．2
C． 答案 D
解析因为
，所以
，如果 B．4 D．1
，
，且
，那
即
，所以 cosA b2 c2 a2 1 , A0, π ，所以
，
2bc
2
因为
，所以由正弦定理可得△ABC 的外接圆半径为 R 1 a 1 3 1 ，故选 D．
2 sinA 2 3
2
4．已知△ABC 中, A π ,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,点 D 在边 BC 上, AD 1,且 2
BD = 2DC, BAD = 2DAC ,则 sinB __________． sinC
答案 3 2
5．在△ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 2ccosB 2a b . (1)求角 C
(2)若△ABC 的面积为 S 3 c ,求 ab 的最小值. 2
解析(1)由正弦定理及已知可得 2sinCcosB 2sinA sinB,
则有2sinCcosB 2sinB C sinB ，2sinBcosC sinB 0,
B为三角形的内角,sinB 0,cosC 1 . 2
又 C为三角形的内角,C 2π . 3
(2) S 1 absinC 3 c,c 1 ab.
2
2
2
又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab,
a2b2 a2 b2 ab 3ab ， ab 12 ， 4
当且仅当 a b 时等号成立. 故 ab 的最小值为 12.
解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏17）（本小题满分12分） 如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ． 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠， CB AC CD ==， 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+． 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =． 12分 2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 （1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则 cos cos OA BAO θ = =∠， 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++-B A C D E B
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一：在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，ABC △a ． 例题二：如图，在ABC △中，π 4A ∠=，4AB =，BC =点D 在AC 边上，且1cos 3 ADB ∠=-． （1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积． 例题三： ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=．
（1）求B ； （2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积． 例题四：已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
例题一：【答案】（1）π3 A =；（2 ）a = 【解析】（1）由⊥m n ，可得0?=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+， ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2 A = ， ∵0πA <<，∴π3A =． （2 ）由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△，∴4bc =， 又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴a = 例题二：【答案】（1）3；（2 ） 【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3 ADB ∠=-， ∴sin 3ADB ∠=， 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠， ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=， ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=． ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ，sin CDB ∠= 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠， 得21179233 CD CD =+-??，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=． 例题三：【答案】（1）2π3 B =；（2 ）ABC S =△ 【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=， ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
解三角形高考真题(一)
解三角形高考真题（一） 一．选择题（共9小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A．B．C．D． 2．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．3 4．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）A． B．C．D． 6．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．15．在△ABC中，∠A=，a=c，则= ．16．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC= ． 17．在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ． 18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．19．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m． 20．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于． 21．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠
三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题
《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值 (4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A 专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b a c B C A -= -2cos cos 2cos . （1）求A C sin sin 的值； （2）若2,41 cos ==b B ，求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知 2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值； （2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 3.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π ，求A 的值； （2）若c b A 3,31 cos ==，求C sin 的值. 4.ABC ?中，D 为边BC 上的一点，5 3cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD . 5.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41 cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ?的周长； （2）求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241 b a c =. （1）当1,45 ==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围. 7.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值； （2）求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知 412cos -=C . （1）求C sin 的值； （2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长. 9.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 3,5522cos =?=A . （1）求ABC ?的面积； （2）若6=+c b ，求a 的值. 高考文科数学真题大全解 三角形高考题学生版 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 8．（2012上海）在ABC ?中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9.（2013天津理）在△ABC 中，∠ABC ＝π 4 ，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) 10.(2013新标2文) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝ π6，c ＝π 4 ，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 ＋1 C ．23－2 －1 11、(2013新标1文) 已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 12．（2013辽宁）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a ＞b ，则∠B ＝( ) 13．（2013山东文）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 D ．1 14．（2013陕西）设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 15、（2016年新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2 cos 3 A = ，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 16、（2016年新课标Ⅲ卷文）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于1 3 BC ,则sin A （A ）3 10 （B ）1010 （C ）55 （D ）31010 17、（2016年高考山东卷文）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ,则A = （A ） 3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论 解三角形(历届高考题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试） 1．（A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.（2007重庆理）在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c ,A =3 π ,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 4．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a c b +-=，则角B 的值为（ ） Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．6π或56π Ｄ．3 π 或23π 5．（2005春招上海）在△ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos = =，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若 a 、 b 、 c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ． 14 B ．3 4 C ．4 D ．3 7．（2005北京春招文、理）在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2 3 ，那么b =（ ） A ．2 31+ B ．31+ C ．2 32+ D ．32+ 二.填空题: （每小题5分，计30分） 9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝ 。 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= . 2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π 解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， 记→ → ?=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当时，求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π， （2） 【解析】 （1） ，π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当时，，∴. 当时，，∴. 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2），所以，得①， 由（1）得，所以. 在中，由正弦定理，得，即②， 联立①②，解得，，则，所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈，f（x）+m-2<0恒成立，求m取值范围． 【答案】 一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积. 解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ， 解三角形高考大题,带答案 1． (宁夏１7)(本小题满分1２分） 如图,ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ， 2AB =. （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； (Ⅱ）求AE ． 解:(Ⅰ） 因为 9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==, 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠.?6分 （Ⅱ）在ABE △中,2AB =， 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =.?12分 ２． （江苏1７)(１4分） 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ，BC ＝10km ，为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上（含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、ＢO 、ＯＰ,设排污管道的总长为y ｋm 。 （1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠B ＡＯ=θ(rad ），将y 表示成θ的函数关系式; ②设O Ｐ=x (k ｍ),将y 表示成ｘ的函数关系式; (２）请你选用（１)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (１）①由条件知P Ｑ垂直平分A Ｂ,若∠BA Ｏ=θ（rad ),则 cos cos OA BAO θ = =∠， 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B高中数学解三角形题型完整归纳
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