2009～2010学年第一学期高二调研测试
数学（文科）参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知i 为虚数单位，则2010
1i k k ==∑ ▲ .
2. 已知()sin f x x x =+，()f x '为()f x 的导数，则(0)f '= ▲ .
3. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(2)i 1i,(1i)x y x y ---=-++=则 ▲ .
4. 命题“()
π0sin 2
x x x ∀∈，，≤”的否定是 ▲
.
5. 不是有理数”时，“反设”步骤应写成： ▲ .
6. “sin α＝35”是“cos α＝4
5
”的 ▲ 条件(填“充分不必要”；“必要不充分”；“充要”；
“既不充分也不必要”之一)．
7. 函数32()391f x x x x =--+在区间[42-，]上的最大值是 ▲ .
8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m
的取值范围是 ▲ .
9. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，则
OA OB ⋅u u u r u u u r
= ▲ .
10. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3. 以线段AB 的中点为坐标原
点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），设双曲线 以A 、B 为左、右焦点，且过C ，D 两点，则此双曲线的标准 方程为 ▲ .
11. 已知直线l ，m ，平面,αβ，给出下列四个命题：
①若////l l αβαβ⊂，
，则； ②若//l l αβαβ⊥⊥，
，则； ③若////l m l m αα⊂，
，则； ④若l m m l m αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥I ，
，，，则. 其中真命题是 ▲ .（填上所有你认为正确命题的序号）
12. 设010211()sin ()()()()()()n n f x x f x f 'x f x f 'x f x f 'x n +====∈N L ，，，
，，,则2010()f x =
▲ .
13. 设等边三角形ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA
的距离分别为d 1，d 2，d 3，则d 1+d 2+d 3
；由以上平面图形的特性，类比空
间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四 个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1+d 2+d 3+d 4为定值 ▲ . 14. 正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影
所 构成的图形面积的取值范围为 ▲ . 【填空题答案】
1. 1i -+
2. 2
3. 2i
4. ()
π0sin 2x x x ∃∈>，，
5.
6. 既不充分也不必要
7. 6
8. ()
312
， 9. －3 10. 22
13y x -= 11. ①②④ 12. sin x - 13.
14. 12⎤⎥⎣⎦
，
二、解答题：本大题共6题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分14分）
已知命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q ：实数m 满足不等 式203m m +-≥. 若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数m 的取值范围.
【解】因为命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，
所以命题p 和q 中恰有一个是真命题. ………………………3分
p 是真命题2400 2.10m m m ⎧->⎪
⇔-<⇔>⎨⎪>⎩，
， ………………………6分
q 是真命题202 3.3m m m m +⇔⇔->-≥≤或 ………………………9分
若p 真q 假，则23m <≤；
若p 假q 真，则2m -≤. …………………… 12分
E
D
C
A 1
A B
B 1
C 1
E
D
C
A 1
A
B
B 1
C 1
F
综上所述，所求m 的取值范围是(](]223.-∞-U ，，
…………………… 14分
16. （本题满分14分）
已知复数z 使得2i 2i z z +∈∈-R R ，，其中i 是虚数单位.
（1）求z ；
（2）若复数2(i)z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 【解】（1）设i()z x y x y =+∈R ，，则2i (2)i z x y +=++，
因为2i z +∈R ，所以 2.y =- ………………………2分 又2i 224i 2i 2i 55
z x x x -+-==+∈--R ，所以x =4. ………………………6分
故42i z =-. ………………………7分 （2）因为a 为实数，且[]2
22(i)4(2)i (12+4)8(2)i z a a a a a +=+-=-+-，……… 11分 所以由题意得212408(2)0a a a +->⎧⎨->⎩
，，解得2 6.a <<
故实数a 的取值范围是（2，6）. …………………… 14分
17. （本题满分14分）
如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点． （1）求证：C 1E ∥平面A 1BD ； （2）求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BD . 【证明】（1）取A 1B 的中点F ，连EF ，DF ． 因为D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点， 所以 EF //=
12
B 1B //=
C 1
D ． 于是四边形EFDC 1为平行四边形，…………3分 所以 DF ∥C 1
E ．
因为 C 1E ⊄平面A 1BD ，DF ⊂平面A 1BD ， 所以 C 1E ∥平面A 1BD ．………………………6分 （2）因为ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，
