三角函数的应用题
一、【学习目标】
1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。
2、掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念，利用解直角三角形解应用问题。
3、学会测量底部可以到达的物体的高度。 二、【知识要求】
会利用解直角三角形的知识解决一般图形问题，并能掌握把一般三角形化为直角三角形的方法。 三、【例题分析】 第一阶梯
[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。
解：∵∠DAC=90° 由勾股定理，有 CD 2=AD 2+AC 2 ∵AD=3，DC=5 ∴AC=4 ∵∠B=30° ∴AB=2AC ∴AB=8
[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且AD=DC ，若tg ∠DAC=41
,
求tg ∠BAD 。
探索：已知tg∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD 的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：由于已知中的tg∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D 点作AC 的垂线。
又要求∠BAD 的正切值应已知Rt△BAD 的三边长，或两条直角边AB 、BD 的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC 的条件。由于AD=DC ，即∠C=∠DAC，这时也可 把正切值直接移到Rt△ABC 中。 解答：过D 点作DE⊥AC 于E ，
41DAC =∠tg 且
AE DE DAC =
∠tg
设DE=k ，则AE=4k
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C，AE=EC ∴AC=8k
∵
41
==
BC AB tgC
设AB=m ，BC=4m 由勾股定理，有
AB 2+BC 2=AC 2
∴
k m 1717
8=
k BC 1717
32=
∴
由勾股定理，有
CD 2=DE 2+EC 2
k CD 17=∴ k BD 1717
15=
∴
由正切定理，有
.
815
=∠∴=
∠BAD tg AB DB
BAD tg
[例3]如图，四边形ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。
探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB 应放在什么图形中。 点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，
所以可证△ABC 是Rt△，因此可求sinB 。
解：连结AC ∵∠D=90° 由勾股定理，有
AC 2=CD 2+CD 2
∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∵AB=13，BC=12
∴132=122+52
∴∠ACB=90° 由正弦定义，有
135
sin sin =
∴=
B AB A
C B
第二阶梯 解：过A 点作：AD⊥BC 竽D 点，设∠BAD=α ∵AB=AC
∴BD=CD=α
=∠=∠CAD BAD a
,2
[例1]如图，在河的对岸有水塔AB ，今在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，前进20米后到D 处，又测得A 的 仰角为45°，求塔高AB 。
探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C 、D 两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD 的长？
点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD 长，由于塔身与地面垂直，且C 、D 、B 三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。 解：根据仰角的定义，有 ∠ACB=30°，∠ADB=45°
又AB⊥CB 于B 。
∴∠DAB=45° ∴DB=AB 设AB=x
由正切定义，有
20)13(,20)13(.
=-∴=-=∴=∠=∠x CD x CD CB
AB
ACB tg DB AB ADB tg 及
解得)13(10+=x 即塔高)13(10+=AB
答：塔高AB 为)13(10+米。
第三阶梯
[例1]已知等腰三角形的顶点为A ，底边为a ，求它的周长及面积。
探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a ，
能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？ 点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，
再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知△ABC 中，AB=AC ，BC=a （如图）
根据正弦定义，有
αα
αsin 2.
sin 2sin 2sin a
AC a
a
AB AB
BD BAD =
===
∠同理即
∴AB+AC+BC=a+αsin a
由余切定义，有
DB AD BAD ctg =
∠
∴AD=αctg a
?2
∵
AD BC S ABC ?=
?21
∴αctg a S ABC
?=?42
注意：也可设∠BAC=α，则∠BAD=2α。
[例2]有一块矩形纸片ABCD ，若把它对折，B 点落在AD 上F 处，如果DC=6cm ，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，
求折痕CE 长。
探索：根据已知条件图形对折，B 点落在F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么
图形关系？另知DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问
题？
点拨：由于F 点的形成是因对折B 点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE 的长。 解：根据已知条件，有 △EBC≌△FEC
∴EB=EF ，BC=FC ，∠ECB=∠ECF
∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ ∴∠ECF=θ 由余弦定义，有 CF CD ADC =
∠cos
∵∠ADC=90°－2θ
∴θ2sin CD CF =
由余弦定义，有
CE CF FCE =∠∴cos
θθcos 2sin 6
=
∴CE
[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°，
又航行了半小时，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离，（结果不取近似值）
图6-5-5
思路分析：
易知ΔACD 是等腰直角三角形，要求AD ，不能利用ΔACD 直接求得，由于,102
1
20=?
=BD 图形中再没有其他的直角
三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD 于E ，只要求出CE ，就可能以求出AD ，借助两个直角三角形（ΔBCE 和
ΔDCE ）中，BE 、DE 与BD 的关系以及BE 与CE 之间的关系就可求CE 。 [解]
作CE⊥AD，垂足为E ，设CE=x 海里 ∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，
∴CE=AE=DE=x 。
在RtΔBCE 中，∠CBE=90°-30°=60°，
∴,3
360cot x CE BE =?=
由DE-BE=BD 得，
2
12033?=-
x x ， 解得3515+=x 。
∴）x AD 海里)(31030(2+==。 答：A 、D 两点间的距离为)31030(+海里。
第四阶梯
[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD ，AB∥DC，斜坡AD 的坡度i 1=1:1.2,斜坡BC 的坡度i 2=1:0.8，大
坝顶宽DC 为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE ，EF∥DC，点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上（如图6-5-6），当新大坝顶宽EF 为3.8米时，大坝加高了几米？
图6-5-6
思路分析：
本题实质上是梯形CDEF 的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE 、CF 的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又DC=6
米，EF=3.8米,要求大坝加高的高度,分别作FH⊥DC 于G,FH⊥DC 于H,利用RtΔDEG, RtΔCFH 和矩形EFHG 可以求出新
大坝的高度. [解]
作EG⊥DC,FH⊥DC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG 是矩形,GH=EF=3.8米. 设大坝加高x 米,则EG=FH=x 米。 ∵i 1=1:1.2, i 2=1:0.8,
∴
.8
.01
,2.11==CH FH DG EG ∴.8.0,2.1x CH x DG ==
由DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1 答：大坝加高了1.1米。
[例2]如图6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的
破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
图6-5-7
思路分析：
（1）作AD⊥BC 于D ，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）×20=160千米的范围内，
比较AD 与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。
（2）当A 点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7，AE=AF=160千米，当台风中心从E 处移
到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF 的长度，就可以计算出这次台风
影响该城
市的持续时间。
（3）显然当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大。 [解]
（1）如图6-5-7，由点A 作AD⊥BC，垂足为D 。 ∵AB=220，∠B=30°，∴)(1102
1
千米==
AB AD 。 由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110<160,所以A 市会受
到这次台
风的影响.
(2)在BD 及BD 的延长线上分别取E,F 两点,使AE=AF=160千米.
由于当A 点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响. 所以当台风中心从E 点移到F 点时,该城市都会到这次台风的影响.
在RtΔADE 中,由勾股定理,得5301101602222=-=-=AD AE DE
∴15602==DE EF (千米).
∵该台风中心以15千米/时的速度移动,∴这次台风影响该城市的持续时间
15415
15
60=(小时). (3)当台风中心位于D 处时,A 市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为)(5.620
110
12级=-
四、【课后练习】
A 组
1．如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=____。
2．如图6-5-9，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _______米（精确到0.1米）
图6-5-8图6-5-9
3．如图6-5-10，在高离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.52米，则塔高
BE=_______（精确到0.1米）
图6-5-10图
6-5-11
4．某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30°，则坝高为_______ 米。 5．升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_______ 米，（用含根号的式子表示）
6．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方面再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为_______。
7．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m ，则树高h 的取值范围是（ ）
A ．3
8．河堤的横断面如图6-5-11所示。堤高BC 是5米，迎水坡AB 的长是13米。那么斜坡AB 的坡宽I 是（ ） A ．1：3 B 、1：2 6 C.1:2.4 D.1:2
9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角。房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板AC 的宽度至少应为（ ）
图6-5-12
图6-5-13
A ．1.8tan80°m B.1.8cos80°m C.
80sin 8
.1m D.1.8cot80°m
10.如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度I=1：2，则坝底AD 的长为（ ）
A ．42米
B 、（30+243）米
C 、78米
D 、（30+83）米
11、如图6-5-14，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A ．
αsin 1 B.α
cos 1 C.sina D.1
图6-5-14
12.如图6-5-15，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在
一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°,β=45°，求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：2≈1.41, 3≈1.73）.
13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。（结果保留根号）
14．如6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为6米，坝高10米，斜坡AB的坡度是1：2（AR：BR），现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方？15．如图6-5-18,已知C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？
为什么？（已知tan40°=0.839,tan56°=1.483）
B组
1、1、知小山的高为h,为了测得小山顶上铁塔AB的高x,在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为α，
A点的仰角为β。（见右表中测量目标图6-5-19）
（1）试用α、β和h的关系式表示铁塔高x;
（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中α、β的数值；
（3）根据表中数据求出铁塔x的值。（精确到0.01m）
2.如图6-5-20，某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一台拖拉机从O点出发，以每秒5米的速
度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知sin53°≈0.80,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75）
图 6-5-20
C组
1、已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CD=9，AB=20，求sinB。
2、已知水库大坝的横截面是梯形ABCD ，若BC∥AD，坝顶BC 宽5米，坝高20米，斜坡AB 的坡度之i=1∶2.5， 斜坡CD 的坡度i=1∶2，求坝底AD 及AB 、CD 长。
3、在RtΔABC 中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB 于点D ，AD ＝4,,5
4
sin =
∠ACD 则CD ＝＿＿＿＿＿，BC ＝＿＿＿＿＿＿。
A 组答案
1、34m
2、5.5
3、88.1米 4.30 5.(83+1.5) 6.
a 2
3
3+米 7．B 8、C 9、D 10、C 11、A 12、329米 13、AC=36米，BD=6米，CD=（333
11
-）米 14、5000米3
15、过点A 作AD⊥BC，垂足为D ，在Rt△ADC 中，CD=
56tan AD ；在Rt△ABD 中，BD=
40
tan AD
，依题意有 56tan AD +
40
tan AD
=100。所以AD= 40tan 56tan 40tan 56tan 100+≈53.58，因为AD<50，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越森林保护区。
B 组答案： 1．（1）x=??
?
??-1tan tan αβh;(2)α=29°18ˊ，β=35°59ˊ；（3）x≈30.88m
2．作AB⊥OM 于B ，易知∠AOB=90°-53°=37°，所以AB=OA×sin∠AOB=OA×sin37°≈200×0.60=120(米)。因为120〈130，所以教室A 在噪声污染范围内，依题意，在OM 上取两点C 、D ，连结AC 、AD ，使AC=AD=130
米。在Rt ABC 中，由勾股定理可得BC=50米，所以CD=2BC=100米， 5
100
=20（秒），教室A 受噪声污染时间为20秒。 C 组答案：
1、易证△ABD∽△ABC，即AB 2
=BC·BD，设BD=x ，则20920x
x =+
∴x=16，即BD=25，AC=15，∴
53sin =
B
2、作BE⊥AD 于E ，CF⊥AD 于F ，∴AD=95米，AB≈53.9米，CD≈44.7米。
3、3，