电大工程数学作业（一）答案（满分100分）
第2章 矩阵
（一）单项选择题（每小题2分，共20分）
⒈设a a a b b b c c c 1
231
231232=，则a a a a b a b a b c c c 1
2
3
1122
33123
232323---=（D ）．
A. 4
B. －4
C. 6
D. －6
⒉若0001000
0200
1001a a
=，则a =（A ）．
A.
12 B. －1 C. -1
2
D. 1 ⒊乘积矩阵1124103521-???
???-????
?
?
中元素c 23=（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A B
A
B
+=+---1
1
1
B. ()
AB BA
--=1
1
C. ()
A B A B +=+---1
11 D. ()AB A B ---=111
⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. AB n A B = C. kA k A = D. -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（ A ）．
A. 若A 是正交矩阵，则A -1
也是正交矩阵
B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵
C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵
D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0
⒎矩阵1325???
?
?
?的伴随矩阵为（ C ）
． A. 1325--????
?
? B.
--????
?
?1325 C. 5321--???
??? D. --????
?
?
5321 ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．
A.A ≠0
B.A ≠0
C. A *≠0
D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）． A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 1
1
C. A C B ---'111()
D. ()B C A ---'111
⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2 C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '=''' （二）填空题（每小题2分，共20分）
⒈210
140001
---= 7 ．
⒉---111
11111
x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．
⒊若A 为34?矩阵，B 为25?矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．
⒋二阶矩阵A =?????
?=11015
???
???1051．
⒌设A B =-??????
?
???=--????
?
?124034120314,，则()A B +''=??
?
???--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ．
⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312
()A B －3 ．
⒏若A a =????
?
?101为正交矩阵，则a = 0 ．
⒐矩阵212402033--??????????的秩为 2 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O
A 1
21
???
??
?=-??
?
???--121
1A O O A ． （三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A B C =-???
???=-??????=-????
?
?123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；
⑹()AB C '．
答案：??????=+8130B A ??????=+4066C A ??
?
???=+73161732C A
??????=+01222265B A ??????=122377AB ??
?
???='801512156)(C AB
⒉设A B C =--??????=-??????=--???????
???121012103211114321002,,，求
AC BC +． 解：??????--=????
??????--??????=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-??????
?
???=-??????
?
??
?310121342102111211,，求满足方程
32A X B -=中的X ． 解： 32A X B -=
∴ ??
?
????
?
????????--=??????????--=-=252112712511234511725
223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式
1020
1436
02533
110
--
中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．
答案：0352634020)1(1441=--=+a 453
506310
21)1(2442=---=+a
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
⑴ 122212221--???????
???； ⑵ 12342
31211
1
11
026---????????
?
???
； ⑶ 1000110011101
111????????
?
??
?
．
解
：
（
1
）
[]?????
??????????
?--???→????????????????
?---
-??→???????
???????
?---
---???→?????
?????
?------???→???????????--=+-+--+-++-+-91929
292919292929110
01
0001
919
29
2
031320323
110
02
10
201
12
20120323190
0630
20110
2012001360630
22
110
0010001122212
221
|2
313323212312
1229
13123
2
22r r r r r r r r r r r r r r I A ???????
????????
?--=∴-919
292929192929291
1
A （2）????????????--------=-35141201132051717266221
A (过程略) (3) ?????
?
?
?????---=-1100011000110001
1A ⒍求矩阵10110111
10110010121012
113201????
????
?
??
?
的秩．
解：
?????
????
???----??→??
?
????
?
?????-----??→???
?????
??
???-------???→???
??????????+-+-+-+-+-000000001110001110110110110101110000111000111011011
11
1
1221110
0111000111011011
11
1
1023112
1012101001101111011014342413
12
12r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R
（四）证明题（每小题4分，共12分）
⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵． 证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+
∴ A A +'是对称矩阵
⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1． 证明： A 是n 阶方阵，且AA I '=
∴ 12
==='='I A A A A A ∴
A =1或1-=A
⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵． 证明： A 是正交矩阵
∴ A A '=-1
∴ )()()(111''==='---A A A A
即'A 是正交矩阵
工程数学作业（第二次）(满分100分)
第3章 线性方程组
（一）单项选择题(每小题2分，共16分)
⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=????
?的解x x x 123??????????为（C ）
． A. [,,]102-' B. [,,]--'722 C. [,,]--'1122 D. [,,]---'1122
⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334
++=-=-+=???
?
?（B ）．
A. 有无穷多解
B. 有唯一解
C. 无解
D. 只有零解
⒊向量组100010001121304??????????????????????????????????????????????
?
???,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
⒋设向量组为αααα12341100001110101111=????????????=????????????=????????????=???????
?
?
???,,,，则（B ）是极大无关组．
A. αα12,
B. ααα123,,
C. ααα124,,
D. α1
⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1
⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．
A. 可能无解
B. 有唯一解
C. 有无穷多解
D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．
A. 至少有一个向量
B. 没有一个向量
C. 至多有一个向量
D. 任何一个向量
9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ ）成立． Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B 的特征值
Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 12120
+=+=??
?λ有非零解．
⒉向量组[][]
αα12000111==,,,,,线性 相关 ．
⒊向量组[][][][]
123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ． ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，
且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．
⒌向量组[][][]
ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵
[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．
⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为
22110X k X k X ++．
9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组
x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234
326
3850
2412432
---=-++=-+-+=--+--=??
????? 解
：
?
?
???
?
??????-----??→??????????
???---------???→?????????????----------=+-+++++-261210009039270018871048231901
843100185018871061231231411214120518361231413
21
24131215323r r r r r r r r r r r r A