基 本 课 题 ： 第一章 函数与极限
第一节 函数
目 的 要 求 ： 理解函数的概念；了解函数四种特性的定义及基本初等函数、
复合函数与初等函数的定义；熟悉基本初等函数的图象及性
质；理解分段函数的概念并会画其图象。
重 点 ： 函数的概念、基本初等函数的图象和性质、复合函数的概念。
难 点 ： 函数的概念、复合函数的复合过程及分段函数的图象。
教 学 方 法 ： 讲授法。
教 参 ： 《高等数学》同济大学及自考教材等
教学环节及组织：
一．介绍高等数学课程的基本情况，使学生对这门课有一个初步的认识，并
给学生提出基本要求，促使学生努力学好高数课。
二．学习新课：复习函数的概念让学生举例生活中的函数例子，复习常用的初
等函数以及性质，理解初等函数的概念。
第一节 函数
一. 函数
1.函数的概念
定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个非空数集，存在一个对应法则f ，对
于任意x D ∈，都有唯一确定的y 值与之对应，则称y 是定义在D 上的变量x 的
函数，记作()y f x =，称x 为自变量，y 为因变量，D 称为函数的定义域，数集
{}()f x x D ∈称为函数的值域。
定义2 设,a R δ∈，实数集合{}
x x a δ-<即a x a δδ-<<+，称点a 的δ邻域，记作(),U a δ，点a 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。把邻域中心
去掉，实数集合{}
0x x a δ<-<称点a 的去心δ邻域，也称空心邻域，记作(),U a δ，代表的区间是()(),,a a a a δδ-+。
例1 如图1-2所示，函数10sgn 010x y x x x >??== 0 =??-
称为符
号函数，它的定义域是(),D =-∞+∞，值域是{}1,0,1-。 像上面的例子中，自变量在不同的变化范围中对应法则用不同式子来表示的函
数通常称为分段函数。
2.函数的表示法
表示函数的方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。
二．函数的几种特性
函数的特性主要是以下四个：
单调性、奇偶性、周期性及有界性。
三．反函数和复合函数
1.反函数
定义3：设()y f x =的定义域为D ,值域为Z ，如果对于每一个y Z ∈总有
一个确定的且满足于()y f x =的x D ∈与之对应，其对应规则记作1f -，这个定
义在Z 上的函数1()x f y -=称为()y f x =的反函数，或称它们互为反函数。
习惯上自变量有x 表示，因变量用y 表示，所以()y f x =的反函数
1()x f y -=习惯上写成1()y f x -=。
2.复合函数
定义4：设()y f u =的定义域为D ,()u x ?=的值域为Z ,若D Z ≠?， 则
称函数(())y f x ?=为x 的复合函数，x 为自变量，y 为因变量，u 称为中间变量。
值得注意的是：不是任何两个函数都可复合成一个复合函数的。如
2arcsin ,3y u u x ==+就不能复合，这是因为对于任意的2,3x D u x ∈=+都不在
arcsin y u =的定义域]1,1[-内。
四．初等函数
1.基本初等函数及图像
把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为五大基本初等
函数。
（1）幂函数：()R a x y a
∈=
（2）指数函数：()10≠>=a a a y x
，它的定义域为()∞+∞-，，值域为()∞+，0。
（3）对数函数： ()10log ≠>=a a x y a ，定义域为()∞+，0，值域为 ()∞+∞-，。对数函数x y a log =是指数函数x a y =的反函数。
（4）三角函数：三角函数有正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =、余切函数x y cot =、正割函数x y sec =和余割函数x y csc =。
（5）反三角函数：反三角函数主要包括反正弦函数x y arcsin =、反余弦函数x y arccos =、反正切函数x y arctan =和反余切函数x arc y cot =等。
2.初等函数
由基本初等函数及常数经过有限次的四则运算和有限次复合而成，且可用一个解析式表示的函数叫做初等函数。
例如：y =、3(1cos )y x =+、2ln(2)y x =+等都是初等函数，分段函数一般不是初等函数。
内容小结。常用的初等函数希望大家熟悉，以后微积分的课程就是围绕着这些函数展开的，初等函数的概念希望大家掌握
课堂交流：
一．课堂提问：
1． 复合函数的分解，应到何时为止？
2． 计算分段函数的函数值时，应注意什么问题？
二．课堂练习分析及解答。
课外作业及思考题：
一．课外作业： 习题1-1 4、6、7、8题。
二．思考题：复合函数的分解与求函数值的顺序有什么关系？
基 本 课 题 ： 第一章 函数与极限
第二节 极限
目 的 要 求 ： 理解数列极限和函数极限的概念；
重 点 ：数列极限、变量趋于无穷大函数极限、变量趋于常数的
函数极限，常用函数的极限。
难 点 ：极限的概念。
教 学 方 法 ： 讲授法。
教 学 手 段 ：
教 参 ： 《高等数学》同济大学及自考教材等
教学环节及组织：
一． 引入新课：极限理论是高等数学的基石，函数的连续性、导数、定积分
等重要概念都是在它的基础上建立起来的。它也是研究导数、积分、级数等必不可少的工具。在我国古代也早就有了现代的极限思想，古人云：“一尺之棰，日取其半，万世不碣。”蕴含了深刻的极限思想。
二． 学习新课：数列极限，函数极限的概念，函数极限与函数值的关系。
第二节 极限
一． 数列的极限
定义1 设{}n x 为一数列，当项数n 无限增大时，数列中对应的项n x (即通项)无限逼近于一个确定的常数a ，则称{}n x 的极限存在，a 为{}n x 的极限，记作：
lim n n x a →∞
=,或()n x a n →→∞， 也称{}n x 收敛于a ．如果{}n x 没有极限，则称{}n x 是发散的．
数列{}n x 的极限是a ，即指数列的项数无限增大时，通项n x 与a 之间的距离无限逼近零。
由数列极限的定义，可得出常数列的极限就是常数本身。即lim n C C →∞
=。 二． 函数的极限
1．x →∞时函数的极限
定义2 如果x 的绝对值x 无限增大时，函数()f x 无限的接近于一个确定的
常数A ，则A 称为()f x 的当x 趋向于无穷大时的极限，记作lim ()x f x A →∞
=,或()()f x A x →→∞．
由定义2可知，1lim 0x x
→∞=。当x 的绝对值x 无限增大时，相应的函数值()f x 与常数A 的差的绝对值()f x A -无限的逼近零。
定义3 若当0x >（0x <）且x 无限增大时，函数()f x 无限的接近于一个确定的常数A ，则称A 为x →+∞（x →-∞）时函数的极限，记作lim ()x f x A →+∞
=,或()()f x A x →→+∞（lim ()x f x A →-∞
=,或()()f x A x →→-∞）。 由定义3可知：lim 0x x e →-∞=，lim 0x x e -→+∞=。
定理1 lim ()x f x A →∞=的充要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞
==． 2．0x x →时函数的极限
定义 4 设()y f x =在0x 的某去心邻域0(,)U x δ有定义，如果当x 无限接近于0x 时，有()f x 无限接近于常数A ，则称A 是()f x 的当0x x →时的极限，记作0
lim ()x x f x A →=或()f x A → (0x x →)。 当自变量x 与0x 无限接近（0x x ≠）时，即00x x -→，相应的函数值()f x 无限的逼近于A ，即()f x 与常数A 的差的绝对值()f x A -无限的逼近零。由定义可知，任意0x R ∈，0lim x x c c →=，0
0lim x x x x →=。 定义5 设()y f x =在00(,)x x δ-00(,)]x x δ+[或有定义，如果当x 从左侧
（右侧）无限接近于0x 时，有()f x 无限接近于常数A ，则称A 是()f x 当0x x →时的左（或右）极限，左极限记作0
lim ()x x f x A -→=或0(0)f x A -=，右极限记作0lim ()x x f x A +→=或0(0)f x A += 。
定理2 0lim ()x x f x A →=的充要条件是00
lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． 例2 设函数10()0010x x f x x x x + >??= =??-
，讨论0x →时，()f x 的极限。
解 00lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，00
lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=- 因为00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，所以0
lim ()x f x →不存在。 三．极限的性质
数列极限与函数极限都具有惟一性、有界性、保号性等性质，下面我们给出0x x →时函数的极限的性质，至于其他形式的极限的性质，只要相应地作一些修改即可得出。
定理3（唯一性）若0lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x f x B →=，则A B =。 定理4（局部有界性）若0
lim ()x x f x A →=，则存在0x 的某一空心邻域0(,)U x δ，在0(,)U x δ内函数()f x 有界。
定理5（局部保号性）若0
lim ()x x f x A →=，且0A >（或0A <），则存在某个0(,)U x δ，在0(,)U x δ内，有()0f x >（或()0f x <）。
推论 如果在0x 的某个去心邻域0(,)U x δ内有()0f x ≥（或者()0f x ≤），而且0
lim ()x x f x A →=，那么0A ≥（或0A ≤）。（证明从略）
内容小结及应注意的问题：
极限指的是自变量无限变化过程中，函数值也在变化，但是函数值如果有无限靠近一个常数的性质，我们就称这个常数是这个变化过程中函数的极限。对于分段函数来讲，极限值可能与函数值不相等。
课堂交流：1．数列极限与变量趋于无穷大函数极限有关系吗？
2. 变量趋于常数的函数极限与函数值是否相等？
课外作业及思考题：数列极限与变量趋于无穷大函数极限有关系吗？举例说明课外作业：习题2-2 1，2
思考题：习题2-2： 3
基 本 课 题 ：第一章 函数与极限
第三节 极限的运算
目 的 要 求 ：掌握极限的四则运算法则。掌握两个重要极限的结论，并会利
用两个重要极限进行极限运算。
重 点： 极限的四则运算法则；两个重要极限。
难 点 ：两个重要极限。
教 学 方 法 ：讲授法。
教 参 ：《高等数学》同济大学及自考教材等
第三节 极限的运算
对于极限的计算如果只用极限的概念去观察是非常困难的，因此必须探讨其运算规律。
一．极限的运算法则
下面定理中，记号下面没有标明自变量的变化过程，表示对于x →∞和0x x →的同一变化过程都是成立的。
定理1 若lim ()f x A =，lim ()f x B =，则
(1) lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±
(2) lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B =?=?
(3) 若0B ≠，则()lim ()lim ()lim ()f x f x A g x g x B
==。 定理中的（1）、（2）可推广到有限个函数的情形。且有：
推论 （1）若c 为常数，则lim(())lim ()cf x c f x cA ==。
(2) 若n 为正整数，则[]lim(())lim ()n
n n
f x f x A ==。 由推论可得，000lim lim n n n x x x x x x x →→??==????。
二．两个重要极限
1．第一个重要极限 0sin lim 1x x x
→= 需要注意的是：（1）它是“
00”；（2）公式的形式可以写成0sin lim →=1，其中代表相同的变量或表达式，也可用)(x u 代替。
2．第二个重要极限 1lim(1)x
x e x →∞
+= 1lim(1)x x e x →∞+= 或 10lim(1)x x x e →+=． 需要注意：（1）上式是底的极限为1、指数为无穷大的变量的极限，这也是一种未定式，通常记为“1∞”；（2）公式可以写成1lim(1)e →∞+=或者10lim(1)e →+=，其中代表相同的变量或表达式，也可用)(x u 代替。
例7 求下列极限
课堂练习分析及解答。
课外作业及思考题：
一．课外作业：习题1-3 1 3
二．思考题：习题1-3： 2 4
基 本 课 题 ：第一章 函数与极限
第四节 无穷大与无穷小
目 的 要 求 ：理解无穷小与无穷大的概念；了解无穷小的性质；了解函数
极限与无穷小的关系，无穷小比较中无穷小的阶的概念。
重 点： 无穷小的概念；无穷小比较中无穷小的阶的概念。
难 点 ：无穷小的阶的概念。
教 学 方 法 ： 讲授法。
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小
在微积分中，无穷小量是一个非常重要的概念．许多变化状态较复杂的变量的研究常常可归结为相应的无穷小量的研究．
定义1 若lim ()0f x =，则称()f x 是该极限过程中的一个无穷小量． 定理1 lim ()f x A =的充要条件是自变量在同一变化过程中存在一无穷小量()x α，使得()()f x x A α=+，其中A 为常数．
下面介绍无穷小的性质：
性质1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。
性质2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。
性质3 无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。
二． 无穷大量
定义3 在自变量某一变化过程中，如果相应的函数值的绝对值()f x 无限增大，则称()f x 在自变量该变化过程中为无穷大，记为lim ()f x =∞。如果相应的函数值()f x （或()f x -）无限增大，则称()f x 为该自变量变化过程中的正（负）无穷大，记作lim ()f x =+∞（或lim ()f x =-∞）。
需要注意：（1）无穷大量也是自变量变化过程中函数的变化趋势；
（2）要区分开无穷大量和绝对值很大的数；
（3）要区分无穷大量与无界量，无穷大必是无界，但无界量不一定是无穷大。
三、无穷小的比较
定义 2 设,αβ是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0,lim ααβ
≠也是在这个变化过程中的极限。 （1)若lim
0βα
=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()βοα=。 （2)若lim βα
=∞，则称β是比α低阶的无穷小。 若lim c βα
=0≠，则称β与比α是同阶无穷小。 （3) 若lim 1βα=,则称β与α是等价无穷小，记为βα~。 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即C=1的情形。
常用的等价无穷小：当0x →时
sin x x ~，sin arc x x ~，tan x x ~，ln(1)x x +~，x
e x -1~，2
1cos 2x x -~。 需要注意：（1）上述各式如果把x 替换成（代表同一过程的自变量或者是表达式），等价仍然成立，例如：sin ~。（2）用等价无穷小作替换进行运算时，不能对分子或分母的加项作等价替换。
定理3 在自变量的同一变化过程中，若()f x 是一个无穷大量，则1()f x 为无穷小量；若()f x 为无穷小量(()0f x ≠)，则1()
f x 为无穷大量。
内容小结及应注意的问题：
无穷小与无穷大都是变量，也就是函数，需要注意的是同一个函数当变量趋势不同，可能被称为无穷小，可能被称为无穷大。
课堂交流：1．“0”是无穷小吗？
2．无穷小与无穷大的关系是什么，举例说明。
课堂练习分析及解答。
课外作业及思考题：
一．课外作业：习题1-3 4
二．思考题：习题1-3： 5
基 本 课 题 ： 第一章 函数与极限
第五节 函数的连续性
目 的 要 求 ： 理解函数连续性的概念；了解函数的间断点；掌握初等函数
的连续性及闭间上连续函数的性质。
重 点 ： 函数连续性的概念及初等函数的连续性。
难 点 ： 判定函数在某一点的连续性。
第五节 函数的连续性
一． 函数的连续
生活中有很多变量是连续变化的，如物体的运动、植物的生长、温度的升高等等，连续是微积分中的又一重要概念，首先我们引入增量的概念。
1． 增量
定义1 设变量x 由1x 变到2x ，变量终值与初值之差21x x x ?=-叫做变量x 在1x 处的增量(改变量)。x ?可正可负，它是一个不可分开的整体记号。
对于函数()y f x =，在其定义域内，当自变量x 从0x 变化到0x x +?时，相应的函数值从0()f x 变化到0()f x x +?，称00()()y f x x f x ?=+?-为函数的增量。可知y ?可正可负，也可为零。
2． 函数连续性的定义
定义2 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域有定义，若当自变量在0x 点的增量x ?趋于0时，相应的函数增量00()()y f x x f x ?=+?-也趋于0，即
()()0000lim lim (0x x y f x x f x ?→?→?=+?-=???
? 则称函数)(x f y =在点0x 处连续。0x 也称连续点。
令0x x x =+?，则0x x x ?=-，相应的函数的增量写成0()()y f x f x ?=-，当0x ?→时，00x x -→，0()()0f x f x -→，函数)(x f y =在点0x 连续也可以写成()()00lim (0x x f x f x →-=????，即()0
0lim ()x x f x f x →=，这就是函数连续的等价
定义。
定义3 设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若当0x x →时，函数()f x 的极限存在，且等于它在点0x 的函数值0()f x ，即)()(lim 00
x f x f x x =→，则称函数)(x f y =在点0x 处连续，0x 也称连续点。否则称不连续点或间断点。
定义中的左极限存在称左连续，右极限存在称右连续，当然)(x f 在点0x 处连续必须是)(x f 在点0x 处既左连续同时也右连续．
函数的连续性是一个局部性的概念，函数()f x 在0x 点连续，应该同时满足下列三点：
(1) ()f x 在0x 点及其某一邻域()0,U x δ内有定义；
(2) 0
lim ()x x f x →存在； (3) ()f x 的极限值等于函数值0()f x
定义 4 如果函数)(x f 在开区间(,)a b 内的每一点都连续，则称函数)(x f 在开区间(,)a b 内连续。
若函数)(x f 在开区间(,)a b 内连续，且在点a 右连续，在点函数b 左连续，则称函数)(x f 在闭区间[],a b 上连续。也称)(x f 为连续函数。
二． 连续函数的运算
定理2 若函数)(x f 与)(x g 都在0x 连续，则函数
)0)(()()
(,)()(,)()(0≠±x g x g x f x g x f x g x f 在0x 也连续.
该定理只须根据极限的四则运算公式及函数连续性的定义即可证明． 定理3 设(())y f x ?=由()y f u =，()u x ?=复合而成．若()u x ?=在0
x
处连续，00()u x ?=，而()y f u =在0u 处连续，则复合函数(())y f x ?=在0x 处连续，即0
0lim (())(())x x f x f x ??→=。 根据定理可知，连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数；两个连续函数的复合函数还是连续函数．上述定理中的极限式
00lim (())(())x x f x f x ??→=相当于00
lim (())(lim ())x x x x f x f x ??→→=， 换言之，若函数()f u 连续，则极限符号“lim ”与连续的函数符号“f ”可以交换次序．
三． 初等函数的连续
由连续和极限的定义容易验证基本初等函数在其定义域内都是连续的．
初等函数是由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合而成，由上述定理及其推论可知：
定理4 初等函数在定义区间内都连续。
即 ()0
0lim ()x x f x f x →=。 四．函数的间断点
按照函数在某点连续的定义可知，如果)(x f 在点0x 处满足下列三个条件之一，则0x 为函数)(x f 的间断点：
（1）函数)(x f 在点0x 没有定义；
（2）函数)(x f 在点0x 有定义，但)(lim 0
x f x x →不存在； （3）在0x x =处)(x f 有定义，且)(lim 0x f x x →存在， 但是)()(lim 00
x f x f x x ≠→。 定义 5 设0x 为函数)(x f 的间断点，若)(x f 在点0x 的左、右极限存在，则称0x 是函数)(x f 的第一类间断点；其余的间断点（即左、右极限至少有一个不存在）称为第二类间断点。
五．闭区间上连续函数的性质
定理6（有界定理）闭区间上的连续函数有界。
定理7（最值定理）闭区间上的连续函数必能取得最大值和最小值。
定理8（介值定理）闭区间上连续函数必能取得介于最大值和最小值之间的一切值。
定理9（零值定理）函数)(x f 在闭区间[],a b 上连续，()f a 与()f b 异号，则函数)(x f 在(),a b 内至少有一个零值点。
定理的结论：函数)(x f 在(),a b 内至少有一个零值点等价于方程()0f x =至少有一个根。
课堂交流：
一．课堂提问。什么叫做初等函数？初等函数是否在任何一点都是连续的？
二．课堂练习评讲。
课外作业及思考题：
一．课外作业：习题1-4 2，3
二．思考题：习题1-4 1，4
第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：
（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？
第一章函数与极限 函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别．
第一节函数 一．函数概念： １．常量与变量： 常量：某一变化过程中保持数值不变的量. 例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象)变量：在某一变化过程中取不同数值的量． 例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的．
２．函数的概念： 函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个(或多个)确定的y 值与之对应, 则称f 是Ｘ上的函数. 记作：y=f(x)，x X． ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
３．函数的表示方法： √ 解析法(如y = f (x)) 列表法 函数的表示法 图象法 其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如: cosx -π≤x≤0 (分段函数) 1 0＜x＜1 1/x x ≥1 注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
幂函数：ｙ=x a 指数函数：ｙ= a x 对数函数：ｙ=log a x 三角函数：ｙ=sinx ，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx . 二．初等函数： 1．基本初等函数：(中学学过的）
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) ) 定义:设变量y 是变量u 的函数, 变量u 又是变量x 的函数即y = f (u) , u =φ(x), 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量y 的值时, 则称y 是x 的复合函数, 记作 y = f [φ(x)] ( y—因变量, u—中间变量( 既是自变量又是因变量), x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
高等数学第一章函数与极限考试
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高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)(lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x
一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x =0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x =0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。
； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) ； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） ； B.∞； ； ． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） ； B.∞； C 2 1； ． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ + →=（ ） ； B.∞； ； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） ； B.∞； C. 16 1； ． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是