河北省张家口市2021届新高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右
焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5
C ．2或9
D ．1或5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】
由于
b
a
=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】
本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.
2．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π
表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
计算3
1cos
sin 3322
π
ππ=+=+i e
i ，得到答案. 【详解】
根据题意cos sin ix
e x i x =+，故3
1cos
sin 3322
π
ππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A .
3．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则
AB =( )
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB 【详解】
抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，2
8y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为
))
2212y x x =-=---，由)228y x y x
?=--??=??
，解得((,4,A B -，所以
9AB =
=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题. 4．已知i 是虚数单位，若z
211i i
=+-，则||z =（ ）
A B ．2
C
D ．10
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为
z
211i i
=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，
|||1||21|z i i =-?+==，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
5．若复数2
1i
z =
+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．2z =
C ．z 的共轭复数为1i --
D ．2z 为纯虚数
【答案】D 【解析】 【分析】
将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】
()()()
2121111i z i i i i -=
==-++- z 的虚部为1-，A 错误；
112z =+=，B 错误；1z i =+，C 错误；
()2
212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题. 6．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =
，
现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．
82
3
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】
解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．
因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．
计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．
故选：C. 【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
7．
()7
12x x
-的展开式中2x 的系数为（ ）
A ．84-
B ．84
C ．280-
D ．280
【答案】C 【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k k
k n T a b -+=，得()7
12x -展开式的通项为
()172k
k k
k T C x +=-，则
()
7
12x x
-展开式的通项为()1
172k
k k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求
2x 的系数为()3
3
72280C -=-.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式
1C r n r r r n T a
b -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
8．命题“20,(1)(1)?>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)?>+>-x x x x B ．20,(1)(1)?+>-x x x x C ．20,(1)(1)?>+-x x x x D ．20,(1)(1)?+>-x x x x
【答案】C 【解析】 【分析】
套用命题的否定形式即可.
命题“,()x M p x ?∈”的否定为“,()x M p x ?∈?”，所以命题“20,(1)(1)?>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ?>+≤-”. 故选：C 【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
9．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'
10x f x x f x -?+?>，若3
(2)y f x e
=+-是奇函数，则
不等式1()20x x f x e +?-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()()x
x f x g x e ?=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()
3
2y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +?-<求得不等式的解集.
【详解】
构造函数()()x x f x g x e ?=，依题意可知()()()()''
10x
x f x x f x g x e
-?+?=>，所以()g x 在R 上递增.由于()3
2y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()3
20y f e =-=，所以()3
2f e =，所以
()3
2222e g e e
?==.
由1()20x x f x e +?-<得()()
()22x
x f x g x e g e
?=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
10．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．
π3
B ．
π6
C ．
π2
D ．
π4
【答案】A
由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围
()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1
cos 2
B =
，即可得解B 的值． 【详解】
解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2
B =， ∴3
B π
=
．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 11．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(
)2
0,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在
区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，
()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）
A ．4.56%
B ．13.59%
C ．27.18%
D ．31.74%
【答案】B 【解析】 试题分析：由题意
13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2
P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=
故选B ． 考点：正态分布
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4
π
.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】
设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2A
C G ，
()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .
①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=?=-++=，所以1AC EG ⊥，故①正确.
②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--，不存在实数λ使GC ED λ=，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-，1110,20B F BG B F BC ?=?=≠，故1B F ⊥
平面1BGC 不成立，故③错误.
④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=，设EF 和1BB 成角为θ，则11
22
cos
222
EF BB EF BB θ?-=
=
=??，由于0,
2πθ?
?
∈ ??
?
，所以4
π
θ=
，故④正确.
综上所述，正确的命题有2个. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值
【答案】3- 【解析】 【分析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】
根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815
x ?+++++=， 解得0x =；
又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；
033x y -=-=-.
故答案为：3-. 【点睛】
本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.
14．已知数列{}n a 的各项均为正数，记{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2*112n
n n n
a a n N a a ++=∈-，11a =，则6S =______. 【答案】63 【解析】 【分析】
对()2
*
112n n n n
a a n N a a ++=∈-进行化简，可得12n n a a +=，再根据等比数列前n 项和公式进行求解即可 【详解】
由2
2222211111122n n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a a ++++++=
?-?=?-=+?- ()()()1
11112n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a +++++?+-=+?-=?
= 数列{}n a 为首项为11a =，公比2q 的等比数列，(
)()6
6
16111263112
a q S q
-?-=
==--
【点睛】
本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22
:(1)1C x y +-=，
圆22:(6C x y '++=．直线:3l y kx =+与
圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________
【解析】 【分析】
利用直线与圆相切求出斜率k ，得到直线的方程，几何法求出||AB 【详解】
解：直线:3l y kx =+与圆C 相切，C 圆心为(0,1)
1=
，得k =
当3y =+时，C '
到直线的距离9
2
d =
>，不成立，
当3y =+时，l 与圆C '相交于A ，B 两点，C '
到直线的距离32d ==
，||AB ==
【点睛】
考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．
16．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）， 【答案】1080 【解析】 【分析】
按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2211
6421
22
22
C C C C A A ????种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4
4A 种，然后用分步计数原理求解. 【详解】
将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2211
6421
22
2245C C C C A A ???=?种， 再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4
424A =种，
故答案为：1080 【点睛】
本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c b C C (sin )=+. （1）求角B 的大小； （2）若3
A π
=
，D 为ABC ?外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.
【答案】（1）3
B π
=（22 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理化简等式可得tan B =3
B π
=
；
（2）根据题意，利用余弦定理可得254cos BC D =-，再表示出sin BDC S D ?=，表示出四边形ABCD S ，进而可得最值. 【详解】
（1）
3(sin )a b C C =+，由正弦定理得： sin (sin )A B C C =+
在ABC ?中，()sin sin A B C =+)sin sin cos B C B C B C +=+，
sin sin sin B C B C =，
sin 0,sin C B B ≠=，即tan B =()0,,3
B B π
π∈∴=
.
（2）在BCD ?中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-???54cos D =-
又3
A π
=，则ABC ?为等边三角形，21sin 23ABC
S
BC π=
?=D - 又1
sin sin 2
BDC
S
BD DC D D =???=，
sin ABCD S D D ∴=
+-=2sin()3
D π
--
∴当56D π=
时，四边形ABCD 2+. 【点睛】
18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，
的距离小1.
（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；
（2）若点P 是圆()()22
2221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.
【答案】（1）2
8x y =；（2）13,44
??????
【解析】 【分析】
（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程； （2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0?=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得
4
AB m k =
，结合点()P m n ,满足()()22
221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围. 【详解】
（1）设点(),M x y ，
∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +，
∴
11y +=，化简得2
8x y =，
∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.
（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ， 设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，
联立()2
8y k x m n x y ?=-+?=?
，化简可得28880x kx km n -+-=， ∴26432320k km n ?=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=
，122
n
k k =. 由2
8x y =，求得导函数4
x
y '=
， 22
∴2
22121212121224424
AB
y y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()2
2
221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤， ∴
13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44??????
. 【点睛】
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
19．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121()n n a S n N *+=+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1{}n
d 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
【答案】（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）121n n a S +=+，121(2)n n a S n -=+，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，可得1
1111
23n n n n n n d a a -+++==-，利用错位相减法即可得出． 【详解】
解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，故121(2)n n a S n -=+≥，两式相减可得，
112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，故13(2)n n a a n +=≥，
因为{}n a 是等比数列，∴213a a =，又2121a a =+，所以11321a a =+， 故11a =，所以13-=n n a ；
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，所以
1
111123n n n n n n d a a -+++==-?， 所以21
3411232323n n n T -+=+
+++???，① 则211131
n n n
n n T -+=++++，②
①－②得：2
121111
1323232323
n n n
n T -+=+
+
+
-????， 111
(1)
1233112313
n n n --+?=+-?-
所以115251528838
n n n T -+=-<
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．设数列{}n a 的前列项和为n S ，已知1
11
1,(2)2n n n a a a a n --==
≥+.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：
3111226
n n S -≤<. 【答案】（1）1
21
n n
a =-（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由已知可得
1
12
1n n a a -=+，构造等比数列即可求出通项公式； （2）当2n ≥时，由12n n a >
，可求3122n n S -<，3n ≥时，由1
2122n n n a -<=，可证()
*
116
n S n N <∈，验证1,2n =时，不等式也成立，即可得证. 【详解】 （1）由11
(2)2n n n a a n a --=
≥+可得，112
1n n a a -=
+， 即11
1121n n a a -??+=+ ???
，(2)n ≥ 所以
1
12n n
a +=， 解得1
21
n n a =
-， （2）当1n =时，111S a ==，
当2n ≥时，12
n n a >
， 1
23
111113142111222
2212
n n n n S +->+
+++=+=--
综上()*31
22
n n S n N ≥
-∈， 由0n a >可得{}n S 递增，
1211,3a a ==，3n ≥时121
22n n n a -<=
2311111111
14411111114211322
23322626
12
n n n n n S ----
∴<++++
+=+=+-=-<-； 所以123116
S S S <<<
， 综上：()*11
6
n S n N <
∈ 故
()*3111
226
n n S n N -≤<∈. 【点睛】
本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题. 21．如图，四边形ABCD 中，2
ADC π
∠=，2AD AB BC CD ===，AE EC =，沿对角线AC 将ACD
?翻折成ACD ?'，使得BD BC '=.
（1）证明：BE CD ⊥'；
（2）求直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（23
【解析】 【分析】
可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值． 【详解】
（1）证明：取CD '的中点K ，连,EK BK .
∵AE EC =， ∴//EK AD '． 又AD CD '⊥'， ∴EK CD ⊥'.
在BCD ?'中，BC BD ='， ∴BK CD ⊥'． 又EK BK K ?=， ∴CD '⊥平面BKE ， 又BE ?平面BKE ， ∴BE CD ⊥'.
（2）解法1：取AD '的中点F ，连结,EF BF ，
∵AE EC =， ∴//EF CD ', 又CD AD '⊥'， ∴AD EF '⊥． 又由题意得
ABD '为等边三角形，
∴AD BF '⊥， ∵BF EF F ?=，
∴EBF ∠就是直线BE 与平面ABD '所成的角． 设1CD '=，则12
EF =
， 在等边
ABD '
中，3
232
BF =
?=． 又在
ABC 中，2,AC 5AB BC ===，故2
2
51122BE ??=-= ? ???
． 在
EBF 中，由余弦定理得()
2
2
2
1113233cos 11
232
EBF ????+- ? ?
????∠=
=??
，
∴3sin EBF ∠=
， ∴直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值为
3． 解法2：由题意可得EB ACD ⊥'平面，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .
不妨设1CD =，则在直角三角形ACD '中，可得2,AC 5AD ='=， 作D G AC '⊥于G ，则有平面几何知识可得2535
D G EG EC CG =
=-=
' ∴3525D ?' ??
． 又可得50,A ?? ? ???，11,0,02B ?? ? ???
.
∴4525AD ?= '??,115AB ??= ? ???
．
由
4525
115
22
m AD y z
m AB x y
?
?
=+=
??
?
??=+=
??
'
，得
55
2
x y
z y
?
=-
?
?
?=-
?
，
令11
y=，则得()
5,11,211
m=--．
又
11
,0,0
2
EB
??
= ?
?
??
，
设直线BE与平面ABD'所成的角为θ，
则
3
sin cos,
||
m EB
m EB
m EB
θ===．
所以直线BE与平面ABD'所成角的正弦值为
3
．
【点睛】
利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．22．已知椭圆T：()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
，直线l：60
x y
+-=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.A为左顶点，过点()
1,0
G的直线交椭圆T于B，C两点，直线AB，AC 分别交直线4
x=于M，N两点.
（1）求椭圆T的方程；
（2）以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
22
1
43
x y
+=；（2）是，定点坐标为()
7,0或()
1,0
【解析】
（1
）根据相切得到b =
2a =，得到椭圆方程.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到
122634t y y t +=-+，1229
34y y t =-+，计算点M 的坐标为1164,2y x ?? ?+??，点N 的坐标为2264,2y x ?? ?+??
，圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，得到答案.
【详解】
（1
）根据题意：b =
=
2
b a ==
，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到(
)
2
2
34690t y ty ++-=， 所以122634t y y t +=-
+，122
9
34
y y t =-+， 所以()2
2
1212122
412134
t x x t y y t y y t -=+++=+，1212281134x x ty ty t +=+++=+， 因为直线AB 的斜率1
12AB y k x =
+，所以直线AB 的方程
()1122
y y x x =++， 所以点M 的坐标为1164,
2y x ??
?+??，同理，点N 的坐标为2264,2y x ?? ?+??
，
故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ????
--+--= ???++?
???，
又因为
()()()12121212123636369
92224
36y y y y x x x x x x ?==-=-+++++，()()12121212
212121212121866666223339
ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==-+++++++， 所以圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，令0y =，则有()2
49x -=，
所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】
本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞ 【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】
（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ?
?>?
?
=++-=+-≤≤??
?
-<-??
，
由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<
（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ?
?+>?
?
=++-=-+-≤≤??
?
-+<-??
()f x 的最小值为1f a ??
-
???和()1f 中的最小值，其中1111f a a ??
-=+> ???
，(1)11f a =+>.所以()1
f x >恒成立.
当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ??
=+-
=+ ?
??
， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意； 若2a <-，则11f a ??
-
< ???
，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞. 【点睛】
数学思想方法，属于中档题.
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的． 1．设集合{|20} A x x =+=，集合2 {|40} B x x =-=，则A B=（） （A）{2} -（B）{2}（C）{2,2} -（D）? 2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（） （A）A（B）B（C）C（D）D 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 4．设x Z ∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2 p x A x B ?∈∈，则（）（A）:,2 p x A x B ??∈?（B）:,2 p x A x B ???? （C）:,2 p x A x B ???∈（D）:,2 p x A x B ??∈∈ 5．函数()2sin(),(0,) 22 f x x ππ ω?ω? =+>-<<的部分图象如图所示， 则,ω?的值分别是（） （A）2, 3 π -（B）2, 6 π -（C）4, 6 π -（D）4, 3 π 6．抛物线24 y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x-=的渐近线的距离是（） （A） 1 2 （B） 3 2 （C）1（D3 7．函数 2 31 x x y= - 的图象大致是（） y x D B A O C
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A ） 14 （B ）12 （C ）34 （D ）78 10．设函数()x f x e x a =+-a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在 00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ） （A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1 [,1]e e -+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．二项式5 ()x y +的展开式中，含2 3 x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则 λ=_________． 13．设sin 2sin αα=-，( ,)2 π απ∈，则tan 2α的值是_________． 14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2 ()4f x x x =-，那么，不等式 (2)5f x +<的解集是________ ． 15．设12,, ,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点 的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意 点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题： ①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）
2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科） 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________ 一、单选题（共12小题） 1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（） A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i 2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（） A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或2 3.若，则tan2θ＝（） A．﹣B．C．﹣D． 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100] 内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（） A．72.5 B．75 C．77.5 D．80 5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（） A．B．C．D．
6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n B．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥n C．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n D．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n 7.的展开式的常数项为（） A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣5 8.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左 平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（） A．B． C．D． 9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到 y轴的距离为（） A．3 B．C．5 D． 10.已知，则（） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x 的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（） A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞） C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e） 12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝ P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：
2014年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2014?四川）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集． 解答：解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2} 故选D． 点评：本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键． 2．（5分）（2014?四川）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（） A．总体B．个体 C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本 考点：用样本的频率分布估计总体分布． 专题：概率与统计． 分析：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论． 解答：解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体， 故选：A． 点评：本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题． 3．（5分）（2014?四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（） A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案． 解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1， ∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度． 故选：A． 点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．
2018年四川省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ） 上传者：爱云校千世锋上传时间：2019-7-24 14:52:37浏览次数：1下载次数：0 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. B. C. D. 4. 若，则 A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为( ) A . B .
C . D . 8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使 用移动支付的人数，，，则 A. B. C. D. 9. 的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则 A. B. C. D. 10. 设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，则三棱锥 体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11. 设，是双曲线．的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为( ) A. B. C. D. 12. 设，，则( ) A. B. C. D. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知向量，，．若，则________． 14. 曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15. 函数在的零点个数为________． 16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ________． 解答题：共70分。 17. 等比数列中，，． 求的通项公式； 记为的前项和．若，求． 18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：）绘制了如下茎叶图： 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； 求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
四川省内江市高考数学一模试卷（理科） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2020高二下·重庆期末) 已知集合，则（） A . {2} B . {3} C . D . 2. （2分）(2017·长春模拟) 已知平面向量，，则 A . B . 3 C . D . 5 3. （2分） (2019高一上·广州期末) 如图，在平行四边形中，分别为上的点，且 ，，连接交于点，若，则的值为（） A .
B . C . D . 4. （2分） (2019高一上·金华期末) 已知在梯形中，，且，，点为中点，则（） A . 是定值 B . 是定值 C . 是定值 D . 是定值 5. （2分） (2019高一上·连城月考) 函数定义域为R,且对任意 , 恒成立,则下列选项中不恒成立的是（） A . B . C . D . 6. （2分）某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示，该几何图形的体积或面积分别是（）
A . a3 ， a2 B . a3 ， C . a3 ， a2 D . a3 ， 7. （2分）若函数( ， )的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（） A . B . C . D . 8. （2分） (2017高二下·扶余期末) 运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（） A . B . C .
D . 9. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（） A . B . C . D . 10. （2分） (2019高三上·浙江月考) 函数的部分图象大致为（） A . B . C . D .
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是
2016年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（） A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（） A．24 B．48 C．60 D．72 5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）
A．9 B．18 C．20 D．35 7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足， 则p是q的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1 9．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处 的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞） 10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，
数学试题 第I 卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合， ，则 A ． B ． C ． D ． 2．已知复数12i z i +=，则||z = A ．5 B ．3 C ．1 D ．2i - 3．命题“”的否定是 A ． B ． C ． D ． 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于 A ．66 B ．90 C ．117 D ．127 5．在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC FA u u u v u u u v +＝ A ．BD u u u r B ． 2 1 C ．AC D ．21 6．已知tan 2θ=，则 ()()sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ?? +-- ???=?? +-- ??? A ．2 B ．2- C ．0 D ． 2 3 7．函数()2 11 a x f x x -=+-为奇函数的充要条件是
A ．01a << B ．1a > C ．01a <≤ D ．1a ≥ 8．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()2 90,5N ，若()80900.3P ξ≤<=， 估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ） A ．12 B ．20 C ．30 D ．40 9．函数()1 x f x x = -在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是 A ．1322 ?????? ， B ．[]1,2 C ．[]0,1 D ．[]1,3 10．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[ )0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为 A ．()1 e ,1- B ．()1 e ,e - C ．()()0,1e,?+∞ D ．( )()1 0,e 1,-?+∞ 11．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三 棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为 A ． 32 π B ．24π C ．6π D ．6π 12．双曲线()22 22:1,0x y C a b a b -=>的右焦点为F ，P 为双曲线C 上的一点，且位于第一象 限，直线,PO PF 分别交于曲线C 于,M N 两点，若?POF 为正三角形，则直线MN 的斜率等于 A ．22-- B ．32- C ．22+ D ．23-- 第II 卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设函数? ??<+≥-=)10()),5(() 10(,3)(x x f f x x x f ，则=)5(f ____________. 14．若x ，y 满足约束条件330, 330,0, x y x y y ?-+≥??+-≤?≥?? 则当1 3y x ++取最小值时，x y +的值为
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案 第I 卷（选择题 共50分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ． a b d c > D ．a b d c < 【答案】D 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B 7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类) 本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 2 4s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243 v R π= 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 n ()(1)(0,1,2,...)k k n k n P k C p p k n -=-= 第一部分（选择题 共60分） 注意事项： 1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （11四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）2 3 （11四川理2）复数1 i i -+= (A)2i - （B ）1 2 i （C ）0 （D ）2i （11四川理3）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ? （B ）12l l ⊥，23l l ?13l l ⊥[来源:https://www.doczj.com/doc/828440102.html,] (C)23 3l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 （11四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD (D)CF （11四川理5）函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也 不必要的条件 （11四川理6）在ABC ?中．2 2 2 sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是 (A)(0， 6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3 π ，π) （11四川理7）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1 ()()12 x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是 （11四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则 32b =-，1012b =，则8a = （A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 （11四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 （11四川理10）在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两 点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- （11四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时， 2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为 n S ，则lim n n S →∞ = （A ）3 （B ） 52 （C ）2 （D ）32 （11四川理12）在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有 作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．． 4的平行四边形的个数为m ，则m n =
2020年四川高考理科数学试题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．复数 1 13i -的虚部是 A ．310 - B ．110 - C ． 110 D ． 310 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 1 1i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53) ()= 1e t K I t --+，其中K 为最大确诊病 例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈ A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1 (,0)4 B ．1 (,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0) 6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6?=-a b ，则cos ,=+a a b A ．3135 - B ．1935 - C ． 1735 D ． 1935
2016年四川省高考数学试卷（文科） 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设i为虚数单位,则复数（1+i）2=（） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3 3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（） A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0） 4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度 5．（5分）设p:实数x,y满足x＞1且y＞1,q:实数x,y满足x+y＞2,则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点,则a=（） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 7．（5分）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）
B C 2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20} A x x x =--≤，集合B为整数集，则A B ?= A．{1,0,1,2} -B．{2,1,0,1} --C．{0,1}D．{1,0} - 2．在6 (1) x x +的展开式中，含3x项的系数为 A．30B．20C．15D．10 3．为了得到函数sin(21) y x =+的图象，只需把函数sin2 y x =的图象上 所有的点 A．向左平行移动 1 2 个单位长度B．向右平行移动 1 2 个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度 4．若0 a b >>，0 c d <<，则一定有 A． a b c d >B． a b c d
xx 年普通高等学校招生全国统一考试数学（四川理科）（word 版） 选择题 (1)复数 2 11i i i +-+的值是 （A ）0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2)函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是 (3)=----1 21 lim 211x x x x （A ）0 (B)1 (C)21 (D)3 2 (4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．． 的是 （A ）BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD （C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1角为60° （5）如果双曲线12 42 2=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的 距离是 （A ） 364 （B ）3 6 2 （C ）62 （D ）32 （6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都 是 2π，且三面角B -OA -C 的大小为3π ，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是
（A ） 67π （B ）45π （C ）34π （D ）2 3π （7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （8）已知抛物线 32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 （A ）3 （B ）4 （C ）23 （D ）24 （9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 3 2 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 （A ）36万元 （B ）31.2万元 （C ）30.4万元 （D ）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比xx0大的五位偶数共有 （A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 （11）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （A ）32 （B ） 3 6 4 （C ） 4 17 3 （D ） 3 21 2 （12）已知一组抛物线12 12 ++= bx ax y ， 其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ． 【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的 定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答． （2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A 【解析】由题可知，含4x 的项为242 46 C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容 易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则 其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为46444615C x x -=-i ． （3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ? ?=- ?? ?的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 （ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π 3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π 6个单位长度 【答案】D 【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ??? ???=-=- ? ?????? ???，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ． 【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变 换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1 ω 倍， 纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1 ω 倍，纵坐标不 变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ ω 个单位得sin()y ωx φ=+的图象． （4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个 位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有14 34C A 72?=，故选D ． 【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的 完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置． （5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发 资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30=） （A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B 【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，()130112%200x +=，
上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =I 2. 不等式 1 1x <的解集为 3. 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -= 4. 已知向量(1,2)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r 的方向上的投影为 5. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)1z ?+=，则||z = 6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是 7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好 有1个二等品的概率为 8. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若 (1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是 9. 已知等比数列11,,1,93 ???前n 项和为n S ，则使得2018n S >的n 的最小值为 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23 π 的扇形，则此圆锥的表面积为 11. 已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2π ω 个单位得到函数()g x 的 图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有 ()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为 12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22 124 x y -=上的两个动点， 动 点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r ，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点