【最新整理，下载后即可编辑】 第三章 3.10 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 1 M的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡．今在 1 M的下方再挂一质量为2M的物体，如题3.10图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r'为多少? 题3.10图 解: 在只挂重物时 1 M，小球作圆周运动的向心力为g M 1 ，即 2 1 ω mr g M= ① 挂上 2 M后，则有 2 2 1 ) (ω' ' = +r m g M M ② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即v m r mv r' ' = ω ω' ' = ?2 2 r r ③ 联立①、②、③得 1 2 1123 01 1 1213 2 12 () () M g mr M g M M mr M M M M r g r m M M ω ω ω = + '= + '==? '+ 3.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作
用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝50kg ，2m ＝200 kg,M ＝15 kg, r ＝0.1 m 解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有 a m T g m 222=- ① a m T 11= ② 对滑轮运用转动定律，有 β)2 1 (212Mr r T r T =- ③ 又， βr a = ④ 联立以上4个方程，得 2212s m 6.72 15 20058 .92002-?=+ +?= + += M m m g m a 题3.13(a)图 题3.13(b)图 3.15 如题3.15图所示，质量为M ，长为l 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度=θ 30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0v 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量?
班级： 姓名： 学号： ★说明：作业模板必须使用单张A4纸(21x29.7cm)正反面打印、复印或手抄；手写作答；若手抄题目请注意题目排版布局。 评 分 大学物理作业 第3章 刚体的定轴转动 一、计算题 1. 如图，一半径为R 质量为m 的定滑轮（可视为圆盘）挂在天花板上，可绕其轴自由转动。质量为1m 和2m （21m m >）的两个物体通过一轻绳挂在定滑轮两侧，由静止开始运动，假设绳与圆盘无相对滑动，试求： (1) 两物体的加速度；(2) 轻绳的张力。 2. 刚体由长为l 、 质量为m 的匀质细杆和一质量同为m 的小球牢固地连接在杆的一端而成，可绕过杆的另一端O 的水平轴转动，在忽略摩擦的情况下，使杆由水平位置自静止状态开始自由转下，试求： (1) 当杆与水平线成θ 角时，刚体的角加速度； (2) 当杆转到竖直线位置时，刚体的角速度。 θ O
Ver 1.0 二、填空题 1. 一长为l 质量为m 的均匀细杆的一端，牢固的粘在另一条同样规格的细杆中点，构成一T 字形结构的刚体。则该刚体 对过其结合处且与两杆所在平面垂直的转轴的转动惯量 =J 。 2. 如图所示，一轻绳绕于半径为r 的飞轮边缘，质量为m 的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动 惯量为I ，若不计摩擦力，飞轮的角加速度=α 。 3. 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为0J ，角速度为0ω；然后她将两臂收回，使转动惯量减少为30J ，这时她转动的角速度=ω 。 4. 设飞轮的转动惯量为J ，在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为正的常数k 。当0ωω=时，经历的时间=t ，此时飞轮的角加速度=α 。 5. 一飞轮以0ω的角速度转动，转动惯量为J ，现施加一恒定的制动力矩，使飞轮在2s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小=M 。 6. 如图所示，A 和B 两飞轮的轴杆 在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为A J 和B J 。开始时A 轮转速为0ω，B 轮静止。C 为摩擦合器，其转动惯量可 以忽略不计，A 、B 分别与C 的左右两个 组件相连，当C 的左右组件啮合时，B 轮得到加速而A 轮减速，直到两轮的转 速相等为止，设轴光滑，那么两轮啮合后共同的转速=ω 。 三、单项选择题 1. 有AB 两个半径相同、质量也相同的细圆环。其中A 环的质量分布均匀，而B 环的质量分布不均匀。若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别记为为A J 和B J ，则有（ ） (A) B A J J > (B) B A J J < (C)B A J J = (D)不能确定 2. 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑轴O 转动，如图所示，射来两个质量相同、速度大小相同、方向相反并 在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子 弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω将（ ） (A) 变大 (B) 变小 (C) 不变 (D) 不能确定 m O r C A B
第三章 刚体力学 3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩ωC M -=， 又因为转动定理 dt d J J M ω β== dt d J C ωω=-∴ dt J C d t ??-=∴00ωωωω t J C -=0ln ωω t J C e -=0ωω 当021ωω= 时，2ln C J t =。 （2）角位移?=t dt 0ωθ? -=2ln 0 0C J t J C dt e ωC J 0 21ω= ， 所以，此时间内转过的圈数为C J n πωπθ420== 。 3－2 质量为M ，半径为R 的均匀圆柱体放在粗糙的斜面上，斜面倾角为α ，圆柱体的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，且圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，如本题图所示，求被悬挂物体的加速度及绳中张力 解：由牛顿第二定律和转动定律得 ma T mg =- ααJ R Mg TR =-.sin 2 由平行轴定理 223MR J = 联立解得 g m M M m a 83sin 48+-=α mg m M M T 83)sin 43(++=α 3－3 一平板质量M 1，受水平力F 的作用，沿水平面运动， 如本题图所示，板与平面间的摩擦系数为μ，在板上放一质量为M 2的实心圆柱体，此圆柱体在板上只滚动而不滑动，求板的加速度。 解：设平板的加速度为a 。该平板水平方向受到拉力F 、平面施加的摩擦力1f 和圆柱体施加的摩擦力2f ，根据牛顿定律有，a M f f F 121=--。 m g
一、判断题 1. 刚体是质点与质点之间的相对位置保持不变的质点系。 ………………………………[×] 2. 刚体中任意质点都遵循质点力学规律。 …………………………………………………[√] 3. 定轴转动的刚体上的每一个质点都在作圆周运动，都具有相同的角速度。 …………[√] 4. 刚体对轴的转动惯量越大，改变其对轴的运动状态就越困难。 ………………………[√] 5. 刚体质量一定，其转动惯量也就一定。 …………………………………………………[×] 6. 当作用在刚体上的两个力合力矩为零时，则它们的合力也一定为零。 ………………[×] 7. 当作用在刚体上的两个力合力为零时，则它们的合力矩也一定为零。 ………………[×] 8. 平行于转轴的力对刚体定轴转动没有贡献。 ……………………………………………[√] 9. 刚体所受合外力矩为零时，刚体总角动量守恒。 ………………………………………[√] 10. 刚体对某一轴的角动量守恒，刚体的所受合外力矩为零。 ……………………………[×] 二、填空题 11. 质量为m 的质点沿半径为r 的圆周以速率v 运动，质点对过圆心的中心轴转动惯量J = 2 mr ，角动量L =mrv ；质量为m 的质点沿着直线以速率v 运动，它相对于直线外距离为d 的一点的角动量为L =m dv 。 12. 长度为l 的均匀细棒放在Oxy 平面内，其一端固定在坐标原点O 位置，另一端可在平面内 自由转动，当其转动到与x 轴正方向重合时，在细棒的自由端受到了一个34F i j =+ 牛顿 的力，则此力对转轴的力矩M =4l 。 13. 在Oxy 平面内有一个由3个质点组成的质点系，其质量分别为1m 、2m 、3m ，坐标分别为 ()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，则此质点系对 z 轴的转动惯量 J =()()()222222 111222333m x y m x y m x y +++++。 14. 质量为m 半径为r 的均匀圆盘绕垂直于盘面的中心轴转动，转动惯量J =2 1 2 m r ； 质量为m 长度为l 的细棒，对于经过细棒一端且垂直于棒的轴的转动惯量J = 2 13 m l ； 质量为m 长度为l 的细棒，对于与细棒中心轴平行、相距为4l 的轴的转动惯量J =2 748 m l ； 15. 如图1，一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的 小球，此系统在竖直平面内可绕过其中心点O 且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时，杆与水平成60 角，处于静止状态，无初速度地释放，杆球系统绕O 转动，杆与两小球为一刚体，绕O 轴转动惯量J = 2 34 m l 。释放后当杆转到水平位置时，刚体受到
习 3-1 惯性系S ′相对惯性系S 以速度u 运动．当它们的坐标原点O 与O '重合时，t =t '=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为： 2222)(ct z y x =++ 2222)(t c z y x '='+'+' 题3-1图 3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l ．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差． 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢)(S '系时空坐标为),(),(11 c l l t x =''，在车站)(S 系： )1()()(2121 1c u c l l c u c l x c u t t +=+='+'=γγγ 光信号到达后门为事件2，则在车厢)(S '系坐标为 ),(),(22 c l l t x -=''，在车站)(S 系： )1()(222 2c u c l x c u t t -='+'=γγ 于是 2 122c lu t t γ-=- 或者 l x x x t t t t 2,,02121='-'='?-=?='? )2()(22l c u x c u t t γγ='?+ '?=? 3-3 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计 时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104 m,1t =2×10-4 s ，以及2x =12×104 m,2t =1×10-4 s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2) S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1) )(1211 x c v t t -='γ )(2222 x c v t t -='γ 由题意 012='-'t t
o x B r ? A r B r y A r ? s ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 22r r x y ==+ 运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，22r x y =?+?△ 路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动
习题3 3.1选择题 (1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转 动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台 中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02ωmR J J + (B) 02)(ωR m J J + (C) 02ωmR J (D) 0ω [答案： (A)] (2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角 速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止， 其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题3.1（2）图 [答案： (A)] (3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端 连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。 （B ）动量不变，动能改变。 （C ）角动量不变，动量不变。 （D ）角动量改变，动量改变。 （E ）角动量不变，动能、动量都改变。 [答案： (E)] 3.2填空题 (1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘 上一点在飞轮转过240?时的切向加速度a τ= ，法向加速度
a n= 。 [答案：0.15; 1.256] (2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。 题3.2（2）图 [答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒] (3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B，则有J A J B 。（填>、<或=） [答案： <] 3.3刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
1 第三章 3.10 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡．今在1M 的下方再挂一质量为2M 的物体，如题3.10图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少? 题3.10图 解: 在只挂重物时1M ，小球作圆周运动的向心力为g M 1，即 2 001ωmr g M =① 挂上2M 后，则有 221)(ω''=+r m g M M ② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即v m r mv r ''=00 ωω''=?2020r r ③ 联立①、②、③得 100 2 1123 01 1121 30 212 ()()M g mr M g M M mr M M M M r g r m M M ωωω= +'=+'==?'+ 3.13计算题3.13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M ， 半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝50kg ，2m ＝200kg,M ＝15kg, r ＝0.1m
解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有 a m T g m 222=-① a m T 11=② 对滑轮运用转动定律，有 β) 2 1 (212Mr r T r T =-③ 又，βr a =④ 联立以上4个方程，得 2212s m 6.72 15 20058 .92002 -?=+ +?= + += M m m g m a 题3.13(a)图题3.13(b)图 3.15 如题3.15图所示，质量为M ，长为l 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度=θ 30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0v 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量? 题3.15图 解: (1)设小球的初速度为0v ， 棒经小球碰撞后得到的初角速度为ω，而小球的速度变为v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所 以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式： mvl I l mv +=ω0① 2 2202 12121mv I mv +=ω②
第三章 刚体的转动 一、 基本要求 1. 了解转动惯量概念，掌握刚体定轴转动的转动定律。 2. 理解角动量和刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。 3. 了解刚体定轴转动的功和能及能量守恒。 二、 基本内容 1．角速度矢量 角速度矢量 d dt = θω 在刚体定轴转动中，ω方向沿轴由右手螺旋法则确定，可用正、负表示。刚体上任一点的线速度v 与ω之间关系为=?r v ω。 2．角加速度矢量 角加速度矢量 d dt = ωβ 在刚体定轴转动中，β方向也沿轴，可用正、负表示。β与ω同向时转动 加快，β与ω反向时转动减慢。在刚体上任一点有 t n =???=??a r a v βω 3．力矩 力矩 =?M r F sin Fr ?=M ，?为r 与F 正向间夹角。M 的方向由右手螺旋法则确定。在定轴转动情况下，当规定了转动正方向后，可用正、负表示力矩的方向。 显然平行于转轴的力和作用线通过转动轴的力对该轴产生的力矩为零。在定轴转动情况下计算力矩时，只考虑力在转动平面内的分力对转轴的力矩。 4．转动惯量 ∑=?=n i i i m r J 12——定义式。 对于质量连续分布的刚体 dm r J ?=2 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量的大小与刚体的质量有关，
又与刚体质量的分布有关，还与转轴的位置有关。 关于转动惯量的计算：①转动惯量是可加的，应能用转动惯量的定义式求质点组、刚体组对某一转轴的转动惯量。②能计算质量均匀分布，几何形状简单的几种刚体的转动惯量。③会用平行轴定理求刚体或刚体组合对一任意（与质心轴平行的轴）轴的转动惯量。平行轴定理为2mh J J c +=。 5．刚体的转动定律 J =M β 或 d dt = L M 式中M 为作用于刚体上的合外力矩。i =∑M M ，i M 为作用刚体上任一外力对轴的力矩。对定轴转动，在规定了转动正方向后，∑=i M M ，可求合外力矩的代数和。定律中J 、、M β应对同一轴而言。转动定律在描述刚体定轴转动中与描述质点平动中牛顿第二定律地位相当。应用转动定律时应选定刚体转动的正方向，把转动定律变为标量式βJ M =。 6．角动量（动量矩）L 质点的角动量 m =?L r v sin rm ?=L v ，?为r 与m v 间夹角。 刚体绕定轴转动的角动量 J =L ω 7．角动量定理和角动量守恒定律 角动量定理 2 1 21t t dt J J =-? M ωω 2 1 t t dt ? M 表示在21t t →时间内的冲量矩之和。 式中12J 、、、M ωω均对同一轴而言。应用角动量定理求解问题、应选定转动正方向，把矢量式变为标量式。 角动量守恒定律，当0, 0,d dt ===常量L M L 。对于绕定轴转动的刚体，如果对固定轴的合外力矩为零，则对于该固定轴的角动量保持不变。 应用此定律应注意：①守恒条件为对固定轴的合外力矩为零（而不是合外力为零）。刚体受合外力为零时，受合外力矩不一定为零。②角动量守恒时，对绕固定轴转动的刚体，J 不变，ω不变，此时刚体作匀角速转动。若系统对某轴的转动惯量发生变化，则其转动角速度也随之变化，但ωJ 不变。 8．转动动能 转动动能 22 1 ωJ E k = 注意ω、J 应对同一轴而言。单位，焦耳。
第3章 刚体力学习题解答 3.13 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为 ):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。求t 时刻的角速度和角加速度。 解：23212643ct bt ct bt a dt d dt d -== -+== ωθβω 3.14桑塔纳汽车时速为166km/h ，车轮滚动半径为0.26m ，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？ 解：设车轮半径为R=0.26m ，发动机转速为n 1, 驱动轮转速为n 2, 汽车速度为v=166km/h 。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度， 909.0/2212Rn Rn v ππ==，所以： min /1054.1/1024.93426.014.3210 166909.02909.013 rev h rev n R v ?=?===????π 3.15 如题3-15图所示，质量为m 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r 1和r 2，求对通过其中心轴的转动惯量。 解：设圆柱体长为h ，则半径为r ，厚为dr 的薄圆筒的质量dm 为： 2..dm h r dr ρπ= 对其轴线的转动惯量dI z 为 232..z dI r dm h r dr ρπ== 2 1 222211 2..()2 r z r I h r r dr m r r ρπ== -? 3.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为 ，质量为 ，求对过细杆二端 轴的转动惯量。 解：如图所示，圆形细杆对过O 轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR 2，根据垂直轴定理z x y I I I =+和问题的对称性知：圆形细杆对过 轴的转动惯量为 1 2 mR 2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端 轴的转动惯量为：21 4 AA I mR '=
y 第一章质点运动学主要内容 一 . 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动
大学物理部分课后题参考答案 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 选择题：3.15—3.19 A A D D C 计算题： 3.24 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为0.5103kg和1.0103kg，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力） 解： （1）对于A船及抛出的重物和B船抛来的重物组成的系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒设A船抛出重物前的速度大小为v A、B船抛出重物前的速度大小为v B， AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 两船抛出的重物的质量均为m ．则动量守恒式为， 0B A A A =+-mv mv v m （1） （2）对于B 船及抛出的重物和A 船抛来的重物组成的 系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 设B 船抛出重物后的速度大小为V B ，则动量守恒式为， B B A B B B V m mv mv v m =+- （2） 联立（1）、（2）式并代入kg 105.03A ?=m 、kg 100.13B ?=m 、 kg 50=m 、m /s 4.3B =V 可得 m/s 4.0))((2B A B B A -=----= m m m m m mV m v 3.38用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉 子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木 板m 1000.12-?， 第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 解：因阻力与深度成正比，则有F = kx （k 为阻力系数）。
第三章 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡．今在1M 的下方再挂一质量为2M 的物体，如题图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少 题图 解: 在只挂重物时1M ，小球作圆周运动的向心力为g M 1，即 2 01ωmr g M = ① 挂上2M 后，则有 221)(ω' '=+r m g M M ② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 v m r mv r ''=00 ωω''=?2020r r ③ 联立①、②、③得 100 2 1123 01 1121 30 212 ()()M g mr M g M M mr M M M M r g r m M M ωωω= +'=+'==?'+ 计算题图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝50 kg ，2m ＝
200 kg,M ＝15 kg, r ＝0.1 m 解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有 a m T g m 222=- ① a m T 11= ② 对滑轮运用转动定律，有 β)2 1 (2 12Mr r T r T =- ③ 又， βr a = ④ 联立以上4个方程，得 2212s m 6.72 15 20058 .92002 -?=+ +?= + += M m m g m a 题(a)图 题(b)图 如题图所示，质量为M ，长为l 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度=θ 30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0v 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量 题图 解: (1)设小球的初速度为0v ，棒经小球碰撞后得到的初角速度
第3章 习题 一、填空题 3.1.1 跨过定滑轮的细绳下端系质量为m 的物体，在物体以4/g 的恒定加速度下落一段距离h 的 过程中，绳的拉力对物体做的功为 考察物体以 4 g 的恒定加速度下落一段距离h 的过程。设初速率为P v ，末速率Q v 满足 22 224Q P g v v a s h -=?= （3-1） 物体受到重力mg r 和绳子的拉力T r 的作用，合外力F r 做功为 Q Q Q mg T P P P A F dr mg dr T dr A A =?=?+?=+???r r r r r r （3-2） 注意到重力是保守力，其做功为 ()()()mg pQ pP Q P P Q A E E mgh mgh mg h h mgh =--=--=-= （3-3） 对物体使用动能定理，有 ()2222 111222 kQ kP Q P Q P A E E mv mv m v v =-=-=- （3-4） 联立（3-1）～（3-4），可求出绳的拉力对物体所做的功为 3 4 T A mgh =- 3.1.2 高m 100的瀑布每秒钟下落3 1200m 水，假设水下落过程中动能的75％由水力发电机转换成 电能，则此发电机的输出功率为 。 依题设，每秒钟有质量为 33361.0101200 1.210m V kg m m kg ρ-==???=? 的瀑布水下落。取水和地球为系统，在水从瀑布最高点下落h 的过程中，系统机械能守恒，有 k E mgh = 经水力发电机转换后的电能为 6875% 1.2109.810075%8.8210()E mgh J =?=????=?
第一章 质点运动学和牛顿运动 定律 平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim △t →△t △r =dt dr 速度v=dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 平均加速度a = △t △v 瞬时加速度（加速度）a=lim 0△t →△t △v =dt dv 瞬时加速度a=dt dv =2 2dt r d 匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 变速运动速度 v=v 0+at 变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+2 1 at 2 速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 自由落体运动 竖直上抛运动 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 抛体运动距离分量 ?? ? ?? -?=?=2 0021sin cos gt t a v y t a v x 射程 X= g a v 2sin 20 射高Y=g a v 22sin 20 飞行时间y=xtga — g gx 2 轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 向心加速度 a= R v 2 圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 加速度数值 a=2 2n t a a + 法向加速度和匀速圆周运动的向心 加速度相同a n = R v 2 切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv ωΦR dt d R dt ds v === 角速度 dt φ ωd = 角加速度 22dt dt d d φ ωα== 角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t = αω R dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受 到作用力而被迫改变这种状态。
第一章 质点运动的描述 小结 一、运动学特点：瞬时性、矢量性、相对性。 二、基本概念： 1、位矢：k z j y i x r ++= 位矢大小：2 22z y x r r ++== r 方向：由坐标原点指向质点。 2、速度：j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+== v 的大小： 2y 2x 2 2v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??== v 的方向：所在位置的切线向前方向。 3、速率：dt ds v v == 4、加速度： j a i a j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222y x +=+=+== a 的大小： 2 222222 y 2 x 2 y 2x dt y d dt x d dt dv dt dv a a a ??? ? ??+???? ??=??? ? ??+??? ??=+= 或自然坐标系中，n n t t t t e a e a dt e d v e dt dv dt v d a +=+== 大小： 2 22 2 n 2t r v dt dv a a a ??? ? ??+??? ??=+= 方向：t n a a tg = θ 三、运动描述 1、运动方程：⑴矢量式：k )t (z j )t (y i )t (x )t (r ++= ⑵标量式：)t (x x =，)t (y y =，)t (z z = 2、轨迹方程：0)y ,x (F =
3、圆周运动的角量描述： （1）角坐标 （2）角速度dt d θ=ω（3）角加速度2 2dt d dt d θ = ω=α 4、角量与线量的关系： ①ω=r v ②α=r a t ③2n r a ω= 四、相对运动 ME PM PE v v v += 五、运动类型 1、直线运动→≡0a n ，一维情况下，标量式代替矢量式。 2、曲线运动→≠0a n
思考题 3.1 什么是连续性方程？ 答：若以闭合表面内既无源，又无负源，则根据质量守恒，进入该闭合表面的净流量等于闭合表面内物质的增加率，应用在稳定流动的流管中，我们得到连续性方程：ρ1A1v1=ρ2A2v2。其中，ρ为密度,假设它在截面积A处是均匀的；v为经过截面积A处的平均速度（v与A垂直）。若流体又是不可压缩的，连续性方程简化为A1v1=A2v2。 3.2 什么是伯努利方程？ 答：流体是稳定的，非黏性的，不可压缩的，伯努利方程给出同一流线任两点处的压强 p，流速v，高度y满足p1+1 2 ρv12+ρgy1= p2+ 1 2 ρv22+ρgy2 注意伯努利方程中每一项都是取的单位面积的内的量值。方程指出：压力沿流线所作的功等于动能和势能的改变（都指单位面积）。 3.3 在定常流动中，流体是否可能加速运动？ 答：定常流动是指宏观上流体在空间某位置的流速保持不变，对某个流体质点而言，它在空间各点速度可能不同，也就是说，它可能是加速运动。 3.4 从水龙头徐徐流出的水流，下落时逐渐变细，为什么？ 答：据连续性原理知，，流速大处截面积小，所以下落时水的流速逐渐增大，面积逐渐减少变细。 3.5 两船平行前进时，若靠的较近，极易碰撞，为什么？ 答：两船平行前进时，两条流线方向相同，，如果靠的较近，两船之间的流速将大于两船外侧的流速，这样两船都将受到一个指向对方的一个压力的作用，极易造成两船碰撞，稍有晃动，流线重合，船体就会相撞。 3.6 两条流线不能相交，为什么？ 答：如果两条流线相交，那么焦点处就会出现两个速度，这个结论是错误的，所以两条流线不能相交。 3.7 层流和湍流各有什么特点？引入雷诺数有哪些意义？ 答：流线是相互平行的流动称层流。流体微团作复杂的无规则的运动称为湍流。无量纲的量雷诺数是层流向湍流过渡的一种标志。以临界雷诺数为准，小于它为层流，大于它为湍流。
第三章 刚体的定轴转动 3-1 （1）铁饼离手时的角速度为 (rad/s)250125===.//R v ω （2）铁饼的角加速度为 )(rad/s 83925 12225222 2..=??==πθωα （3）铁饼在手中加速的时间为 (s)628025 25 1222..=??= =πω θ t 3-2 （1）初角速度为 (rad/s)9206020020./=?=πω 末角速度为 (rad/s)3146030002=?=/πω 角加速度为 )(rad/s 9410 79 2031420 ...=-= -= t ωωα （2）转过的角度为 )186(rad 1017172 314 9202 30圈=?=?+= += ..t ω ωθ （3）切向加速度为 )(m/s 388209412t ...=?==R a α 法向加速度为 )(m /s 10971203142422n ?=?==..R a ω
总加速度为 )(m/s 10971)10971(378242422 n 2t ?=?+=+=...a a a 总加速度与切向的夹角为 958937 8101.97arctan arctan 4 t n '?=?==.a a θ 3-3 （1）对轴I 的转动惯量 222219)cos602(])cos60()cos60([2ma a a m a a a m J =?++?++?= 对轴II 的转动惯量 2223)sin60(4ma a m J =?= （2）对垂轴的转动惯量 2222312)2()cos30(222ma a m a m ma J =+?+= 3-4 （1）设垂直纸面向里的方向为正，反之为负，则该系统对O 点的力矩为 mgl l mg l mg l mg l mg M 4 3 8141418343430=?-?-?+= （2）系统对O 点的总转动惯量等于各部分对O 点的转动惯之和，即 222224 321048 37)43()43)(43(31)4)(4(31)4(ml l m l m l m l m J J J J J =+++=+++= （3）由转动定律 βJ M = 可得 l g ml mgl J M 373648 374320 0= ==β 3-5 （1）摩擦力矩恒定，则转轮作匀角加速度运动，故角
第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △ ，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向二.抛体运动 运动方程矢量式为 2012 r v t gt =+r r r 分量式为 02 0cos ()1sin ()2 αα==-?? ???水平分运动为匀速直线运动竖直分运动为匀变速直线运动x v t y v t gt
第3章动量守恒定律和能量守恒定律 习题 一选择题 3-1 以下说法正确的是[ ] （A）大力的冲量一定比小力的冲量大 （B）小力的冲量有可能比大力的冲量大 （C）速度大的物体动量一定大 （D）质量大的物体动量一定大 解析：物体的质量与速度的乘积为动量，描述力的时间累积作用的物理量是冲量，因此答案A、C、D均不正确，选B。 3-2 质量为m的铁锤铅直向下打在桩上而静止，设打击时间为t?，打击前锤的速率为v，则打击时铁捶受到的合力大小应为[ ] （A）mv mg t + ? （B）mg（C） mv mg t - ? （D） mv t? 解析：由动量定理可知，F t p mv ?=?=，所以 mv F t = ? ，选D。 3-3 作匀速圆周运动的物体运动一周后回到原处，这一周期内物体[ ] （A）动量守恒,合外力为零 （B）动量守恒,合外力不为零 （C）动量变化为零,合外力不为零, 合外力的冲量为零 （D）动量变化为零,合外力为零 解析：作匀速圆周运动的物体运动一周过程中，速度的方向始终在改变，因此动量并不守恒，只是在这一过程的始末动量变化为零，合外力的冲量为零。由于作匀速圆周运动，因此合外力不为零。答案选C。 3-4 如图3-4所示，14圆弧轨道(质量为M)与水平面光滑接触，一物体（质量为m）自轨道顶端滑下，M与m间有摩擦，则[ ]
（A ）M 与m 组成系统的总动量及水平方向动量都守恒,M 、m 与地组成的系统机械能守恒 （B ）M 与m 组成的系统动量不守恒, 水平方向动量守恒， M 、m 与地组成的系统机械能不守恒 （C ）M 与m 组成的系统动量不守恒, 水平方向动量不守恒，M 、m 与地组成的系统机械能守恒 （D ）M 与m 组成系统的总动量及水平方向动量都守恒，M 、m 与地组成的系统机械能不守恒 解析：M 与m 组成的系统在水平方向上不受外力，在竖直方向上有外力作用，因此系统水平方向动量守恒，总动量不守恒,。由于M 与m 间有摩擦，m 自轨道顶端滑下过程中摩擦力做功，机械能转化成其它形式的能量，系统机械能不守恒。答案选B 。 3-5 一辆炮车放在无摩擦的水平轨道上，以仰角θ发射一颗炮弹，炮车和炮弹的质量分别为车m 和m ，当炮弹飞离炮口时，炮车动能与炮弹动能之比为[ ] （A ）m m 车 （B ）车m m （C ）θ2 cos m m 车 D 、θ2cos 车 m m 解析：在水平方向上系统动量守恒，cos m v mv θ=车车， 所以，22221cos 2()cos 12k k m v E m m m E m m m mv θθ===车车车车车车。选D 。 3-6 如图3-6所示，一个质点在水平内作匀速率圆周运动，在自A 点到B 点的六分之一圆周运动过程中，下列几种结论中的正确应为[ ] （1）合力的功为零 （2）合力为零 （3）合力的冲量为零 （4）合力的冲量不为零 （5）合力不为零 M m 习题3-4图 习题3-6图