知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 222c b a =+
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦 斜边的对边A A ∠=sin c a
A =sin
1sin 0< B A sin cos = 1cos sin 22=+A A 余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c b A =cos 1cos 0< A =tan 0tan >A (∠A 为锐角) B A cot tan = B A tan cot = A A cot 1 tan = (倒数) 1cot tan =?A A 余切 的对边的邻边A A A ∠∠=cot a b A =cot 0cot >A (∠A 为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° αsin 0 2 1 2 2 2 3 1 αcos 1 23 2 2 2 1 0 αtan 0 3 3 1 3 - αcot - 3 1 3 3 0 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 B A cos sin =B A sin cos =) 90cos(sin A A -?=)90sin(cos A A -?= B A cot tan = B A tan cot = ) 90cot(tan A A -?=)90tan(cot A A -?= A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 斜边 A C B b a c A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 边角专项复习 一．填空题 1．计算：sin 60?= ；tan 60?= 。 2．在Rt ABC ?中，已知3 sin 5 α=，则cos α= ；α≈ 。（精确到1秒） 3．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。 4．比较下列三角函数值的大小：（用“<”小于号连接） s i n 5,s i n 85,s i n ???，它们的大小为： 。 5．若A ∠是锐角，1 cos 3 A =，则sin(90)A ?-= 。 :i h l =h l α A 6．若A ∠是锐角，2 cos 2 A = ，则A ∠= 。 7．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸边上的一点，测得 30ABC ∠=?，60ACB ∠=?，BC 50=米，则A 到岸边BC 的距离是 米。。 8．0tan30(tan1525'19")?+?= 。 9．一天在升旗时小苏发现国旗升至5米高时，在她所站立的地点看国旗的仰角是45?，当国旗升至旗杆顶端时国旗的仰角恰为60?，小苏的身高是1米6，则旗杆高 米。（将国旗视作一点,保留根号） 10．化简： sin 30tan 60sin 60? -?=? 。 11．在ABC ?中，若90C ∠=?，1sin 2A =，1 2 AB =，则ABC ?的周长为 。 12．在ABC ?中，若A ∠为锐角，且sin 0.53A =，tan 0.82B =， 则C ∠= 。(精确到1秒) 二．选择题 1．在一个钝角三角形中，如果一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个锐角的余弦值（ ） A ．都没有变化 B ．都扩大3倍 C ．都缩小为原来的1 3 D ．不能确定是否发生变化 2．在ABC ?中，::1:2:1A B C ∠∠∠=，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:1 B ．1:2:1 C ．1:3:2 D ．1:2:3 3．解Rt ABC ?，90C ∠=?，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，结果错误的是（ ） A ．cos b c A = B ．tan a b A = C ．sin a c A = D ． tan a b B = 4．计算22 1sin 60tan 45()3 -??--结果是（ ） A ． 94 B ．114 C ． 94- D ．114 - 5．若sin cos 2A A +=，则锐角A 等于（ ） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 6．等腰三角形的顶角是120?，底边上的高为30，则三角形的周长是（ ） A ．120303+ B ．120603+ C ．150203+ D ．15033+ 7．在ABC ?中，90C ∠=?，且两条直角边,a b 满足22430a ab b -+=，则tan A 等于（ ） A ．2或4 B ．3 C ．1或3 D ．2或3 8．在ABC ?中，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，5,12,13a b c ===，下列结论成立的是（ ） A ．12sin 5A = B ．5cos 13A = C ．5tan 12A = D ．12 cos 13 B = 三．不用计算器计算： （1）sin 30cos 45cos 60sin 45?-? ?-? （2）22(tan 45)cos 302cos301?-?-?+ （3）sin 353tan 3012sin 60cos55? ?-- +?? 四．解答题 1．如图，在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，CD 是中线，6,5BC CD ==，求sin ,cos ACD ACD ∠∠和tan ACD ∠。 2．如图，甲楼每层高都是3.1米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为30?，两楼相距有多远？（结果精确到0.1米） 2．一艘船由A 港沿东偏北30?方向航行20千米至B 港，然后再沿东偏南60?方向航行20千米至C 港，求：（1）A ，C 两港之间的距离（结果精确到0.1千米） （2）确定C 港在A 港的什么方位？ 3．如图，Rt ABC ?是一防洪堤背水波的横截面图，斜坡AB 的长为13米，它的坡角为45?， 为了提高防洪堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比1:1.5的斜坡AD ，求DB 的长（结果保留 根号） 30? A B C D A 4．如图，气象大厦离小伟家80米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是42?，而大厦底部的俯角是34?，求该大厦的高度（结果精确到0.1米） 5．燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图是一个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为65?，外口宽AD=150mm ，燕尾槽的深度为60mm ，求它的里口宽BC （精确到1mm ） 直角三角形的边角关系测试题1 一:选择题 1、ABC Rt ?中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、 51 B 、53 C 、 34 D 、 4 3 2、已知∠A +∠B = 90°，且A cos =5 1 ，则B cos 的值为……………………【 】 A 、 51 B 、54 C 、 5 6 2 D 、 52 3、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、8 4、在ABC Rt ?中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 3 B 、300 C 、 3 50 D 、1５0 ５、一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间 的关系为Ｓ＝2 210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为……【 】 34?42?80米 150 60 65? A B C D A 、 72米 B 、36米 C 、336米 D 、318米 6、在ABC Rt ?中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ?= B 、B c a cos ?= C 、B a c tan = D 、A a c sin ?= 7、若∠A 为锐角，132tan tan =? A ，则∠A 等于…………………………【 】 A 、 32 B 、 58 C 、 )321( D 、 )58 1( 8、如果把ABC Rt ?的三边同时扩大n 倍，则A sin 的值……………………【 】 A 、不变 B 、扩大n 倍 C 、缩小n 倍 D 、不确定 9、ABC ?中，∠C=90°，AC=52，∠A 的角平分线交BC 于D ，且AD= 153 4 ， 则A tan 的值为【 】 A 、 1558 B 、3 C 、3 3 D 、31 10、如图ABC ?中，A D 是B C 上的高，∠C=30°，BC=32+ ，2 1 tan = B ， 那么AD 的长度为【 】 A 、 21 B 、1 C 、2 321+ D 、331+ 二：填空题 11、如图P 是α∠的边OA 上一点,P 的坐标为(3,4), 则=αsin 。 12、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为 120，此三角形面积为 。 13、已知方程01272 =+-x x 两根为直角三角形的两直角边 ，则其最小角的余弦值为 。 14、如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼 顶仰角为α=30，观测乙楼的底部俯角为β=45，试用含α、β的 三角函数式子表示乙楼的高=h 米。 15、在ABC Rt ?中，∠C=90° ，CD 是AB 边上的中线，BC=8， CD=5，则=∠ACD tan 。 三：计算 16、计算0)12(60tan 45tan 30cos 2-+-+ 18、在ABC Rt ?中，∠C=90° ，且2 1 sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠. 19、已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =0 90，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积 S 四边形ABCD . 四：解答题 20、欲拆除一电线杆AB ，已知电线杆AB 距水平距离14m 的D 处有有大坝，背水坡CD 的坡度1:2=i ，坝高 C F 为2m ，在坝顶C 处测地杆顶的仰角为 30，D 、E 之间是宽度位2m 的人行道。试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全是否需要将此人行道封闭？请说明你的理由（在地面上以B 为圆心，以AB 为半径的图形区域为危险区域，414.12,732.13≈≈）。 直角三角形的边角关系测试题2 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB 的值是（ ） A.4/5 B.3/5 C.3/4 D.4/3 2、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 3、等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（ ） A ．4 B ．23 C ．2 D ．22 4、如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ） A ．83 B ．43 C ．23 D ．8 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A = 6、△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2 |tan 3|2sin 30B A -+-=（），则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形 7、已知tan 1α=，那么 2sin cos 2sin cos αα αα -+的值等于（ ） A ． 13 B ． 12 C ．1 D ． 16 8、如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米 9、如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=3 5 ，AB =4， 则AD 的长为（ ） A ．3 B ． 163 C ． 203 D ． 165 10、如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） A ．1 B ．2 C ． 22 D ．3 二、耐心填一填： 11．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 12、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA= 3 5 ，cosA 13、比较下列三角函数值的大小：sin400 sin500 14、化简： sin 30tan 60sin 60? -?=? 15、若A ∠是锐角，cosA > 2 3 ，则∠A 应满足 16、小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部6米处测得顶端的仰角是600 ，小芳的身高不计，则旗杆高 米。 17、在ABC ?中，若90C ∠=?，1 sin 2 A = ，2AB =，则ABC ?的周长为 18、已知菱形ABCD 的边长为6，∠A=600 ，如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=23，那么AP 的长为 三、细心做一做： 19、如图，CD 是平面镜，光线从A 出发经CD 上点E 发射后照射到B 点。若入射角为α， AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11求tan α的值。 B α A C E D 20、在ABC ?，?=∠90C ，5,3==AB BC ，求A A A tan ,cos ,sin 的值。 21、如图，在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。 22、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为450 （如图所示），求挖土多少立方米。 23、如图10，在电线杆上离地面高度5米的C 点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 与地面成45°角，试求两根拉线的长度． 四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。） 24、如图11为住宅区内的两幢楼，它们的高AB =CD =30m ，两楼间的距离AC =24m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？ 25、如图，为测得峰顶A 到河面B 的高度h ，当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α，前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上). (1)用含α、β和m 的式子表示h ； (2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h 的值. （精确到0.1m ，2≈1.41，3≈1.73） A B C D D C B A 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ， 如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人：王震宇 张洪林 一、选择题（30分） 1、如果∠A 是锐角，且A cos A sin =，那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α，那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A 的正切值（ ） A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，则sin A 的值等于（ ） A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角，下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α，那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α，那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中，∠C =90°，53 sin = A ，则BC ∶AC 等于（ ） A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5： 9、 如果α是锐角，且5 4 sin = α，那么)90cos(α-?=（ ） A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC =3，BD =6，CD =11，则tan α的值为（ ） 初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90? 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 1 锐角三角函数专项练习题 在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： ) 正切的邻边的对边Atan??baA?tan0tan?A (∠A为锐角) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 30°、45°、60°特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° ?cos232221 ?tan33 1 3 基础练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD等于( ) A．43； B．34； C．53； D．54 2．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( ) A． sinA=135； B．cosA=1312； C． tanA=1213； D．tanB=125 )90cot(tanAA???)90tan(cotAA??? BAcottan? BAtancot?)90cos(sinAA???)90sin(cosAA??? BAcossin?BAsincos?A90B90??????????得由BA 对边 邻边斜边 A C B b a c A90B90??????????得由BA D C A B 2 3 ..在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=4,BC=3,则sinA=（）. A. 43; B. 34; C. 53; D. 54. 4 在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=22,则cosB的值是( ). A. 21; B. 23; C.1; D. 22. 5. 4sintan5????若为锐角,且，则为( ) 933425543ABCD． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式 是（） A． c =sinaA B． c =cosaA C．c = a·tanA D． c = tan aA 7、??45cos45sin?的值等于（） A.2 B. 213? C. 3 D. 1 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，2sin3A?，则边AC的长是（） A5 B．3 C43 D13 9．如图，两条宽度均为40m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图 中阴影部分)的路面面积是（） A.?sin1600(m2) B.?cos1600(m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝31，则 tanA＝（） 锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233 ? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B 初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα 教师：学生：年级：初三_学科：数学日期：星期：时段：一、课题1、锐角三角函数 二、教学目标1、了解正弦、余弦、正切的基本概念 2、掌握几个重要的三角函数值 3、三角函数的应用 三、教学重难点1、了解正弦、余弦、正切的基本概念 2、掌握几个重要的三角函数值 3、三角函数的应用 四、教学课时1课时 五、教学方法教授法、练习法、讨论法 六、教学过程基本知识点： 1、知勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222 a b c += 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 定义表达式取值范围关系（A+B=90） 正 弦斜边 的对边 A A ∠ = sin 1 sin 0< A (∠A为锐角) B A cot tan= B A tan cot= A A cot 1 tan=(倒数) 1 cot tan= ?A A 余 切的对边 的邻边 A A A ∠ ∠ = cot cot> A (∠A为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 ) 90 cos( sin A A- ? = ) 90 sin( cos A A- ? = B A cos sin= B A sin cos=A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 对 邻 斜 A C B b a c中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
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