某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达服从泊松分布，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求1.修理店空闲的概率2.店内恰有3个顾客的概率3.店内至少有一个顾客的概率4.在店内的平均顾客数5.每位顾客在店内的平均逗留时间6.等待服务的平均顾客数7.每位顾客平均等待服务时间
本问题可以看成一个M/M/1/∞排队问题，其中 λ=4，μ=1/0.1=10；ρ=λ/μ=0.4<1
(1)修理店空闲的概率 p0=1-ρ=1-0.4=0.6
(2)店内恰有三个顾客的概率 p3=p0ρ3=0.6×0.43=0.038
(3)店内至少有一个顾客的概率 P{N≥1}=1-p0=0.4
(4)在店内的平均顾客数 L=ρ/(1-ρ)=0.4/(1-0.4)=0.667(人)
(5)每位顾客在店内的平均逗留时间W=L/λ=0.67/4=10（分钟）W=1/(μ-λ)=1/(10-4)=10（分钟）
(6)等待服务的平均顾客数 Lq=ρL=0.4×0.67=0.267(人)Lq=L-ρ=2/3-0.4=0.267（人）
(7)每位顾客平均等待服务时间 Wq=Lq/λ=0.267/4=4（分钟）Wq=ρW=0.4×10=4（分钟）
某修理站只有一个修理工，且站内最多停放3台待修的机器。设待修机器按Possion 流到达，平均每分钟到达一台；修理时间服从负指数分布，平均没1.25分钟可修理一台。试求该系统的有关指标
该系统可以看出为一个M/M/1/4排队系统，其中λ=1，μ=1/1.25=0.8，ρ=λ/μ=1.25，K=4 由公式，p0=(1-ρ)/(1-ρk+1)=(1-1.25)/(1-1.255)=0.122
顾客的损失率 p4=ρ4p0=1.254×0.122=0.298
顾客有效到达率 λe=λ(1-p4)=1-0.298=0.702
平均队长L L=2.44(台)
等待队长Lq Lq=L-(1-p0)=2.44-(1-0.122)=1.56(台)
平均逗留时间 W=L/λe=2.44/0.702=3.48(分钟)
平均等待时间 Wq=W-1/μ=3.48-1/0.8=2.23（分钟）
设货船按Possion 流到达某一港口，平均到达率为λ=50条/天，平均卸货率为μ。又已知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均卸货费为μcs ，其中cs=2，现求出使总费用最少的平均服务率μ* 解：λ=50，cw=1，cs=2，带入公式得 即使总费用最省的平均服务率为55艘/天
M/M/1/∞模型
ρ为服务强度，表示服务台忙碌的概率
服务台空闲的概率p0为1-ρ pn=ρnp0
平均队长L=ρ/(1-ρ)=λ/(μ-λ) 平均等待队长Lq=L-ρ=Lρ
平均逗留时间W=L/λ 平均等待时间Wq=Lq/λ=W -1/μ
M/M/1/K 模型 p0会告诉数值 pn=p0ρn L=p/(1-p)-(k+1)p*(k+1)/1-p*(k+1) p 不等于1 L=k/2 p=1
平均等待队长Lq=L-(1-p0) p0系统中没有顾客的概率
有效到达率λe=λ(1-pK) pn 顾客的损失率
平均逗留时间W=L/λe 平均等待时间Wq=Lq/λe=W -1/μ
当k=1时，上述结论仍成立
P0=1/(1+p) P1=p/(1+p) L=P1 拉e=拉P0=拉/(1+p) W=L/拉e=p/拉=1/u Lq=0 Wq=0
M/M/s/∞模型
5525050*=+=+=λλμs w c c
正在接收服务的平均顾客数，也就是正在忙碌的服务台个数为ρ，与服务台个数s 无关。 单服务台排队模型M/M/1/∞
确定最优的服务率μ使总成本最小 Z=csμ+cwL 求解后得到
cs 为μ=1时单位时间内的服务成本 cw 为每个顾客在系统中逗留单位时间的费用 平均队长L=Lq+p 平均逗留时间W=L/拉 平均等待时间Wq=Lq/拉=W-1/u
λλμs w c c +=*
第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 （ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。
《运筹学》第六章排队论习题 1. 思考题 （1）排队论主要研究的问题是什么； （2）试述排队模型的种类及各部分的特征； （3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义； （4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分 布的主要性质； （6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系 与区别。 2．判断下列说法是否正确 （1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后， 系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人 看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负 指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需12分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数； （3）病人在门诊部的平均逗留时间； （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？ 5．某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4名顾客到达，到达过程为Poisson 流，，服务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过3名顾客，求： （1）系统内没有顾客的概率； （2）系统内顾客的平均数；
《运筹学》第六章排队论习题 转载请注明 1. 思考题 （1）排队论主要研究的问题是什么； （2）试述排队模型的种类及各部分的特征； （3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义； （4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分 布的主要性质； （6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系 与区别。 2．判断下列说法是否正确 （1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后， 系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人 看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负 指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需12分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数； （3）病人在门诊部的平均逗留时间； （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？ 5．某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4名顾客到达，到达过程为Poisson 流，，服务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过3名顾客，求：
３２８ 习题十三 13.1 某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。设申诉以λ＝4件/天的普阿松流到达，该协会每天可以处理申诉5件，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。试求： （1）一年内有多少天无一件申诉； （2）一年内多少天处理不完当天的申诉。 13.2 来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均每小时20人。餐厅于上午11：00开始营业，试求： （1）当上午11：07有18名顾客在餐厅时，于11：12恰好有20名顾客的概率（假定该时间段内无顾客离去）； （2）前一名顾客于11：25到达，下一名顾客在11：28至11：30之间到达的概率。 13.3 某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，服务时间服从均值为0.5分钟的负指数分布，试求： （1） 银行内空闲时间的概率； （2） 银行内顾客数为n 时的稳态概率； （3） 平均队列长Lq ； （4） 银行内的顾客平均数Ls ； （5） 平均逗留时间Ws ； （6） 平均等待时间Wq 。 13.4 某加油站有一台油泵。来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为4 n （n ＝0，1，2，3，4）。油泵给一辆汽车加油所需时间为具有均值3分钟的负指数分布。 （1）画出此排队系统的速率图； （2）导出其平衡方程式； （3）求出加油站中汽车数的稳态概率分布； （4）求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。 13.5 某无线电修理商店保证每件送到的电器在一小时内修完取货，如超过一小时则分文不取。已知该商店每修理一件平均收费10元，其成本平均每件5.50元。已知送来修理的电器按普阿松分布到达，平均每小时6件，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。试问： （1）该商店在此条件下能否盈利； （2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。 13.6 某企业有5台车运货，已知每台车每运行100小时平均需维修2次，每次需时20分钟，以上分别服从普阿松及负指数分布。求该企业全部车辆正常运
第四章 排队模型 两类排队模型： 1. Markov 排队模型 2. 非Markov 排队模型 Markov 排队模型： 4-0 Little 定理 1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明 定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系: 为到达流的强度 系 系λλ1 4.-=L W 证明: 设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数. Y(t)
在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为: Z(t)=X(t)-Y(t) 在足够长的时间T 来考虑有: 队 队系 系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时 间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W T t t i t t T t T t T T dt t Z T L i i i i i i i i i i T .: .:. ..,: .11 ]1*[1][1)(10λλλλλ ==--=--= ?= ===∑∑∑∑?
4-1 M/M/1/0 (单通道损失制) 服务员数：n=1 队长：m=0 M -- 到达流为Poisson,流强λ M -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=?-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1} "0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)； "1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图： Fokker-Plank k 方程： 可得: )0(1 )0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=?? P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ 联立求解4-1与4-3得： λ
11. 排队论 11.1基本概念 排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。 因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图11所示: 1. 11 图1. 11给出了一些现实排队系统的例子。 表1. 表11.1: 排队系统应用 商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台 运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车 制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线 社会服务法庭,医疗机构 11.1.1排队系统的特征 为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。表11列举了一些排队系统的到达和服务过程。 2. 表11.2: 排队系统举例 )1(到达过程 通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。在许多
(Poisson流,或指数分布。顾客源可能是有限实际情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松) 的,也可能是无限的。顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。 一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。比如,当一家航空公司的电话订票中心出现排队时,如果顾客等待时间太长,他就可能挂断电话。顾客就会选择另外一家航空公司。 )2(服务过程 为了描述排队系统的服务过程,我们需要确定服务时间的概率分布。在大多数情况下,服务时间是独立于排队系统中的顾客数量,即服务机构不会因为顾客数量增多而加快服务进度。不同服务机构提供的服务时间之间是相互独立,并都服从同一种概率分布,而且也独立于顾客相继到达间隔时间。服务时间一般分为确定型的和随机型的。在大多数情形下,服务时间的是随机型的,排队论主要研究随机型的服务时间。对于随机型的服务时间,我们必须知道它的概率分布,通常假定是指数分布。 从服务队列的安排上来说,我们将重点研究以下几种形式。从队列的数目来看,可以是单 11说明了一个服列,也可以是多列。服务机构在提供服务时,可以有一个或多个服务台。图2. 务台的排队系统: 顾客到达流顾客队列服务台 11 图2. 在有多个服务台的情形中,它们可以是并列,可以是串列,也可以是混合排列,最典型的是以下二种排队方式: 顾客到达流顾客队列服务台 11 图3.
第十二章排队论 1．排队 一般的排队系统都有3个基本组成部分：输入过程，排队规则，服务机构。 输入过程： (1)顾客源的组成可能是有限的也可能是无限的。 (2)顾客到达的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。 (3)顾客相继到达的间隔时间可以是确定的，也可以是随机的。 (4)顾客之间到达可以是相互独立的或关联的。 (5)输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的，即指间隔时间的分布和所含参数均与时间无关，否则称为非平稳的，不过一般总假定是平稳的。 2．三种排队规则 (1)损失制：顾客到达后发现服务台正被占用，则离去。 (2)等待制：顾客到达后发现服务台正被占用，排队等侯。 等待制的服务规则：①先到先服务；②后到先服务；③随机服务；④有优先权服务。 (3)混合制：是等待制和损失制相结合的一种排队服务规则。有两种： ①队长有限制的情况，即当顾客排队等待服务的人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务。 ②排队时间有限制的情况，当顾客排队时间超过一定时间时，顾客就自动离去。 服务机构情况：服务机构可以从下述几个方面来描述。 ①服务台数量及布置形式。
从数量上来看，是单服务台还是多服务台，在多服务台的情况下，是串列的还是并列的，或是串、并列结合的，如图12—1所示。 ②在某一时刻接受服务的顾客数，即每个服务台每次对单个顾客还是成批顾客。 ③服务时间分布，服务时间和顾客来到时间一样，多数情况下是随机的。 常见的分布有：泊松分布，负指数分布，爱尔朗分布等。 3．排队模型有关指标与记号 (1)系统状态——指一个排队服务系统中顾客数(包括正在被服务的顾客数)； (2)队长——指系统中等待服务的顾客数，它等于系统状态减去正在被服务的顾客数； (3)N(t)——在时刻t排除服务系统中的顾客数，即系统在时刻t的瞬时状态；
第六章排队论模型 排队论起源于1909 年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 图1 排队模型 图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员 组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过 程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能 有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 -118-
第9章排队论 判断下列说法是否正确： 09100011、若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布； 09100021、假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布； 09100031、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； 09100041、对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流； 09100051、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； 09100061、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态； 09100071、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； 09100081、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统； 09100091、在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长； 09100101、在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修 的平均时间不变。 M/M/1 09301012、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6小时，求： （1）理发店空闲时间的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率； （4）在店内顾客平均数； （5）在店内平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待服务时间； （8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
排队论习题集汇总_解答 例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求 1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。 根据题意, λ=100辆/小时， μ1=15秒=240 1（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。 因此 12 5 240100==μλ= ρ 系统空闲的概率为： 583.012 712511P 0==- =ρ-= 系统忙的概率为： 417.012 5 )1(1P 10== ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为： 243.0144 35127125)1(P 1==?= ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为： 101.01728 175127125)1(P 2 2 2==???? ??=ρ-ρ= 系统中有3辆车的概率为： 0422.020736 875127125)1(P 3 33==???? ??=ρ-ρ= 1. 思考题 （1）排队论主要研究的问题是什么； （2）试述排队模型的种类及各部分的特征； （3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义； （4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分 布的主要性质； （6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系
与区别。 2．判断下列说法是否正确 （1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后， 系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人 看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负 指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需12分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数； （3）病人在门诊部的平均逗留时间； （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？ 5．某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4名顾客到达，到达过程为Poisson 流，，服务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过3名顾客，求： （1）系统内没有顾客的概率； （2）系统内顾客的平均数； （3）排队等待服务的顾客数； （4）顾客在系统中的平均花费时间； （5）顾客平均排队时间。 6．某街区医院门诊部只有一个医生值班，此门诊部备有6张椅子供患者等候应诊。当椅子坐满时，后来的患者就自动离去，不在进来。已知每小时有4名患者按Poisson 分布到达，每名患者的诊断时间服从负指数分布，平均12分钟，求： （1）患者无须等待的概率； （2）门诊部内患者平均数； （3）需要等待的患者平均数；
某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达服从泊松分布，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求1.修理店空闲的概率2.店内恰有3个顾客的概率3.店内至少有一个顾客的概率4.在店内的平均顾客数5.每位顾客在店内的平均逗留时间6.等待服务的平均顾客数7.每位顾客平均等待服务时间 本问题可以看成一个M/M/1/∞排队问题，其中 λ=4，μ=1/0.1=10；ρ=λ/μ=0.4<1 (1)修理店空闲的概率 p0=1-ρ=1-0.4=0.6 (2)店内恰有三个顾客的概率 p3=p0ρ3=0.6×0.43=0.038 (3)店内至少有一个顾客的概率 P{N≥1}=1-p0=0.4 (4)在店内的平均顾客数 L=ρ/(1-ρ)=0.4/(1-0.4)=0.667(人) (5)每位顾客在店内的平均逗留时间W=L/λ=0.67/4=10（分钟）W=1/(μ-λ)=1/(10-4)=10（分钟） (6)等待服务的平均顾客数 Lq=ρL=0.4×0.67=0.267(人)Lq=L-ρ=2/3-0.4=0.267（人） (7)每位顾客平均等待服务时间 Wq=Lq/λ=0.267/4=4（分钟）Wq=ρW=0.4×10=4（分钟） 某修理站只有一个修理工，且站内最多停放3台待修的机器。设待修机器按Possion 流到达，平均每分钟到达一台；修理时间服从负指数分布，平均没1.25分钟可修理一台。试求该系统的有关指标 该系统可以看出为一个M/M/1/4排队系统，其中λ=1，μ=1/1.25=0.8，ρ=λ/μ=1.25，K=4 由公式，p0=(1-ρ)/(1-ρk+1)=(1-1.25)/(1-1.255)=0.122 顾客的损失率 p4=ρ4p0=1.254×0.122=0.298 顾客有效到达率 λe=λ(1-p4)=1-0.298=0.702 平均队长L L=2.44(台) 等待队长Lq Lq=L-(1-p0)=2.44-(1-0.122)=1.56(台) 平均逗留时间 W=L/λe=2.44/0.702=3.48(分钟) 平均等待时间 Wq=W-1/μ=3.48-1/0.8=2.23（分钟） 设货船按Possion 流到达某一港口，平均到达率为λ=50条/天，平均卸货率为μ。又已知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均卸货费为μcs ，其中cs=2，现求出使总费用最少的平均服务率μ* 解：λ=50，cw=1，cs=2，带入公式得 即使总费用最省的平均服务率为55艘/天 M/M/1/∞模型 ρ为服务强度，表示服务台忙碌的概率 服务台空闲的概率p0为1-ρ pn=ρnp0 平均队长L=ρ/(1-ρ)=λ/(μ-λ) 平均等待队长Lq=L-ρ=Lρ 平均逗留时间W=L/λ 平均等待时间Wq=Lq/λ=W -1/μ M/M/1/K 模型 p0会告诉数值 pn=p0ρn L=p/(1-p)-(k+1)p*(k+1)/1-p*(k+1) p 不等于1 L=k/2 p=1 平均等待队长Lq=L-(1-p0) p0系统中没有顾客的概率 有效到达率λe=λ(1-pK) pn 顾客的损失率 平均逗留时间W=L/λe 平均等待时间Wq=Lq/λe=W -1/μ 当k=1时，上述结论仍成立 P0=1/(1+p) P1=p/(1+p) L=P1 拉e=拉P0=拉/(1+p) W=L/拉e=p/拉=1/u Lq=0 Wq=0 M/M/s/∞模型 5525050*=+=+=λλμs w c c
习题五 [5-1] 设某地铁站口顾客流是泊松流，每小时平均有120人乘车，求在1分钟内无人乘车，有1、2、3、4人乘车的概率，1分钟内有超过1人乘车的概率。 [5-2] 设货车按泊松流到达车站，平均每天到达2辆，装卸货物时间服从负指数分布，平均每天可装卸3车。求每辆货车在车站平均停留时间，平均有多少车在排队等待装卸。 [5-3] 设某个售票点只有一个窗口，顾客到达服从泊松分布，平均每分钟到达1人，窗口售票时间服从负指数分布，平均每分钟可服务2人。求系统平稳状态下的平均队长、平均等待队长、平均等待时间、顾客逗留时间、顾客不等待的概率以及等待队长超过5人时的概率。 [5-4] 某超市的顾客按泊松流到达，平均每小时12人，收款台收费时间服从负指数分布，平均每位顾客需要4分钟。求该超市的效益指标。 [5-5] 设某产品是生产过程中需要的，若进货过多，会造成保管费增加，若存货不足会影响生产，因此需要找到合理的库存量S ，使得库存费用与缺货损失的总和最小。设对这种产品的需求量是泊松分布，参数为λ，生产这种产品的时间服从负指数分布，参数为μ。库存一件该产品单位时间费用为C ，缺少一个该产品造成损失H ，求最优库存S 。 [5-6] 设某单位需要购置计算机，一种方案是购置一台大型计算机，一种方案是购置n 台微型计算机，每台微型计算机是大型计算机处理能力的1/n 。设要求上机的题目是参数为λ的泊松流，大型与微型计算机计算题目时间是服从负指数分布，大型计算机的参数为μ，试从平均逗留时间、平均等待时间分析，选择哪种方案合适。 [5-7] 设某信访部门的接待人员每天工作10小时，来访人员的到来和接待时间都是随机的，每天平均有90人到来，接待的平均速率为10人/小时。求排队等待的平均人数，等待接待的人多于2人的概率，若要使等待的人平均为2人，接待的速率应提高多少？ [5-8] 设[0,t )内到达的顾客服从泊松分布，参数为λ。只有单个服务员、服务时间为负指数分布，平均服务时间为1/μ。试证明：(1) 在服务员的服务时间内到达顾客的平均数为λ/μ；(2) 在服务员的服务时间内无顾客到达的概率为μ/(λ+μ)。 [5-9] 设有单个服务员、服务时间为负指数分布的排队系统，平均服务时间为1/μ；到达服务点的顾客数服从泊松分布，参数为λ，求顾客到达时系统中已有n 个或n 个以上的顾客的概率。 [5-10] 设有题5-9所给定的排队服务系统，设排队已经到达统计平稳状态。服务的规则是先到先服务。设y 代表一顾客花费在排队等候的时间和服务时间的总和。求y 的概率密度f y (t)，并证明： (1) 一个顾客花费在系统内的时间小于或等于x 的概率为x e )(1λμ???； (2) 一个顾客花费在排队的时间小于或等于x 的概率为 1(0)x λμ?=；()1()[1](0)x e x μλλμλ???+?> [5-11] 设电话总机有3条线路，一条线路平均每分钟有0.8次呼叫，每次通话时间平均1.5分钟。求系统的平稳分布、绝对和相对通过能力、损失概率及占用线路的平均数。 [5-12] 设运输船到码头，在港口停留1小时损失C 1元，而接受港口服务费用正比服务率每小时C 2元，进港船只数服从参数为λ的泊松分布，装卸服务时间服从参数为μ的负指数分布。求整个系统总费用最小的服务率μ。