第四章习题参考解答
1. 设B 为拓扑空间在的一个拓扑基, 则(,)X T X 为紧空间当且仅当由B 中开集组成的任意开覆盖存在有限子覆盖.
证明 (?)是显然的，我们只需证().
?设?是生成拓扑基B 的拓扑子基，由于B 中元构成的开覆盖存在有限子覆盖，而??B ，所以?中元构成的每一个开覆盖存在有限子覆盖，由Alexander 子基定理，X 为紧空间.
2. 证明: 拓扑空间中有限个紧子集的并集也是紧集. 举例说明无限个紧子集的并集未必是紧的.
证明 设是拓扑空间1,,k A A X 中有限个紧集，令1k i i A A ==∪. 若U 是A 的一开覆盖，则i ?(1i k ≤≤), . 由的紧性，存在
i A A ??∪U i A 1{,,i i i }s is U U ?U ，有1i i s i j A U =?∪(其中), 则i s ∈ 111i s k k i i i j ij A A U ====∪?∪∪. 即
{1,1,2,,ij i U j s i ≤≤= }k 是U 的有限子覆盖. 从而，A 是X 中紧集.
举例：{[,]}n n n ?∈ 是实直线中无限个紧集，，但不是紧的. 事实上有一个开覆盖1[,n n n ∞==∪? ] {(,)}n n n ?∈ 没有有限子覆盖，所以不紧.
3. 证明: (1) 有限余拓扑空间是紧空间; （2）在离散空间中, 子集A 为紧集当且仅当A 为有限集合.
证明 (1) 设X 为有限余拓扑空间，其拓扑T {U X X U =?\为有限集}，设U {}U λ
λ=∈Λ为X 的任意开覆盖，任取0λ∈Λ，0
U λφ≠. 因为0
U λ是X
中开集，所以0\X U λ为有限集. 不妨设0\X U λ12{,,,}k x x x = ，i ?(1),
i k ≤≤i λ?∈Λ使得i i x U λ∈，故
00010(\)()i i k k i i X X U U U U U λλλλ===∪?∪∪=∪λ
从而，X 为紧空间. (2) 设X 为离散空间
() 设?12{,,,}k A x x x = 为X 中有限集，U 为A 的任意开覆盖，即A ?
∪U . (1), i ?i n ≤≤i U ?∈U ，有i i x U ∈，故0i n i A U λ=?∪，从而为
的有限子族构成的1{}i i n U ≤≤U X 的覆盖，从而A 紧.
(?) 设A 为X 的紧子集，x A ?∈，{}x 为X 中开集，因为，由{}x A A x ∈?∪A 的紧性，存在{{}}x x A ∈中有限子族1{{},,{}}n x x 使得1{}n i i A x =?∪=
1{,,}n x x . 从而，A 为X 的有限子集.
4. 设为无限集, X ,x y X ∈且x y ≠, 令={,T ,|X U U φ\{,}}X x y ?, 则 (1) (,是拓扑空间; (2) )X T \{}A X x =与\{}B X y =均为X 紧子集; (3)
A B ∩不是紧子集.
证明 (1) 因为φ∈T , X ∈T , 故公理真; 对于1()O 1A ?2\{,}A X x y ?, 因为12A A ?∩\{,}X x y , 即, 则 也真; 下面验证 真.
12A A ∈∩T 2()O 3()O 设{}，如果U λλ∈Λ?T λ?∈Λ使得U X λ=，则U X λλ∈Λ=∈∪T ；如果
λ?∈Λ，U X λ≠，则. 从而, \{,}U X x y λ?\{,}U X x y λλ∈Λ=∪. 因此, ，故T 为U λλ∈Λ∈∪T X 上的一个拓扑.
(2) 设U 是\{}A X x =的任意开覆盖，则\{}y X x ∈?∪U ，有，故y U ?∈U y y U ∈y U X =. 所以{}{}y U X =是U 关于A 的子覆盖，从而A 紧.
同理，\{}B X y =也是X 的紧子集.
(3) 因为(\{})(\{})\{,}A B X x X y X x y ==∩∩是离散拓扑空间，如果
紧，则A B ∩\{,}X x y 为有限集，这与X 为无限集矛盾.
5. 设是紧空间, , 为闭集, 则X 2T F X ?F {|F U U =∩是的紧邻域}. F 证明 设为的所有紧邻域的族，我们证明：V ()F F ∩V ()F F =.
是显然的，因此只需证： F ?∩V ()F ∩V ()F F ?.
0x ?∈V ()F ，如果0\x X F ∈，则，由于0\{}F X x X ??开
X 为紧的，
所以2T X 正规，故存在W 使得X ?开
0\{}F W W X x ???. 故W 为的紧邻域，
F W ?V ()F ，从而0x ∈V ()F W ?，这与0x W ?矛盾，故必有0x F ∈，所以
∩V ()F F ?.
6. 设为X 1A 列紧空间, 为拓扑空间, Y :f X Y →为连续映射, 则()f X 在
中也是列紧集.
Y 证明 设{}n n y ∈ 为中的任意一序列，()f X n ?∈ ，取n x X ∈使得
()n n f x y =. 因为{}n n x ∈ 是列紧空间X 中点列，故有一收敛子列{}，不妨
设k n k x ∈ k n x x X →∈，记()y f x =，现在来证：()k n f x ()k k
n y y f =??
→=x y 事实上，()W μ?∈，由的连续性，:f X Y →1
()()x f
W x μ?∈∈, 所以
，有0k ?∈ 0k k ?≥1()k n x f W ?∈，故()k k n n y f x W =∈，从而，即为列紧的.
k k
n y y ??
→()f X
7. 设为不可数集合, 则可数余拓扑空间(,是Lindeloff 空间, 但不是
X )X T 1A 空间.
证明 设(,
X J )为可列余拓扑空间，即J {U X X U =?\为至多可列集
}{}φ∪，对于X 的任一开覆盖U ，任取0U ∈U ，0U φ≠，则0\X U 至多可列.
不妨设012\{,,,,}n X U x x x = ，则，至多可列n ?∈ n U ?∈U 使得n n x U ∈，则{}n n U ω∈为U 的可数子族，满足
00(\)n n X X U U U ω∈=∪?∪
从而，X 为Lindelof 空间，下证X 不是空间.
1A 如果X 是空间.，
即，点有单调递减的可数开邻域基{}. 因为1A x X ?∈x n n V ∈ \(n n n n \)X V X ∈∈∩=∪ V 至多可数，所以n n V X ∈∩? 开
，即n V ∈n ∩ 为点的
开邻域. 从而，x 0n ?∈ 使得，即00n n n V V ∈?∩? n V 0n n n V V ∈∩= . 取
，则0\{}n y V x ∈\{}X y 为的开邻域，所以x 1n ?∈ 有1\{}n x V X y ∈?，所以，这与1n y V ?01n n y V V ∈n ∈=∩? 矛盾.
从而，X 不是空间. 1A
8. Lindelof 空间的连续像仍是Lindelof 空间.
证明 设X 是Lindelof 空间，为连续映射，Y 为一拓扑空间. 设U 为的任一开覆盖，则:f X Y →()f X 1
{()f
U U ?∈U }为X 的开覆盖，
由X 的Lindelof 性，使得{}i i U ∈??U 1()i X f U ?∈=∪ ,
1()[()]i i i i f X f f U U ?∈=∪=∪ ()f X ∈ ，则是Lindelof 空间.
9. 设f 为从紧空间到空间的连续映射, 证明: 2T f 是闭映射. 即闭集映射成闭集的映射.
证明 设X 是紧空间，Y 是空间，为连续映射，
对于2T :f X Y →F X ??闭
，为F X 的紧子集，所以为Y 的紧子集. 又因为空间中的紧子集是闭的，
所以()f F 2T ()f F Y ?闭
，从而为闭映射.
:f X Y →
10. 若拓扑空间的任意无穷子集至少有一个聚点, 则称为子集紧的. 试证明: 可数紧空间是子集紧的.
X X 证明 设X 为可数紧空间，A 为X 的任意无穷子集. 取{}为n n x ∈ A 中任意两项都不相等的一个点列. 由定理4.2.2中（i ）和（iii ）的等价性，{}有一个聚点n n x ∈ *x . 因此，存在{}n n x ∈ 的一个子例*
k n x x →(k →∞), 则 对于
U ?∈*()x U ，使得0k ?∈ 0k k ?≥有k n x U ∈. 因为
**0(\{}){|}\{}k n U x A x k k x φ?≥≠∩，
则*
(\{})U x A φ≠∩. 从而，0x 为A 的聚点，即X 是子集紧的.
11. 对于空间, 子集紧空间也是可数紧的.
1T 证明 设X 为子集紧空间，如果1T X 不是可数紧的，则由定理4.2.1，存在一个递降非空闭集列12n F F F ???? 使得1n n F φ∞==∩.
对于，
取n ?∈ n n x F ∈，并即，则12{,,,,}n A x x x = A 为无穷集合. 事实上，若A 为有限集，则必有一个元在A 中出现无限次. 即{}n x 有一个子列{}k n x 使得，k ?∈ *
k n x x X =∈. 从而, n ?∈ ，k ?∈ 有. 故k n n ≥*
k n x x =∈
k n F F ∈?n n ，故*1n x F ∞=∈∩. 这与1n n F φ∞
==∩矛盾. 所以，A 为无穷集合.
现在来证：A 没有聚点. 这就与X 为子集紧矛盾.
事实上，x X ?∈，因为1n n F φ∞==∩，所以i ?∈ 使得i x F ?，则
121(\)\[{,,,}\{}]i i U X F x x x x ?=
为点的开邻域并且. 这是因为，对于x {}U A x ?∩n ?∈ ，若n x x ≠，则当
121{,,,}n i x x x x ?∈ 时，n x U ?；当121{,,,}n i x x x x ?? 时，则n . 因此，
i ≥n n i x F F ∈?，故121(\)\[{,,,}\{}]n i i x U X F x x x x ??=
从而，， 即[\{}U A x ∩?{}]U x A φ∩=. 故A 没有聚点.
12. 证明: 可数紧空间的闭子集仍是可数紧的.
证明 设X 为可数紧空间，A 为X 的任意一闭子空间，{}i i U ∈ 为A 的可数开覆盖.
i ?∈ ，i V X ??开
使得，则i i U A V =∩{}i V i ∈ 为X 的可数开集族，
V {\}X A =∪{}i V i ∈ 为X 的一可数开覆盖. 由X 的可数紧性，存在有限子
族，使得1{,,,\}k i i V V X A ? V 1()k
j ij X V ==∪∪(\)X A ，故
11()()k k k j ij j ij j i 1j A A V A V ====∩∪=∪∩=∪U
从而，A 是可数紧空间.
13. 证明: 可数紧空间的连续像是可数紧的.
证明 设X ，Y 是两个拓扑空间，连续，:f X Y →X 可数紧. 又设是的一个开覆盖，即，故1
{}n n V ∞=Y 1n Y V ∞
=?∪n 1
1()n n X f
V ∞
?=?∪，由的连
续性，{(:f X Y →11)}n n f V ?∞=为X 的开覆盖，
再由X 的可数紧性，
11
1{(),,()}k n n f V f V ??? 11{()}n n f V ?∞=?使得，故 1
1()i k i X f
V ?=?∪n ()Y f X =?1111[()]()i i k k i n i n i 1i k n f f V f f V V ??===?∪∪ =∪
从而，Y 可数紧.
14. 举例说明度量空间的连续像可以不是局部紧的.
解：设(,是一个非局部紧的拓扑空间，现在以)X T X 为底集合在X 上赋予离散度量ρ, 即:X X ρ+
×→ 合于
1,(,)0,x y
x y x y
ρ≠?=?
=?
则(,)X ρ是一个度量空间，恒等映射:(,)(,)id X X ρ→T 是一个连续映射，度量空间(,)X ρ在id 下的连续像(,不是局部紧的. )X T
15. 证明: 拓扑空间与某个紧空间Y 的一个闭子空间同胚当且仅当是一个紧空间.
X X 证明:(设与某个紧空间Y 的一个闭子空间)?X Z 同胚，即存在同胚映射
:f X Z →. 对于X 的任意开覆盖U ，
V ={()|}f U U ∈U 是Z 的开覆盖. 因为Z 为紧空间Y 的闭子集，由定理4.1.6，Z 是紧子空间. 因此，存在有限集合族
使得1{,,}n U U ?U 1()n i i Z f U ==∪i ，则
11
11()()n n i i i X f Z f f U U ??=====∪∪
故X 是紧空间.
()? 设X 是紧空间，则存在紧空间Y X =的一个闭子空间Z X =使得恒
等映射是一个同胚映射. 于是，结论得证.
:X id X Z →
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路
连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）
1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。
拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）
六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，
习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ） 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的 个数为（ ） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间 三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个 连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数 其中为至多可数集 试证：(1) (), X 余可数 是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数 是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数 为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数 是Lindel?ff 空间(提示： 即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案。每小题2分，共50分)。 1、快速以太网的介质访问控制方法是（A ）。 A．CSMA/CD B．令牌总线 C．令牌环D．100VG-AnyLan 2、X.25网络是（A）。 A．分组交换网B．专用线路网 C．线路交换网D．局域网 3、Internet 的基本结构与技术起源于（B ） A.DECnet B.ARPANET C.NOVELL D.UNIX 4、计算机网络中，所有的计算机都连接到一个中心节点上，一个网络节点需 要传输数据，首先传输到中心节点上，然后由中心节点转发到目的节点，这种连接结构被称为（ C ） A．总线结构B．环型结构 C．星型结构D．网状结构 5、在OSI的七层参考模型中，工作在第二层上的网间连接设备是（ C ） A．集线器B．路由器 C．交换机D．网关 6、物理层上信息传输的基本单位称为( B ) 。 A. 段 B. 位 C. 帧 D. 报文 7、100BASE-T4的最大网段长度是：（ B ） A.25米 B. 100米 C.185米 D. 2000米 8、ARP协议实现的功能是：（ C ） A、域名地址到IP地址的解析 B、IP地址到域名地址的解析 C、IP地址到物理地址的解析 D、物理地址到IP地址的解析 9、学校内的一个计算机网络系统，属于（ B ） A.PAN https://www.doczj.com/doc/8a2620625.html,N C.MAN D.WAN 10、下列那项是局域网的特征（D ） A、传输速率低 B、信息误码率高
C、分布在一个宽广的地理范围之内 D、提供给用户一个带宽高的访问环境 11、ATM采用信元作为数据传输的基本单位，它的长度为（ D ）。 A、43字节 B、5字节 C、48字节 D、53字节 12、在常用的传输介质中，带宽最小、信号传输衰减最大、抗干扰能力最弱的一类传输介质是（C ） A.双绞线 B.光纤 C.同轴电缆 D.无线信道 13、在OSI/RM参考模型中，（ A ）处于模型的最底层。 A、物理层 B、网络层 C、传输层 D、应用层 14、使用载波信号的两种不同频率来表示二进制值的两种状态的数据编码方式 称为( B ) A.移幅键控法 B.移频键控法 C.移相键控法 D.幅度相位调制 15、在OSI的七层参考模型中，工作在第三层上的网间连接设备是（B ） A．集线器B．路由器 C．交换机D．网关 16、数据链路层上信息传输的基本单位称为( C ) 。 A. 段 B. 位 C. 帧 D. 报文 17、下面说法错误的是（ C ） A.Linux操作系统部分符合UNIX标准，可以将Linux上完成的程序经过重新修改后移植到UNIX主机上运行。 B.Linux操作系统是免费软件，可以通过网络下载。 C.Linux操作系统不限制应用程序可用内存的大小 D.Linux操作系统支持多用户，在同一时间可以有多个用户使用主机 18、交换式局域网的核心设备是（B ） A.中继器 B.局域网交换机 C.集线器 D.路由器 19、异步传输模式（ATM）实际上是两种交换技术的结合，这两种交换技术是 （ A ） A. 电路交换与分组交换 B. 分组交换与帧交换 C.分组交换与报文交换 D.电路交换与报文交换 20、IPv4地址由（ C ）位二进制数值组成。 A.16位 B.8位 C.32位 D.64位
《基础拓扑学试卷》 试卷2 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________. 2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________. 3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间. 4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点. 5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________. 6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=. 7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________. 8. 设12n X X X X =???为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间. 9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间. 10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________. 二、单项选择题 (每小题2分, 共20分) 11. 设:,,f X Y A B Y →?, 则下面不正确的命题是（ ） A. 1(())A f f A -= B. 111()()()f A B f A f B ---= C. 111()()()f A B f A f B ----=- D. 111()() ()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ?, 则下面不正确的命题是( ) A. d d B A ? B. 00B A ? C. B A ''? D. B A ? 13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( ) A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一. B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.
第三章计算机网络技术基础习题与答案 一、判断题 1.（√）网络节点和链路的几何图形就是网络的拓扑结构，是指网络中网络单元的地理分布和互联关系的几何构型。 2.（×）不同的网络拓扑结构其信道访问技术、网络性能、设备开销等基本相同，适合相同场合。 3.（×）计算机网络的拓扑结构主要是指资源子网的拓扑结构。 4.（√）总线型拓扑结构的网络结构简单、扩展容易，网络中的任何结点的故障都不会造成全网的故障，可靠性较高。 5.（×）星型网络的中心节点是主节点，具有中继交换和数据处理能力，网络结构简单，建网容易，可靠性好。 6.（√）环型网数据传输路径固定，没有路径选择的问题，网络实现简单，适应传输信息量不大的场合，但网络可靠性较差。 7.（√）树状网络是分层结构，适用于分级管理和控制系统，除叶节点及其连线外，任一节点或连线的故障均影响其所在支路网络的正常工作。 8.（√）当网络中各节点连接没有一定规则、地理位置分散，而设计通信线路是主要考虑的因素时，我们通常选用网状网络。 9.（√）总线型拓扑结构分单总线结构和多总线结构，局域网一般采用的是单总线结构。 10.（×）总线型拓扑结构的优点是电缆长度短、可靠性高、故障诊断和隔离容易和实时性强。 11.（×）星型网络拓扑结构集中控制，简单的访问协议，但电缆长度及安装费用高，故障诊断困难、扩展困难，全网工作依赖于中央节点。 12.（√）环型拓扑结构适合于光纤、网络实时性好，但网络扩展配置因难，故障诊断困难，节点故障则引起全网故障。 13.（√）树型拓扑结构易于扩展、故障隔离方便，但对根的依赖性太大，如果根发生故障则全网不能正常工作。 14.（×）网状型拓扑结构是将星型和总线型两种拓扑结构混合起来的一种拓扑结构。 15.（√）网状型拓扑结构的优点是易于扩展、故障的诊断和隔离方便、安装电缆方便。 16.（√）建立计算机网络的根本目的是实现数据通信和资源共享，而通信则是实现所有网络功能的基础和关键。 17.（√）OSI参考模型是一种将异构系统互连的分层结构，提供了控制互连系统交互规则的标准骨架。 18.（×）OSI参考模型定义了一种抽象结构，而并非具体实现的描述，直接的数据传送在传输层。 19.（×）OSI参考模型中，每一层的真正功能是为其下一层提供服务。 20.（√）OSI参考模型中的网络层，是通信子网与用户资源子网之间的接口，是控制通信子网、处理端到端数据传输的最低层。 21.（√）OSI参考模型中的传输层，接收由会话层来的数据，并向高层提供可靠的透明的数据传输，具有差错控制、流量控制及故障恢复功能。 22.（×）OSI参考模型中，数据传送包括语法和语义两个方面的问题，有关语义的处理由表示层负责，有关语法的处理由应用层负责。 23.（×）令牌传递控制法适用星状拓扑网络结构、基带传输。 24.（√）从本质上看，ATM技术是电路交换与分组交换技术相结合的一种高速交换技术。 25.（√）10BASE-T是双绞线以太网，使用两对非屏蔽双绞线，一对线发送数据，一对线接收数据，采用星型拓扑结构。 26.（×）10BASE-T以太网网络中，一根双绞线的长度不能超过100m，任意2个工作站之间最多可以有5台Hub。 27.（×）快速以太网100BASE-T和100VG-AnyLAN，都只能适用于星状拓扑结构网络。 28.（√）千兆以太网支持多种传输介质，包括光纤和双绞线。
《拓扑学基础》复习题 单项选择题 下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ） A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集 B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集 C 、Y 中的任何一个子集A ，有1 1()()f A f A --? D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射 设X 是一个拓扑空间，A X ?，则()A ?=（ D ） A 、A A -'? B 、00A A ''? C 、0()A ? D 、()X A ?- 下列拓扑性质中，没有继承性的是( D ) A 、1T 空间 B 、2T 空间 C 、3T 空间 D 、4T 空间 下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ） A 、它满足第一可数性公理 B 、它满足第二可数性公理 C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ） A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-= B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ= C 、对x A ?∈，且有(,)B x A εφ?≠，则A 为X 中的一个开集 D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ= 填空题 若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。 实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。 设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。 实数空间 的一个基是 {( ,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。 设X 是一个拓扑空间，D X ?，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。 设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。 名词解释 紧致空间： 设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两 个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例 子。 答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。 证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是 开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。 （充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y
的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻 域U ，y ?的邻域V ， 有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。
拓扑学基础（数学教育本科）试卷 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是 A 、)()()( B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A = 2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则 A 、]1,0[=A B 、)1,0(=A C 、)1,0[=A D 、]1,0(=A 3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么 A 、X 是T 0空间，非T 1空间 B 、X 是T 1空间 C 、X 是正则空间 D 、X 是正规空间 4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间 A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、 B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立 B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立 C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集 D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A 5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则 A 、R 是道路连通空间 B 、X 是道路连通空间 C 、R 是不连通空间 D 、X 是连通空间 6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间 A 、实数空间 B 、平庸空间 C 、包含着不可数多个点的离散空间 D 、满足第二可数性公理的空间 7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是 A 、正规?正则 B 、正则?正规 C 、正则?T 2 D 、完全正则?正则 8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质 A 、第一可数性 B 、连通性 C 、紧致性 D 、可分性 9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立 A 、可数紧致?紧致 B 、紧致?可数紧致 C 、列紧?紧致 D 、局部紧致?紧致 10、下列命题错误的是 A 、A 是闭集?A A = B 、A 是闭集A A d ??)( C 、A 是闭集?A '是开集 D 、A 是闭集?A A =
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题 2 分） 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{a,c,e}} ②T {X, ,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③T { X, ,{a},{ a,b}} ④T {X, ,{a},{b},{c},{d},{e}} 2、设X {a,b,c}，下列集族中,（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{a,b},{c}} ②T {X, ,{a},{a,b},{a,c}} ③T {X, ,{a},{b},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 3、已知X {a,b,c,d},下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{a,b},{a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{a,b,d}} ③T {X, ,{a},{ b},{a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 4、设X {a, b, c}，下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{b},{c},{a,b}} ②T {X, ,{a},{b},{a,b},{a,c}} ③T {X, ,{a},{b},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 5、已知X {a,b,c,d},下列集族中，（）是X上的拓扑? ① T {X, ,{a,b},{a,c,d}} ② T {X, ,{a,b},{a,c,d}} ③ T {X, ,{a},{b},{a,c,d}} ④ T {X, ,{a},{c},{a,c}} 6、设X {a,b,c}，下列集族中，（）是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{b},{b,c}} ② T {X, ,{a,b},{b,c}} ③ T {X, ,{a},{a,c}} ④ T {X, ,{a},{b},{c}}
第 1 页 共 1 页 拓扑学 A 卷 注：一、二题答在试题上，三题答在答题纸上. 一、填空题（每小题2分，共20分） 1，实数空间R 的度量是 . 2，设X 是拓扑空间，则它的开集的个数最少为 . 3，拓扑学的中心任务是研究 . 4，设X ={ 0, 1}，拓扑?={φ，{0}，X }，则 1 的邻域系为 . 5，R 是实数空间，A ={ 1 n }n Z +∈，则()d A = . 6，设X 是拓扑空间，A X ?，若()A ?={2，3}，则('A ?)= . 7，设{1,2,3,4}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φ?=，{2,4}Y =，则Y ?= . 8，平庸空间的任何一个商空间都是 空间. 9，设1C ，2C 是拓扑空间X 仅有的两个不同的连通分支，则12C C = . 10，设X 是拓扑空间，A X ?，A 的邻域的定义是 . 二、选择题（每小题4分，共32分） 1，下列（ ）不是R 中的开集. A. [0, )+∞ B. (3,- 0) C. (3,- 0) (0, )+∞ D. (,-∞ )+∞ 2，设{,X a = }b ，则X 有（ ）个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3，设X 是拓扑空间，D X ?，则下列关系正确的为（ ）. A. ()d D D ? B. D D ? C. D D ? D. ()D D ?? 4，设X 是多于一点的平庸空间，{}i x 为X 中的序列，下列说法正确的是（ ）. A. {}i x 不收敛 B. {}i x 收敛且极限唯一 C. {}i x 收敛但极限不唯一 D. {}i x 可能收敛也可能不收敛 5，设1{(,1)12}Y x x =-≤≤，2{(,1)}Y x x R =∈，3{(0,)}Y y y R =∈，下列（ ）是2R 的连通子集. A . 12Y Y B. 23Y Y C. 31Y Y D. 123Y Y Y 6，设X 是离散拓扑空间，且{1,2,3}X =，则X 的连通分支的个数是（ ）. A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 7，下列（ ）可遗传. A. 平庸空间 B. 连通空间 C. Lindeloff 空间 D. 4T 空间 8，设{1,2,3}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φ?=，则(,)X ?不是（ ）. A. 2A 空间 B. 可分空间 C. 1T 空间 D. 正则空间 三、证明题(每小题8分，共48分） 1，证明：仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间. 2，设(,)X ?是拓扑空间，∞是任何一个不属于X 的元素, 令 {}X X *=∞ , {{}}{}A A φ*?=∞∈? . 证明: (,)X * * ?是拓扑空间. 3，设X , Y 是拓扑空间，证明：积空间X Y ?同肧于积空间Y X ?. 4，设Y 是多于一个点的离散空间，证明：若X 为连通空间，则每一个连续映射 :f X Y →都是常值映射。 5，设X 是一不可数集，拓扑{'u X u ?=?可数}{}φ . 证明：(,)X ?不是1A 空间. 6，设X 是0T 空间，Y 是拓扑空间. 证明：如果:f X Y →为同肧映射, 则Y 也是0T 空间.
点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题2分) 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )
课程编号：MTH17083 北京理工大学2015-2016学年第二学期 2013级一般拓扑学A 卷 一、选择题（15分） 1.已知{},,,,X a b c d e =，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。 ①{}{}{}{},,,,,,,T X a a b a c e φ= ②{}{}{}{},,,,,,,,,,,T X a b c a b d a b c e φ= ③{}{}{},,,,T X a a b φ= ④{}{}{}{}{}{},,,,,,T X a b c d e φ= 2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ①平庸性 ②连通性 ③离散性 ④第一可数性公理 3.设{}{}{}1,2,3,,,1,3X T X φ==，则(),X T 是（ ） ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对 4.下列叙述中正确的个数为（ ） ①1 ②2 ③3 ④4 （Ⅰ）单位圆周1 S 是连通的 （Ⅱ）{}0- 是连通的 （Ⅲ）(){}20,0- 是连通的 （Ⅳ）2 和 同胚 5.拓扑空间X 的任何一个有限集都是（ ）①闭集 ②紧致子集 ③非紧致子集 ④开集 二、判断题（15分） 1.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。 2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。 3.设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭集A,B ，使得,A B A B X φ== 。 4.具有可数基的正则空间是正规空间。 5.在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。 三、（30分）设X 为一个集合，a X ∈，令{}{},c X G G a G τφ=? 为有限集或。 试证明（1）(),X τ为一个拓扑空间；（2）(),X τ为T 2拓扑空间； （3）(),X τ是否为A 1空间？试分别对X 是有限集，可数集情况进行讨论。 四、（10分）设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，Y X ?。证明：如果A Y A ??， 则Y 也是X 的一个紧致子集。 五、（10分）设X 是Hausdorff 空间，:f X X →为一连续映射， 试证明其不动点集(){}Fixf x X f x x =∈=是一个闭集。 六、（10分）如果:f X Y →是一个闭的双射（即一一映射），而X 是Hausdorff 空间， 则Y 也是Hausdorff 空间。 七、（10分）设X 为拓扑空间，记(){} F x F F x =是的闭邻域， 则X 为T 2空间当且仅当(){},F F x x X F x ∈?∈= 。