任意角的三角函数与诱导公式（高三）
[基础练习]
1．设θ是第三象限角，且????cos θ2＝－cos θ2，则θ
2
是( ) A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
2．角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则cos α＝( )
A.
2
2
B ．－
2
2
C.
22或－2
2
D ．1
3．若－π
2
<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．sin600°＋tan240°的值是( )
A ．－
32 B .32 C ．－1
2
＋ 3
D.1
2
＋ 3 6．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)
sin (－α)－cos (π＋α)
的值为( )
A.m ＋1m －1
B.m －1m ＋1
C ．－1
D ．1
7．已知α∈????－π2，0，cos α＝3
5
，则tan ????α－π4＝( ) A.1
7
B ．7
C ．－17
D ．－7
8．已知sin x ＝2cos x ，则sin x －cos x
sin x ＋cos x
＝( )
A.12
B.13
C.14
D.15
9．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ
3角的终边相同的角的集合为________．
10．已知α是第二象限角且tan α＝－1
2，则cos α＝__________.
[典型例题]
例1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝3
6
x ，求sin α，tan α的值．
练1．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ????2α－π3的值．
例2．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的
弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
练2．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．
例3．已知sin θ，cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根．(1)求m 的值；(2)求sin θ1－
cos θsin θ＋cos θ
1－tan θ的值．
练3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．
例4．已知cos ????π2＋α＝2sin ????α－π2.求sin 3π－α＋cos α＋π
5cos ????5π2－α＋3sin ???
?7π2－α的值．
练4．已知cos(π＋α)＝－1
2，且α是第四象限角，计算：
(1) sin(2π－α)； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]
sin(α＋2n π)·cos(α－2n π)(n ∈Z)．
(2)
任意角的三角函数与诱导公式课后练习
1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2
3π弧长到达
Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.???
?－12，32
B.?
???－
32，－12 C.????－12
，－32
D.?
??
?
－
32，12 2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0, 2π]内α的取值范围是( )
A.????π2，3π4∪????π，5π4
B.????π4，π2∪????π，5π4
C.????π2，3π4∪????5π4，3π2
D.????π4，π2∪????3π
4，π 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α
1－sin 2α
＋1－cos 2αcos α的值等于( )
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．2tan α 4．已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
5．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A ．2
B ．－2
C ．2－π
2
D.π2
－2 6．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A
?C ≠π
2，则下列结论中正确的是( ) A ．sin A B ．cos A C C ．tan A D ．cot A 7．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或±3 8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( ) A ．sin 1 2 B.π6 C.1sin 1 2 D ．2sin 1 2 9．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( ) 10．已知cos ????π6－α＝3 3，则cos ????56π＋α－sin 2??? ?α－π6的值是( ) A.2＋3 2 B ．－2＋32 C.2－3 3 D.－2＋3 3 11．若sin α＋cos α＝tan α? ???0<α<π 2，则α的取值范围是( ) A.??? ?0，π 6 B.????π6，π4 C.??? ?π4，π 3 D.???? π3，π2 12．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.1 2 B ．2 C ．－1 2 D ．－2 二、填空题 13．已知函数f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1????π2＋f 2????π2＋…＋f 2 010????π2的值为________． 14．角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于____． 15．若a ＝sin(sin2012°)，b ＝sin(cos2012°)，c ＝cos(sin2012°)，d ＝cos(cos2012°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________． 16．阅读下列命题： ①若P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且只有一个； ③设tan α＝12且π<α<3π2，则sin α＝－5 5；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ为象限角)，则θ为第一象限角． 其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上) 三、解答题 17．设α∈??? ?0，π 2，试证明：sin α<α 3.(1)求tan α的值； (2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α 2－8 2sin ????α－π4的值． 19．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1 tan α 的值． 20．设f (x )＝cos x cos (30°－x )，求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值． 21．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23????π 2 <α<π，求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3????π2－α＋cos 3????π2＋α. 22．已知tan α是方程x 2＋2 cos α x ＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值． 任意角的三角函数与诱导公式（高三）答案 [基础练习] 1．设θ是第三象限角，且????cos θ2＝－cos θ2，则θ 2 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 解析：由已知θ是第三象限角知θ2是第二、四象限角，再由cos θ 2≤0可得． 答案：B 2．角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则cos α＝( ) A. 2 2 B ．－ 2 2 C. 22或－2 2 D ．1 解析：∵r ＝a 2＋a 2＝2|a |， 当a >0时，cos α＝ a 2a ＝2 2 ； 当a <0时，cos α＝a －2a ＝－2 2. 答案：C 3．若－π 2 <α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：由于－π 2<α<0，则cos α>0，sin α<0，即该点位于第四象限． 4．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案： B 解析： 因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即??? sin θ>0 cos θ<0 ，θ为第二 象限角． 5．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－ 32 B .32 C ．－1 2 ＋ 3 D.1 2 ＋ 3 答案： B 解析： sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240° ＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°) ＝－sin60°＋tan60°＝－ 32＋3＝3 2 . 6．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α) sin (－α)－cos (π＋α) 的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案： A 解析：sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α) ＝sin (－4π＋π＋α)－cos α －sin α＋cos α ＝ －sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1 tan α－1 . 又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan α＝m ，∴原式＝m ＋1 m －1 . 7．(2010·天津南开区检测)已知α∈????－π2，0，cos α＝3 5 ，则tan ???α－π4＝( ) A.1 7 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由已知得sin α＝－45，则tan α＝－4 3， 故tan ????α－π4＝tan α－1 1＋tan α＝－43－11－4 3＝7. 答案：B 8．已知sin x ＝2cos x ，则sin x －cos x sin x ＋cos x ＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2， ∴原式＝tan x －1tan x ＋1＝2－12＋1＝1 3. 答案：B 9．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ 3 角的终边相同的角的集合为________． 解析：由θ＝k ·360°＋168°(k ∈Z)， ∴θ3 ＝ (k ∈Z)． 由0°≤θ 3 <360°， 即0°≤<360° ∴k ＝0, 1, 2.∴θ 3＝56°或176°或296°. 答案：{56°，176°，296°} 10．已知α是第二象限角且tan α＝－1 2，则cos α＝__________. 答案：－25 5 解析：本题考查了同角三角函数关系． ∵tan α＝sin αcos α＝－1 2① 又sin 2α＋cos 2α＝1② 又α为第二象限角cos α<0，∴cos α＝－25 5. [典型例题] 例1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝ 3 6 x ，求sin α，tan α的值． 解析：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴P 到原点距离r ＝x 2＋2， 又cos α＝ 36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36 x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－ 66，tan α＝－5 5 ， 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)， ∴sin α＝－ 66，tan α＝5 5 . 练1．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ????2α－π 3的值． 解析：∵P (1，－2)是角α终边上一点，由此求得 r ＝|OP |＝5， ∴sin α＝－255，cos α＝5 5 . ∵sin2α＝2sin αcos α＝－4 5， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－3 5 . ∴cos ????2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π 3 ＝????－35·12＋????－45·32＝－3＋4310 . 例2．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3rad ，R ＝10 cm ，∴l ＝10π 3 cm. S 弓＝S 扇－S △＝12·10π3·10－12·102 ·sin 60° ＝50????π3－3 2 (cm 2)； 所以该扇形的弧长为10 3π cm ， 弓形面积为50??? ?π3－3 2 cm 2. (2)设扇形所在圆的半径为R ，则弧长为C －2R ， ∴S 扇＝12(C －2R )·R ＝－R 2＋1 2CR ＝－????R －14C 2＋116C 2. 又∵C 2π ， ∴当R ＝1 4 C 时，扇形的面积最大． 此时圆心角α＝C －2R R ＝2，扇形最大面积为C 2 16 . 练2．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值． 解析： 设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r 得l ＝2S r ，故扇形的周长C ＝2r ＋2S r .即2r 2－C ·r ＋2S ＝0. 由于r 存在，故方程有解，因此有Δ＝C 2－16S ≥0， 即C ≥4S . ∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2S r 2＝2rad 所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S . 例3．已知sin θ，cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根．(1)求m 的值；(2)求sin θ1－ cos θsin θ ＋cos θ 1－tan θ的值． 解析： (1)由韦达定理可得 ?? ? sin θ＋cos θ＝3－1 ① sin θ· cos θ＝m ②， 由①得1＋2sin θ·cos θ＝4－2 3. 将②代入得m ＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m ≥0，故所求m 的值为3 2－ 3. (2)先化简： sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ 1－ sin θcos θ ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ ＝cos θ＋sin θ＝3－1. 练3．(2010·改编题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)． 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值． 解析：(1)由根与系数的关系得??? sin θ＋cos θ＝3＋1 2 ①sin θcos θ＝m 2 ② 由①2得，1＋2sin θcos θ＝2＋32?sin θcos θ＝34，即m 2＝34，∴m ＝3 2. (2)当m ＝ 32时，原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝1 2， ∴??? sin θ＝ 32 ，cos θ＝1 2 或??? sin θ＝12 ， cos θ＝3 2 ， 又θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π 6 . 例4．已知cos ????π2＋α＝2sin ????α－π2.求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ????5π2－α＋3sin ????7π2－α的值． 解析：∵cos ????π2＋α＝2sin ??? ?α－π 2， ∴－sin α＝－2sin ??? ?π 2－α，∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ????5π2－α＋3sin ????7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ????2π＋π2－α＋3sin ????4π－π2－α ＝sin 3α－cos α5cos ????π2－α－3sin ????π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－1 5tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α) 7(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2 α＋1)＝4－17×(4＋1)＝3 35. 练4．已知cos(π＋α)＝－1 2 ，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π] sin(α＋2n π)·cos(α－2n π)(n ∈Z)． 解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝1 2， 又∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 3 2. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32 . (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos(α－2n π) ＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α) sin(2n π＋α)·cos(－2n π＋α) ＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α) sin α·cos α ＝ －sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2 cos α ＝－4. 任意角的三角函数与诱导公式课后练习 1．(2010·模拟精选)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2 3π弧长到达 Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.??? ?－12，32 B.? ???－ 32，－12 C.????－12 ，－32 D.? ?? ? － 32，12 解析：设Q(x ，y )为角α终边上一点，依题意sin α＝y ＝sin 23π＝32，cos α＝x ＝cos 2 3π＝ －12，故Q 点的坐标为????－12，3 2. 答案：A 2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0, 2π]内α的取值范围是( ) A.????π2，3π4∪????π，5π4 B.????π4，π2∪????π，5π4 C.????π2，3π4∪????5π4，3π2 D.????π4，π2∪??? ?3π 4，π 解析：由题设有? ???? sin α>cos α，tan α>0，又0≤α≤2π，∴α∈????π4，π2∪???? π，5π4. 答案：B 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α 1－sin 2α ＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．2tan α 答案： A 解析：∵角α的终边在直线y ＝－x 上， ∴α＝k π＋3π 4 (k ∈Z )，∴sin α与cos α符号相反， ∴sin α 1－sin 2α ＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 4．已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 答案：C 解析：设扇形圆心角为αrad ，半径为r ，弧长为l . 则????? l ＋2r ＝6，12 l ·r ＝2，∴????? r ＝1，l ＝4或????? r ＝2，l ＝2. ∴α＝l r ＝4或α＝1.∴选C. 5．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2－π 2 D.π2 －2 答案：C 解析： 点P 位于第一象限，且 tan α＝－cot2＝－tan ????π2－2＝tan ????2－π2， ∵2－π2∈????0，π2，∴α＝2－π 2 . 6．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A ?C ≠π 2，则下列结论中正确的是( ) A ．sin A D ．cot A 答案： A 解析：解法1：若C 为锐角，由已知A 解法2：由三角形中大边对大角及正弦定理可知： A 7．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或±3 答案： D 解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或1 2.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±3 2.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或± 3. 8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( ) A ．sin 12 B.π6 C.1 sin 1 2 D ．2sin 1 2 答案： C 解析：设圆的半径为r .由题意知r ·sin 1 2＝1， ∴r ＝1sin 12，∴弧长l ＝α·r ＝1sin 12 . 9．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过 的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( ) 解析：∠AOP ＝l ，当0≤l ≤π，d ＝2sin l 2， 当π 2，0≤l ≤2π. 答案：C 10．已知cos ????π6－α＝3 3，则cos ????56π＋α－sin 2???α－π6的值是( ) A.2＋32 B ．－2＋32 C.2－3 3 D.－2＋3 3 答案： B 解析： ∵cos ????56π＋α＝cos ????π－????π 6－α ＝－cos ????π6－α＝－33 ， 而sin 2????α－π6＝1－cos 2????α－π6＝1－13＝23， ∴原式＝－ 33－2 3＝－2＋33 . 11．若sin α＋cos α＝tan α? ???0<α<π 2，则α的取值范围是( ) A.????0，π 6 B.????π6，π4 C.????π4，π3 D.????π3，π2 答案：C 解析： 方法一：排除法． 在????0，π4上，sin α＋cos α>1，而tan α在????0，π 4上小于1，故排除答案A 、B ；因为sin α＋cos α≤2，而在???? π3，π2上tan α>3，sin α＋cos α与tan α不可能相等，故排除D. 方法二：由sin α＋cos α＝tan α，0<α<π 2， ∴tan 2α＝1＋2sin αcos a ＝1＋sin2α， ∵0<α<π 2，∴0<2α<π， ∴0 2 ，∴tan α>0， ∴1 3. 12．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.1 2 B ．2 C ．－1 2 D ．－2 解析：由??? cos α＋2sin α＝－5， ① sin 2α＋cos 2α＝1， ② 将①代入②得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－5 5 ，∴tan α＝2. 答案：B 二、填空题 13．已知函数f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x ) ＝f ′n －1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1????π2＋f 2????π2＋…＋f 2 010??? ?π2的值为________． 解析：由题知，f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝sin x －cos x ， f 5(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴{f n (x )}是周期为4的数列，而f 1????π2＋f 2 ????π2＋f 3??? ?π2＋ f 4????π2＝0，∴原式＝f 2 009????π2＋f 2 010????π2＝f 1????π2＋f 2????π2＝1－1＝0. 答案：0 14．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________． 答案：2 解析：依题意：? ???? n ＝3m ，m 2＋n 2 ＝10. 解得：m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3， 又sin α<0，∴α的终边落在第三象限，∴n <0， ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 15．若a ＝sin(sin2012°)，b ＝sin(cos2012°)，c ＝cos(sin2012°)，d ＝cos(cos2012°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________． 答案： b