第八讲、相似图

第八讲、相似图

相似图是图论中一类著名的图，它与区间图有着密切联系。边定向后的相似图称为部分序，许多NP难题在部分序上存在有效算法。本讲中我们将在部分序上解决一些NP问题，并讨论相似图、区间图、弦图之间的联系。

1．介绍

无向图G是相似图，如果它能无环传递地定向；如果G的补图是相似图，G称为伴相似图。我们已知区间图是伴相似图，但反之却不一定。图1显示了一个不是区间图的伴相似图。

一个相似图可能由多种无环传递定向方式，每种方式对应于一个部分序。

下一节中我们将介绍在部分序上有效地解决一些NP问题；第4节中将讨论相似图、区间图、弦图之间的联系。

2．一些算法

2．1最大团

部分序是有向无环图（DAG），因此它存在一个确定的H函数（见上讲）。我们能用线性时间计算出那个函数。如果在H函数中有K种值，则存在一条长为K的有向路径。由于定向具有传递性，这条路径上的点构成一个团。（图2）这就是一个最大团，因为一个团中不会有H值相同的顶点。显然这种算法用时是线性的。

同时我们就用K中颜色对顶点染色，易知W（Ｇ）＝X（G）＝K。

2．2权最大团

如果我们赋予顶点权函数W，定义包含顶点V1..Vm的团的权值为W（V1）＋…＋W （Vm），权最大团问题就是要寻找一个权值最大的团，权可以为负。

在部分序上，我们可以使用动态规划解决这个问题。假定部分序G的顶点V1..Vn是一

个拓扑序列。定义C（V）为包含V且最“大”顶点为V的权最大团的权。我们可以如下计算C：

最终权最大团的权为MAX{C（V1）…C（Vn）}。

结论1：这个算法确实找到了权最大团。

证明：假设以Vi为最大顶点的权最大团是Vi1..Vik，其中Vik＝Vi。如果K＝1，显然算法

≥

是正确的；如果K2，由于定向具有传递性，Vi1…Vik－1必定是最大顶点为Vik－1的权最大团（否则那个权最大团替换Vi1…Vik－1，加上Vi将形成一个权更大的团，矛盾），它的权是C（Vik－1），因此原团的值就是W（Vi）＋C（Vik－1），这在算法中被计算过。即证。▊

很容易知道算法用时是线性的。另外我们可以记录决策，从而构造出一个权最大团。2．3最大独立集

假设H函数值共有K种。所有具有相同H值的顶点形成一个独立集。我们也许会猜测独立数A（G）就是具有各H值的顶点数的最大值。但图3显示了一个反例。不过，我们任可以用多项式的时间找到部分序上的最大独立集。

定义（1）：令P是一个部分序，P上的一个链是一个两两可比的顶点集（即一个全序）。

定义（2）：令P是一个部分序，P上的一个反链是一个两两不可比的顶点集。

【定理1：用最少数量的链覆盖一个部分序所需的链的数目等于该部分序上的反链的势的最大值。】

这个定理是Dilworth在1950年提出的，这里暂不加证明地使用：P。

定义（3）：一个图的团覆盖是用该图中的若干团覆盖所有的顶点。图G的团覆盖数是对G 进行团覆盖所需的最少团数。记为K（G）。

不妨加一个限制：团覆盖中的各个团两两没有交集。显然这不会改变K（G）的值。

定理（1）：对于任何部分序G，都有I（G）＝K（G）。I为独立数。

证明：由于G是部分序，因此W（G）＝X（G），即G是完美图（见第十讲）。根基完美图定理，G是伴完美图，因此I（G）＝K（G）。▊

定义（3）：一个图G的广独立集是G的一个两两不连通的顶点子集。G的广独立集数是它最大广独立集的顶点个数，记为I’（G）。

定理（2）：对于任意有向无环图G，它的广独立数等于其简单有向路径覆盖数C’（G）（这里的路径覆盖允许顶点被重复覆盖）。

证明：构造图G’，V（G’）＝V（G），（A，B）∈E（G’），当且仅当G中从A可以到达B。

由于G 是有向无环图，易证G’是部分序。于是有I （G’）＝K （G’）。根据G’的定义，G’的任意独立集就是G 的广独立集，反之亦成立，所以有I（G’）＝I’（G）。又对于G 中的任意简单有向路径，G’中存在一个包含该路径上各点的团，反之亦成立（利用完全图的竞赛图的性质），因此有C’（G）＝K（G）。于是I’（G）＝C’（G）。即证。▊ 推论1：二分图G＝（X，Y，E）中（最大）匹配数M（G）＝（最小）覆盖数B（G）。 证明：对G 的每条边定向为X →Y，易知G 的简单路径覆盖数C’（G）＝|V|－M（G）（最长

的简单有向路径长为1）；有由于定向后“可达”与“相邻”等价，因此I’（G）＝I （G）＝|V|－B（G）。由定理（2），I’（G）＝C’（G）得M（G）＝B（G）。即证。▊

对于部分序G ，为求I （G ）（即I’（G ））我们只要求出C’（G ）（即K （G ））即可。

对于C’（G ）的求法，可以设定每个顶点访流量下限为1，每条边流量下限为0，上限都为无穷大，通过有上下界的最小可行流解决，具体细节这里不再展开。

2．4部分序上的其他算法

在部分序上可以有效地解决诸如最大独立集、最小团覆盖、求所有极大团等问题。 但是另一些问题，例如哈氏回路、支配集等仍是NP 问题。这一部分的参考数目有许多（见PDF 文件）。

3．部分序的尺度

每个部分序P 都可以扩充成全序（或称拓扑序）。令L （P ）为P 的所有全序组成的集。

L （P ）的中满足以下性质的子集L0称为P 的一个实现集：，P 的最小实现

集的大小称为P 的尺度，即为D （P ）。

I 0L l P l ∈=例如：图4中的部分序P 的尺度为2。右侧是P 的一个最小实现集。注意P 的子图（圈出部分），也是一个尺度为2的部分序，它在两个全序中一次在元素a 之前，一次在a 之后。

我们可以用O （n ）的空间表示一个全序，因此我们可以用O （D*n ）的空间表示一个尺度为D 的部分序。这对尺度为常数的部分序不失为一种好办法。

一个部分序的子序是它顶点集的一个子集，顺序与原先相同（即一个诱导子图）。一个子序的尺度不会大于它的母部分序的尺度。

【定理3：令G是一个相似图，P是其上一个部分序，若G与都是相似图，则D（P）≤2。】【定理4：相似图上的两个部分序P、Q满足D（P）＝D（Q）。】

4．再谈区间图

目前，我们已知区间图都是弦图和伴相似图，反之呢？

定理5：以下命题是定价的：

（1）G是区间图

（2）G没有长度大于3的无弦环，且G是伴相似图。

（3）G的极大团可以连续地编号。即我们可以讲它们排为C1..Ck，满足对于任何v∈V，序列{j| j∈{1..k}，v∈Cj}是连续整数集。

证明：（1）?（2）：我们已知这个命题成立。

（3）?（1）：令I（V）＝[Min{j| V∈Ci}，Max{ j| V∈Ci }]。由（3）可知如果I（V）＝[A，B]，那么对所有V∈Cj有j∈[A，B]。

如果（U，V）∈G，则U、V都在至少一个极大团Cj中，因此j∈I（U）∩I（V）。反之如∩

果j∈I（U）I（V），U、V都在一个极大团Cj中，因此（U，V）∈G。

（2）?（3）：

我们定义一个有向图H，V（H）是G中所有极大团。H中C1到C2有边，如果中存在

→表示将G的补图无环传递定向后的有向图。

边U W，其中U∈C1，W∈C2。这里

结论2：H具有传递性。

证明：假设（C1，C2）和（C2，C3）都在H中，但（C1，C3）不在H中（图5）。存在顶点A∈C1、B1，B2∈C2，C∈C3满足（A，B1），（B2，C）都在中。

假设B1＝B2，由于具有传递性，可以推知（A，C）在中，于是（C1，C3）∈H，矛

≠

盾。因此B1B2。

假设（C，A）∈，则有（B2，B1）∈。但B1、B2在同一个团中，它们之间在不

会有边，矛盾。另外显然（A，C）?，于是有（A，C）∈G（G是无向图）。

假设（B1，C）∈，由的性质（C1，C3）∈H，矛盾。假设（C，B1）∈，则（B2，B1）∈，矛盾。于是有（B1，C）∈G。同理有（A，B2）∈G。

这样我们得到了G 中的一个无弦四阶环（A ，C ，B1，B2），与G 的性质矛盾。即证。▊ 结论3：H 是无环的。

证明：由于H 具有传递性，假设H 有环，则该环必定是两个顶点间的双向边C1C2（图

6），否则由传递性会得出矛盾。

?

假设（A1，A2）和（B1，B2）∈

，这里A1，B1∈C1；A2，B2∈C2。显然A1B1（否则由传递性由（B2，A2）∈

≠，矛盾）。同理A2≠B2。 假设（A2，B1）∈，则（A1，B1）

∈

，矛盾。同理（B1，A2）

?。同样地在中A1、B2之间没有边相联。于是G 中有无弦四阶环（A1，B1，A2，B2），矛盾。即证。▊

我们证明了H 是无环传递的，因此它有拓扑序列。假设其中一个是C1..Cm 。

结论4：这个序列满足（3）。

证明：用反证法。假设不满足（3），则存在U ∈G 和I

对于所有的W ∈Cj ，中U 与W 间不会有边，否则假如有边U W ，则（Ck ，Cj ）∈H ，因此拓扑序列中Ck 不会在Cj 之后；加入有边W U ，同理可得拓扑序列中Ci 不会在Cj 之前。于是在G 中U 与W 之间有边。由于W 的任意性，U 与Cj 中任意顶点在G 中都相邻，因为U →→?Cj ，所以Cj 不是极大团，矛盾。▊

综上所述，（1）（2）?（3）。定理5得证。▊

?由定理5，我们得知区间图是弦图与伴相似图的交集。且区间图中所有的极大团满则条件（3）。对于证明中涉及的图H ，不妨称它为极大团生成图。

相似图形常见形状及习题训练

F E D C B A 中考数学试题选编 图形的相似 一、选择题： 1、下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ） A 、1、2、3、4 B 、1、2、2、4 C 、3、5、9、13 D 、1、2、2、3 2、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 3、下列命题中，是真命题的为（ ） A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 4、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB DE //交AC 于E ，如果 32=EC AE ，那么=AC AB （ ） （A ）31 （B ） 32 （C ）52 （D ）53 第4题图 第5题图 第6题图 5、如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）． A ．1 : 2 B ．1 : 3 C ．2 : 3 D ．11 : 20 6、如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）． A ． 1：2 B ． 1：4 C ． 2：1 D ． 4：1 7．下列说法中，错误的是( ) A ．等边三角形都相似 B ．等腰直角三角形都相似 C ．矩形都相似 D ．正方形都相似 8、如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，在△ABC 中，∠C=900，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 A D E B C G A B D C O G A B D C O A B C D E

图形的相似专题练习含答案解析

图形的相似 1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN 等于（） A．B．C．D． 2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A．点P B．点O C．点M D．点N 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54 4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：PQ：QR． 6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°． 7．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣． 8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°． 9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈） 10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈，≈．） 12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

(完整版)初中数学全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2 ．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）

初中数学九年级下册 图形的相似专项训练题

专项训练四 图形的相似 一、选择题 1．(2016·临夏州中考)如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是 ( ) A ．1∶16 B ．1∶4 C ．1∶6 D ．1∶2 2．(2016·兰州中考)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( ) A.34 B.43 C.916 D.169 3．(2016·杭州中考)如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ， 直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DE EF 的值为( ) A.13 B.12 C.23 D ．1 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.(2016·贵阳中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13 ，BC ＝12，则DE 的长是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．(2016·盐城中考)如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．(2016·河北中考)如图，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 7．(2016·东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－3，6)，B (－9，－3)， 以原点O 为位似中心，相似比为13 ，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) A ．(－1，2) B ．(－9，18) C ．(－9，18)或(9，－18) D ．(－1，2)或(1，－2) 8．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

完整版相似图形测试题及答案

《相似图形》水平测试二 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1在比例尺为1 : 50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为__________ 千米. 2.若线段a , b , c , d成比例，其中a 5cm, b 7cm, c 4cm，则d _________________ 3.已知4x 5y 0,则(x y): (x y)的值为 9： 25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周 长是 （如图1），如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石, 其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 4?两个相似三角形面积比是 5.把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到________ 倍，其面积扩大到 _______ 倍. 6?厨房角柜的台面是三角形 7?顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形，如图 黄金三角形，已知AB 1,贝U DE的长_________ 2, △ ABC, △ BDC , △ DEC 都是&在同一时刻，高为 1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为_________ . 9?如图3, △ ABC 中，DE // BC , AD 2 , AE 3, BD 4，贝U AC (: 10.如图4，在△ ABC和厶EBD中 EB 之差为10cm，则△ ABC的周长是_________ 二、相信你的选择（每小题3分，共30分） 1 .在下列说法中，正确的是（） A .两个钝角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D .两个等边三角形一定相似 BD ED 3 2.如图5,在厶ABC中，D , E分别是AB、AC边上的点，DE // BC , / ADE 30°, Z C 120°，则/ A ( )

27.1 图形的相似练习题及答案

27.1 图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4 1 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．9 4 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 （第5题） （第7题） 2 3833258

9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) （第10题）

《相似三角形的证明——K字型相似》教案

课题：相似三角形的证明——K型相似（教案） 学校：茶陵思源实验学校教师姓名：段中明 教学目标： 1、通过习题引入，了解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件， 并掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“K型图”相似解 题的特点与经验。 教学重点难点： 1、在已知图形中观察关键特征——“K型”； 2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形； 3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。 学情分析： 学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点 后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如 “A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。结合中考试题探究“K型 图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。 教学过程： 一、课前寄语： 学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成 长，快乐学习！ 二、复习与回顾： 1.相似三角形的判定3条定理； 2.相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双 垂直型…… 3.图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。 三、新课讲解： （一）.呈现学习目标： （1）.能利用k形图证明三角形相似； （2）.能构造k形图解决相关问题 （3）.体会“分类讨论”的数学思想 （二）.轻松一刻：（突出快乐学习） 同学们，这幅画美吗？看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富 有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗？ 对，是《小池》。它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴 实又真切感人。今天我们边欣赏古诗边学习新课。下面我们跟着这首古诗走进今 天的例题探究。 （三）.例题探究： 1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，已知AE=4， ED=2，AB=3则DF=__________ 2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 .

2019年中考数学真题分类训练——专题14：图形的相似

2019 年中考数学真题分类训练—专题14：图形的相似 一、选 择 题 1．（2019 邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的 2 倍得到△A′B′C′，以下说法中 错误的是 A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 C．AO∶AA′=1∶ 2 D．AB∥A′B′ 【答案】 C 2．（2019 温州）如图，在矩形ABCD中，E 为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在 边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释 了（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段D H于点P，连结EP，记△EPH的面 S 1 积 为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则 S 2 的值为 A． 2 2 B． 2 3

C． 2 4 D． 2 6 【答案】 C 3．（2019 淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为 A．2a B．5 2 a C．3a D．7 2 a 【答案】 C 4．（2019 杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C 重合），连接AM交DE于点N，则 A．A D AN AN AE B． BD MN MN CE C．DN NE BM MC D． D N NE MC BM 【答案】 C 5．（2019 玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有

图形的相似练习题及答案

图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ． 32 C ．43 D ．94 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是Rt ΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与Rt ΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求 梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝ 42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) 13、如图，在正方形网格上有111C B A ?∽222A C B ?，这两个三角形相似吗?如果相似，求出 222111A C B A C B ??和的面积比．（15分) C （第10题） C B A D （第5题） A D （第7题）

中考数学图形的相似专题卷(附答案)

中考数学图形的相似专题卷（附答案） 一、选择题 1.如图，在ABC ?中，BC DE //，AD=6，DB=3，AE=4,则EC 的长为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2.若2a=3b ，则=（ ） A ． B ． C ． D ． 3.如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB=5，BD=8，则△OEF 的面积为（ ） A ．12 B ．6 C ．3 D ．23 4.下列多边形一定相似的为（ ） A ．两个三角形 B ．两个四边形 C ．两个正方形 D ．两个平行四边形 5.现给出四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④一组数据2，5，4，3，3的中位数是4，众数是3，其中不正确的命题的个数是（ ） A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 6.如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S 1+S 2+S 3的值为（ ） 7题图 A ．310 B ．29 C ．313 D ．4 7.如图，若DC ∥FE ∥AB ，则有（ ）． A ． OD OC OF OE = B ．OF OB OE OA = C ．OA OD OC OB = D ．CD OD EF OE = 8.已知△ABC 的面积是1，1A 、1B 、1C 分别是△ABC 三边上的中点，△111A B C 的面积记为

全等三角形知识点归纳总结

第十二章全等三角形 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： 图 2 '.

图形的相似专题训练

图形的相似 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知：线段a=5cm，b=2cm，则a b =（） A．1 4 B．4 C． 5 2 D． 2 5 2．把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（） A．m q p n =B． p n m q =C． q n m p =D． m p n q = 3．某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗村的高度是（） A．12m B．11m C．10m D．9m 4．下列说法正确的是（） A．矩形都是相似图形；B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形；D．等边三角形都是相似三角形5．两个等腰直角三角形斜边的比是1：2，那么它们对应的面积比是（） A．1B．1：2 B．1：4 D．1：1 6．如图1，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（） A．AE AC AD AB =B．∠B=∠ADE C． AE DE AC BC =D．∠C=∠AED （1）(2) (3) 7．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，?已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（）种 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长是（） A．8 3 B． 2 3 C． 4 3 D． 5 3 9．若 3a b a b b c a c == +++ =k，则k的值为（）

图形的相似专题复习卷

图形的相似专题复习卷（基础版） 一．相似的图形 1、 相同， 不一定相同的图形叫相似图形。 2、下列各种图形相似的是（ ） A 、（1）、（3） B 、（3）、（4） C 、（1）、（2） D 、（1）、（4） 3、下列说法正确的是（ ） A 、所有的等腰梯形都相似 B 、所有的平行四边形都相似 C 、有一个角是300的等腰三角形相似 D 、所有的等边三角形都相似 4、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形； ⑵用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形； ⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形； 以上说法你认为哪些是正确的，哪些是错误的？ 9、把下列各题图中左边的图形，加以放大1倍后画出与它们相似的图形 . （1） （2） 二．相似图形的性质 （1）成比例线段。 1．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 2． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为 ；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= . 3．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式. ①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ②a=7cm,b=4cm, c=d=27cm ③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若b b a +=38，则b a = .；若5a=3b ，则b a = ，b a b a +-3= 。 5.已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是 ；若在此地图册上量得 A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是 . 6．已知b a =43，c b =53，则a ∶b ∶c 等于（ ） A. 3∶4∶5 B.4∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶20 7． 如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . (1)(2)(3)(4)╮23a c β1550 950 1150 125 7αb ╭╮ ╯650 1150 第7题

K字图形中的相似三角形

K 字图形中的相识三角形 一、探究基本图形的性质： 如图∠C=∠D=∠1=90O 时，△APC 与△BPD 有什么关系? 如图∠C=∠D=∠1=60O 时，△APC 与△BPD 有什么关系? 如图∠C=∠D=∠1=n O 时，△APC 与△BPD 有什么关系? 探究：当点C ，点P ，点D 在同一直线上，且满足条件___________________时，△APC 与△BPD 相似。 1 B A C D P D 1 B A C P

二、基本图形的应用： 例1： 在矩形ABCD 中，AB=10，AD=8，F 是CD 上一动点，沿EF 折叠后，点C 恰好落在AB 上G 处,E 在BC 上 （1）F 与D 重合时，求折痕EF 的长 （2）BG=6时，能求折痕EF 的长吗？ （3）试求BG 的取值范围 突破题（课后完成）： （4）F 与D 重合时，是否存在过点G 的直线L 、直线DE 与x 轴所围成的三角形和直线L 、直线DE 与y 轴所围成的三角形相似,如果存在,请直接写出解析式, E B A G E C B A G

在等边△QCD 中，P 为CD 上一点，B 为QD 上一点，且∠3=60o ，CP=1，BD= . 求△QCD 的边长？ 变式1：如图，△QCD 为等边三角形，点A 、P 、B 分别在QC 、CD 、QD 上，且△APB 也为等边三角形 （1）除已知等边三角形的边相等外，请猜想还有哪些边相等，并证明结论 （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？ 变式2：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA=7，AB=4，∠COA=60o ,点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于D ，当点P 运动到什么位置时，使得 ∠CPD=∠OAB,且 ，求这时点P 的坐标。 32 Q C D P 85AB BD C P

相似图形证明题专项训练(精编)

相似图形证明题专项训练 1、如下图,Ｅ是四边形AＢCD的对角线BＤ上一点,且AＢ?ＡD＝AC?ＡE,∠１＝∠２, 试说明∠AＢＣ=∠AED. 2、如下图,已知∠Ａ=6０°,BD、CE是△ＡBＣ的高，说明△ADE∽△AＢC. ３、如下图,在4×４的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：∠ABＣ=＿__＿__＿_°，BC＝__＿＿____； (２)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论． 4、如图，已知△ＡBＣ、△DEF均为正三角形,D、E分别在ＡB、BC上．请找出一个与△DＢE相似的三角形并证明.

5、如图所示，P是等边△ABC的边CＢ延长线上的点,Q是BC延长线上的点，∠PＡＱ=120°，试证明BＣ２=PB?CQ. 6、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图，△ABC为黄金三角形,其顶角∠A＝36°,BD为∠ABC 的平分线. (１）试说明ＢC＝AD; (2)试证明； （3)试说明△ABC的底与腰的比等于黄金比. 7、已知:如图，CD是直角三角形ＡBC斜边AB上的中线,过点D作AB的垂线,交BC于E，交AC的延长线于Ｆ． 求证:(1）△AＤF∽△ＥDＢ； (2)ＣD２=DE?DF.

8、已知,如图，矩形ABCD中,ＡＢ∶BC＝1∶2,点E在ＡD上，且3AE=ED， 求证：△ＡBC∽△ＥＡB． 9、已知，如图，P是□ABCD的边DC延长线上一点，AP分别交BD、BC于M、Ｎ. 求证:(1)△AＭB与△PＭD相似 (2)△ＢNＭ与△DAＭ相似 （3)ＡM2=MN?MP; 10、如图,在正方形ABCD中,AＢ=2,E是BＣ的中点，DＦ⊥AE,Ｆ是垂足. 求证：△ＡBE∽△DFＡ. 1１、如下图所示，△ABD∽△ＡＣE,求证:△ABC∽△ADE.

中考数学专题复习：相似图形

中考数学专题复习相似图形 【基础知识回顾】 一、成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线 段的比就是它们的比，即：AB CD= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果a b=那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：a b= c d<＝> 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。】 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三 角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、位似： 1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或

相似三角形练习题(解析)

相似三角形练习题 一、选择题 1、下列各组图形中不是位似图形的是（） A．B． C．D． 2、若2：3=7：x，则x=（） A．2B．3C．3.5D．10.5 3、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（） A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（） A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）

5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( ) A .8 B .12 C .16 D .20 6、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（） A．2B．-2C．3D．-3 7、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )

A .6 B .5 C .9 D . 8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点， DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8 C .3∶5 D .2∶5 9、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=； ④=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )

图形的相似练习题.doc

华师大版数学第十八章（图形的相似） （测试时间：90分钟满份：100分） 班级姓名得分 一、填空题（每小题2分，共20分）' 1、已知△ABC与△A'B'C'中，AB=6，BC=8，A'C'=4.5，B'C'=4，要使△ABC∽△A'B'C'，则必有A'B'= 。 2、地图上两地间距离为5cm，表示实际距离100km，则地图的比例尺为。 3、三角形中两边中点的连线段与第三边之比为。 4、如图1，两个多边形若相似，则x只能取。 5、如图2，△ABC中，DC//EH//FI//BC，则图中相似三角形有对。 6、两个相似三角形的边长之比为m，面积之比为5，则m/5= . 7、某人身高1.7米，某一时刻影长2.04米，同时一棵树影长为10.2米，则此树高米。 8、如图3，小李在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网6米的位置（BO长），若小李击球的高度2米（CD），网高0.8米，则击球处离网距离米。 9、如图4，表示△AOB以O位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、 B（3，0）、D（4，0）则点C坐标为。 10、观察图5，若第一个图中阴影部分面积为1，第二个图中阴影部分面积为4/3，第三个图中阴影部分面积为16/9，第四图中阴影部分的面积为64/27，则第n个图中阴影部分面积为。

二、选择题（每小题2分，共20分） 11、下列四个命题：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的 正方形都相似；④所有的菱形都相似，其中正确有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 12、在△ABC与△A'B'C'中，∠B=∠B'=Rt∠，∠A=30°，则以下条件，不能证明△ABC 与△A'B'C'相似的为（） A、∠A'=30° B、∠C'=60° C、∠C=60° D、∠A'=2/1∠C' 13、如图6、线段AB上有三点C、D、E，AB=8，AD=7，CD=4，AE=1，则比值不为1/2的线 段比为（） A、AE：EC B、EC：CD C、CD：AB D、CE：CB 14、正方形ABCD、菱形EFGH，使这两个图形相似，则增加的条件不正确的是（） A、∠G=60°BEH⊥HG C、∠E=∠F D、∠G+∠E=180° 15、△ABC中，DE//BC，交AB、AC于D、E，AD=6，AE=4，BD=5，则EC长为（） A、3/10 B、3 C、3/22 D、2/7 16、如图7，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式： AG：AD=1：2；②GE：BE=1：3③GE：BE=4/3，其中正确的为（） A、①② B 、①③ C、②③ D、①②③ 17、如图8，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=3/2AB，在AC上取一点E，使 以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（） A2/32 B10 C、2/32或10 D、以上答案都不对 18、如图9，直线AB与 MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D，则图中的相似三 角形有（） A、4对 B、5对 C、6对 D、7对

图形的相似易错题汇编及答案

图形的相似易错题汇编及答案 一、选择题 1．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到 菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．28cm B ．26cm C ．24cm D ．22cm 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC= 1 2 AC ，故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积的14 【详解】 解：如图， 由平移的性质得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=1 2 AC 故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积14 即图中阴影部分的面积为4cm 2． 故选：C 【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题. 2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 【答案】B 【解析】 【分析】 可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选B． 3．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与 函数 1 y x =-、 2 y x =的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（） A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D 【解析】 【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE OF AF =；设B为（a， 1 a -），A为 （b，2 b ），得到OE=-a，EB= 1 a -，OF=b，AF=2 b ，进而得到222 a b=，此为解决问题的关

中考数学专题练习相似三角形50题

相似三角形50题 一、选择题： 1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1 3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm， 4.5cm，那么它们的相似比为( ) 4.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD=1:3，则BE:EC=（） 5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( ) A． B． C． D． 6.下列各组数中，成比例的是（） A.-7,-5，14，5 B.-6，-8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12

7.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（） A.4m B.6m C.8m D.12m 8.下列四组图形中，一定相似的是( ) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形 9.如图所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 11.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（） A.6 B.5 C.9 D. 12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C 的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为( )

相似三角形的证明——K字型相似教案

课题：相似三角形的证明---- K型相似（教案） 学校：茶陵思源实验学校教师姓名：段中明 教学目标： 1、通过习题引入，了解“ K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并 掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“ K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“ K型图”相似解 题的特点与经验。 教学重点难点： 1、在已知图形中观察关键特征一一“ K型”； 2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“ K型”图形； 3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。学情分析： 学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如“A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。结合中考试题探究“ K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。 教学过程： 一、课前寄语： 学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成 长，快乐学习！ 二、复习与回顾： 1. 相似三角形的判定3条定理； 2. 相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂 直型…… 3. 图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。 三、新课讲解： （一）.呈现学习目标： （1）.能利用k形图证明三角形相似； （2）.能构造k形图解决相关问题 （3）.体会分类讨论”的数学思想 （二）.轻松一刻：（突出快乐学习） 同学们，这幅画美吗看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有 诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗 对，是《小池》。它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。今天我们边欣赏古诗边学习新课。下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。 （三）?例题探究： 1. 如图，在矩形ABCD中，E在AD 上, EF丄BE，交CD于F，连结BF,已知 AE=4, ED=2 AB=3 贝U DF= _______ 2. 在等边△ ABC中，D 为BC 边上一点,E为AC 边上一点，且/ ADE=60° ,BD=2,CE=1, 则厶ABC的边长为 _______________ .