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北京市清华大学附属中学2019届高考数学二模试题 文（含解析）
一、选择题。
1.设集合{
}
2
|670A x x x =--<，{|}B x x a =≥，现有下面四个命题：
1p ：a R ?∈，A B ?=?； 2p ：若0a =，则(7,)A B =-+∞； 3p ：若(,2)R B =-∞，则a A ∈； 4p ：若1a ≤-，则A B ?．
其中所有的真命题为（ ） A. 1p ，4p B. 1p ，3p ，4p C. 2p ，3p D. 1p ，2p ，4p
【答案】B 【解析】
由题设可得，()17
A =-，，则当7a ≥时，有A
B ?=?，所以命题1p 正确；若0a =时，[)0B =+∞，，则()1,A B ?=-+∞，所以命题2p 错误；若()2R B ，=-∞，则2a A =∈，
所以命题3p 正确；若1a ≤-时，A B ?成立.故正确答案为B.
点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <，当0a >时，则有“大于号取两边，即
()()12,x x -∞?+∞，，小于号取中间，即()1
2
,x x ”.
2.下列说法错误的是（ ） A. 回归直线过样本点的中心(),x y
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C. 在回归直线方程0.20.8y x ∧
=+y 0.2x 0.8=+中，当解释变量x
每增加1个单位时，预
报变量y ∧
平均增加0.2个单位
D. 对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 【答案】D 【解析】
分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；
B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
C.在回归直线方程0.2.8?0y
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量?y 平均增加0.2个单位 D.正确.
详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关； B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
C.在回归直线方程0.2.8?0y
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量?y 平均增加0.2个单位 D.正确. 故选D.
点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．
3.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ） A. 2盏 B. 3盏 C. 26盏 D. 27盏
【答案】C 【解析】
分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，利用等
差数列求和公式列方程可得
详解：设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，
813,813x n x n x x +==-，
2
812,3
n x x n ==
， ()()()()23...8126x x n x n x n x n ++++++++=， ()9123...8126x n +++++=，
936126x n +=，2
9361263n n ?+=，
636126,42126n n n +==，
126423n =÷=，2
323
x =?=（盏）
， 所以最下面一层有灯， 13226?=（盏）
，故选C. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
4.如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）
A. 5.3
B. 4.3
C. 4.7
D. 5.7
【答案】B 【解析】
由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分概率为114
1200
-
，
因为正方形的面积为10，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为
114101 4.3200???-= ???
，故选B.
【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
5.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
S =，现在有周长为10+ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】A 【解析】
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理得：::2:a b c =，又ABC ?
的周长为10+，所以可得4,6,a b c ===，ABC ?∴ 的面积为
S ===
，故选A.
6.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图 【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -中， 过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图：
则该几何体的正视图为图中粗线部分． 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题．
7.在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）
A. 9i >
B. 10i ≤
C. 10i ≥
D. 11i ≥
【答案】D 【解析】
输入2S =，1i =，242S ==
2i =，382S ==
当10i =，1122048S ==
当10111i =+=，当11i ≥时，满足条件 退出循环，2048S = 故选D
8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存
在点M 满足
∠AMB =120°，则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞ 【答案】A 【解析】
当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则
tan 603a
b
≥=
即
≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足
120AMB ∠=，则
tan 603a
b
≥=，即≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b 的关系，求解时充分借助题设条件120AMB ∠=转化为
tan 603a
b
≥=的焦点位置进行逐一讨论． 二、填空题。
9.已知集合2
{}340|A x Z x x =∈--≤，{}0ln |2B x x =<<，则A B ?的真子集的个
数为 _____． 【答案】7 【解析】 【分析】
可求出集合,A B ，然后进行交集的运算即可求出A B ?，从而得出A B ?的真子集的个数为21n -
【详解】解：{}{|}141,0,1,2,3,4A x Z x =∈-≤≤=-，{
}2
|1B x x e =<<；
∴{}2,3,4A B ?=；
∴A B ?的真子集的个数为：012
3337C C C ++=个．
故答案为：7．
【点睛】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性．
10.已知实数,x y 满足约束条件222020
x x y x y ≤??-+≥??++≥?
，则3x
z y =-+的最大值为_____
【答案】
43
【解析】 【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【详解】解：作出实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤??
-+≥??++≥?
，对应的平面区域如图：（阴影部
分）
由3x z y =-
+的得13y x z =+，平移直线13y x z =+由图象可知当直线13
y x z =+经过点A 时，直线1
3y x z =
+的截距最大，此时z 最大．由2220x x y =??-+=?
解得()2,2A ．代入目
标函数3x z y =-
+得24233z =-+=．即3x
z y =-+的最大值为：43
．
故答案为：
43
． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．
11.已知向量a ，b 的夹角为θ，且1a b ?=-，(1,2)a =-，2b =，则tan _____
【答案】-3 【解析】
由已知可设()b
x y →=， 故可得22
212x y x y -+=-??+=?解得11x y =-??=-?或7515x y ?
=
????=??
则()11b →=--，或7155b
??
→= ???
， 则当()1
1b
→=--，
时，cos 5a
b
a
b
θ→→
==
=→
→
则当7155b
??
→= ???，
时，cos 105a b
a
b
θ→→
===-
→→
a
→，b →的夹角为θ，故可得sin 10
θ== 则sin tan 3cos θ
θθ
==-
12.如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从
A 乘缆车到
B ，然后从B 沿直线步行到
C ．现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速
步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1260米，若12cos 13
A =
，
63
sin
65
B=．为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v（米/分钟）的取值范围是_____．
【答案】
1250625
4314
??
??
??
，
【解析】
分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.
详解：在△ABC中解三角形：
已知1260
b=，
12
13
cosA=，
63
65
sinB=，则：
5
sin
13
A=，
由正弦定理可得：
5
1260
sin13
500
63
sin
65
b A
a
B
?
===，
由余弦定理2222cos
a b c bc A
=+-有：222
12
500126021260
13
c c
=+-???，
解得：
12
16720
1040,
13
c c
==，
若
16720
13
c=，则
16720
5001260
13
+<，不能组成三角形，舍去，
据此可得：1040
c=.
乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m，还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,由题意得
500710
33
50
v
-≤-≤,解得
1250625
4314
v
≤≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,
乙步行的速度应控制在
1250625
4314
??
??
??
，范围内.
点睛：解三角形应用题一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
13.在ABC 中，D 为BC 的中点，AC =AD =
1CD =，点P 与点B 在直
线AC 的异侧，且PB BC =，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为_____．
【答案】
2
【解析】
分析：首先判断出点P 所在的位置具备什么样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点P 到AC 距离最大，之后再转化为点B 到AC 的距离最小，综合得到BP 和AC 垂直时即为所求，从而求得结果.
详解：根据题意可以求得cos
ACD ∠=
= 所以30ACD ∠=?，则点B 到边AC 的距离为21sin301???=， 因为点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB BC =， 所以点P 在以B 为圆心，以2为半径的圆上， 只有当点P 到线AC 距离最大时，满足面积最大，
此时就是B 到线AC 距离最小时，此时P 到线AC 距离为sin cos 1A B +=， 此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，
111
11222S =
??+?=
. 点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一步是转化为点B 到AC 距离最短时即为所求，从而得到此时BP 和AC 垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果.
14.抛物线()2
20=>y px p 的焦点为F ,P,Q 是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为
M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，若MN PQ =，则PFQ ∠的最大值为_____． 【答案】
3
π
【解析】
分析：设|PF|=2a ，|QF|=2b ，．由抛物线定义得|PQ|=a+b ，由余弦定理可得（a+b ）2=4a 2+4b 2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案. 详解：设|PF|=2a ，|QF|=2b ，
由抛物线定义，得|PF|=|PA|，|QF|=|QB|， 在梯形ABPQ 中，2|MN|=|PA|+|QF|=2a+2b ， ∵|MN|=|PQ|， ∴|PQ|=a+b，
由余弦定理得，设∠PFQ=θ， （a+b ）2=4a 2+4b 2﹣8abcosθ， ∴a 2+b 2+2ab=4a 2+4b 2﹣8abcosθ，
∴cosθ=22332621
882
a b ab ab ab ab ab +--≥=，当且仅当a=b 时取等号，
∴θ≤
3
π， 故答案为：3
π
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等
式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN 和PQ,其二是得到
22332cos 8a b ab
ab
θ+-=
后要会利用基本不等式求最值.
三、解答题.
15.已知函数()sin (cos )f x x x x = （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间5,312ππ??
-????
上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ） πT = （Ⅱ） 最大值1,最小值 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的周期性得出结论． （Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最小值和最大值．
【详解】（Ⅰ）()2
sin cos f x x x x =
=
)1sin21cos222
x x --
πsin 23x ?
?=+ ??
? 所以函数()f x 最小正周期πT =.
（Ⅱ）因为π5π312x -≤≤，所以 ππ7π2336
x -≤+≤．
所以当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值12
-.
当ππ233x +
=-，即π
3
x =-时，()f x 取得最小值
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
16.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若(
)*
11n n a a n N +=+∈，3
12S
=
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n
n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（Ⅰ）*
=2()n a n n N +∈（Ⅱ）*().39
n n
T n N n =
∈+ 【解析】 【分析】
（1）根据等差数列的定义，判断数列为等差数列，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）求得11
=
23
n b n n -++，利用裂项相消法，即可求解数列的和. 【详解】（Ⅰ）因为(
)*
11n n a a n N +=+∈，
所以数列{}n a 是公差为1的等差数列. 又因为312S =，则13a =，
所以，()(
)*
1=12n a a n d n n N +-=+∈.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()+11111
=
=2323
n n n b a a n n n n =-++++,则 123=++
+n n T b b b b + 111111
11344556
23n n =-+-+-+
+
-++ 1133
n =-+ ()
*.39
n
n N n =
∈+
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、通项公式的求解，以及利用裂项相消法求解数列的和，其中解答中正确求得等差数列的通项公式，合理裂项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率； （Ⅲ）记()P a X b ≤≤表示学生的考核成绩在区间[],a b 的概率，根据以往培训数据，规定当8510.510x P ?-?
≤≥
???
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否
有效，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）7
30（Ⅱ）35
（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足
85
110
X -≤的成绩有16个，求出满足条件的概率即可． 【详解】解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件A ，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀， 所以所求概率()P A 约为
7
30
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人， 至少有一人考核成绩优秀为事件B ，
因为表中成绩在[]80,89的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B 包含9个基本事件，
所以93()155
P B =
= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足
85
110
x -≤的成绩有16个， 所以85168
10.5103015x P ?-?≤==>
???
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
【点睛】本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是
一道常规题．
18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1111A B B C ⊥，12AA AB ==，1BC =，
E 为11A C 中点．
（Ⅰ）求证：1A B ⊥平面11AB C ； （Ⅱ）求三棱锥1B ECC -的体积；
（Ⅲ）设平面EAB 与直线11B C 交于点H ，求线段1B H 的长 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）113B ECC V -=（Ⅲ）11
2
B H = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）证明1BB ⊥平面111A B C ．推出111BB B C ⊥．然后证明11
B C ⊥平面11AA B B ．得到
111A B B C ⊥．11A B AB ⊥．即可证明1A B ⊥平面11AB C ．
（Ⅱ）说明111BB A B ⊥．证明11A B ⊥平面11BB C C ．通过11B ECC E BCC V V --=求解即可．
（Ⅲ）证明EH
AB ．说明H 为11B C 中点．然后求解即可．
【详解】解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C -中，
侧棱垂直于底面， 所以1BB ⊥平面111A B C ． 因为11
B C ?平面111A B C ，
所以111BB B C ⊥． 又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B =，
所以11
B C ⊥平面11AA B B ．
因为1A B ?平面11AA B B ， 所以111A B B C ⊥．
因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形． 所以11A B AB ⊥． 因为11
11B C AB B =，
所以1A B ⊥平面11AB C ．
（Ⅱ） 由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ?平面111A B C ， 所以111BB A B ⊥．
因为1111A B B C ⊥，1111B C BB B ?=，
所以11A B ⊥平面11BB C C ．
又112A B AB ==，故1A 到平面11BB C C 的距离为2． 因为E 为11A C 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1． 所以11111211323
B EC
C E BCC V V --==
????= （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，
因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点， 所以平面EAB ?平面111A B C EH =． 因为平面ABC ∥平面111A B C ，AB 平面ABC ，
所以AB ∥平面111A B C ． 又平面111A B C 平面EAB EH =，
所以EH
AB ．
又11AB A B ∥，所以11EH A B ．
因为E 为11A C 中点，所以H 为11B C 中点． 所以11111
22
B H B
C =
= 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19.已知函数()()3
2
22f x x x m x =-+-+，22
3()x m g x x m
+=-，m R ∈
（Ⅰ）当2m =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）求()g x 的单调区间；
（Ⅲ）设0m <，若对于任意[]00,1x ∈，总存在[]10,1x ∈，使得()()10f x g x =成立，求m 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)1y x =+；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ)[]
2,1--. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)求解出点()()1,1f ，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在
0m =、0m <和0m >三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将
问题转化为()g x 在[]0,1上的值域是()f x 在[]0,1上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.
【详解】(Ⅰ)当2m =时，()3
2
2f x x x =-+，所以()2
32f x x x '=-
所以()()12,11f f '==
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+
(Ⅱ)()22
3x m g x x m
+=-的定义域是{}|x x m ≠，()()()()2
3x m x m g x x m +-'=- 令()0g x '=，得12,3x m x m =-=
①当0m =时，()(),0g x x x =≠，所以函数()g x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞ ②当0m <时，()(),,x g x g x '变化如下：
所以函数()g x 的单调增区间是()(),3,,m m -∞-+∞，单调减区间是()()3,,,m m m m - ③当0m >时，()(),,x g x g x '变化如下：
所以函数()g x 的单调增区间是()(),,3,m m -∞-+∞，单调减区间是()(),,,3m m m m - (Ⅲ)因
()()3222f x x x m x =-+-+，所以()()2322f x x x m '=-+-
当0m <时，()412212200m m ?=--=-<
所以()0f x '>在()0,1上恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增 所以()f x 在[]0,1上的最小值是()02f =，最大值是()14f m =- 即当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]2,4m -
由(Ⅱ)知，当10m -<<时，01m <-<，()g x 在()0,m -上单调递减，在(),1m -上单调递增
因为()22g m m -=-<，所以不合题意
当1m ≤-时，1m ->，()g x 在[]0,1上单调递减
所以()g x 在[]0,1上的最大值为()03g m =-，最小值为()2
1311m
g m
+=-
2019年北京市清华附中高考数学一模试卷（文科） 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若集合M={-1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则集合M∩N等于（） A. {-1，1} B. {1，2} C. {-1，1，3，5} D. {-1，0，1，2} 2.为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每 个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一（1）班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（） ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9； ③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等． A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 3.已知平面向量，，均为非零向量，则“（?）=（）”是“向量，同向”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.若x，y满足，则y-x的最大值为（） A. -2 B. -1 C. 2 D. 4 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积 为（） A. 8 B. 2 C. 2 D. 2 6.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|=8，则线 段AB的中点M到直线x+1=0的距离为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
东城区2012—2013学年第二学期初三综合练习（二） 英语试卷 2013.6 学校 ____________ 班级 ____________ 姓名 ____________ 考号 ____________ 听力理解 (共26分) 一、听对话，从下面各题所给的A 、B 、C 三幅图片中选择与对话内容相符的图片。每段对话你将听两遍。（共4分，每小题1分） 1. A. B. C. 2. A. B. C. 3. A. B. C.
4. A. B. C. 二、听对话或独白，根据对话或独白的内容，从下面各题所给的A 、B 、C 三个选项中选择最佳选项。每段对话或独白你将听两遍。（共12分，每小题1分） 请听一段对话，完成第5至第6小题。 5. What’s the man’s job? A. A doctor. B. A teacher. C. A coach. 6. What are the speakers both interested in? A. Tennis. B. Chess. C. Running. 请听一段对话，完成第7至第8小题。 7. What’s wrong with Peter? A. His foot hurts. B. His arm is broken. C. His leg aches. 8. How did Peter get hurt? A. A ball hit him. B. A boy fell on him. C. He knocked into a doctor. 请听一段对话，完成第9至第10小题。 9. Where did the woman go during the weekend? A. To a quiet village. B. To a place of interest. C. To a sports center. 10. What special thing did the woman do? A. She took a short trip. B. She went camping. C. She learned to dance. 请听一段对话，完成第11至第13小题。 11. Who is the man’s youngest cousin? A. John. B. Bob. C. Lily. 12. How often does the man usually visit his cousins? A. Once a week. B. Once a month. C. Once a year. 13. What can we learn from the conversation? A. The man is living in New York now. B. The woman has been to New York before. C. The speakers both enjoy visiting beautiful cities. 请听一段独白，完成第14至第16小题。
清华附中2018-2018高三下数学(理)统练2答案 1-5 C D D D A 6-8 A D D 9、四 10、-2 11、 2 12 、 4 3 13、3 1 4 833 15、解：(1) 令???-==???=-=??? ? ??-=+?-=+=1001143cos 21 ),(2 2y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分 (2) )1,0(0),0,1(-=∴=?= 3分 ))3 2cos(,(cos )1)23( cos 2,(cos 2x x x x -=--=+π π 4分 2 ) 234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+π π 6分 )]23cos(2[cos 211)]234cos( 2[cos 211x x x x --+=-++=π π )32cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π++=--+=x x x x 8分 35323320ππππ<+
北京市东城区2017—2018学年度第二学期高三综合练习（二） 2018.5 英语 本试卷共120分。考试时长100分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分：知识运用（共两节，45分） 第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分） 从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 1.—It’s lucky of you to get your new job! —A friend told me about it, so I _________ and got it. A. apply B. have applied C. applied D. was applying 2. I can clearly remember the first time I met Ms. Lee, _________it’s over 10 years ago. A. unless B. since C. after D. although 3. They will fly to London, ______ they plan to stay for two or three weeks. A. which B. that C. when D. where 4. Dogs have a far wider hearing range than humans, _________ them able to detect sounds far above a hum an’s hearing limit. A. making B. made C. having made D. to be made 5. —When do you want to visit Mr. Smith with me? —Whenever you _________ time. A. have B. will have C. have had D. had 6. Considered poisonous for many years in Europe, tomatoes _________for decoration only. A. grow B. are grown C. grew D. were grown 7. The snowstorm has lasted for several days _________ it is freezing cold now. A. for B. and C. but D. or 8. In A Brief History of Time, Stephen Hawking wrote _________non-technical terms about the origin and development of the universe. A. from B. by C. in D. with 9. It is almost impossible for planes _________ in such a heavy fog. A. take off B. to take off C. to have taken off D. having taken off 10. According to the Public Library’s regulations, each reader _________borrow at most five books at a time. A. should B. must C. may D. would 11. The book covers the knowledge I wish I ______ five years ago. A. knew B. had known C. would know D. would have known
清华附中高三2019年12月月考试卷数学 一、选择题（共8小题；共40分） 1.已知集合{}1,0,1A =-，2 {1}B x x =< ，则A B =U （ ） A. {}1,1- B. {}1,0,1- C. {} 11x x -≤≤ D. {} 1x x ≤ 2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 3.若12 2log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b = B. 2b a = C. 4a b = D. 4b a = 4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( ) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 5.已知直线0x y m -+=与圆O ：2 2 1x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ?为正三角形，则实数m 的值为（ ） A. 2 B. 2 - 6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ?? =+ ?+?? 为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数()log a x x f x x = （01a <<）的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛 C. 8号学生进入30秒跳绳决赛 D. 9号学生进入30秒跳绳决赛 二、填空题（共6小题；共30分） 9.直线y x = 被圆22 (2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠= ，，则b c =_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____. 13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动
《组合数学》课程简介 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 内容简介： 《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 《组合数学》教学大纲 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 一、教学目的和基本要求： 《组合数学》是一门应用广泛的学科。它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。 二、主要内容及学时分配： （1）引言2学时 （2）排列与组合8学时 （3）母函数与递推关系12学时 （4）容斥原理3学时 （5）反演公式3学时 （6）鸽巢原理3学时 （7）Pólya计数定理5学时 （8）区组设计6学时 （9）编码理论6学时 三、教学方式：课堂讲授 四、相关教学环节安排： 五、考试方式及要求：笔试 六、推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 七、有关说明：
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
2012东城二模高三英语试题及答案
北京市东城区2011—2012学年度第二学期高三综合练习（二） 英语 2012.5 本试卷共150分，考试时间120分钟。考试结束后，考生务必将答题卡交回。 注意事项： 1. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。 2. 答题前考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写。 3. 答题卡选择题必须用2B铅笔作答, 将选中项涂满涂黑, 黑度以盖住框内字母为准, 修改时用橡皮擦除干净。 4. 答题卡非选择题必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答均不得分。 第一部分：听力理解（共三节，30分） 第二部分：知识运用（共两节，45分） 第一节单项填空（共15小题，每小题1分，共15分） 从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂
D. hoped 25. Peter will have to change his travel plan because his flight _____. A. delays B. would delay C. has been delayed D. was delayed 26. You have a gift for art. ______ you do your best, you are sure to create fine art works. A. As soon as B. Even if C. In case D. As long as 27. She looked ______ her handbag, but her keys were not there. A. for B. to C. at D. in 28. I wish that I _____ to go to Jim’s party, for I have to do some extra work tonight. A. hadn’t agreed B. have n’t agreed C. would n’t agree D. won’t agree 29. If your call is not answered within two minutes, you______ to hang up and dial again. A. would be advised B. are advised C. have been advised D. were advised
da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。1912年，清华学堂更名为清华学校。1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。 清华大学《运筹学》共40讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-232-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文 48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-371-1-1.html 清华大学《数据结构》（c语言）严蔚敏48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-1547-1-1.html 清华大学《计算机文化基础》视频教学共28讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-233-1-1.html 清华大学《计算机原理》王诚 64讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-328-1-1.html 清华大学《模式识别》林学訚 32讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-375-1-1.html 清华大学《计算机网络体系结构》汤志忠 48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-374-1-1.html 清华大学《汇编语言程序设计》温冬婵 64讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-356-1-1.html 清华大学《JA V A编程语言》许斌32讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-354-1-1.html 清华大学《人工智能原理》朱晓燕48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-329-1-1.html 清华大学《编译原理》张素琴吕映芝64讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-330-1-1.html 清华大学《软件工程》刘强48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-327-1-1.html 思想道德修养清华大学 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-327-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,/thread-2-1-2.html 清华大学《模拟电子技术》华成英56讲学习梦想家园
东城区2014—2015学年度第二学期教学统一检测 高三英语2015.5 本试卷共14页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分：听力理解（共三节，30分） 第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分） 听下面5段对话或独白。每段对话或独白后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。听完每段对话或独白后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。每段对话或独白你将听一遍。 例：What is the man going to read? A．A newspaper. B．A magazine. C．A book. 答案是A。 1. What was the woman disappointed about? A. The weather. B. The hotel. C. The food. 2. What kind of pet does the man want? A. A parrot. B. A dog. C. A rabbit. 3. Who is ill in hospital? A. George. B. Mary. C. Lucy. 4. What does the woman think the film will be like? A. Sad. B. Terrible. C. Funny. 5. What are the speakers talking about? A. Saving money. B. Writing styles. C. Working arrangements. 第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分） 听下面4段对话。每段对话后有几道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。听每段对话前，你将有5秒钟的时间阅读每小题。听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。每段对话你将听两遍。 听第6段材料，回答第6至7题。 6. When did the man buy the watch? A. L ast Monday. B. Last Tuesday. C. Last Friday. 7. Why does the man want to talk to the manager? A. To get the watch changed. B. To get the receipt at once. C. To get his watch back earlier. 听第7段材料，回答第8至9题。 8. Why is the man tired? A. Because he was caught in traffic jams. B. Because he did quite a lot of work. C. Because he went on strike. 9. How did the woman go to work today? 英语第1页（共16页）
2020年北京市清华附中高考数学三模试卷（一） 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若集合，则实数a的值为（） A. B. 2 C. D. 1 2.已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，下列说法正确的是（） A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变 B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差变大 C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差也不变 D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，标准差可能不变 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 （） A. B. C. D. 4.已知函数f（x）=，则不等式f（x）≤1的解集为（） A. （-∞，2] B. （-∞，0]∪（1，2] C. [0，2] D. （-∞，0]∪[1，2] 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的体积为（） A. B. C. D. 6.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则数列 {a n}的通项公式为（） A. a n=n B. a n=n+1 C. a n= D. a 7.若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点， 则|PF1|?|PF2|的值为（） A. B. 84 C. 3 D. 21 8.如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的 若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图②是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）
《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数
母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：
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马昱春 MA Yuchun myc@https://www.doczj.com/doc/8216863058.html,
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组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
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Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
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组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
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2019年北京市东城区高三二模 2019年5月 A World Environment Day is a UN Environment-led global event, _____which_____(1) takes place on June 5 every year and is celebrated by thousands of communities worldwide. Since it began in 1972, it has grown to become the ___largest_______(2 large) of all the celebrations of environment each year. China owns half the world’s electric vehicles and 99% of the world s electric buses. By ____hosting______(3 host) World Environment Day 2019, the Chinese government will be able to showcase its innovation and progress toward to a cleaner environment. B Why do people want to go to university? For some, it is the desire to learn. At university, you ____will be taught______(4 teach) by lecturers and professors who may be leading experts ____in______(5) their fields. The opporutnity to learn from them is what drives some people ____to apply______( 6 apply)to university. For others, going to university provides the all-important stepping-stone for their careers. However, for the majority of ____western______(7 west)people, university means freedom from home. C Billions of poor people around the world ___depend_______(8 depend) on the use of wood for cooking. And as they take more and more firewood from wild areas, they are destroying habitats around the world. Wood collection is one reason why many animals have become endangered. This is ____why______(9) Dr, Metcalf spends each summer in Africa. He wants to teach women and children in villages how to cook with the sun.
中国当代著名数学家介绍 1．国际著名数学大师，沃尔夫数学奖得主，陈省身 1931 年入清华大学研究院，1934 军获硕士学位．1934 年去汉堡大学从Blaschke 学习.1937 年回国任西南联合大学教授．1943 年到1945 年任普林斯顿高等研究所研究员．1949 年初赴美， 旋任芝加哥大学教授.1960 年到加州大学伯克利分校任教授，1979 年退休成为名誉教授，仍继续任教到1984 年．1981 年到1984 年任新建的伯克利数学研究所所长，其后任名誉所长。陈省身的主要工作领域是微分几何学及其相关分支．还在积分几何，射影微分几何，极小子流形，网几何学，全曲率与各种浸入理论，外微分形式与偏微分方程等诸多领域有开拓性的贡献．陈省身本有极多荣誉，包括中央研究院院士（1948）．美国国家科学院院士（1961）及国家科学奖章（1975），伦敦皇家学会国外会员（1985），法国科学院国外院士'（1989），中国科学院国外院士等。荣获1983／1984年度Wolf 奖，及1983 年度美国科学会Steele 奖中的终身成就奖． 2．享有国际盛誉的大数学家，新中国数学事业发展的重要奠基人，华罗庚 华罗庚是一位人生经历传奇的数学家，早年辍学，1930 年因在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到熊庆来的重视，被邀到清华大学学习和工作，在杨武之指引下，开始了数论的研究。1936 年，作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938 年回国，受聘为西南联合大学教授。1946 年应美国普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948 年开始，他为伊利诺伊大学教授。1950 年回国，先后任清华大学教授，中国科学院数学研究所所长，数理化学部委员和学部副主任，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长、主席团委员等职。还担任过多届中国数学会理事长。此外，华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人民代表大会常务委员会委员和中国人民政治协商会议第六届全国委员会副主席。华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家，他的名字在美国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博物馆中，与少数经典数学家列在一起。他被选为美国科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。又被授予法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学荣誉博士。华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献。由于华罗庚的重大贡献，有许多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法。他共发表专著与学术论文近三百篇。华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制。他身体力行，亲自去二十七个省市普及应用数学方法长达二十年之久，为经济建设作出了重大贡献。3．仅次于哥德尔的逻辑数学大师，王浩1943 年于西南联合大学数学系毕业。1945 年于清华大学研究生院哲学部毕业。1948 年获美国哈佛大学哲学博士学位。1950～1951 年在瑞士联邦工学院数学研究所从事研究工作1951～1953年任哈佛大学助理教授。1954～1961 年在英国牛津大学作第二套洛克讲座讲演, 又任逻辑及数理哲学高级教职。1961～1967 年任哈佛大学教授。1967 年后任美国洛克斐勒大学教授, 主持逻辑研究室工作。1985 年兼任中国北京大学名誉教授。1986 年兼任中国清华大学名誉教授。50 年代初被选为美国国家科学院院士, 后又被选为不列颠科学院外国院士，美籍华裔数学家、逻辑学家、计算机科学家、哲学家。4．著名数学家力学家，美国科学院院士，林家翘 1937 年毕业于清华大学物理系。1941 年获加拿大多伦多大学硕士学位。1944 年获美国加州理工学院博士学位。1953 年起先后担任美国麻省理工学院数学教授、学院教授、荣誉退休教授。林家翘教授曾获: 美国机械工程师学会Timoshenko 奖，美国国家科学院应用数学和数值分析奖，美国物理学会流体力学奖。他是美国国家文理学院院士（1951），美国国家科学院院士（1962），台湾“中央研究院”院士（1960）。从40 年代开始，林家翘教授在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了整整一代人在这一领域的研究探索。从60 年代开始，他进入天体物理的研究领域，开创了星系螺旋结构的密度波理论，并为国际所公认。1994年6月8日当选为首批中国科学院外籍