第二章 参数估计
课后习题参考答案
2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21Λ<<为其子样，求N 及p 的矩法估计。 解：
()()()p Np X D Np X E -==1,
令()
?????-==p Np S Np X 12
解上述关于N 、p 的方程得：
2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22
(),0(;)0,0x x f x x x ααααα
?-?=??≤≥?p p U
其中参数α的矩法估计。 解：12
2
()()a E x x
x dx α
αα==
-?
22
02
2
()x x dx α
α
α=-
?
232
1
22
133
3
αααααα
α
=
-
=-= 所以 133a x α∧
== 其中121,21
(),,,n n x x x x x x x n
=
+++L L 为n 个样本的观察值。 2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。
??
?
???
?
-=-==X S p S X X p X N 2221???
解：
()
()
()
∑∑====-=
===n
i i n
i i S X X n X D X X n X E 1
22
1
0255
.01
4025
.2321
2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1
,<<=ββ
βx f 的总
体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。 解：
()
()()()4.22?2
,1
,407
.012
.110
1
2
2
1====
===
=-===?
?∑∑==X X
dx x
dx x xf X E x f X
X n S X n X n
i i n
i i β
β
β
ββ
ββ
β参数：总体方差：总体均值：
2.5 设n X X X ,,,21Λ为()1N ，
μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为(
)2
1N σ，的
MLE 。 解：(1)
()()()()()
()()()
()
()X x n x x L x n x L e
x L x f e
x f n
i i n i i i n i i i x n
i
n
i i
x i n
i i i =∑=∑=-=??∑---=∑=
==
===--=--
=∏1
112
2
2
1
2
1?0,ln 212ln 2,ln 21
,,21,1
2
2
μ
μμ
μμπμπμμπ
μμμ
(2)
()
()()()()
()(
)
()()
()()2
1
2
1
2
4
222
1
2
22
212
2
1
2
21211?01212,ln 121ln 2ln 2,ln 21
,,21
,2
1
2
2
2∑-=∑=-+-=??∑----=∑=
==
===--=--
=∏n i i n i i i n i i i x n
n i
n
i i
x i x n x n x L x n n x L e
x L x f e x f n
i i i σ
σσσσσσπσσπσσσ
πσσσ
2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θL 为其样本，求下列情况下θ∧
的MLE 。
（i ） ,0,1,2,(;)!0,x e x f x x θ
θθ-?=?=???
L
其它 0θ≥
(ii) 1,01
(;)0,x x f x αθθ-?=??p p 其它
0θf
(iii) 1(),0
(;)0,x x e x f x α
αθθαθ--??=???f 其它
α已知
（iv ） 1()/(),0
(;)0,r x x e r x f x θθθθ--?Γ>=??其它
r 已知
（v ） 1,0
(;)0,x
e x
f x θ
θθ-?≥?=???
其它 0θf
解：（i ） 1
12()!!!
n
i
i X n n e L x x x θ
θ
θ=-∑=L
121
ln ()ln ln(!!!)n
i
n i L X
n x x x θθθ==
--∑L
1
1
ln ()101
n
i i n
i i d L X n d X x n θθθθ===-==
=∑∑
(ii) 1
1
1
1()n
n
n
i
i i i L x
x θθ
θθθ
--===
=∏∏
1
ln ()ln (1)
ln n
i
i L n x θθθ==+-∑
1
1
1
1
1ln ()ln 01(ln )(ln )n
i i n
n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧
--===+==-=-∑∑∑
（iii ） 1
1
1
()()
n
i i n
x n
i i L x e
α
θ
α
θθα=--=∑=∏
1
1
ln ()ln()(1)
ln n
n
i
i
i i L n x x αθθααθ===+--∑∑
11
11
ln 01
(
)n
n i i i i n
i i d L n n x x d x n α
αααθθαθθ==∧
-==-=-==∑∑∑
(iv) 1
1
1
()()/(())n
i
i n x n
r n i i L x e
r θ
θθ
θ=--=∑=Γ∏
1
1
ln ()ln (1)ln ()n
n
nr
i i i i L r x x n r θθ
θ===+---Γ∑∑
1
11
ln ()0
1,n
i i n
i
n i i
i d L nr
x d nr
r x X n x
x θθ
θ
θ=∧===-===
=∑∑∑ (v) 1
1
1
()n
i
i x
n
L e
θθθ
=-
∑=
1
1
ln ()ln()n
i i L n x θθθ
==--
∑
2
1
1
ln ()1
1
,n
i
i n
i i d L n X
d x x X n θθθθ
θ=∧
==-+===
∑∑
2.7 设总体X 的密度函数为()()10,1<<+=x x x f β
β，n X X X ,,,21Λ为其子样，求参数
β的MLE 及矩法估计。今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55，求参数β的
估计值。 解：
极大似然估计：
()()()
()()()234.0ln 1
1?0
ln 1,ln ln 1ln ,ln 1,,48
.011
1
1
1
1
1
1
=??
? ??∑--==∑++=??∑++=+===∑=-======∏∏
n
i i
n i i i n
i i
i n
i i
n
i n
i i n
i i x n x n
x L x n x L x x L x f x n X βββββββββββ
矩法估计:
()()()07.0211?2
1
11
10
-=--==++=
+==??X
X dx x x dx x xf x E β
ββββ
2.8 在处理快艇的6次实验数据中，得到下列的最大速度值(单位：m/s)27 ,38 ,30 ,37 ,35 .31,求最大艇速的数学期望与方差的无偏估计。 解：X 是总体期望()μ=X E 的无偏估计
()
s m X n X E n
i i /3311
===∴∑=μ
2*S 是总体方差()2σ=X D 的无偏估计
()
221
2
28
/8.1811s m X X n S n
i i =--=∑=
2.9 设总体()2
,~σ
μN X ，n X X
X ,,,2
1
Λ为其子样。
(1)求k ，使()2
1
1
12
1?∑-=+-=n i i i X X k σ
为2σ的无偏估计； (2)求k ，使∑=-=n
i i X X k 1
1?σ
为σ的无偏估计。 解：
(1) ()()()()2
21121112111121111σμμk n X X E n k n X X k E n i i n i i n i i i -=???
? ??-+---=???? ??-∑∑∑-=-=+-=+ 即k=2(n-1) (2)
∑≠--=
-i
j j i i X n X n n X X 1
1 ()
()01111111=---=--=???
? ??-??? ??-=-∑∑≠≠μμn n n n EX n EX n n X n E X n n E X X E i j j i i j j i i ()
()()()
()
2
22
22
2
2221111111σ
σσn n n n n n X D n X D n n X n D X n n D X X D i
j i
i i j j i i -=-+
-=
+-=???
? ??+??? ??-=-∑∑≠≠
所以???
?
?
--21,
0~σn n N X X i σπ
n
n X X E i 12
-=
-∴ ()σπ
σπσ1211211-=-=-=∴∑=n n k n n k n X X E k E n i i )
()
π
12-=
∴n n k
2.10 设总体123(,1),,,X N X X X μ:为一样本，试证明下述三个估计变量
1123
21233123
131
51021153412111362
X X X X X X X X X μμμ=+
+=++=++
都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？ 证：1123131
()()()()5102
E E X E X E X μ=
++ 131
()5102
μμ=++= 同理：2123115
()()()()3412
E E X E X E X μ=++
115
()3412
μμ=++= 3123111
()()()()362
E E X E X E X μ=++
111
()362
μμ=++= ∴123,,μμμ是μ的无偏估计量。
由于
22212222222313119
()()()()51025011525
()()()()3412771117
()()()()36218
D D D μμμ=++=
=++=
=++=
2()D μ∴最小。
2.11 设θ
?是参数θ的无偏估计，且有()
0?>θD ，试证2?θ不是2θ的无偏估计。 解：
θ?是参数θ的无偏估计，即()
θθ=?E
又因为()()()[]()0?,???2
2>-=θθθθ
D E E D
所以()()()[]()2
2
22
????θθθθθθ
>+=+=D E D E
综上所述：2
?θ
不是2
θ的无偏估计
2.12设总体2
1(,),,,n X N X X μσμ:K 已知，为一样本，
1
n
i X μ=-为σ的
无偏估计，且效率为
1
2
π-。 证明：设i i y x μ=- 则2
(0,)i y N σ:
()2()i i i i E y y f y dy +∞
=?
22
20
2
i y i
i y dy σ-
+∞
=?
=
1)()n i
i E X y μ=-=
σ=
=
1
n
i X μ=-为σ的无偏估计
211
1)2n n
i i i D X D X n πμμ==-=-∑g g {
}
2
22
122212()222(2)2n i i i n
i E X E X n n n
π
μμπ
σσππσ
===
--?-???
??
=
-????-=∑∑
由于2
(,)X N μσ:
则，
22
()222(,,)11()(ln 2ln )ln (,,)222x f x x f x μσμσμπσμσσσσ
--
=
-?---?=
??
2
3
1()x μσσ-=-
+
22
2
24
2
2
2242
ln (,,)13()ln (,,)132()()()f x x f x I E E x μσμσσσμσσμσσσσ?-=-??=-=-+-=
? 22
111
()(2)2
2
()()
2n e D nI n n σππσσσσ
∧
∧
=
=
=
--g g 2.13设总体X 服从几何分布： 1
()(1)
,1,2,,01k P x k p p k p -==-=L p p
证明样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的相合，无偏和有效估计量。
证明：（1）相合性
1
11
1
()(1)
(1)k k k k E X kp p p k p +∞
+∞
--===-=-∑∑
令
1
1
1
1()(1)()(1)k k k k S p k p S p dp k p dp ∞
-=∞
-==-=-∑∑??
00
(1)1
(1)1(1)k
k p p p p +∞
=-=--=-
=---∑ 11
()()E X p p p
'=-=g
22
222221
()()()()2(1)3(1)(1)
k D X E X EX E X p p p p p k p p -=-=+*-+*-+*-+L
22221(12(1)3(1)(1))k p p p k p -=+-+-++-+L L
对上式括号中的式子，利用导数，2
1
(1)
((1)),k k k p k p -'-=-并利用倍差法求和
222212323
12(1)3(1)(1)((1)2(1)3(1)(1))12()k k p p k p p p p k p p p p p
-+-+-++-+'=-+-+-++-+--'==L L L L
因此，
2322222222()211()()()()p p
E X p p p
p p
D X
E X E X p p p
--=*
=--=-=
-=
相合性：{}
12122
((,,))
(,,)()n n D T X X X P T X X X g θεε->≤L L
当12lim ((,,,))0n n D T X X X →∞
=L
则12(,,,)n T X X X L 是()g θ的相合估计。 本题中，12211lim ((,,,))lim 0n n n p D T X X X n p →∞
→∞??
-=*
=????
L ∴1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的相合估计。
（2）无偏性
11111
()()()()n n i i i i E X E X E X E X n n p
======∑∑
（3）有效性
2
2
11
11
1()()()n n
i i i i p
D X D X D X n n
np ==-===
∑∑ 1111112
11222
12222
ln (,)ln (1)ln (1)ln(1)ln (,)1
11ln (,)11(1)1
1
111()()(1)(1)x P x p p p p x p P x p x p p p
P x p x p p p x p
I p E p p p p -=-=+--?-=-
?-?-=--
?---=---=+
--
21
(1)
p p =
-
2
4
2211(())111
()()(1)
n p p e p D X nI p n np p p '===--g g
X ∴是()E X 的有效估计。
2.14 设总体X 服从泊松分布()λP ，n X X X ,,,21Λ为其子样，试求参数2
λθ=的无偏估计
量的克拉美劳不等式下界。 解：
()()()()()()()()
()3
2122
4
1322122122
12
111
111141,ln 241
,ln ,ln 221
,ln ,ln ln ln ,ln !
,1
λ
θλλθλ
λλλθλλλλλθλλλλλλλ
=????????-==-=??=??+-=??=??-+-==-X p e I I X X p X p X X p X p X X X p X e
X p X
克拉美劳不等式的下界为：
()[]
()
2
3
33
2
'
44411
θλλ
θθn n n nI g ==?=
2.15 设()0≠+=a b a u θ，θ
?是θ的有效估计量，试证明b a u +=θ??是u 的有效估计量。 解：
()()()()
μθθθμθθ=+=+=+==b a b aE b a E E E )))
),
()()a x p x p 1
ln ln θ
μ))Θ
??=?? ()()
θθμμ))))
I a x p E a x p E I 2
2
22
1)(ln 1)(ln =??? ????=???
? ????=∴ 从而μ的无偏估计量C-R 下界
[]()[]()()()μθθθμD b a D D a nI a nI =+=≥=--2121
)()
)
b a +=∴θμ))
是μ的有效估计量。
2.16 设有二元总体()Y X ,，而()()()n n Y X Y X Y X ,,,,,,2211Λ为其样本，证明
()()
∑=---=n
i i i Y Y X X n C 1
11?是()Y X Cov ,的无偏估计。
证明：
()()()()()
∑∑==---=??? ??---=n i i i n i i i Y Y X X E n Y Y X X n E C E 1
11111) ()()∑∑≠≠----=
--=
-i
j j i i j j i i EX X n EX X n n X n X n n X X 11
11Θ 同理
()()∑≠----=
-i
k k i i EY Y n EY Y n n Y Y 11
()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()
()Y X n
n Y X n n Y X n n Y
Y X X
E n Y X n n EY Y EX X E n Y X n n EY Y EX X n EY Y EX X n n EY Y EX X n n EY Y EX X n n E Y
Y X X E i
j j j
i k k i j j i k k i j j i j i j i k k i i i i i ,cov 1,cov 1,cov 11,cov 11,cov 1111
12
2
22
2
2
222
2222
2-=-+-=--+
-=???????????? ??
--+
-=??
????
?????
???-???? ??
-+-----------=--∴∑∑∑∑∑∑∑≠≠≠≠≠≠≠()()()
()()()Y X Y X n
n n n Y X n n n Y Y X X E n C E n i n i i
i ,cov ,cov 1
1,cov 1111111=--=--=---=∴∑∑==)C )
∴为()Y X ,cov 的无偏统计量。
2.17 设1?θ和2?θ是参数θ的两个独立的无偏估计量，且1?θ的方差为2?θ的方差的2倍，试确
定常数1C 及2C ,使得2211??θθC C +为参数θ的无偏估计量，
并且在所有这样的线性估计中方差最小。 解：1?θ和2?θ是参数
θ的两个独立的无偏估计量
则()
()()
θθθθθ=+=+22112211????E C E C C C E 即121=+C C
又()()2
1
??θθ
D D =Θ
()()()(
)()
222212*********?2????θθθθθD C C D C D C C C D +=++=+∴
要使其最小，则要求2
2212C C +最小。
()
323121222
12
12
12
22
1+??? ?
?
-=-+=+C C C C C
当311=C 时，取得最小值，此时3
2
2=C
2.18 设总体X 服从指数分布，其密度函数为
()00,00,,>?
??<≥=-λλλλx x e x f x
n X X X ,,,21Λ为其样本，n>2。
(1)求λ的MLE λ
?； (2)计算()
λ
?E ,求k ，使得λλ??*k =为λ的无偏估计； (3)证明*
?λ
是λ的渐进有效估计。 解：(1)
()()()()X x
n x n
x L x n x L e
x L x f n i i
n i i i n
i i
i x n i n
i i n
i i
1?0
,ln ln ,ln ,,1
11
1
1
=
∑==∑-=??∑-======∑-==∏
λλλλλλλλλλλ
(2)()
X
E E X 1
1=∴=λλ))
Θ ()0,0,00
,,~>?
??<≥=-λλλλx x e x f X x i
x
n n
e
x
n λλ---1
)!
1(∑=?n
i i X 1
的密度函数
()()2,0,0,00
,!1,11>>??
???<≥-=∑--=n x x e x n x f x n n X n i i λλλλ ()
()()()()λλλλλλλλ1
!2!11!11110
20
11
-=--=-=-===∴-+∞
--+∞--=??∑n n n n n dx e x n n dx e x n x n X
n
E
X
E E n n x
n n x n n n
i i
！)
()
()()()()
()()
222220
3201222
214,213,291!11λλλλλλ
λλ--=???????
≥--==-=-=??∞+--∞+--n n n n n n n n dx e x n n dx e x n x n E x
n n x n n ！)
()()()()
()()()()()
2
2
2222222
2
21121λλλλλ
λ--=----=-=∴n n n n n n n n E E D )
)) 若λλ)
)k =*
为λ的无偏估计，则()()λλλλ=-==1
*n n k kE E ))n
n k 1-=
∴ (3)
()()()()()()
()
()12
121?12?1?1
,ln 1
,ln 1
,ln ln ,ln 2
2*2
*2
2122
2121
11
1→-=??-==-=??? ??-==??
??????-=-
=??-=??-=n n n n nI D e n n n D D X L E I X L X X L X X f n λ
λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
由此可知，*
?λ
是λ的渐近有效估计。 2.19 设总体X 服从泊松分布()0,>λλP ,n X X X ,,,21Λ为来自X 的一个样本。假设λ有先验分布，其密度为
() ?
?≤>=-0,00
,λλλλe h
求在平方损失下λ的贝叶斯估计。 解：给定λ，样本的分布列为：
()??
?????===∑∑=-=-其它
,0,2,1,0,!!
|,,,1121ΛΛi x e x e x x x g n
i i X n n n i i x n i
λλλλλ
样本的边缘分布列()λλλ
d x e
x x x g n
i i
X
n n n ?
∑∞
+=-=
1
21!,,,Λ，其中∑==n
I i X n X 1
1 0>λ时的联合密度函数：
()()()()∏=+-==n
i i X
n n n n x e
h x x x g x x x g 1
12121!
|,,,,,,,λλλλλ
ΛΛ
λ的后验密度为：
()()
()()??????????
??
?
=??
???
?
??==??∑∑∞+∞+=-=+-其它
，，,0,1,2,0!!
,,,,,,,,,,|0011
1212121Λ
ΛΛΛi d d x e x e
x x x g x x x g x x x h n i i X n n n
i i X
n n n n n λλλλλλλλ
λ的贝叶斯估计：()λλλλd x x x h n ?+∞
=0
21,,,|?Λ=
1
1++n X n
2.22 随机的从一批零件中抽取16个，测得长度（单位：cm ）为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
以零件长度的分布为正态的，试求总体均值μ的90%置信区间。 （i ）若0.01()cm σ=； （ii) 若σ未知。
解：求得：
2.1250.01660.0171
x S S *=== 0.9512
0.1 1.645ααμ
μ-
=∴==
（i ）若0.01()cm σ= 则，μ的90%置信区间为：
112
2
x x ααμμ
--
?
-+??
带入数据
[]
2.125 1.645 1.6450.01/2.121,2.129?-*+*?得： （ii ）若σ未知
[]0.9512
11221122(15)(15) 1.7531
90%((1)(1)(1)2.11752.1325t
t t n t n t n t n ααα
αα
μ-
----==?--+-???--+-??的的置信区间为：
x x 或x x 计算得，
2.23 对方差2
0σ已知的正态分布总体来说，问需抽取容量n 为多大的样本，才能使总体均值
μ的置信度为()%1100α-置信区间的长度不大于δ2。
证明：
()()1,0~/202N n
X
T σμμσσ-=
=且
?
?????≤-≤-=n b n X n a A ///σσμσ
估计区间：??
???
?+--
-
n u
X n u
X /,/02
102
1σσαα 区间长度：δσα
2/2021≤-
n u
2
021????
?
??≥∴-δσαu n
2.24随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根测得其电阻（Ω）为 A 批导线 0.143 0.142 0.143 0.137 B 批导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测试数据分别服从正态分布22
12(,)(,),N N μσμσ和且它们相互独立，
220.95σμμ-1又未知，试求的置信区间。
解：此题中，置信度0.95，即120.05,4,5n n α===
查得
120.97512
(2)(7) 2.3646t
n n t α-
+-==
2A 2
B B
0.1412,S 6.1875e-006X 0.1392,S 4.1600e-006
A X ====
3.9M =
==
0.0067==
120.95μμ-代入下式得的的置信区间为
X Y X Y ??--+????? []2.3646 2.36460.14120.13920.0067,0.14120.13920.00673.9 3.9-0.0021,0.0061
??--*-+*????= 因0含在此置信区间内，故认为12μμ与无明显差异。
2.26 在一批货物抽100件检查，发现次品16件，求这批货物次品率的0.95置信区间。
解：100,96.1975.02
1===-
n u u
α
，100件产品中有16件次品，则16.0=X
使用棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理，()n
p p p X --1服从标准正态分布，于是解下列不等
式
()
()22
12
/1α-<--u n
p p p X
022
2212221<+???
? ??
+-???? ?
?
+-
-
X n p u X n p u n αα 解上述不等式得：p =0.101，p =0.244，95%的置信区间[0.101 0.244]
2.25随机地取某种炮弹9发作试验，得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹炮口速度之标准差σ的0.95置信区间。
解：
{}222222222222
2122
21,0,01,1A
1
11n =c (1),()1,n (1) (1)
nS S c d dS A cS
dS nS n d n P A n n c αασσσασσσχασχχχ-><<<≤≤=-??=≥≥??
????≥≥??
??-=-=-=-:22222
2
2
的点估计量为注意到考虑及S 的邻域[cS ,dS ],使得P(A)=P cS 变换事件nS 由T()=
故为使通常取
n d 于是所求区间为
[]222
-22222
0.97512
220.0252
nS ,(1)(1)9,121,0.05
(1)(8)17.535(n-1)=(8) =2.1809*1219121 =62.1044499.5413 17.535 2.180n n n S n ααααχαχχχχ-????
??--????===-==*??
????
本题中,代入得：
，，
开根号得这种炮弹炮口速度之标准差σ的0.95置信区间为[7.8806, 22.3504]
一、双代号网络图6个时间参数的计算方法（图上计算法） 从左向右累加，多个紧前取大，计算最早开始结束； 从右到左累减，多个紧后取小，计算最迟结束开始。 紧后左上-自己右下=自由时差。 上方之差或下方之差是总时差。 计算某工作总时差的简单方法：①找出关键线路，计算总工期； ②找出经过该工作的所有线路，求出最长的时间 ③该工作总时差=总工期-② 二、双代号时标网络图 双代号时标网络计划是以时间坐标为尺度编制的网络计划，以实箭线表示工作，以虚箭线 表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差。 双代号时标网络图 1、关键线路
在时标双代号网络图上逆方向看，没有出现波形线的线路为关键线路（包括虚工作）。 如图中①→②→⑥→⑧ 2、时差计算 1）自由时差 双代号时标网络图自由时差的计算很简单，就是该工作箭线上波形线的长度。 如A工作的FF=0，B工作的FF=1 但是有一种特殊情况，很容易忽略。 如上图，E工作的箭线上没有波形线，但是E工作与其紧后工作之间都有时间间隔，此时E工作的自由时差=E与其紧后工作时间间隔的最小值，即E的自由时差为1。 2）总时差。 总时差的简单计算方法： 计算哪个工作的总时差，就以哪个工作为起点工作（一定要注意，即不是从头算，也不是从该工作的紧后算，而是从该工作开始算），寻找通过该工作的所有线路，然后计算各条线路的波形线的长度和，该工作的总时差=波形线长度和的最小值。 还是以上面的网络图为例，计算E工作的总时差： 以E工作为起点工作，通过E工作的线路有EH和EJ，两条线路的波形线的和都是2，所以此时E的总时差就是2。 再比如，计算C工作的总时差：通过C工作的线路有三条，CEH，波形线的和为4；CEJ，波形线的和为4；CGJ，波形线的和为1，那么C的总时差就是1。
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:
二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.
总时差（用TFi-j表示），双代号网络图时间计算参数，指一项工作在不影响总工期的前提下所具有的机动时间。用工作的最迟开始时间LSi-j与最早开始时间ESi-j之差表示。 自由时差，指一项工作在不影响后续工作的情况下所拥有的机动时间。用紧后工作的最早开始时间与该工作的最早完成时间之差表示。 网络图时间参数相关概念包括： 各项工作的最早开始时间、最迟开始时间、最早完成时间、最迟完成时间、节点的最早时间及工作的时差（总时差、自由时差）。 1总时差=最迟完成时间—尚需完成时间。计算结果若大于0，则不影响总工期。若小于0则影响总工期。 2拖延时间=总时差+受影响工期，与自由时差无关。 3自由时差=紧后最早开始时间—本工作最早完成时间。 自由时差和总时差-----精选题解（免B) 1、在双代号网络计划中，如果其计划工期等于计算工期，且工作i-j的完成节点j在关键线路上，则工作i-j的自由时差（）。 A．等于零 B．小于零 C．小于其相应的总时差 D．等于其相应的总时差 答案：D 解析：
本题主要考察自由时差和总时差的概念。由于工作i-j的完成节点j在关键线路上，说明节点j为关键节点，即工作i -j的紧后工作中必有关键工作，此时工作i-j的自由时差就等于其总时差。 2、在某工程双代号网络计划中，工作M的最早开始时间为第15天，其持续时间为7天。 该工作有两项紧后工作，它们的最早开始时间分别为第27天和第30天，最迟开始时间分别为第28天和第33天，则工作M的总时差和自由时差（）天。 A．均为5 B．分别为6和5 C．均为6 D．分别为11和6 答案：B 解析： 本题主要是考六时法计算方法 1、工作M的最迟完成时间=其紧后工作最迟开始时间的最小值所以工作M 的最迟完成时间等于[28，33]=28 2、工作M的总时差=工作M的最迟完成时间-工作M的最早完成时间等于28-（15+7）=6 3、工作M的自由时差=工作M的紧后工作最早开始时间减工作M的最早完成时间所得之差的最小值： [27-22；30-22]= 5。 3、在工程网络计划中，判别关键工作的条件是该工作（）。
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，）
（2）（为参数）； （3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，， 它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线． 点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
双代号网络图时间参数计算 双代号网络图时间参数计算 双代号网络图是应用较为普遍的一种网络计划形式。它是以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图。 双代号网络图中的计算主要有六个时间参数： ES：最早开始时间，指各项工作紧前工作全部完成后，本工作最有可能开始的时刻； EF：最早完成时间，指各项紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻 LF：最迟完成时间，不影响整个网络计划工期完成的前提下，本工作的最迟完成时间；LS：最迟开始时间，指不影响整个网络计划工期完成的前提下，本工作最迟开始时间；TF：总时差，指不影响计划工期的前提下，本工作可以利用的机动时间； FF：自由时差，不影响紧后工作最早开始的前提下，本工作可以利用的机动时间。 双代号网络图时间参数的计算一般采用图上计算法。下面用例题进行讲解。 例题：试计算下面双代号网络图中，求工作C的总时差？ 早时间计算： ES，如果该工作与开始节点相连，最早开始时间为0，即A的最早开始时间ES=0； EF，最早结束时间等于该工作的最早开始+持续时间，即A的最早结束EF为0+5=5； 如果工作有紧前工作的时候，最早开始等于紧前工作的最早结束取大值，即B的最早开始FS=5，同理最早结束EF为5+6=11，而E工作的最早开始ES为B、C工作最早结束（11、8）
取大值为11。 迟时间计算： LF，如果该工作与结束节点相连，最迟结束时间为计算工期23，即F的最迟结束时间LF=23；LS，最迟开始时间等于最迟结束时间减去持续时间，即LS=LF-D； 如果工作有紧后工作，最迟结束时间等于紧后工作最迟开始时间取小值。 时差计算： FF，自由时差=（紧后工作的ES-本工作的EF）； TF，总时差=（本工作的最迟开始LS-本工作的最早开始ES）或者=（本工作的最迟结束LF-本工作的最早结束EF）。 该题解析： 则C工作的总时差为3. 总结： 早开就是从左边往右边最大时间 早结=从左往右取最大的+所用的时间 迟开就是从右边往右边最小时间 迟开=从右往左取最小的+所用的时间 总时差=迟开-早开；或者；总时差=迟结-早结 自由差=紧后工作早开-前面工作的早结 希望你看懂啦。呵呵 工作最早时间的计算:顺着箭线，取大值 工作最迟时间的计算：逆着箭线，取小值 总时差：最迟减最早 自由时差：后早始减本早完 1．工作最早时间的计算（包括工作最早开始时间和工作最早完成时间）：“顺着箭线计算，依次取大”（最早开始时间--取紧前工作最早完成时间的最大值），起始结点工作最早开始时间为0。用最早开始时间加持续时间就是该工作的最早完成时间。 2．网络计划工期的计算：终点节点的最早完成时间最大值就是该网络计划的计算工期，
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg
单代号搭接网络计划时间参数计算 在一般的网络计划（单代号或双代号）中，工作之间的关系只能表示成依次衔接的关系，即任何一项工作都必须在它的紧前工作全部结束后才能开始，也就是必须按照施工工艺顺序和施工组织的先后顺序进行施工。但是在实际施工过程中，有时为了缩短工期，许多工作需要采取平行搭接的方式进行。对于这种情况，如果用双代号网络图来表示这种搭接关系，使用起来将非常不方便，需要增加很多工作数量和虚箭线。不仅会增加绘图和计算的工作量，而且还会使图面复杂，不易看懂和控制。例如，浇筑钢筋混凝土柱子施工作业之间的关系分别用横道图、双代号网络图和搭接网络图表示，如下图所示。 施工过程 名 称 施工进度（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一．搭接关系的种类及表达方式 单代号网络计划的搭接关系主要是通过两项工作之间的时距来表示的，时距的含义，表示时间的重叠和间歇，时距的产生和大小取决于工艺的要求和施工组织上的需要。用以表示搭接关系的时距有五种，分别是STS （开始到开始）、STF （开始到结束）、FTS （结束到开始）、FTF （结束到结束）和混合搭接关系。 （一）FTS （结束到开始）关系 结束到开始关系是通过前项工作结束到后项工作开始之间的时距（FTS ）来表达的。如下图所示。 扎钢筋 浇筑混凝土 支模1 支模2 支模3 1 2 4 3 5 6 8 7 9 10 支模1 2 支模2 2 支模3 2 扎筋2 1 扎筋3 1 扎筋1 1 浇筑混凝土1 2 浇筑混 凝土2 2 浇筑混 凝土3 2 支模 6 扎钢筋 3 浇筑 6 STS=4 FTF=1 STS=1 FTF=4 i j FTS i j FTS D i D j
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<
咸阳职业技术学院课堂授课计划 教师（签名）：教研室审批：年月日
3.5双代号网络图时间参数的计算 计算方法：图上计算法、分析计算法、表上计算法、矩阵计算法、电算法等。只讲解图上计算法。 1、双代号网络计划各项时间参数的分类及表示符号 设有线路h→i→j→k： （1）节点的时间参数 ①节点的最早时间（TE ）。 i ）。 ②节点的最迟时间（TL i （2）工作的时间参数 ①工作的持续时间（D ） i，j ） ②工作的最早可能开始时间（ES i，j ） ③工作的最早可能完成时间（EF i，j ④工作的最迟开始时间（LS ） i，j ） ⑤工作的最迟完成时间（LF i，j ） ⑥工作的总时差（TF i，j ） ⑦工作的自由时差（FF i，j （3）网络计划的工期 ），由时间参数计算确定的工期，即关键线路的各项工作总 ①计算工期（T C 持续时间。 ），根据计算工期和要求工期确定的工期。 ②计划工期（T P ③要求工期（T ），指合同规定或业主要求、企业上级要求的工期。 r 2、时间参数的计算 时间参数在网络图上的表示方法：P60（图3-40）。 以下内容结合P61（图3-41）讲解： （1）节点最早时间（TE ）： i
（2）节点最迟时间（TL i ） （3）工作的最早可能开始时间（ES i，j ）：ES i，j = TE i （4）工作的最早可能完成时间（EF i，j ）：EF i，j = TE i + D i，j （5）工作的最迟完成时间（LF i，j ）：LF i，j = TL j （6）工作的最迟开始时间（LS i，j ）：LS i，j = LF i，j - D i，j = TL j - D i，j （7）工作的总时差（TF i，j ）：它是指在不影响后续工作按照最迟必须开始时间开工的前提下，允许该工作推迟其最早可能开始时间或延长其持续时间的幅度。 TF i，j = TL j - TE i - D i，j = LF i，j - EF i，j = LS i，j - ES i，j （8）工作的自由时差（FF i，j ）：它是指在不影响后续工作按照最早可能开始时间开工的前提下，允许该工作推迟其最早可能开始时间或延长其持续时间的幅度。 FF i，j = TE j - TE i - D i，j = TE j - EF i，j 3、利用时间参数确定关键工作和关键线路 总时差TF i，j = TL j - TE i - D i，j ，其计算差值可以分为以下三种情况： （1）TF i，j = TL j - TE i - D i，j >0，说明i-j这项工作存在机动时间，是非关键工作。 （2）TF i，j = TL j - TE i - D i，j =0，说明i-j这项工作不存在机动时间，是关键工作。 （3）TF i，j = TL j - TE i - D i，j <0，说明i-j这项工作存在负时差，说明了i-j这项 工作持续时间确定的不合理，没有满足总工期的要求，应采取措施缩短本工作的持续时间。 由关键工作组成的线路就是关键线路。关键线路通常用双线或粗线表示。【练习题1】计算图示双代号网络图的各项时间参数。
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为122x t y ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π ，圆C 的极坐标方程 为)4 π ρθ= -. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴 重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+??=-+? （α为参数）， 点Q 的极坐标为7 )4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．
双代号网络图时间参数的计算 参数名称符号英文单词 工期 计算工期TＣＣoｍputer Time 要求工期ＴR RｅquiｒｅTｉme 计划工期T P Pｌａn Time 工作的 时间参数 持续时间D i-jＤａy 最早开始时间ＥS i-j Earliest Staｒtｉnｇ Tｉm ｅ 最早完成时间ＥF i—j Earliｅｓt Ｆinisｈinｇ Timｅ 最迟完成时间LＦｉ—ｊLatest Finishing Ｔｉme 最迟开始时间ＬＳi—ｊＬatest Ｓtaｒting Time 总时差TFｉ－j Total Flｏat Time 自由时差ＦF i－j Free Ｆｌoat Tｉmｅ 二、工作计算法 【例题】:根据表中逻辑关系,绘制双代号网络图，并采用工作计算法计算各工作的时间参数。 工作A B C DＥFＧHＩ 紧前-A A B B、C C D、Ｅ Ｅ、 Ｆ H、G 时间3３３8５442２
（一）工作的最早开始时间ESｉ—j —-各紧前工作全部完成后,本工作可能开始的最早时刻。 （二)工作的最早完成时间EF i—j EF i－j=ＥS i-j + D i—j 1。计算工期Ｔc等于一个网络计划关键线路所花的时间,即网络计划结束工作最早完成时间的最大值，即T c＝mａx{EF i—ｎ｝ 2．当网络计划未规定要求工期Ｔr时, Tｐ=T c ３.当规定了要求工期Ｔｒ时,T c≤T p，T p≤T r —-各紧前工作全部完成后,本工作可能完成的最早时刻。
（三）工作最迟完成时间LFｉ-j 1.结束工作的最迟完成时间LＦｉ-ｊ=T p 2．其他工作的最迟完成时间按“逆箭头相减,箭尾相碰取小值”计算. --在不影响计划工期的前提下,该工作最迟必须完成的时刻。 (四）工作最迟开始时间LS i－j ＬＳi—ｊ＝ＬFｉ—j—D i-j -－在不影响计划工期的前提下，该工作最迟必须开始的时刻。
专题复习之极坐标系与参数方程 一、知识精讲 （一）、极坐标 知识点一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>? 的作用下,点P(x,y)对 应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 知识点二、极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 知识点三、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 :
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R π θρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线 l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4 R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．
4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长 度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。